Вопросы равносходимости для операторов Штурма-Лиувилля и Дирака Садовничая Инна Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Оценки спектральных функций и сходимость спектральных разложений для операторов Штурма-Лиувилля с равномерно локально суммируемыми потенциалами на прямой 31

1.1. Оценки спектральной функции самосопряженного расширения оператора Штурма Лиувилля на всей оси с равномерно локально суммируемым потенциалом 31

1.2. Достаточные условия стремления к нулю разности спектральных функций возмущенного и невозмущенного операторов при больших значениях спектрального параметра . 53

1.3. Оценка скорости равносходимости с интегралом Фурье спектрального разложения, отвечающего самосопряженному расширению оператора Штурма-Лиувилля с равномерно локально суммируемым потенциалом 57

ГЛАВА II. STRONG Равномерная равносходимость разложений по системам собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с потенциалами

— распределениями STRONG 62

2.1. Равномерная по ж Є [0,7г] равносходимость в случае / Є L2[0,7r], q Є W2 1[0,7r] 62

2.2. Оценки скорости равномерной на [0,7г] равносходимости разложений по системам собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями в случае / Є L2[0,7г], и Є W2[0,7г], 9 є (0,1/2) 86

2.3. Равносходимость в случае суммируемой функции / 103

ГЛАВА III. Равносходимость разложений по системам собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с потенциалами — распределениями в пространствах Соболева и Гельдера 117

3.1. Равносходимость по норме пространства И 2[0,7г], 9 є (0,1/2), разложений по системам собственных и присоединенных функций оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями в случае / Є L2[0,7г], и Є И7![0,7г] 117

3.2. Равносходимость в пространствах Гельдера разложений по системам собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями в случае / Є L2[0,vr], и Є W[0,7r] 126

ГЛАВА IV. Равносходимость спектральных разложений для систем Дирака на конечном отрезке с суммируемыми потенциалами 144

4.1. Теорема о равносходимости по норме пространств Лебега 144

4.2. Оценки скорости равносходимости для случая / є L2 184

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 192

Список литературы 195

• Достаточные условия стремления к нулю разности спектральных функций возмущенного и невозмущенного операторов при больших значениях спектрального параметра
• Оценки скорости равномерной на [0,7г] равносходимости разложений по системам собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями в случае / Є L2[0,7г], и Є W2[0,7г], 9 є (0,1/2)
• Равносходимость по норме пространства И 2[0,7г], 9 є (0,1/2), разложений по системам собственных и присоединенных функций оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями в случае / Є L2[0,7г], и Є И7![0,7г]
• Оценки скорости равносходимости для случая / є L2

Введение к работе

Актуальность темы. Теория обыкновенных дифференциальных операторов, порожденных выражением

t(y) = -у" + q(x)y

на конечном или бесконечном интервале числовой оси, берет свое начало в середине XIX века с работ Ж. Ш. Ф. Штурма и Ж. Лиувилля. На протяжении полутора сотен лет она привлекает внимание многих исследователей. С одной стороны, операторы такого вида (а также операторы Дирака, впервые рассмотренные П. Дираком в 1928 году ¹'²) являются простейшими из содержательных моделей различных задач математической физики: например, задачи колебаний струны и движения заряженных частиц в электромагнитном поле. С другой стороны, эти операторы составляют базу для перенесения и обобщения результатов на обыкновенные дифференциальные операторы и системы высоких порядков, операторные пучки и т. п. Центральное место в теории операторов Штурма-Лиувилля и Дирака занимают вопросы сходимости спектральных разложений. В случае конечного отрезка эти разложения имеют вид

т Sm(f) = ^2(f,Zn)yn(x),

где {Уп} — система собственных и присоединенных функций оператора, a {z_n} — биорто-гональная к ней система. Если оператор задан на бесконечном интервале, то спектральное разложение имеет вид

^sx(f) = / Q(x,yA)f(y)dy,

где 9(х,у, А) — спектральная функция оператора.

Задачи сходимости спектральных разложений не только аккумулируют вопросы асимптотического поведения собственных значений, собственных функций, резольвенты и спектральной меры операторов, но также очень важны для построения соответствующих полугрупп и изучения их устойчивости, асимптотического поведения и т. д.

В работе В. А. Стеклова³ 1909 года, по-видимому, впервые было отмечено, что изучение сходимости спектральных разложений для оператора на конечном интервале можно свести к изучению сходимости тригонометрических рядов при наличиии теорем равносходимости. А именно, статьях В. А. Стеклова, а также в работах его ученика Я. Д. Тамар-кина⁴'⁵ было показано, что S_m(f,x) — S^(/, ж) —> 0 при т —> оо поточечно, равномерно на произвольном компакте внутри интервала или равномерно на всем интервале (в зависимости от краевых условий и свойств функции /), где Sm(f,x) — частичная сумма

¹Р. А. М. Dime The quantum theory of the electron // Proc. Roy. Soc. (London). 1928. V.117. P. 610-624.

² P. A. M. Dime The quantum theory of the electron II // Proc. Roy. Soc. (London). 1928. V.118. P. 351-361.

³B. А. Стеклов Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions, definies par les equations differentielles lineaires du second ordre, et leurs applications au probleme du developpement d'une fonction arbitraire en series procedant suivant les-dites fonctions // Сообщ. Харьк. матем. об-ва. 1907-1909. ТЛО №2-6. С. 97-200.

⁴Я. Д. Тамаркин Application de la methode des fonctions fondamentales a l'etude de l'equation differentielle des verges vibrantes elastiques // Сообщ. Харьков, матем. общ. Вторая сер. 1911. Т.12. С. 19-46.

⁵ Y. D. Tamarkin Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires ordinaires et sur la generalisation de la serie de Fourier // Rend. Circ. Mat. Palermo (2). 1912. V.34. №1. P. 345-382.

разложения функции / по подходящей тригонометрической системе. Параллельно те же вопросы изучались в работах А. Хаара⁶ и Е. В. Хобсона⁷. Несколькими годами позже, в работах Я. Д. Тамаркина⁸ и М. Стоуна⁹ эти результаты были перенесены на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка (а, таким образом, и на случай обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 2). При этом авторы рассматривали случай произвольных регулярных по Биркгофу краевых условий. Основным методом исследования были теоремы об асимптотическом поведении фундаментальной системы решений, полученные Г. Д. Биркгофом¹⁰.

Еще раз отметим, что вначале рассматривались вопросы поточечной или равномерной равносходимости, а операторы были заданы на конечных интервалах. Случай бесконечного интервала имеет, конечно же, свою специфику. Здесь наличие равносходимости зависит и от гладкости потенциала q(x), и от поведения потенциала на бесконечности. Исследования в этом направлении были начаты в знаменитых работах Г. Вейля¹¹'¹² 1909-1910 годов.

В монографии Е. Титчмарша¹³ 1945 года представлены основные классические результаты этой теории. В отечественной науке наиболее значимые результаты в этой области связаны, прежде всего, с работами Б. М. Левитана¹⁴ и В. А. Марченко¹⁵. В частности, была доказана равномерная на любом компакте равносходимость спектральных разложений произвольной квадратично суммируемой функции для случая локально суммируемого вещественного потенциала.

