Содержание к диссертации
Введение
1 Взаимодействие акустических волн с излучением 20
1.1 Уравнения радиационной гидродинамики 20
1.1.1 Вводные замечания 20
1.1.2 Основные уравнения 24
1.2 Функции относительной флуктуации интенсивности 26
1.3 Оптически серая однородная атмосфера 34
1.3.1 Обобщение формулы Шпигеля для затухания волн . 34
1.3.2 Влияние электронной теплопроводности 44
1.3.3 5-мин колебания в фотосфере Солнца 58
1.4 Обобщение дисперсионного уравнения для
несерой атмосферы 64
2 Взаимодействие акустико-гравитационных волн с излучением в неоднородной среде 70
2.1 Точные решения уравнений в приближении Эддингтона . 71
2.2 Флуктуации интегрального потока излучения 86
2.2.1 Спектр колебаний 86
2.2.2 Вклады тепловых и акустических колебаний в поток излучения и в скорость движения 93
2.3 Взаимодействие волн с излучением в присутствии магнитного поля 96
2.3.1 Уравнение малых колебаний в наклонном магнитном поле и его решение 99
2.3.2 Трансформация и поглощение волн 112
2.4 Неадиабатические колебания в солнечных пятнах 117
2.5 Волны в горизонтальном магнитном поле 123
0-моды как источник шума в МСВ решении проблемы солнечных нейтрино 127
3.1 Постановка задачи 127
3.1.1 Чувствительность флуктуации 129
3.1.2 Магнитный механизм флуктуации плотности . 134
3.2 Основные уравнения для МГД-волн 135
3.2.1 Линейные уравнения 136
3.2.2 Физические переменные 137
3.3 Задача о собственных значениях 139
3.3.1 Решение в области < 1 142
3.3.2 Решение в области > 1 145
3.3.3 Собственные частоты МГД-резонатора 146
3.4 Альвеновский резонансный слой 151
3.4.1 Пространственная зависимость 152
3.4.2 Пространственное положение резонансного слоя . 153
3.4.3 Расстояние между резонансными слоями 154
3.4.4 Ширина резонансных слоев 156
3.5 Флуктуации плотности 158
3.6 Обсуждение результатов 160
Неустойчивые вращательные моды Солнца 166
4.1 Постановка физической задачи 166
4.1.1 Проблема замедления вращения 167
4.1.2 г-моды и волны Россби 169
4.1.3 Закон сохранения потенциального вихря 174
4.1.4 Закон сохранения полной энергии 179
4.2 Базисные уравнения 182
4.3 Неадиабатические колебания 188
4.3.1 Уравнения колебаний 188
4.3.2 Асимптотические решения 199
4.3.3 Краевая задача 203
4.3.4 Дисперсионное уравнение 205
4.4 Неустойчивые квазидвухлетние, 22-летние и 4000-летние колебания 206
4.5 Обсуждение результатов 215
5 Вращательные моды в сферической геометрии 220
5.1 Вводные замечания 220
5.2 Базисные уравнения 223
5.2.1 Равновесное состояние 223
5.2.2 Уравнения колебаний 224
5.3 Традиционное приближение 228
5.4 Обобщение приливного уравнения Лапласа 230
5.4.1 Компоненты скорости движения - 232
5.4.2 Уравнение Хейна 232
5.4.3 Условия возникновения шировой неустойчивости . 239
5.5 Низкочастотные волны 244
5.5.1 Жесткое вращение 245
5.6 Заключительные замечания 260
Заключение 263
Список литературы
- Функции относительной флуктуации интенсивности
- Вклады тепловых и акустических колебаний в поток излучения и в скорость движения
- Основные уравнения для МГД-волн
- Закон сохранения потенциального вихря
Введение к работе
В настоящее время достаточно четко установлено из наблюдений, что многие звезды демонстрируют глобальную колебательную неустойчивость в различных диапазонах частот, зависящих от физических характеристик звезды.1 Если в первом приближении заменить звезду самогра-витирующейся газовой сферой, то теория собственных колебаний сферы позволит предсказать какие классы колебательных движений должны возникать в звездах. К ним относятся сферодиальные и тороидальные моды. Сфероидальные моды являются объемными колебаниями, которые возникают под воздействием градиента давления газа (высокочастотные акустические р-моды) и плавучести (низкочастотные гравитационные д-моды). Тороидальные моды представляют собой вихревое стационарное течение на поверхности сферы.
Медленное вращение, характерное для большинства звезд, может по-разному влиять на указанные колебательные движения. В балансе возвращающих сил доля силы Кориолиса (для медленно вращающейся звезды центробежной силой можно пренебречь как малой поправкой) с уменьшением частоты колебаний возрастает. На частотах ниже частоты вращения она становится доминирующей, что делает движение почти горизонтальным. В присутствии вращения вместо тороидальных стационарных течений возникают известные из теории пульсаций звезд г -моды на инерционной частоте. Свойства р-иоц при этом меняются мало. С ростом порядка д-мод их частота уменьшается и при высоких порядках проис 1Подробный обзор и ссылки на литературу по каждому обсуждаемому вопросу делаются в главах диссертации.
