Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Изученность решения задачи струк турных построений по скважинным и сейсмическим данным 21
1.1. Постановка задачи структурных построений на основе статистической модели 26
1.2. Модели в задачах структурных построений 29
1.2.1. Модели структурных построений при отсутствии дополнительных данных 31
1.2.2. Модели использования априорной информации и дополнительных данных 35
1.3. Алгоритмы выполнения структурных построений 37
1.3.1. Сеточный алгоритм выполнения структурных построений 37
1.3.2. Алгоритмы прогноза средней скорости по данным эффективных скоростей 38
1.4. Оценка погрешности и критерии выбора алгоритма
структурных построений 39
1.4.1. Внутренние оценки погрешности структурных построений 39
1.4.2. Критерии выбора алгоритмов структурных построений 41
1.4.3. Оценки, характеризующие погрешность выполненных структурных построений 42
Глава 2. Анализ методов оценивания, применяемых для решения задачи структурных построений 45
2.1. Методы интерполяции и фильтрации данных 45
2.1.1. Анализ методов интерполяции 46
2.1.2. Линейная относительно данных интерполяция 55
2.1.3. Оптимальная интерполяция — крайгинг 60
2.2. Привлечение априорной информации и дополни тельных данных для улучшения прогноза 68
2.2.1. Методы на основе гипотезы универсального крайгинга 69
2.2.2. Многомерные геостатистические методы оценивания 75
2.2.3. Подходы построения оценки в условиях нестационарной линейной зависимости прогнозируемой переменной от дополнительных данных 80
Глава 3. Алгоритмы структурных построений на основе статистической модели по скважинным и сейсмическим данным 90
3.1. Алгоритмы интерполяции сейсмических и скважинных данных 90
3.1.1. Интерполяция параметров сейсмических данных 90
3.1.2. Интерполяция скважинных данных 95
3.2. Профильный алгоритм 97
3.2.1. Современный вид профильного алгоритма 97
3.2.2. Практическая реализация алгоритма 99
3.2.3. Апробация профильного алгоритма 99
3.3. Адаптивный алгоритм построения непрерывных оценок в условиях нестационарной линейной зависи мости прогнозируемой переменной от дополнитель ных данных 103
3.3.1. Алгоритм построения непрерывных адаптив ных геостатистических оценок 103
3.3.2. Апробация алгоритма адаптивной комбина ции оценок 105
3.4. Алгоритм построения оценки средней скорости по данным эффективных скоростей и скважинным данным 113
3.4.1. Последовательность операций алгоритма 114
3.4.2. Результаты опробования алгоритма 126
3.5. Алгоритм структурных построений с использовани ем данных глубин, определённых по эксплуатационным скважинам 131
3.5.1. Качественная оценка погрешности данных глубин, определённых по наклонным скважинам 131
3.5.2. Оптимальная интерполяция неравноточных данных эксплуатационных скважин 136
3.5.3. Построение модели случайной функции по наблюдаемым данным 138
3.5.4. Результаты опробования алгоритма 147
3.6. Построение карт стандартных отклонений прогноза глубин 152
Заключение 155
Литература
- Модели структурных построений при отсутствии дополнительных данных
- Линейная относительно данных интерполяция
- Многомерные геостатистические методы оценивания
- Адаптивный алгоритм построения непрерывных оценок в условиях нестационарной линейной зависи мости прогнозируемой переменной от дополнитель ных данных
Введение к работе
Объектом исследований в настоящей работе являются геостатистические методы оценивания и алгоритмы структурных построений границ раздела геологических тел по данным сейсмических исследований методом общей глубинной точки (МОГТ): временам слежения отражающих горизонтов по мигрированным сейсмическим разрезам; эффективным кинематическим параметрам, определяемым в ходе скоростного анализа сейсмограмм, и данным геофизических исследований скважин — глубин геологических границ, — на предмет создания новых, более эффективных алгоритмов структурных построений и способов оценивания.