Новый импульс тематика получила в 1960-х годах в связи с появлением в работах Н. Данфорда¹⁶, В. П. Михайлова¹⁷ и Г. М. Кесельмана¹⁸ нового понятия — базисности Рисса (или безусловной базисности). Теперь кроме равномерной нормы стали рассматри-

⁶ A. Haar Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. 1910. V.69 №3. P. 331—371; 1911. V.71 №1. P. 38-53.

⁷E. W. Hobson On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions // Proc. London Math. Soc. (3). 1908. V.6 ser.2. P. 349-395.

⁸ Y. D. Tamarkin Some general problems of the theory of linear differential equations and expansions of an arbitrary functions in series of fundamental functions // Math. Zeitschrift. 1928. V.27 №1. P. 1-54.

⁹M. H. Stone A comparison of the series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. V.28 №4. P. 695-761.

¹⁰ G. D. Birkhoff On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. V.9 №2. P. 219-231.

¹¹H. Weyl Uber gewohnliche lineare Differentialgleichungen mit singularen Stellen und ihre Eigenfunktionen // Gottinger Nachrichten. 1909. P. 37-64.

¹²H. Weyl Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitanen und die zugehorigen Entwicklungen willkiirlicher Funktionen // Math. Ann. 1910. V. 68. P. 220-269.

¹³E. C. Titchmarsh Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations // Oxford Univ. Press, 1945.

¹⁴ Б. M. Левитан Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям I, II// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1953. Т.17. С. 331-367; 1955. Т.19 вып. 1. С. 33-58.

¹⁵В. А. Марченко Теоремы тауберова типа в спектральном анализе дифференциальных операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. Т.19 вып.1. С. 381-422.

¹⁶Ж Dunford A survey of the theory of spectral operators// Bull. Amer. Math. Soc. 1958. V.64. P. 217-274.

¹⁷Михайлов В. П. О базисности Рисса в L₂(0,1) // ДАН СССР. 1962. Т.144. С. 981-984.

¹⁸ Г. М. Кесельман О безусловной сходимости разложений по собственным функциям конкретных дифференциальных операторов// Изв. Высших Учеб. Завед., сер. Матем. 1964. Т.39 №2. С. 82-93.

вать норму пространства L/2, а кроме условной сходимости разложений — безусловную. Вообще, начиная с этого времени количество статей, посвященных теме равносходимости, столь велико, что даже их краткий обзор, потребовал бы нескольких десятков страниц, а потому ограничимся упоминанием только направлений исследований и отдельных наиболее знаковых работ. Так, довольно подробно изучались различия между равносходимостью на любом компакте отрезка и на всем отрезке. Здесь значительный вклад был сделан Саратовской математической школой, в частности, отметим работы А. П. Хромова¹⁹'²⁰ 1966 и 1975 года. Вопросы равносходимости на компактах внутри интервала подробно изучались также школой В. А. Ильина²¹'²²'²³.

Изучались вопросы равносходимости для операторов с более общими, нежели регулярные по Биркгофу, условиями. Так, например, в работах А. П. Хромова²⁴ и X. Бенцин-гера²⁵ для операторов высокого порядка был введен более широкий класс S-регулярных (регулярных по Стоуну) краевых условий. При отсутствии обычной суммируемости спектральных разложений Б. В. Лидс ким²⁶ был предложен метод, позволяющий проводить их суммирование методом Абеля подходящего порядка.

В работах А. А. Шкаликова²⁷'²⁸ изучались вопросы безусловной базисности, а также безусловной базисности со скобками системы корневых векторов при регулярных, но не сильно регулярных краевых условиях. Этой проблеме — поиску условий на потенциал, гарантирующих базисность Рисса без скобок в случае регулярных, но не сильно регулярных краевых условий (в частности, периодических и антипериодических условий), посвящены многие работы. Отметим здесь недавние статьи А. С. Макина²⁹, П. Джакова и Б. С. Ми-

¹⁹А. П. Хромов Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Матем. сб. 1966. Т.70. С. 310-329.

²⁰А. П. Хромов О равносходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов второго порядка II // Дифф. уравнения и вычислит, математика. Саратовский ун-т. 1975. Т.5. С. 3-20.

²¹ В. А. Ильин Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометри
ческим рядом спектральных разложений // I. Дифф. уравнения. 1980. Т.16 №5. С. 771-794; П. Дифф.
уравнения. 1980. Т.16 №6. С. 980-1009.

²² В. А. Ильин Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям од
номерного оператора Шрёдингера с комплексным потенциалом класса L\ // Дифф. уравнения. 1991. Т.27
№4. С. 577-597.

²³И. С. Ломов О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами: I, II // Дифф. уравнения. 2001. Т. 37 №3. С. 328-342.

²⁴ А. П. Хромов Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов на конечном интервале // ДАН СССР. 1962. Т.146 №6. С. 1294-1297.

²⁵Н. Е. Benzinger Green's Function for Ordinary Differential Operators // J.Differential Equations. 1970. V.7 №3. P. 478-496.

²⁶Б. В. Лидский О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Труды Моск. мат. об-ва. XI. 1962. С. 3-35.

²⁷А. А. Шкаликов О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора // Успехи матем. наук. 1979. Т.34 №5(209). С. 235—236.

^2SA. А. Шкаликов О базисности собственных векторов квадратичных операторных пучков // Матем. заметки. 1981. Т.ЗО №3. С. 371-385.

²⁹А. С. Макин О сходимости разложений по корневым функциям периодической краевой задачи // Докл. Акад. Наук. 2006. Т.406 №4. С. 452-457.

тягина³⁰, А. А. Шкаликова и О. А. Велиева³¹.

В работах В. С. Рыхлова³² изучалась связь между классом гладкости потенциала q и классом гладкости раскладываемой функции /, гарантирующая наличие равномерной на компактах равносходимости (кроме того, были даны оценки скорости равносходимости). Вообще, вопросы скорости равносходимости в зависимости от номера частичной суммы изучались в статьях многих авторов.

Помимо возмущения потенциалом q{x) оператора —d²/dx², изучались более общие функционально-дифференциальные возмущения. Отметим здесь работы А. М. Гомилко и Г. В. Радзиевского³³'³⁴. В этих работах, а также в работе А. Г. Баскакова и Т. К. Каца-ряна,³⁵ изучается безусловная равносходимость. Отдельной темой стало изучение задач с нелокальными краевыми условиями (отметим здесь только работы А. М. Седлецкого³⁶'³⁷).

Для случая всей оси В. А. Ильиным³⁸ и И. Антониу³⁹ рассматривались вопросы равносходимости на всей оси (в отличие от работ В. А. Марченко и Б. С. Левитана, где равносходимость изучалась на компактных подмножествах оси). Отметим, что в первой главе диссертации изучаются весьма близкие вопросы, хотя метод исследования сходен с методом В. А. Марченко. Обзор этих и других классических результатов по теме равносходимости можно найти в подробной работе А. М. Минкина⁴⁰ 1999 года.