ходит взаимодействие д-мод с г-модами. Современная теория взаимодействия g-мод высокого порядка с вращением сталкивается с серьезными трудностями и имеющиеся в литературе результаты крайне противоречивы. Отметим, что именно такие сверхнизкочастотные моды, периоды которых больше, чем период вращения звезды, являются преимущественно неустойчивыми и регистрируются в наблюдениях.
Солнце является типичным примером медленно вращающейся звезды: (П©/0С)2 « Ю-4 7 С 1, где QQ « 2.86 10 6 сек-1 - характерное значение угловой частоты вращения, Q2 = GM&/RQ - квадрат критической частоты вращения. В соответствии с общей теорией на Солнце также должен возникать весь спектр его собственных колебаний: акустические р-моды, гравитационные д -моды и вращательные г-моды. Акустические р-моды должны сосредоточиваться вокруг частоты wa « с8/2Н 2 Ю-2 сек-1 J cs - скорость звука, Н - шкала изменения давления по радиусу), гравитационные д-моды должны иметь частоты меньше, чем Nmax w 2.7 Ю-3 сек-1 (N - частота плавучести или Брента-Вяйсяля), а вращательные г -моды должны иметь частоты меньше максимума инерционной частоты ujr 2Q©. Заметим, что шг Nmax &а- С переходом от высоких частот ш uja к низким ш шг сам характер течений в волновых движениях меняется кардинально: безвихревое, почти радиальное движение с уменьшением частоты постепенно переходит в вихревое горизонтальное течение. До сих пор не построена единая теория, описывающая оба предела одновременно.
Из возможных собственных мод Солнца до сих пор четко фиксируется в наблюдениях только множество р-мод с максимумом в спектре мощности, соответствующим 5-мин колебаниям. Нерадиальные акустические волны порождаются конвективной турбулентностью и, захватываясь в оболочке Солнца, становятся собственными колебаниями. Только небольшое количество мод, близких к радиальным, проникает в центральные зоны Солнца. Поэтому р-моды содержат в основном информацию об оболочке или о слоях, расположенных недалеко от основания конвективной зоны. Вместе с тем, д-моды (особенно сверхнизкочастотные, которые взаимодействуют с г -модами) являются собственными модами радиационной зоны и их наблюдения становятся потенциальными источниками информации о центральных зонах Солнца. Однако, долгие годы поиска д-мод Солнца до сих пор не увенчались успехом. Возникает естественный вопрос, почему не видны глобальные д -моды Солнца? Естественно, дело здесь не только в малости их амплитуды на поверхности Солнца. Учитывая, что лучистые потери д-мод значительные, то они должны были быть видны в долговременных вариациях потока излучения Солнца.
Теорию собственных колебаний можно считать более или менее завершенной только в том случае, когда она в состоянии объяснить не только наблюдаемые р-моды, но и ненаблюдаемость (или невозможность существования) других мод. Теоретическая гелиосейсмология, призванная объяснить наблюдаемые характеристики р-мод, имеет ряд трудностей. Современные наземные или космические наблюдения с большой точностью фиксируют спектр р-мод. Однако, некоторое различие между вычисляемыми и наблюдаемыми частотами, а также между соответствующими временами жизни собственных мод (мнимые части частот) сохраняется. Традиционно, разность между частотами минимизируется за счет изменения внутренней модели Солнца (в частности, радиальных профилей плотности и скорости звука). Эти поправки считаются одним из важнейших достижений гелиосейсмологии. Считается, что разности между наблюдаемыми и вычисляемыми временами жизни р-мод являются следствием недостаточно точного учета влияния поверхностных слоев Солнца, где происходит взаимодействие акустических колебаний с солнечным излучением. Правильная постановка верхнего граничного условия для теории р-мод, при которой должно учитываться влияние атмосферы на формирование собственных колебаний и перенос излучения, до сих пор остается нерешенной задачей.
Влияние вращения Солнца на его собственные р-моды мало: из-за доплеровского сдвига, создаваемого вращением, частотный спектр р-мод расщепляется. Используя эти малые сдвиги частот и решая обратную задачу, гелиосейсмология позволяет восстановить профиль вращения внутренних слоев Солнца. Оказалось, что вся конвективная зона по широтам вращается как поверхностные слои (экватор вращается быстрее полюса приблизительно на 30%), а по радиусу градиенты вращения очень малы. В основании конвективной зоны возникает узкий пограничный слой толщиной несколько процентов от солнечного радиуса, называемый солнечным тахоклином. В этом слое сосредоточены большие градиенты вращения как по радиусу, так и по широтам. Ниже этого слоя, как минимум до половины радиуса, вращение радиационной зоны близко к твердотельному.