Актуальность. Одна из основных задач интерпретации сейсмических данных состоит в выполнении структурных построений — прогноза глубин границ раздела геологических тел. При структурных построениях используются данные о границах раздела геологических тел, определённые по скважинным наблюдениям, времена слежения отражающих горизонтов по мигрированным сейсмическим разрезам и эффективные кинематические параметры, определяемые в процессе обработки сейсмических данных.
Точность оценки запасов месторождения углеводородов более чем на 50% определяется точностью построенной структурной модели этого месторождения [Thore et al., 2002]. А наибольшая неопределённость глубинной модели возникает именно на этапе структурных построений.
Технология процесса интерпретации, включающая в себя корреляцию осей сипфазности по временным разрезам, интерполяцию, операции над сеточными функциями, графическое представление результатов и т.п., бурно прогрессировала в последние два десятилетия. В то же время вопросы, связанные с обоснованием гипотез, моделей, с анализом точности и оптимизацией алгоритмов структурных построений не получили практического применения. Более того, алгоритмы прогноза глубин геологических границ трансформировались в соответствии с появляющимися
технологическими средствами. При этом, критериями выбора технологических средств при построении алгоритмов были простота и скорость выполнения операций, а не оптимизация достоверности структурных построений.
Основным недостатком существующих практических алгоритмов оценивания глубин геологических границ является непроработанность используемых на практике гипотез и соответствующих им математических моделей. Под моделью зачастую понимается только одна её составляющая, связывающая значения времён слежения горизонтов с глубинами геологической границы. Другие составляющие (достоверность и пространственное распределение имеющихся сейсмических и скважинных данных) присутствуют в неявном виде.
Попытка внедрения вероятностных и статистических моделей решения структурных задач [Кивелиди и др., 1982], предпринятая около 20 лет назад, не получила широкого практического применения из-за несовершенства методологии изучения статистических свойств исследуемых объектов, и, в основном, из-за отсутствия на тот период мощных вычислительных средств. На сегодняшний день, благодаря появлению более совершенных компьютеров, широкое практическое применение получили статистическая модель описания геологических объектов и геостатистическая методология [Matheron, 1971] изучения статистических свойств исследуемых объектов с помощью структурного анализа, а также методы многомерного оценивания и включения в статистическую модель априорной и дополнительной информации, получаемой в ходе обработки и интерпретации сейсмических данных [Omre, 1987, Xu et al., 1992, Chiles and Delfmer, 1999, Дюбрул, 2002].
В связи с вышесказанным, возникает необходимость в разработке новых более эффективных и оптимальных, в соответствии с минимизацией погрешностей прогноза, способов оценивания и алгоритмов структурных построений на основе статистической модели с применением геостатистической методологии.
Цель работы — повышение точности прогноза глубин отражающих горизонтов в сложных сейсмогеологических условиях путём разработки новых способов построения оценок и алгоритмов выполнения струк-
турных построений на основе статистической модели по сейсмическим и скважинным данным.
Задача исследований — с использованием методологии структурного анализа и геостатистических методов разработать новые алгоритмы построения оценок, реализующие их программы и алгоритмы структурных построений для получения прогнозов глубин геологических границ по скважинным и сейсмическим данным различной полноты и достоверности, а также оценки стандартного отклонения погрешностей этих прогнозов.
Методы исследований и фактический материал.
Теоретической основой для решения задачи является раздел теории вероятностей — теория случайных .функций. Для изучения структуры статистической модели наблюдаемых данных используется геостатистическая методология прикладного моделирования — структурный анализ. В работе использовались методы: регрессионного анализа, геостатистические методы оптимального оценивания, пространственно весовой регрессии, линейной алгебры, а также ресурсоёмкие компьютерные системы геостатистического оценивания «Gstat» [Pebesma, 2004], «Surfer»1 и программы разработанные соискателем.