Вопросы равносходимости для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями начали изучаться в начале 2000-х годов. Такого типа операторы были введены А. М. Савчуком и А. А. Шкаликовым⁴¹ в работе 1999 года. Они активно изучались затем в работах различных авторов. По-видимому, первой работой, в которой изучались вопросы равносходимости для таких операторов, стала статья В. А. Виноку-

³⁰P. Djakov, В. Mityagin Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and IDirac operators // J. of Funct. Analysis. 2012. V.263 P. 2300-2332.

³¹0. А. Велиев, А. А. Шкаликов О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма-Лиувилля // Матем. заметки. 2009. Т.85 №5. С. 671-686.

³² В. С. Рыхлое О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффи
циентом при (п - 1)-й производной //ДАН СССР. 1984. Т.279. №5. С. 1053-1056.

³³ А. М. Гомилко, Г. В. Радзиевский Равносходимость рядов по собственным функ- циям обыкновенных
функционально-дифференциальных операторов // Докл. РАН. 1991. Т.316 №2. С. 265-270.

³⁴ С. V. Radzievskii Boundary value problems and related moduli of continuity // Functional Analysis and
Its Applications. 1995. V.29 №3. P. 217-219.

³⁵ A. Г. Баскаков, Т. К. Кацарян Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нело
кальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1988 Т.24 №8. С. 1424-1433.

³⁶ А. М. Седлецкий Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах веществен
ной оси // Успехи матем. наук. 1982. Т.37 №5 (227). С. 51-95.

³⁷А. М. Седлецкий О равномерной сходимости негармонических рядов Фурье // Труды МИАН. 1991. Т.200. С. 299-309.

³⁸В. А. Ильин Равномерная на всей прямой R равносходимость с интегралом Фурье спектрального разложения, отвечающего самосопряженному расширения оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом // Дифф. уравнения. 1995. Т.31 №12. С. 1957-1967.

³⁹В. А. Ильин, И. Антониу О спектральных разложениях, соответствующих оператору Лиувилля, порожденному оператором Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом // Дифф. уравнения. 1996. Т.32 №4. С. 435-440.

⁴⁰A. Minkin Equiconvergence theorems for differential operators // J. Math. Sci. (New York). 1999. V.96. P. 3631-3715.

⁴¹A. M. Савчук, А. А. Шкаликов Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. Т.66 №6. С. 897-912.

рова и В. А. Садовничего⁴², в которой была доказана равномерная на всем отрезке [0,7г] равносходимость в случае

/GLi[0,7r], q = u', ueBV[0,n]

— функция ограниченной вариации, рассматривались краевые условия Дирихле. (Отметим, что для случая q = и', и Є -ВУ[0,7г] оператор Штурма-Лиувилля был определен ранее другими методами и детально изучен, см. монографию Ф. Аткинсона⁴³ и дополнение II М. Г. Крейна и И. С. Каца в ней, а также работу В. В. Жикова⁴⁴). П. Джаков и Б. С. Митягин⁴⁵ установили равномерную равносходимость для такого вида операторов Штурма-Лиувилля с произвольными регулярными краевыми условиями, при этом раскладываемая функция / выбиралась квадратично суммируемой с дополнительными условиями на ее коэффициенты Фурье — суммируемость в квадрате с логарифмическим весом. Серия результатов о равносходимости для операторов с потенциалами — распределениями была получена автором. Эти результаты составляют вторую и третью главу диссертации.

Изучение равносходимости для системы Дирака

-г 0\ fy[(x)\ + fpi(x) р₂(х)\ А/і (ж) О г J \y₂(x)J \рз(х) Pa(x)J \у₂(х)

шло параллельно с изучением оператора Штурма-Лиувилля. Не останавливаясь здесь на подробной истории вопроса, отметим только недавние работы. Периодическая и антипериодическая задачи Дирака с потенциалами Р є L₂ изучались в работах П. Джакова и Б. С. Митягина⁴⁶. В частности, была доказана равномерная на всем отрезке равносходимость для случая квадратично суммируемых потенциала и раскладываемой функции при дополнительных условиях на коэффициенты Фурье одной из функций. Операторы Дирака с негладкими потенциалами рассматривались также в недавних работах М. Ш. Бурлуцкой, В. В. Корнева, В. П. Курдюмова и А. П. Хромова⁴⁷'⁴⁸. В недавней работе А. М. Савчука и А. А. Шкаликова⁴⁹ была доказана базисность Рисса системы собственных и присоединенных функций для системы Дирака с комплекснозначным суммируемым потенциалом и

⁴² В. А. Винокуров, В. А. Садовничий Равномерная равносходимость ряда Фурье по собственным функ
циям первой краевой задачи и тригонометрического ряда Фурье // Докл. РАН. 2001. Т.380 №6. С. 731-735.

⁴³ Ф. Аткинсон Дискретные и непрерывные граничные задачи // М.: Мир, 1968.

⁴⁴В. В. Жиков Об обратных задачах Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т.31 вып.5. С. 965-976.

⁴⁵P. Djakov, В. Mityagin Unconditional convergence of spectral decompositions of ID Dirac operators with regular boundary conditions // Indiana Univ. Math. J. 2012. V.61 №1. P. 359-398.

⁴⁶P. Djakov, B. Mityagin Riesz bases consisting of root functions of ID Dirac operators // Proc. Amer. Math. Soc. 2013. V.141. P. 1361-1375.

⁴⁷M. Ш. Бурлуцкая, В. В. Корпев, А. П. Хромов Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2012. Т.52 №9. С. 1621— 1632.

⁴⁸М. Ш. Бурлуцкая, В. П. Курдюмов, А. П. Хромов Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака // Докл. Акад. Наук. 2012. Т.443 №4. С. 414-417.

⁴⁹А. М. Savchuk, A. A. Shkalikov The Dirac Operator with Complex-Valued Summable Potential, Math. Notes. 2014. V.96 №5. P. 3-36.

сильно регулярными краевыми условиями. Случай регулярных, но не сильно регулярных условий (здесь имеет место базисность Рисса системы двумерных подпространств) был разобран в работе А. М. Савчука и автора. Вопросы базисности для оператора Дирака и более общих систем дифференциальных уравнений первого порядка активно изучаются в работах М. М. Маламуда⁵⁰'⁵¹ и его учеников. Результаты о равносходимости для системы Дирака, полученные автором, составляют четвертую главу диссертации.

Мы привели небольшой обзор известных результатов в области равносходимости. Кратко опишем применяемые на данный момент методы исследований. Со времен работ В. А. Стеклова и Я. Д. Тамаркина наиболее употребительным остается метод, основанный на результатах об асимптотике спектральных характеристик оператора. Это могут быть результаты об асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций оператора (этот метод используется автором во второй и третьей главе диссертации), результаты об асимптотическом поведении резольвенты оператора (автор использует этот метод в четвертой главе диссертации). В случае бесконечного интервала используется асимптотическое поведение спектральной функции оператора (автор применяет этот метод в первой главе диссертации). Известны и неасимптотические методы — метод подобных операторов (он активно используется в работах А. Г. Баскакова⁵² и его учеников), метод, основанный на формуле среднего значения, разработанный В. А. Ильиным и другие.