Эти результаты гелиосейсмологии поднимают ряд новых проблем физики Солнца: 1) как должна модифицироваться теория динамо (для объяснения магнитной цикличности), требующая существования сильных радиальных градиентов вращения в области развитой конвективной турбулентности; 2) требуется создание теории возникновения солнечного тахоклина; 3) каков физический механизм выноса из центральных зон Солнца углового момента вращения, приводящего к замедлению вращения радиационной зоны; 4) необходимо выяснить, на что тратится выносимая энергия; 5) как вращается ядро и околоядерная зона Солнца; 6) имеется ли в ядре Солнца магнитное поле, какова его величина и конфигурация?
Нам представляется, что решения всех этих проблем связаны между собой и должны рассматриваться в комплексе. Для перераспределения углового момента вращения требуются сильно анизотропные вращательные колебания, амплитуды которых должны нарастать к центру Солнца. Если магнитная цикличность каким-то образом является следствием таких собственных колебаний (например, вынужденное динамо-модель), то эти моды должны иметь большие масштабы и длинные периоды (годы). Известные г-моды не отвечают этим требованиям. Необходимо выяснить, могут ли другие подклассы вращательных колебаний возбуждаться в солнечных условиях.
Отметим, что методами гелиосейсмологии на основе р-ыоц невозможно решить проблемы, связанные с ядром Солнца. Только некоторые почти радиальные моды могут проникать до центра Солнца, где их амплитуды достаточно слабы и при сглаживании данных в решении обратной задачи происходит существенная потеря информации. Для диагностики центральных областей Солнца необходимо использовать солнечные нейтринные данные. Известно, что нейтрино при их распространении взаимодействует с солнечным веществом. Возмущение плотности может оказать значительное влияние на процесс нейтринных осцилляции. Следовательно, нейтрино, фиксируемые наземными детекторами, являются носителем информации об источниках этих возмущений. Необходимо создать теорию, объясняющую возникновение этих источников и использующую нейтринные данные для диагностики физической ситуации в центральных областях Солнца.
Поставленные выше задачи достаточно обширны и настоящую диссертацию можно считать лишь начальным этапом этих исследований.
Предмет исследований:
1. Вопросы взаимодействия акустических и гравитационных волн с излучением в фотосферных слоях Солнца, где волны становятся максимально неадиабатическими;
2. Свойства g-мод в присутствии магнитного поля в центральных областях Солнца и их возможное влияние на нейтринные осцилляции;
3. Анализ уравнения переноса потенциального вихря и тепловая неустойчивость низкочастотных вращательных мод, связанных с дифференциальным вращением;
4. Нзкочастотные собственные вращательные колебания Солнца с учетом сферической геометрии.
Актуальность проблемы:
В связи с важностью для физики Солнца в целом выводов гелио-сейсмологии относительно изменения стандартной внутренней модели необходимо удостовериться, возможны ли другие решения существующей проблемы. Напомним, что поправки к стандартной модели делаются из-за несовпадения теоретически вычисляемых частот с наблюдаемыми частотами р-мод. Нетрадиционные подходы к решению этого вопроса предполагают, прежде всего, внесение поправок в саму теорию р-мод, а не в физическую модель Солнца. К таким подходам можно отнести исследования влияния конвекции, локальных магнитных полей в атмосфере и возможных гипотетических глобальных магнитных полей в центральных областях Солнца. Мы считаем, что для решения данной проблемы необходимо, прежде всего, разобраться с внешним граничным условием теории р-мод: выяснить роль атмосферы Солнца в формировании собственных акустических мод при учете радиационных потерь.
В связи с только что начавшимся нейтринным экспериментом Кат-LAND ожидается существенный прорыв в физике нейтрино. В этом эксперименте будут уточняться фундаментальные параметры нейтринных осцилляции. В результате появится возможность впервые использовать накопившиеся данные по солнечным нейтрино для диагностики центральных областей Солнца. Однако, для этого требуется создание теоретического базиса для объяснения формирования "шума" в плотности солнечного вещества. МСВ-механизм нейтринной конверсии может модифицироваться для тех нейтрино, которые пролетают через этот шум. Зная из данных экспериментов масштабы, амплитуды и местоположение по радиусу шумов в плотности и используя теорию возникновения этих шумов, можно будет оценить физическую ситуацию в центре Солнца. В связи с этим мы допускаем существование центральных магнитных полей в физически обоснованных пределах и рассматриваем как д -моды запираются в МГД-резонаторах в центре Солнца. Резонансная трансформация д -мод в альвеновские волны может создать требуемый шум для нейтрино, определяемый магнитным полем. Таким образом, из нейтринных данных можно будет определить значение и конфигурацию магнитного поля в центре Солнца. При подтверждении этой теории станет ясно, почему не наблюдаются на поверхности Солнца /-моды.
