Введение к работе
Актуальность темы. В общей метрической теории отображений важное место занимает теория устойчивости классов плоских и пространственных конформных отображений в классе квазиконформных. Последняя теория восходит к ранним работам М. А. Лаврентьева по теории квазиконформных отображений. Свое дальнейшее развитие она получила в основном благодаря трудам как самого М. А. Лаврентьева, так и Л. Альфорса, П. П. Белинского и Ю. Г. Решетняка. Другим заметным направлением в построении теории устойчивости классов отображений ітгяяяг». теория Ф. Джона устойчивости изометрических отображений.
Ново? рааяитип л&нн&я теыатита получил» Ыиалалл^л c~~~.sw" А. П. Копыловым общих концепций устойчивости в C-uoput: клг.гсгя отображений, являющихся попытками построения общих точек зрения на проблемы устойчивости классов отображений. На данный момент им построено две концепции устойчивости. Первая из них, концепция -ус-тойчивости классов отображений (А. П. Копылов, 1982 г.), восходит к теории устойчивости класса конформных отображений и регулярным образом с ней согласуется. В рамках этой концепции удалось исследовать устойчивость ряда новых классов. К ним относятся классы многомерных голоморфных отображений, классы С-решений систем линейных уравнений в частных производных с С^-гладкими коэффициентами и другие (А. П. Копылов, О. Л. Безрукова, Н. С. Даирбеков, Н. Н. Тарханов). Вторая из концепций устойчивости классов отображений, концепция и>-устойчивости (А. П. Копылов, 1984 г.), восходит к теории Ф. Джона устойчивости изометрических отображений, регулярно с ней соотносится и представляет собой теорию устойчивости в С-норме классов липтицевых отображений. На основе этой концепции А. П. Копыловым была установлена устойчивость класса 1%'' отображений / = (Д,..., /і) : Д С (R")* —
(R")' с /„(*!,.. .,хк) = 9»(*Д (*,, ...,*„) Є Д, *„ ЄІГ\ где у>? :R" -R* -
изометрия, )i = 1,..., Jt, v = 1,..., /, и класса LTP(C) локально липшицевых отображений с фиксированной константой С В то же время им доказано, что класс POL(k,C) всех отображений / = (/і, . . ,/л>) : Д С R" — Rm из ЫР(С), координатные функции J/, которых есть многочлены степени не выше к, а^устойчив только в том случае, если этот класс является классом постоянных отображений, т. е. когда к = 0.
Цель работы. Диссертация посвящена дальнейшему развитию теории устойчивости в (7-норме классов отображений. В ней мы изучаем устойчивость классов аффинных отображений, а также ряд других классов липтицевых отображений на основе концепции [^устойчивости А.П.Ко-пылова.
Методика исследований. В диссертации используются современные
методы геометрической Теории функций, разработанные в связи с исследованиями устойчивости в теоремах единственности геометрии и анализа, а также ставшие уже классическими результаты из анализа, геометрии, топологии, теории распределений и теории систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
В работе предложены подходы к систематическому изучению устойчивости классов аффинных и классов липшицевых отображений с выпуклыми порождающими множествами. На их основе удалось получить следующие результаты.
Доказана устойчивость классов Я аффинных отображений, порождающие множества DSi = {Dg, д ЄЯ} С L(Rn,Rm) которых имеют нулевую топологическую размерность.
В случае, когда порождающее множество Da есть линейное многообразие пространства L(R",Rm), найдено достаточное условие для устойчивости класса !3 аффинных отображений.
Установлена ы-устойчивость подклассов О П ЫР{(Т) пучка О W}~ решений неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, уравнения которой не зависят от символов искомых функций.
Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при изучении аффинных и липшицевых отображений, при исследовании решений систем линейных уравнений в частных производных, а также в дальнейшем развитии теории устойчивости классов отображений.
Публикации, апробация работы. Результаты диссертации апробировались на семинарах отдела геометрии и анализа и его лаборатории геометрии и теории функций действительного переменного в Институте математики СО РАН (г. Новосибирск); на семинаре по теории устойчивости классов отображений под руководством профессора А. П. Копылова в Новосибирском государственном университете; на семинаре под руководством профессора В. А. Зорича в Московском государственном университете; на семинаре под руководством профессора В. М. Миклюкова в Волгоградском государственном университете. Основные результаты работы опубликованы в работах [1, 2).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, дополнения и списка литературы и содержит 102 страницы текста. Библиография состоит из 43 наименований.