Таким образом, в настоящий момент вопросы сходимости спектральных разложений для обыкновенных дифференциальных операторов и неразрывно с ними связанные вопросы равносходимости являются темой исследований сразу нескольких авторских групп и отдельных ученых. После сравнения большого числа результатов в этой области автором было осознано — такая постановка впервые была предложена А. А. Шкаликовым — что задачи равносходимости уместно рассматривать в тройках пространств. А именно, нужно указывать пространство, по норме которого изучается сходимость ряда; пространство, которому принадлежит раскладываемая функция; и пространство, которому принадлежит потенциал. Кроме того, необходимо оговаривать способ суммирования ряда — здесь также могут быть различные постановки задач. Например, сходимость ряда может быть условной, безусловной, со скобками, могут применяться различные методы суммирования, ряд может сходится с той или иной скоростью, зависящей от его частичной суммы, наконец, сходимость может быть равномерной по тому или иному множеству потенциалов или раскладываемых функций. (Так, например, в недавней статье А. И. Назарова, Д. М. Столярова и П. Б. Затицкого⁵³ было получено обобщение классической теоремы Я. Д. Тамаркина — была доказана равномерная по шару ||/|| ^ R равносходимость.) Такой общий взгляд на задачу равносходимости позволяет свести вместе и сравнить различные

⁵⁰A. A. Lunyov, М. М. Malamud On the completeness of the root vectors for first order systems// Dokl. Math. 2013. V.88 №3. P. 678-683.

⁵¹M. M. Malamud, L. L. Oridoroga On the completeness of root subspaces of boundary value problems for first order systems of ordinary differential equations // J. Funct. Anal. 2012. V.263. P. 1939-1980.

⁵² A. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженных операторов Дирака с негладкими потенциалами // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т.75 вып.З. С. 3-28.

⁵³A. I. Nazarov, D. М. Stolyarov, and Р. В. Zatitskiy Tamarkin equiconvergence theorem and trace formula revisited // J. of Spectral Th. 2014. V.4 №2. P. 365-389.

известные результаты, и выбрать направление для новых исследований.

Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка новых современных задач и получение новых результатов в теории равносходимости спектральных разложений для операторов Штурма-Лиувилля и Дирака, а также обобщение классических теорем в этой области.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные из них состоят в следующем:

1. Для оператора Штурма-Лиувилля с равномерно суммируемым на всей оси потенциалом получена оценка разности спектральных функций возмущенного и невозмущенного операторов. Исходя из этой оценки, доказана теорема о равносходимости спектральных разложений по норме пространства L^K) для случая, когда раскладываемая функция допускает представление / = dtp + g, где д Є Ь₂(Ж), a tp Є ВУ(Ш).

2. Для оператора Штурма-Лиувилля с равномерно суммируемым в степени р > 1 на всей оси потенциалом получена оценка скорости равносходимости по норме пространства Loo(E) для случая, когда раскладываемая функция / є L\{

3. Для оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и с потенциалом q = и', где и Є L2[0,7r], доказана равносходимость по норме пространства L^O,^], v Є [2,оо], в случае, когда раскладываемая функция / є і^[0,7г], ц Є [1,2], где І/ ц — 1/и ^ 1/2 (в частности, для ц = 2, v = оо).

4. Для оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и с потенциалом q = и', где и Є Wf [0,7г], 0 < 9 < 1/2, получена оценка скорости равносходимости по норме пространства Loo[0, ті"] для случая, когда раскладываемая функция / є L₂[0,7г].

5. Для оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и с потенциалом q = и', где и Є LoofOjTr] и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, доказана равносходимость по норме пространства Loo[0,7r] для случая, когда раскладываемая функция / є Li[0,7r]. При суммировании ряда S_m(f) — S^(f) методом средних арифметических или методом Абеля равносходимость доказана для произвольной функции и Є LoofO,^.

6. Для оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и с потенциалом q = и', где и Є Wf [0,7г], 0 < 9 < 1/2, получена оценка скорости равносходимости по норме пространства Соболева Wf [0,7г] для случая, когда раскладываемая функция

/GL₂[0,7T].

7. Для оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и с потенциалом q = и', где и Є W⁷![0,7г], 0 < 9 < 1/2, доказана равносходимость по норме пространства Гельдера C^fO,^ для случая, когда раскладываемая функция / є L2[0,7r].

8. Для оператора Дирака с произвольными регулярными по Биркгофу краевыми условиями и потенциалом Р є Ь_я[0,п], я є (1,оо], доказана равносходимость по норме пространства L_v[0,tt], и є [1,оо], для случая, когда раскладываемая функция / Є Ь_м[0,7г], її Є [1, оо], если 1/х+ І/її— l/v ^ 1 (за исключением случая к = и = оо, 11=1).

Методы исследования. В работе используются классические и современные методы функционального и комплексного анализа, в том числе, методы асимптотической теории обыкновенных дифференциальных операторов, теории рядов Фурье, теории сингулярных интегралов, теории интерполяции.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы получены с помощью строгих математических доказательств.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов и систем, в теории полугрупп, а также при построении математических моделей различных прикладных задач. Результаты диссертационной работы могут быть интересны специалистам, работающим в МГУ имени М. В. Ломоносова, Математическом институте имени В. А. Стеклова РАН, Институте прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН, СПбГУ и других высших учебных заведениях и научных центрах. Результаты диссертации могут составить содержание специальных курсов для магистров и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах механико-математического факультета МГУ: «Теория операторов> (руководитель — профессор А. Г. Костюченко); «Спектральная теория дифференциальных операто-ров> (руководитель — академик РАН В. А. Садовничий); научно-исследовательский семинар по теории функций (руководитель — академик РАН Б. С. Кашин); «Операторные модели в математической физике> (руководитель — профессор А. А. Шкаликов); научно-исследовательский семинар по тригонометрическим рядам (руководители — профессор А. М. Седлецкий и профессор В. В. Власов); на семинаре факультета ВМК МГУ «Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики> (руководитель — академик РАН В. А. Ильин); на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики Математического института им. В. А. Стеклова (руководитель — член-корреспондент РАН О. В. Бесов) и на семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям факультета физико-математических и естественных наук РУДН (руководитель — профессор А. Л. Скубачевский);

а также на следующих конференциях: Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения> (Саратов, 2002, 2008); Research Seminar «Spectral analysis of differential and difference operators > (Warsaw, Poland, 2002); Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2002, 2005, 2008, 2011); Крымская осенняя математическая школа по спектральным и эволюционным задачам (Ласпи, Крым, 2002, 2005); Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения> (Воронеж;, 2004, 2008); Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы:», посвященная И. Г. Петровскому (Москва, 2004, 2007, 2011); Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ:», посвященная С. М. Никольскому (Москва, 2005, 2015); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014); Международные конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образо-

вания> (Москва, 2008, 2013); Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложе-ния> (Ростов-на Дону, 2008); Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология:», посвященная 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 2008); 8th Workshop on Operator Theory in Krein Spaces (Berlin, Germany, 2008); Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений:», посвященная 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009); International Conference «Infinite-Dimensional Analysis and Topology> (Yaremche, Ukraine, 2009); International Workshop on Operator Theory and Applications (Berlin, Germany, 2010); на научных конференциях «Ломоносовские чтения:» (Москва, 2011, 2016) и «Тихоновские чтения:» (Москва, 2013, 2014, 2015, 2016).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[13]. Из них [1] [12] — статьи в журналах, рекомендованных ВАК. Все работы, кроме [10], выполнены без соавторов. В работе [10] (совместно с А. М. Савчуком) автору принадлежат результаты параграфов 1, 2 и 3; А. М. Савчуку — параграфов 4 и 5.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, каждая из которых разбита на несколько параграфов, заключения и списка литературы, включающего 107 наименований. Полный объем диссертации составляет 204 страницы.