Теория пульсаций вращающихся звезд имеет серьезные трудности, когда период колебаний больше чем период вращения. Уравнения в сферической геометрии при этом становятся сингулярными и собственные функции вихревых движений не описываются сферическими гармониками Лежандра. В диссертации подробно анализируются эти трудности и в случае твердотельного вращения звезды полученные результаты указывают на способ нахождения собственных функций и частот в этом важном случае.
Теория вращательных мод практически не развита в контексте физики Солнца. Это, по-видимому, связано с тем, что до сих пор отсутствует четкая идентификация подобных колебаний в данных наблюдений. Однако, уже накопилось достаточно много информации, свидетельствующей о возникновении на поверхности или в более глубоких слоях (данные гелиосейсмологии) периодических или квазипериодических явлений с периодом больше половины периода вращения Солнца (или с частотой ш 2QQ ). Например, к таким явлениям можно отнести ожидаемые временные вариации потока солнечных нейтрино с периодами в сутки, месяцы и даже годы, квазидвухлетные и столетние модуляции, обнаруженные в солнечных циклах, 1-3 летние колебания, обнаруженные в солнечном тахоклине, различные долгопериодические модуляции скорости вращения поверхностных слоев Солнца (торсионные колебания), которые до сих пор не имеют теоретического объяснения. Современная теория возникновения солнечного тахоклина (для объяснения его устойчивости и конечной ширины) требует наличия механизма переноса углового момента вращения в горизонтальном направлении. Все эти вопросы прямо связаны с вращательными собственными колебаниями Солнца.
Цель работы:
1. Исследование взаимодействия акустических колебаний с солнечным излучением в условиях фотосферы Солнца. Показать, что именно в фотосферных слоях происходит наибольшее перемешивание акустических мод с диссипативными модами. Рассчитать коэффициент трансформации волн в диссипативные моды. Показать, как влияет на этот процесс неоднородность среды и магнитное поле. Показать, как в несером приближении (когда коэффициент непрозрачности среды зависит от частоты оптического излучения) флуктуации интенсивности излучения зависят от частоты излучения.
2. Предполагая существование магнитного поля в центральных областях Солнца, исследовать свойства д-мод в среде с магнитным полем. Показать, как образуются МГД-резонаторы в центре Солнца, где происходит запирание g-мод. Подготовить теоретический базис для диагностики физической ситуации в ядре Солнца по данным о солнечных нейтрино.
3. Провести подробный анализ уравнения переноса потенциального вихря. Показать, что при дифференциальном вращении звезды возможно возникновение нового подкласса вращательных колебаний, которые качественно отличаются от известных г-мод. Решая задачу о собственных значениях, найти спектр этих вихревых волн. Исследовать механизмы неустойчивости рассматриваемых колебаний.
4. Вывод общего дифференциального уравнения в частных производных, которое описывает все виды гравитационных и вращательных мод и их взаимодействие в дифференциально вращающейся сфере. На основе этого уравнения провести анализ существующих проблем теории пульсаций звезд при низких частотах. Обсудить условия возникновения шировой неустойчивости, связанной с дифференциальным вращением. Провести подробный анализ распределения собственных функций по сферической поверхности.
Функции относительной флуктуации интенсивности
В этом случае для геофизических ситуаций более общее дисперсионное уравнение неадиабатических акустических колебаний в поле излучения с учетом рассеяния излучения в несерой среде выведено впервые Прокофьевым [191]. Однако, детальное исследование полученного уравнения в работе не проведено. Далее Голицын [112] с целью изучения взаимодействия акустических волн в земной атмосфере с излучением рассмотрел случай однородной оптически несерой среды в ЛТР приближении для оптически тонких возмущений.
Однако, для астрофизических приложений требуется построить более общую теорию, включающую в себя оба предельные (оптически тонкие и оптически толстые) случая. Первым и значительным шагом в этом направлении является применение приближения Эддингтона, см.,например, [242]. В этой работе выведены уравнения радиационной гидродинамики в рамках приближения ЛТР без учета динамических эффектов в переносе излучения. Динамические эффекты переноса излучения были учтены в [171] для волн в однородной бесконечной среде. Приближение Эддингтона предполагает следующее соотношение между средними значениями потока излучения (F) и интенсивности излучения (J): F = (47r/3%)VJ. Это превращает систему интегро-дифференциальных уравнений в систему дифференциальных уравнений. Приближение Эддингтона, строго говоря, выведено для случая, когда имеет место равновесный перенос излучения в недвижущейся среде. Поэтому это приближение для волн лучше применимо, когда возмущения являются почти оптически толстыми, нежели оптически тонкими. Свойства приближения Эддингтона в случае динамического переноса излучения исследованы в [172]. В этой работе в более общем виде изучены радиационно-гидродинамические волны в однородной оптически серой атмосфере в приближении Эддингтона. В эту модель в дальнейшем были включены эффекты, связанные с электронной теплопроводностью [129]. В работе [11] мы обобщили эту теорию на случай без применения эддингтоновско-го приближения.