В диссертации используется фактический материал (времена слежения отражающих горизонтов и эффективные кинематические параметры, определённые по сейсмическим данным, глубины геологических границ, определённые по данным геофизических исследований скважин), полученный при выполнении производственных и тематических работ, с проверкой точности оценок с помощью внутренних критериев, статистических тестов и результатами последующего бурения скважин.
Описание алгоритмов структурных построений сделано на основе сейсмических и скважинных данных: Останинской (2005, 2006 гг.), Конда-ковской (2007 г.), Казанской (2006 г.) площадей; Самотлорского (2001, 2002 гг.), Русскинского (2005 г.) месторождений и др.
Практические выгоды использования адаптивного способа оценивания продемонстрированы на примере прогноза средней скорости до горизонта по северной части Самотлорского месторождения.
x. com
При выявлении погрешностей данных по наклонным скважинам анализировался фонд скважинных данных по Русскинскому (511 скважин) и Самотлорскому (16420 скважин) месторождениям.
Прогнозные построения подтверждены результатами исследований вновь пробуренных поисково-разведочных скважин по рекомендациям и на основании структурных построений, выполненных ОАО «Сиб-нефтегеофизика» на территориях Самотлорской (2002 г.), Остапинской (2007 г.), Казанской (2007, 2008 гг.) и других площадей.
Защищаемые научные результаты и положение:
С использованием метода оптимальной интерполяции неравноточных данных разработаны: профильный алгоритм структурных построений и алгоритм прогноза средней скорости по данным эффективных скоростей.
На основе метода пространственно локальной регрессии и комбинирования оценок разработан адаптивный алгоритм построения геостатистических оценок, основанных на экранирующей гипотезе марковского типа, и оценки в виде простой комбинации прогноза по интерполяции и по линейной регрессии, а также создана программа, реализующая этот способ.
С применением методов математической статистики установлено, что глубины геологических границ, определённые по наклонным скважинам, содержат погрешности, дисперсия которых зависит от удлинения скважин. По результатам структурного анализа установлено, что причиной этой погрешности являются ошибки локации стволов скважин.
Разработан и программно реализован алгоритм оптимальной интерполяции пространственных данных, содержащих независимые погрешности позиционирования с различными дисперсиями.
Научная новизна. Личный вклад.
1. Использован метод оптимальной интерполяции пространственно распределённых неравноточных данных при разработке алгорит-
мов структурных построений по скважинным и сейсмическим данным:
разработан профильный алгоритм структурных построений, учитывающий иеравноточность определения параметров скоростной модели по данным скважин, расположенных на разных удалениях от точек сейсмических наблюдений (совместно с А. П. Сысоевым);
на основе проведённого теста Cross-Validation по трём площадям с различными плотностями 2D сейсмических профилей обоснована эффективность этого алгоритма в сравнении с традиционным сеточным алгоритмом;
разработан алгоритм прогноза средней скорости продольных сейсмических волн по неравноточным измерениям эффективной скорости, полученным на основе горизонтального скоростного анализа сейсмограмм ОСТ;
по сходимости результатов интерполяции измеренной эффективной скорости к значениям средней скорости обоснована эффективность использования интерполяции, учитывающей иеравноточность измерений, в сравнении с интерполяцией, игнорирующей иеравноточность данных.
2. На основе географически весовой регрессии и геостатистических методов построения эффективных оценок разработан адаптивный алгоритм получения непрерывных оценок в условиях нестационарной линейной зависимости прогнозируемой переменной от дополнительных данных:
разработан адаптивный способ построения прогноза в виде простой комбинации оценок по пространственно локальной регрессии и по интерполяции (в соавторстве с С. В. Елецким);
впоследствии соискателем подход адаптации на основе пространственно локальной регрессии был расширен на геостатистические методы, основанные на экранирующей гипотезе марковского типа (кокрайгинг и мульти-совместный кокрайгинг),
для нестационарной функции взаимной ковариации прогнозируемой и дополнительной переменной, а также реализована программа построения этих оценок.