Достаточные условия стремления к нулю разности спектральных функций возмущенного и невозмущенного операторов при больших значениях спектрального параметра

В частности, для любых функций f\ и Є L2[0,7r] ряд (0.3) сходится к f(x) почти всюду на [0,7г].

Наоборот, расходимость в точке х Є [0,7г] ряда (0.2) влечет расходимость ряда (0.3). В частности, существует непрерывная функция f, все разложения (0.3) (т.е. разложения, построенные по произвольному потенциалу и Є L2[0,7r]y) которой расходятся на множестве В мощности континуум (здесь множество В не зависит от и).

Если ряд (0.2) сходится равномерно на некотором множестве А С [0,7г]; то то же верно и для ряда (0.3), причем суммы рядов совпадают.

В частности, для любой функции f ограниченной вариации ряд (0.3) сходится в каждой точке х Є (0,7г) к величине \(f(x — 0) + f(x + 0)).

Если f имеет ограниченную вариацию и непрерывна на некотором интервале (а,/3) С [0,7г]; то ряд (0.3) сходится к f(x) равномерно на каждом подотрезке [а + є, [5 — є], є 0.

Если f имеет ограниченную вариацию, непрерывна на [0,7г] и равна нулю в концах отрезка, то ряд (0.3) сходится к f(x) равномерно на всем [0,7г].

Для любой непрерывной функции f, равной нулю в концах отрезка, ряд (0.3), просуммированный методом средних арифметических, сходится равномерно на [0,7г] к f(x). Следствие 2. В условиях теоремы 2.1 для любой функции f Є LM[0,7r]. /І Є [1,2], имеет место Lv-равносходимость разложения функции f в ряд по системе {2/п(ж)} ! и по системе синусов: in / in пУп(х) - J - 2 Cn sin пх lim m—7 оо 1 1 1 = 0, если -. її v 2 М0,7Г] Следствие 3. Пусть f Є Lp[0}7r] для некоторого р Є (1,оо). Тогда ряд (0.3) сходится к f(x) по норме пространства Ьр[0,7г]. Во втором параграфе изучается скорость равносходимости разложений по системам корневых функций возмущенного и невозмущенного операторов Штурма-Лиувилля на отрезке. При этом мы работаем в шкале Соболевских пространств W2 [0,7г] с нецелым индексом гладкости в Є [0,1]. Обозначим Wh = {fe W\ : /(0) = Дтг) = 0}, Wl = [L2,wl]e, в є [0,1], где [, ] — комплексная интерполяция. Теорема 2.2. Пусть R 0. Рассмотрим оператор L, действующий в пространстве Ь2[0}тг], с граничными условиями Дирихле, потенциал которого удовлетворяет следующим условиям: q(x) = и (х), где комплексно-значная функция и Є W2[0,7r], 0 в 1/2, причем \\u\\we R. Пусть {Уп(%)}=1 — система собственных и присоединенных функций оператора L, {wn(x)}=1 — биортогональная к ней система. Для произвольной функции f Є ІУ2[0,7Г] обозначим Сп = {f{x),wn{x)), сщ0 = y/2/Tr(f(x),smnx). Тогда существует число М = М д Є N такое, что для любого т М Видно, что в оценку скорости равносходимости входит слагаемое сп,о ; скорость убывания к нулю которого зависит только от функции /, но не от потенциала и. Квалифицированные оценки здесь можно получить, если потребовать от / большей гладкости. Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 2.2 функция f принадлежит пространству Ц/ [0,71"] для некоторого т Є [0,1]. Тогда

В третьем параграфе изучается следующий вопрос: какому классу функций должен принадлежать потенциал, чтобы имела место равномерная равносходимость для любой функции / класса L{1 По-видимому, не существует хорошего функционального класса потенциалов, в точности дающего равносходимость для функций из L\. В 3 изучаются различные достаточные условия, обеспечивающие такую равносходимость.

Теорема 2.3. Пусть Ly = —у" + q(x)y - оператор Штурма-Лиувилля, действующий в пространстве L2[0,7r]7 С граничными условиями Дирихле у(0) = у(тг) = 0, где q(x) = и {х), а комплекснозначная функция и Є L , периодически продолженная за отрезок [0,7г]; удовлетворяет условию:

Недостаток условия (0.4) на функцию и состоит в том, что его нелегко проверить. Сформулируем несколько достаточных условий, гарантирующих выполнение (0.4). Определение 2.5. Пусть функция f Є Lp[0}7r] периодически продолжена за отрезок. Ее интегральным модулем непрерывности степени р 1 называют величину uP(f,6) sup І [ \f(t + h)-f(t)\pdt 0 \h\ 6 \ J Если периодически продолженная функция f непрерывна, то ее модулем непрерывности называется величина Woo(f, б) = SUP \f(t + h)-f(t)\. te[0,ir},0 \h\ 6 Следствие 2. Продолжим в условии теоремы 2.3 функцию и периодически за отрезок [0,7г]. Пусть ее интегральный модуль непрерывности степени р для некоторого р Є [1, оо] допускает оценку если р оо; если р = оо. С Sl/p Up [и, д) CJlnSl-1, Тогда имеет место равномерная на всем отрезке [0,7г] равносходимость разложения функции f в ряд по системе {уп(х)}=1 собственных и присоединенных функций оператора и по системе синусов.

Следствие 3. Пусть в условиях теоремы 2.3 функция и Є BV[0}TT}. Тогда имеет место равномерная на всем отрезке [0,7г] равносходимость разложения функции f в ряд по системе {уп(х)}=1 собственных и присоединенных функций оператора и по системе синусов.

Если изменить способ суммирования рядов, то можно добиться того, что равносходимость будет иметь место без дополнительных условий на потенциал. А именно, справедливо

Следствие 5. Пусть Ly = —у" + q(x)y - оператор Штурма-Лиувилля, действуюгций в пространстве L2[0,7r]7 С граничными условиями Дирихле у(0) = у(тг) = 0, гдед(х) = и {х), а комплексно значная функция и Є Loo[0,7r]. Тогда для любой функции f из пространства Li[0,7r] имеет место равномерная равносходимость

Здесь символ (С, 1) перед знаком суммы означает суммирование ряда методом Чезаро средних арифметических. Утверждение сохраняется при суммировании ряда методом Абеля.

В третьей главе изучается равносходимость разложений по системам собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с потенциалами — распределениями в пространствах Соболева и Гельдера. В первом параграфе установлена равносходимость разложений по норме пространства Соболева \\we для случая, когда и Є W[0,7г], 0 в 1/2, а раскладываемая функция / Є L2[0,7r]. Кроме того, получены оценки скорости этой равносходимости, равномерные по шару и Є Вдд = {и : \\u\\we R}. Поскольку пространства С[0,7г] и VK[0,7r] при в Є (0,1/2) находятся в общем положении, то результаты этого параграфа находятся в общем положении с результатами теоремы 2.2 предыдущей главы. Интересно также то, что удается получить оценки скорости равносходимости, по порядку лучшие, чем в теореме 2.2.