Исследование условий применимости приближения Эддингтона для случая волновых движений в излучающей среде является важной задачей и она будет рассмотрена в данной главе. Здесь наша цель состоит в детальном анализе свойств волн и релаксационных мод в излучающей атмосфере с учетом электронной проводимости тепла, но без приближения Эддингтона для поля излучения. Мы будем обсуждать условия применимости формулы Шпигеля и приближения Эддингтона, когда в излучающей среде распространяются возмущения. Для этого будем использовать обобщенное дисперсионное уравнение, полученное на основе точного решения уравнения динамического переноса излучения.
Основные уравнения
Основные уравнения радиационной гидродинамики для идеального газа при малых скоростях, v2 С с2, где с - скорость света, в эйлеровском описании в лабораторной системе отсчета записываются как [172]:
Здесь g - ускорение силы тяжести, p - массовая плотность газа, р - давление газа, Т - температура, se - энтропия газа, R - газовая постоянная. Здесь мы рассматриваем динамические процессы, для которых функция теплообмена Q определяется только лучистыми потерями и выражается через интегрированные величины радиации: F - поток излучения, Р -тензор давления излучения (или тензор эддингтоновского напряжения), Е - плотность потока энергии излучения, «7 - средняя интенсивность. Индексы v указывают на величины поля излучения на оптической частоте v. Параметы без индекса и будут означать, что уравнения проинтегрированы по всем оптическим частотам v. Интегральные величины радиации определяются интенсивностью излучения Iv{r, ; n), которая является решением уравнения переноса излучения. Интенсивность, в свою очередь, определяется коэффициентом непрозрачности среды хДг, t; n), функцией источника излучения Sv = Яи/Xv (где с„ - коэффициент излучения) и зависит от пространственных координат г, времени t и направления луча п в заданной точке на поверхности. Положение луча п определяется двумя углами - углом между лучом и внешней нормалью поверхности излучающего элемента $ и азимутом этого элемента ср . В общем случае уравнение сохранения момента движения в (1.1) содержит также момент радиационного поля. В теории звезд обычно применяется диффузионное приближение для переноса излучения и величиной V Р в уравнениях пренебрегается по сравнению с Vp. В этом случае переменные, связанные с радиацией, остаются только в уравнении сохранения энергии. Однако, как будет показано ниже, такой подход не всегда оказывается приемлемым, в частности, когда рассматриваются нестационарные процессы, такие как пульсация звезд. В общем случае систему уравнений (1.1) можно решить только численно. Однако, когда решается динамическая задача в присутствии переноса излучения, резко усложняется постановка граничных условий. Поэтому любые, даже слишком идеализированные, аналитические решения уравнений радиационной гидродинамики оказываются очень полезными при решении задачи в общем виде. Одним из таких идеализированных случаев является приближение однородной среды. Если предположить, что все термодинамические величины претерпевают малые изменения на длине свободного полета фотона и на длине волны, то приближение однородной среды может быть применено. Это позволяет решить уравнения точно.
Из уравнения переноса излучения в (1.1) следует, что угловая зависимость интенсивности излучения (распределение интенсивности по диску Солнца) будет различной при разных оптических частотах v. Угловые изменения интенсивности выходящего из фотосферы луча по диску при заданной, оптической частоте по сравнению с интенсивностью в центре диска характеризуются функцией потемнения к краю. Как мы увидим в дальнейшем, в результате взаимодействия акустических волн с излучением возникают флуктуации интенсивности излучения. Как и в равновесном состоянии, угловые зависимости флуктуации интенсивности также зависят от оптической частоты v. Поэтому функции потемнения к краю диска будут осциллирующими функциями. Кроме этой функций для описания осцилляции интенсивности излучения, вызванных р-акустическими модами, вводится дополнительная, новая функция: функция "видимости" р-мод (visibility function of р-modes). Эта функция характеризует связанные с р -модами относительные изменения интенсивности луча (при фиксированной оптической частоте), выходящего из заданной области диска Солнца. Этой областью может быть: задан -27 ная точка диска, из которой выходит луч под углом #; часть диска, из которой принимается интегральный поток излучения в соответствии с шириной фильтра принимающего устройства (например, как в космических экспериментах по измерениям флуктуации яркости) или целый диск, когда Солнце рассматривается как звезда. В последнем случае, например, функции "видимости" - это относительные флуктуации яркости всего диска на заданной длине волны излучения по сравнению с яркостью диска в равновесном излучении. Значения этих функций непосредственно измеряются в экспериментах гелиосейсмологии.
Вклады тепловых и акустических колебаний в поток излучения и в скорость движения
Задавая одну из физических величин, (2.49) или (2.50), при заданной частоте колебаний можно найти неизвестную постоянную С\, и тем самым однозначно определить остальные физические величины. Для того, чтобы провести сравнение с наблюдениями, будем задавать амплитуду вертикальной компоненты скорости. Допустим, что на уровне го фотосферы (в модели задачи) измеренное значение вертикальной компоненты скорости на частоте Оо равно VQ .
Поскольку нашей целью является оценка зависимости флуктуации уходящего из наружных слоев Солнца интегрального потока излучения (который регистрируется в наблюдениях), то значение оптической глубины г, входящей в формулу (2.56), должно быть очень маленьким. При расчетах будем считать, что г 10 6 (верхняя фотосфера). Формула (2.56) содержит также и амплитуду колебаний скорости V(TQ, ПО) J которая зависит от оптической глубины го. Значение 7 = 0.7 соответствует нижним слоям фотосферы. Известно, что именно из этих слоев выходит основной поток излучения и измерения флуктуации скорости обычно проводятся для этой области. Из стандартной модели фотосферы Солнца [244] для нашей модели выберем параметры уровня Т5000 = 0.7 (в единицах СГС): Т0 = 6300, poo = 0.24 - Ю-6, роо = 0.9 105, хоо = 0.16 10"6, 7 = 1.61, ср = 0.16-109.
Допустим, что на уровне TQ для колебаний с периодом 5 мин (По та 0.47) значение амплитуды вертикальной компоненты наблюдаемой скорости равно: VQ = 15 см/сек. Тогда можем построить спектр флуктуации потока излучения. Этот спектр для вертикальных колебаний (/ = 0) приводится на рисунке 2.5. По горизонтальной оси отложена частота ко -91 лебаний v в мГц (и — lisv}. Как видно из рисунка, спектр имеет максимум для колебаний с периодом « 5 мин, а относительная величина амплитуды флуктуации потока порядка Ю-5 .
Следует отметить, что при выводе формулы (2.56) мы предполагали, что для всех частот С\ имеет одинаковое значение. В действительности С\ является функцией частоты колебаний: С\ — С\{у). Этот параметр характеризует степень возбуждения р-мод с заданной частотой. Современная теория генерации 5 мин колебаний турбулентной конвекцией, с подбором соответствующего размера конвективной ячейки и длины перемещения, в принципе объясняет максимальную передачу энергии в 5 мин колебания [175]. Теория определяет степень возбуждения волн Ci2, которая имеет максимум на частоте v — 3.3 мГц. Исходя из этого, для простоты можно аппроксимировать Ci(z/), или наблюдаемый спектр флуктуации скорости V{y) ядя. пятиминутных колебаний, гауссовой кривой: где Vo,m - амплитуда колебаний скорости в максимуме спектра с частотой г/с, а Av - полуширина этого спектра. С учетом (2.57) из (2.56) получаем теоретический спектр неадиабатических колебаний в флукту-ациях потока излучения по заданному спектру флуктуации скорости. Этот спектр для радиальных колебаний (/ = 0) приводится на рисунке 2.6. При расчетах использованы значения: vc = 3.1 мГц, Av = 1.02 мГц, Vo,m = 15 см/сек. Видно, что максимум спектра приходится на колебания с периодом 300 сек. Форма спектра р-мод при наблюдениях по флуктуациям яркости и доплеровским смещениям оказывается различной. Амплитуда флуктуации яркости оказывается порядка Ю-5 при амплитуде колебаний скорости 15 см/сек. Это находится в хорошем согласии с данными наблюдений из трех международных космических экспериментов: IPHIR/PHOBOS [99], ACRIM/SMM [256] и ДИФОС/КОРОНАС-И [150]. Для сравнения с нашими результатами, на
Зависимость амплитуды флуктуации интегрального потока излучения Солнца F z (нормированной на интегральную функцию Планка В0) от частоты колебаний. Амплитуда вертикальной компоненты скорости движения Vo = 15 см/сек. Расчеты проведены для радиальных колебаний Солнца.
Теоретический частотный спектр неадиабатических колебаний в флуктуациях интегрального лучистого потока Солнца, вычисленный по заданному спектру флуктуации скорости (амплитуда скорости Vo,TO = 15 см/сек). Расчеты проведены для радиальных колебаний.
Данные наблюдений флуктуации интегрального потока излучения Солнца из космического эксперимента IPHIR/PH0B0S (звездочки соответствуют 1 = 0, треугольники - / = 1) и теоретические кривые для возмущений интегрального лучистого потока, полученные по реальной модели Солнца с учетом неадиабатических эффектов (сплошная кривая - / = 0 , пунктирная кривая -1 = 1). рисунке 2.7 приведены данные наблюдений флуктуации потока излучения из эксперимента IPHIR [99, 236]. Там же нанесены теоретические кривые для возмущений потока, полученные из численных расчетов для реальной модели Солнца с учетом неадиабатических эффектов [236]. Эти результаты, в отличие от наших, не дают наблюдаемое (или близкое к наблюдаемому) значение для амплитуды флуктуации яркости на частоте 3.3 мГц и не могут объяснить характер поведения спектра.