Теорема 3.1. Пусть R 0. Рассмотрим оператор L, действующий в пространстве L/2[0,7r], с граничными условиями Дирихле, потенциал кото рого удовлетворяет следующим условиям: q(x) = и (х), где комплексно-значная функция и Є W[0,7r], 0 в 1/2, причем \\u\\we R. Пусть {Уп(х)} =і — система собственных и присоединенных функций оператора L, {wn(x)}=1 — биортогональная к ней система. Для произвольной функции f Є ІУ2[0,7Г] обозначим

Оценки скорости равномерной на [0,7г] равносходимости разложений по системам собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями в случае / Є L2[0,7г], и Є W2[0,7г], 9 є (0,1/2)

Несложно доказывается, что интегралы от произведения q{z)wq n{z, у, т) по треугольникам NN N" и LL L" имеют порядок малости о(Д) при Д — 0. В силу непрерывности Wqyn(z, у, т) по совокупности переменных значение функции wqjn(z,y,r) в точке (г, z) Є NMM N"(LMM L") можно заменить на значение в точке (т , z ), лежащей на прямой NM(LM) с погрешностью о(1) при Д — 0, а интеграл от произведения этой погрешности на q(z) есть о(Д). Уравнения прямых NM и LM таковы: (г, г) Є 7VM : г = + г - ж; (г, г) Є LM :T = t + x-z. (1.22) Высказанные соображения вместе с формулами (1.22) позволяют заменить (1.21) более простым предельным соотношением: dw (х у t) 1 f f Ч,п lim —- / / q(z)wq,n-i(z,y,t-\z-x\)dzdT, dt д о2А (T,z)eNMM N"ULMM L" а так как ширина каждого из параллелограммов NMM N", LMM L" вдоль оси т равна А и z меняется от {x+y—t)/2 до (x+y+t)/2, то, последовательно интегрируя сначала по т (интегралы равны /S.q(z)wq n-\{z,y,t — \z — ж), поскольку подынтегральная функция не зависит от г), а потом по z, получаем следующее выражение для частной производной:

Правую часть (1.24) оценим сверху исходя из того, что наибольшее значение величины t — \z — х\ равно t, а функция (uj(rq))n lrja 2 не убывает по г] Є (0, +оо) при любом п 2. Что же касается интеграла от #(), то он берется по отрезку длины , и, следовательно, согласно (1.1) не превосходит uo{t). Отсюда и из (1.24), учитывая, что (1.24) верно при всех значениях х}у Є К, получаем оценку

Заменяя в (1.25) выражение (uj(t)/2)n его наибольшим значением (cu(b)/2) и интегрируя полученные неравенства по отрезку [0,6], находим

Складывая неравенства (1.26) и (1.20) (в последнем осуществим переход к точной верхней грани по ж, у Є К), получаем оценку

Из (1.19), (1.9) и (1.27) выводим первое из утверждений леммы 2. Второе утверждение следует из того, что в случае х = у величина к, определяемая формулой (1.18), равна нулю, и первое слагаемое в оценке (1.19) в этом случае пропадает . Лемма доказана. Перейдем к выводу основного результата — неравенства (1.8). Доказательство проводится, в основном, методом Левитана-Марченко, но к нему добавлен ряд принципиальных усовершенствований. Именно эти новые соображения позволили перейти от оценок исследуемых функций на ограниченных областях изменения переменных ж, у к оценкам точных верхних граней, взятых по (ж, у) Є М2 и явно предъявить постоянные в полученных неравенствах. Сказанное относится также к двум доказанным выше леммам.

Первая идея доказательства, принадлежащая Б. М. Левитану, состоит в следующем. Разработанный им метод оценок спектральных функций эффективно работает лишь для монотонных функций переменной А. Поэтому рассматриваются вспомогательные функции при всех /І є , что и осуществляется ниже. По аналогии с трансформацией спектральной функции в в функцию и Б. М. Левитан ввел аналогичную трансформацию ядра wq(x,y,t), но только продолжил ее на отрицательную полуось четным образом: Gq{x,y,t) = wq{x,x,t) + 2wq{x,y,t) +wq{y,y,t), t 0, Gq{x,y,t) = Gq{x,y,), t 0. В монографии [30, гл. 7] доказано важное утверждение, которое будет существенно использоваться в доказательстве теоремы. Положим

В дальнейшем потенциал q считаем фиксированным и индекс q у ядер Gq и wq опускаем. 2Лемма доказана Б. М. Левитаном для произвольной четной функции д, имеющей на R кусочно-непрерывную и кусочно-монотонную первую производную и обращающейся в нуль вне интервала (—6, Ь), но используется в доказательстве теоремы только для g(t) = tp(t/b)sm.(Tt)/(Trt), что впервые было осуществлено В. А. Марченко. Для доказательства теоремы потребуется оценка сверху модуля одного интеграла. Обозначим, как обычно,

Доказательство. Поскольку функция имеет на [0; +оо) кусочно непрерывную ограниченную вторую производную и обращается в ноль при t Є [0; 1/2], то, проинтегрировав по частям выражение для S( ), получим +00 О +00 1 //(p(t) - 1\ . \ +00 1 Г /(pit) - 1\" . , где 7Г О, 0 1/2, w l ; -64 + Ж- , 1/2 1, -— t 1 Отсюда +00 +00 S«)(l +a = \ J ( f±) sn tdt - і / ( Ьі)%іп . (1.32 0 0 Оценим по модулю первое слагаемое в (1.32). Обозначим его А( ). Тогда +00 АЮ = ±[( ) ш№ + «. (1.33) 7Г J V t / 7Г 1/2 Если 0 7Г, то первый интеграл в (1.33) отрицателен. Поэтому в случае si() 0 имеем 1 +0О 1/2 1 1 +00 +00 1 f sinrt 7 1 / sinrt 7 1 f sin t 7 1 - / ——dt + - / ——dt - / ——dt = -. 7Г J t 7Г J t 7Г J t 2 1/2 1 0 В случае si() 0 слагаемые в (1.33) имеют разный знак. Следовательно, 1Ж)1 не превосходит наибольшего из модулей этих слагаемых: 3 1 1-4(01 тах{ / {—J ) sin si( )} 1/2 -max J / -dt, si(OJ 1/2 = - max{ln 2 - 5/12, si()} - max{ln 2 - 5/12, 0.3} = —. 71 71 71 Если 7Г, TO ,л/.м 1 fl- ), si(OI ln2-5/12 +I si(01 0.6 71 J t 7Г 7Г 7Г 1/2 Итак, доказаны неравенства Л(0 0.5, 0 тг, Л(0 —, тг. (1-34) 7Г 5Ниже для оценок si() используются неравенства (1.30). Второе слагаемое в (1.32) - обозначим его В() - с учетом явного выражения ҐФ)-І\" для функции I I переписывается в виде +00 1 +00 1 f /ip(t)-l\" . , , 1 [/ пА 2\ . , 2 /" sin# , - / (- j Smtdt = - / (96t - 64:--) sin &dt-- / —-dt. 0 1/2 1 23 2 32 Поскольку, как легко видеть, многочлен 96t — 64—- всюду на отрезке 93 Ї28 t6 положительным, а на отрезке является отрицательным, на отрезке 23 93] —; по модулю меньше 1, то