Основные уравнения для МГД-волн
Влияние магнитного поля на глобальные колебания Солнца является предметом многочисленных исследований. Если допустить, что внутри Солнца крупномасштабное магнитное поле имеет значение того же порядка величины, что наблюдается на поверхности ( j 10 Гс), то роль этих полей для собственных колебаний должна быть незначительной. Однако, собственные колебания могут эффективно взаимодействовать с более сильными локальными магнитными полями, например, [230, 231, 254, 255, 71, 160, 270, 271, 272, 273]. Известно, что солнечная атмосфера, особенно ее верхняя часть, является сильно структурированной из-за присутствия магнитного поля. Сильно замагниченные активные области делают атмосферу неоднородной, как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении [137]. Например, в плоскопараллельной атмосфере вместо обычных звуковых волн появляются ускоренные и замедленные магнитозвуковые волны, а также дополнительно альвеновские волны. Изменение дисперсионных свойств волн с учетом магнитных эффектов рассматривалось в ряде работ (см., например, обзоры [222, 86]), большинство которых посвящено адиабатическим колебаниям. Поскольку сильные локальные магнитные поля сосредоточены в оболочке (атмосфере) Солнца, достаточно рассмотреть задачу о распространении волн в плоско-параллельной среде.
Общая теория распространения адиабатических магнито-акустико гравитационных (МАГ) волн в проводящей солнечной атмосфере с магнитным полем встречает значительные трудности, так как в общем случае проблема сводится к решению дифференциального уравнения шестого порядка с переменными коэффициентами. Сильная зависимость коэффициентов от высоты не позволяет решить задачу в общем виде как в случае однородной атмосферы. Значительные успехи в этом направлении достигнуты в том случае, когда реальная атмосфера заменяется изотермической атмосферой с постоянной скоростью звука. Это приближение позволяет рассмотреть сильную неоднородность по другим термодинамическим величинам. В работе [95], например, приводится метод отыскания решений для адиабатических волн в горизонтально стратифицированной изотермической атмосфере, но найдены только асимптотические решения. Следует отметить работы [68, 180], в которых решение волнового уравнения выражается через вырожденные гипергеометрические функции для случая изотермической атмосферы в однородном горизонтальном магнитном поле и для волны с горизонтальным волновым вектором, направленным вдоль поля. Рассмотрение свойств адиабатических колебаний для общего случая - для произвольного направления распространения волн относительно магнитного поля - затрудняется еще и тем, что в атмосфере возникают сингулярные уровни (альвеновские и каспо -98 вые резонансы), в которых сосредоточивается основная часть волновой энергии. Самый общий случай, когда присутствуют оба сингулярных уровня горизонтального магнитного поля на пути распространения волн в изотермической атмосфере, рассмотрен нами в работе [7]. В этом случае решение МГД-уравнений выражено через функции Хейна. Наиболее общий из всех до сих пор аналитически исследованных случаев - это случай изотермической атмосферы в наклонном магнитном поле [259, 266, 265]. В этих работах на основе аналитического решения МГД-уравнений, которые выражаются обобщенными гипергеометрическими функциями Мейе-ра, построена линейная адиабатическая теория распространения и трансформации волн в активных областях Солнца. В работах [1] - [4] эти результаты обобщены на случай, когда скорость звука зависит от высоты. Это достигнуто путем замены изотермической атмосферы атмосферой со слоями, у которых температуры различаются.
Обобщение теории адиабатических МГД-волн для случая распространения колебаний в излучающей атмосфере является весьма сложной задачей. Случай однородной атмосферы рассмотрен в работе [65]. Обобщение теории адиабатических МГД-колебаний на неадиабатический случай выполнено впервые в [211]. Здесь исследован случай, когда время радиационной релаксации температурных неоднородностей в оптически тонкой атмосфере не зависит от высоты. При этом найдены асимптотические решения уравнений и подробно исследованы свойства колебаний. В данном разделе развивается линейная аналитическая теория распространения неадиабатических МАГ-волн в сжимаемой проводящей вертикально стратифицированной диссипативной атмосфере с произвольно направленным однородным магнитным полем. Исследуются оптически тонкие возмущения, для которых функция лучистого теплообмена подчиняется ньютоновскому закону охлаждения.
Закон сохранения потенциального вихря
Найденное нами аналитическое решение (2.74) позволяет рассмотреть задачу о трансформации МГД-волн с учетом потерь на излучения. Трансформация адиабатических МГД-волн наиболее подробно исследована в работах [259, 266, 218, 263]. Такая постановка задачи возможна благодаря тому, что через функции Мейера можно установить связь между разложениями на известные типы колебаний в сильном и слабом магнитном полях. Мы рассмотрим задачу о распространении снизу определенного типа волн, которые возникают в области слабого магнитного поля. Волны распространяясь вверх, частично отражаются (R), частично трансформируются (так называемая отражательная трансформация) в идущие вниз затухающие атмосферные волны (TR) и частично превращаются (Т) в волны сильного магнитного поля, которые в свою очередь, затухают вследствие радиационных потерь. Энергетические коэффициенты отражения и трансформации определим как отношение вертикальных компонент потоков энергии соответствующих (отраженных и трансформированных) волн к потоку энергии падающей волны. Достаточно сложные расчеты для этих коэффициентов дают: где ai,2 и At2 определены соответственно в (2.83) и (2.77). Громоздкие выражения для Т и Т приводятся в [9, 17]. Следует отметить, что в отличие от коэффициента отражения R, коэффициенты трансформации TR и Т зависят от высоты в атмосфере (через ). Это происходит из-за того, что атмосферные и замедленные волны являются неадиабатическими и радиационно затухают (их декременты соответственно осі и /). В адиабатическом и изотермическом пределах декременты а. и / для бегущих волн равны нулю и выражения (2.87) - (2.88) переходят к соответствующим коэффициентам, полученным в работах [259, 266].
Отметим, что энергетические коэффициенты R, Гд и Т справедливы в случае, когда атмосферными волнами в слабом магнитном поле являются акустические волны, для которых выполняется условие: Q2 к (т.е.и;2 дкх). В случае, когда происходит трансформация гравитационных волн, в этих коэффициентах необходимо изменить знак а\. Как видно из выражений (2.87) и (2.88), на достаточно далеких от уровня взаимодействия расстояниях, в нижних и верхних слоях атмосферы, значения Тп и Т приближаются к нулю из-за радиационного затухания колебаний, но при этом всегда выполняется условие R 1. Для теории нагрева атмосфер представляет интерес оценка общей доли поглощаемой энергии:
Коэффициент поглощения Q является довольно сложной функцией безразмерной частоты Q и безразмерного волнового числа к , а также наклона магнитного поля а и времени радиационной релаксации iR. В общем случае:
Однако в квазиадиабатическом и квазиизотермическом пределах декременты затухания волн стремятся к нулю, и Т и Т становятся коэффициентами трансформации падающих волн в бегущие волны, a Q определяет долю суммарной энергии в этих волнах. Условия возникновения бегущих водн в квазиадиабатическом и квазиизотермическом пределах определяются соответствующими частотами отсечки. При малых к акустическая частота отсечки: в адиабатическом пределе: Qac « 0.67і/2 в изотермическом пределе: Пас и 0.5
Для замедленных волн в сильном поле частота отсечки не зависит от k: в адиабатическом пределе: Qs = 0.5 cos (fy1 2 в изотермическом пределе: Qs — 0.5 cos р Видно, что Qs Qac. В вертикальном магнитном поле (ср = 0) имеем: Qs = Qac. Рассмотрим разные диапазоны частот. При условии П Qs получаем : Т = Т = Q = О, т.е. происходит полное внутреннее отражение волн. При П Qs происходит трансформация и в замедленные волны (Г 7 0) и в неадиабатическую акустическую волну (Т ф 0). Если выполняется условие Qs fi &ас (что возможно только в наклонном магнитном поле), то происходит превращение только в замедленные волны (Т ф 0), а акустические волны становятся поверхностными: Т — 0.
С целью приложения к солнечным фотосферным колебаниям в области пятен, рассмотрим диапазон частот Q = 0.4 -f- 1, который включает в себя 3-5 мин колебания, а длину горизонтальной волны выберем порядка характерного размера пятна, что соответствует к 0,1. В зависимости от рассматриваемой высоты в атмосфере, волны с частотой и могут быть квазиадиабатическими (u)tR 1) или квазиизотермическими (u tR С 1). На уровне, где utR « -у-1/2, происходит максимальное взаимодействие колебаний с радиацией [10]. Этот уровень для диапазона частот Q = 0.4 -J- 1 соответствует фотосферным слоям и выше. Таким образом, волны в этих областях становятся сильно неадиабатическими и должны более эффективно затухать.
Зависимость полного коэффициента радиационного поглощения Q от параметра неадиабатичости wtR в вертикальном магнитном поле (например, в центре тени пятна) приведена на рисунке 2.13. В адиабатическом пределе (wtn — оо ) для всех указанных на рисунке частот кроме Q = 0.8 происходит полное внутреннее отражение падающей волны. При этом акустические волны в сильном поле превращаются в поверхностные волны: Т = Т = 0.