Равносходимость по норме пространства И 2[0,7г], 9 є (0,1/2), разложений по системам собственных и присоединенных функций оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями в случае / Є L2[0,7г], и Є И7![0,7г]

Вторая глава посвящена изучению спектральных свойств оператора Штурма-Лиувилля L, порожденного дифференциальным выражением (1{у) =-У" + q{x)y (2.1) в пространстве L2[0,7r] И граничными условиями Дирихле у(0) = у {ті) = 0. Предполагается, что потенциал q является распределением, т.е. q(x)=u (x), it Є L2[0,7r]. Производная здесь понимается в смысле обобщенных функций, а функциям может быть комплекснозначной. Операторы такого вида были определены в работе А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [42]. В работах [42] - [43] тех же авторов было доказано, что оператор L является плотно определенным и замкнутым, а его спектр {An} L1 чисто дискретен. При любом А {Хп}Т оператор L — XI фредгольмов с индексами (0, 0), причем обратный оператор (L — Х1) 1 компактен. Оператор L полуограничен снизу, т.е. He(Ly,y) с(у,у), а в случае вещественного потенциала — самосопряжен.

В первом параграфе будет рассматриваться вопрос о равномерной на всем отрезке [0,7г] равносходимости разложения некоторой функции/ Є L2[0,7r] В ряд по системе собственных и присоединенных функций оператора L с разложением / в ряд Фурье по системе синусов (т.е. по системе собственных функций невозмущенного оператора). Эта задача хорошо известна в классической теории операторов Штурма-Лиувилля (в случае, когда потенциал q локально суммируем).

Нам понадобятся некоторые предварительные сведения об операторе (2.1). Следуя работе [42], обозначим через у = у —иу — первую квазипроизводную функции у. Свяжем с дифференциальным выражением (2.1) максимальный оператор LM-, определенный на области (LM) = {у\ у,уМ Є И [0,7г], (у) Є L2[0,TT]}, и минимальный оператор Lm, который является сужением максимального оператора на область ЩЬт) = {у\уЄ Ъ(ЬМ), 2/(0) = у(тг) = 2/[1](0) = (тг) = 0}. Так как функция и(х) — первообразная потенциала — в общем случае комплексна, введем L M и L m — максимальный и минимальный операторы, порожденные сопряженным дифференциальным выражением (у) = —у" + qy. Прямыми вычислениями проверяется, что для введенных операторов справедливо следующее

Утверждение 2.1 (формула Лагранжа). Для функций f Є 1)(LM) и д Є 1)(L M) справедливо тождество (LMf,9) = (f,L Mg) + [f,g]%, e [f,g]l = -іЩх)д х)\1-дЩх)і\х)\1. Отсюда видно, что операторы Ьм и L m взаимно сопряжены, то есть (LMf,g) = tf,L mg), f є 3)(LM), д є 2)(Щ. Введем понятие системы собственных и присоединенных функций оператора L и дадим способ построения биортогональной системы. Обозначим через ш(х, А) решение дифференциального уравнения -ш" + q(x)u = Хсо (2.2) с начальными условиями х (0, А) = 0, x W(0, А) = 1. Тогда собственными значениями оператора L являются нули целой функции ш(іг, А). В силу теоремы существования и единственности, геометрическая кратность каждого собственного значения равна 1. В случае вещественного потенциала все собственные значения являются простыми и присоединенные функции отсутствуют. В случае комплекснозначного потенциала могут появляться присоединенные функции.

Обозначим через {/ІА;}І нули функции бо (7Г,А) без учета кратности (т.е. Mj = Ц-k только при j = к). Нумерацию будем вести в порядке возрастания модуля, а в случае совпадения модулей — по возрастанию аргумента, значения которого выбираются из полуинтервала (—7Г,7г]. Определение 2.1. Цепочкой из собственной и присоединенных функций, отвечающей собственному значению fik, называют систему функций {Укі Укі УРк } г е (L №кІ)Ук = 0 (т.е. уі — собственная функция), (L — fikl)yl = УІ для всех j = 1, ..., pk — 1. Присоединенные функции, вообще говоря, определены неоднозначно. Следуя работе [22], канонической цепочкой назовем любую из цепочек максимальной длины. Длину канонической цепочки (число pk) назовем алгебраической кратностью собственного значения fik Опишем способ построения канонической цепочки. Пусть Цк — ноль функции х (7Г,А) кратности qj . Продифференцировав по Л уравнение (2.2), получим, что функции х д (ж, A), j = 1, 2,.. . , qk — 1, удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Причем 6о д (О, А) = 0. Кроме ТОГО, 6о д (7T,/ifc) = 0, j = 1, . . . ,ф; — 1, Т.К. [Ik — ноль функции бо (7Г, Л) кратности Qk Таким образом, функции ш (ж, Цк), J = 0,1,. .. , qk — 1, образуют цепочку из собственной и присоединенных функций, отвечающую собственному значению /І&. Эта система линейно независима, следовательно, она порождает подпространство размерности q . Заметим (см. [38, Гл. I, 3]), что эта цепочка является канонической, т.е. имеет максимальную длину.

Введем также другую нумерацию собственных и присоединенных функций. Определение 2.2. Под системой собственных и присоединенных функций {Уп(%)}=1 мы будем далее понимать систему =1 Ы;»к)\\ьч. (таким образом, \\уп\\ь2 = 1? еслиуп — собственная функция). Через {\п}=1 обозначим нули функции Ш(ІГ, А) в порядке возрастания модуля с учетом кратности (тогда Lyn = Хпуп для любого п Є N).

Построим теперь биортогональную к {yn} =i систему {wn}=1. Прежде всего заметим, что при любом к система {zi}fS0 , где zi(x) = \ик (ж, /І&), ЯВ-ляется системой из собственной и присоединенных функций для оператора d2 _ _ L = —— + g, отвечающей собственному значению /І&. Теперь с помощью 00 -і конечных линейных комбинаций системы [J {zJk}f=Q построим биортогональ к=\ ную к {уп}і систему. Заметим, что если функция z лежит в корневом подпространстве оператора L , отвечающем собственному значению Д/", а функция у — в корневом подпространстве оператора L, отвечающем собственному значению fik, где к т U т0 функции у и z ортогональны. Действительно, для собственных функций цк(у, z) = (Ly, z) = (у, L z) = щ(у, z), т.е. (у, z) = 0. Если теперь у — первая присоединенная функция, a z — собственная функция, то, учитывая, что ортогональность собственных функций уже доказана, Hk{y z) = (Ly,z) = (y}L z) = fii(y,z). Дальнейшее очевидно. Таким образом, достаточно построить биортогональную систему в каждом корневом подпространстве по отдельности. В случае простого собственного значения получаем:

Оценки скорости равносходимости для случая / є L2

Во втором параграфе получены оценки скорости равносходимости для случая, когда раскладываемая функция / Є L2[0,7r]. Сформулируем некоторые предварительные результаты. Напомним, что собственные невозмущенного значения оператора о,/ имеют вид: л о \(о+п, для четных п, і і Ап= Со = —1пг0, Сі = —ІП21-1, I (j + П, ДЛЯ НечеТНЫХ П, 7Г 7Г где ZQ И Z\ — корни квадратного уравнения ? z2 [J12 + Ju]z - Ju = 0, а значения ветви логарифма фиксируются в полосе Im z Є (—7Г,7г], причем -1 Re(o ReCi + 1 1.

Утверждение 4.20. ([83], теорема 2) Пусть краевые условия U либо сильно регулярны, либо являются условиями периодического типа (уі(0) = суі(тг)}у2(0) = су2(тт), где с = 0). Тогда собственные функции невоз-мущенного оператора о,/ имеют вид У2п\Х) — I а2оег(0хе2гпх J У2п+ЛХ) I (lXег(2п+1)х J где OLj,v, j = 1, 2, z/ = 0,1 — комплексные числа, п Є Z. Соответствующая биортогоналъная система имеет вид ft, „ Є С,;/ = 1,2, і/= 0,1. 5 регулярном, но не сильно регулярном случае ( = (о = (д м пара — соответственно собственная и присоединенная функции невозмущенного оператора, а функции 22«ЛЖ) — I о гС, хр2гпх Ґ/Зі:0егС -хїе-2тх\ Z2n+AX) — I /о _ о / _ гС хрг(2п+1)х (А,1 + А,0(7Г - Х))еК (ъ-х)е-г(2п+1)х ( /32,l- /32,0(7T- ))e V образуют биортогональную систему, п Є Z. 184 Утверждение 4.21. Для любого X Хп оператор 91(A) = (р,и А/)-1 является компактным оператором в пространстве Ш. Если Р Є Ьж, я Є [1,2], то 91(A) является изоморфизмом пространств Ья = (ЬЯ[0}ТГ})2 и Wlu = {у Є (И [0,7г])2 : U(у) = 0}. Кроме того, для любого 5 О вне кружков радиуса 5 с центрами в точках Хп справедлива оценка — матрица фундаментальной системы решений уравнения р(у) = Ау с начальными условиями Е(0, А) = /, где А Є С — произвольное фиксированное число. Как и выше, обозначим матрицу Е(х, Х)Е 1(а, А) через (а, х, А), где О а, х 7Г, А Є С. В параграфе 1 было показано, что Р(п „ \\- (и{а,х,\) 12{а,х,Х)\ щх,Л) 2і(а?а.?Л) п(а,х,\у ji(a,x,X) = eji(x,X)e22(a,X) — Zji{x, A)e2i(a, A), j2{a,x,X) = ej2{x,X)eu{a,X) - е {х, X)e12{a, A), j = 1, 2. где Xt x — характеристическая функция треугольника t x. В утверждении 4.9 было приведено представление для функции Грина оператора Cpjj )= (ш- ))(К:і)=ЙК:і))+ і Ґи{іг,х,Х) -12{ТГ,Х,Х)\ _ fJu кЛ _ f e22{t,X) e12{t,X) \ A(A) \2i{ir,x,X) -22{j\,x,X)) \J13 J23y \-e2i{t,X) -eu(t,X)J В [41] (лемма 3.2) доказано, что если считать потенциал Р, краевые условия U и число 5 0 фиксированными, то вне семейства кружков с центрами в точках Хп радиуса 5 характеристический определитель регулярного оператора Cpjj удовлетворяет оценке А(А) Me ImA, M = M(P,U,6).

Заметим, что если потенциал Р Є LH, то все функции ejk{x,X) принадлежат пространству W .. Следовательно, при А Хп оператор 91(A) действует из (Ья[0,тг})2 В (H fO, ])2, и вне объединения кружков Us(Xn) норма каждой из компонент матрицы 9t(A)f в пространстве W . не превосходит (здесь i,j,k,l Є {1,2}): Cp s(\\{ejk{x, X)yjLJeu{t, X)\\LJ\f{t)\\L c+ + sup \ejk(x,X)eu{x,X)\ \\f{x)\\Lx) CPjU,s\\f{x)\\Lx Таким образом, оценка (4.54) доказана. Кроме того, оператор 91(A) ограничен из пространства (Ья[0,ті])2 в W . v при А Хп. Поскольку, очевидно, он имеет всюду определенный обратный оператор Cpjj — XI, то по теореме Банаха является изоморфизмом этих пространств. Напомним, что для любого Р Є L\ система {yn}nez образует базис Рисса со скобками в пространстве Ш. А именно, существует номер Ао такой, что система подпространств {Но, Hn}\n\ N0 образует базис Рисса из подпространств в пространстве Ш. Здесь Но — подпространство, натянутое на векторы {уп}, п = -2Щ+2,..., 2Щ — 1, а каждое из подпространств T Ln, \п\ Ао, является ЛИНеЙНОЙ обоЛОЧКОЙ ВеКТОрОВ У2П И У2п+1 Изменим в определении частичной суммы Sm(f) выбор базисов в каждом из подпространств Н.о и Н.п, \п\ Ад. А именно, при \п\ NQ положим У2п, 2п+1 — (У2п+1 — (У2п,У2п+і)У2п)/«п, где «п = У2п+1 — (У2п,У2п+і)У2пи В качестве системы {(/?«,}, ті = — 2Щ + 2,...,2Ао — 1, возьмем произвольный ортонормированный базис в пространстве Н.о- Поскольку система 186 { Hoi Hn}\n\ N0 образует базис Рисса со скобками, то построенная система функций {tpn}nez будет образовывать базис Рисса в пространстве Н. Значит, для любого ортонормированного базиса в EI существует ограниченный и ограниченно обратимый оператор, переводящий этот базис в систему {tpn}nez- Через { njnez обозначим систему функций, биортогональную к {tpn}nez- Тогда из формулы (4.23) для частичных сумм будет следовать, что приш No Sm(f) = 2 ( 22п)У2п+ (f,Z2n+l)y2n+l = \n\ m = 2 ( 2п) 2п + (Ґ, 2п+і) 2п+1 n m Зафиксируем произвольный ортонормированный базис {en}nez в HI и обозначим через Т — изоморфизм Н, осуществляющий замену базиса: Т(еп) = (рп. Тогда фп = (Т ) еп. Далее, для произвольной функции f Є ІИ положим єм(ї) — наилучшее приближение функции f по системе {en}n 2W- Очевидно, что для любой функции f Є L . S]y(f) — 0 при N — +оо. Теорема 4.2. Пусть Cpjj — регулярный оператор Дирака с потенциалом Р Є Lx вида (4.5). Тогда для любой функции f Є L i справедлива оценка скорости равносходимости \\SJX) $Ши C(sN(T-lf) + m- jVUf LJ, --- = \. (4.55)

Здесь N No выбирается произвольным, число С = С(Р, U} v) и номер No = Щ(Р, U} v) зависят только от потенциала Р, краевых условий U и индекса v, а индекс т N.

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию f Є L i. Пусть Щ — номер, выбранный выше при построении базиса Рисса из подпространств. Зафиксируем произвольное натуральное N No и положим