3. Погрешности глубин геологических границ, определённых по на
клонным скважинам, впервые рассмотрены с позиций структурного
анализа:
при использовании скважинных данных двух эксплуатируемых месторождений эмпирически доказана зависимость дисперсий погрешностей определения глубин по наклонным скважинам от удлинения их стволов;
разработан алгоритм оценки функции ковариацрщ погрешности данных, определённых по наклонным скважинам, в зависимости от их удлинений;
разработанный Н. Кресси и Дж. Корнак алгоритм интерполяции данных с ошибками локации расширен для неодинаково распределённых погрешностей позиционирования, и реализована программа оптимальной интерполяции в этих условиях.
4. С использованием оценки дисперсии погрешности крайгинг интер
поляции разработан алгоритм оценки дисперсии погрешности про
гноза глубин для модели средней скорости (совместно с А. П. Сы
соевым). Впоследствии соискателем этот подход был обобщён для
произвольных моделей выполнения структурных построений.
Теоретическая и практическая значимость результатов.
Результаты диссертации являются вкладом в развитие методической базы решения задач структурных построений, геостатистики, доведены до практического использования и внедрены в процесс интерпретации сейсмических данных. Разработанные алгоритмы существенно повышают точность структурных построений.
Результаты работы внедрены в производственную практику ОАО «Сибнефтегеофизика» и применены при выполнении структурных построений по территориям лицензионной деятельности нефтяных
компаний: ОАО «Газпром», ОАО «Новосибирскиефтегаз», ОАО «Пур-нефтегазгеология», ОАО «Самотлорнефтегаз», ОАО «Славнефть-Мегионнефтегаз», ОАО «ТНК-Нижневартовск», ОАО «Томскнефть» ВНК, ОАО «Хантымансийскнефтегазгеология» и др.
Впервые карты оценки стандартного отклонения прогноза глубин были представлены в отчёте о результатах работ сейсморазведочпой партии №20/98-99 в Нижневартовском районе Тюменской области (1999г.) На сегодняшний день эти карты являются неотъемлемой частью большинства отчётов по интерпретации сейсмических данных, выполняемых в ОАО «Сибнефтегеофизика». Алгоритм построения скоростной модели по данным эффективных скоростей применяется при структурных построениях на всех отчётных площадях при условии наличия сейсмограмм ОСТ.
Разработанные алгоритмы и программные средства предназначены для широкого использования геологами- и геофизиками-практиками. А алгоритмы и программы выполнения адаптивного прогноза и прогноза при наличии неодинаково распределённых ошибок позиционирования могут быть использованы также в отраслях знаний, связанных с изучением регионализованных переменных, таких, как экология, метеорология, экономика и др.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научно-практической конференции «Геомодель-2000» (Геленджик, 2000), на научно-практической конференции «Геомодель-2001» (Москва, 2001), на Международной конференции молодых учёных, специалистов и студентов «Геофизика-2001» (Новосибирск, 2001), на Международной геолого-геофизической выставке «Санкт-Петербург-2006» (Санкт-Петербург, 2006).
Публикации. Результаты исследований по теме диссертации изложены в восьми опубликованных работах. Різ них три работы — это тезисы докладов на российских и международных конференциях. Пять статей — в ведущих рецензируемых научных журналах, определённых Высшей аттестационной комиссией («Геофизика», «Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений»).
Благодарности. Автор глубоко признателен преподавателям НГУ: д.ф.-м.н. А. Л. Бухгейму, д.ф.-м.н. В. Г. Яхно, д.ф.-м.н. В. Г. Романову,
к.т.н. В. Д. Блинову, д.ф.-м.н. Г. М. Цибульчику, академику С. В. Голь-дину — за участие в формировании его научного мировоззрения.
Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю д.т.н. А. П. Сысоеву и научному консультанту д.т.н. С. М. Зеркалю за всестороннюю поддержку и постоянное внимание к научной работе соискателя на протяжении более чем 10 лет.
Автор выражает благодарность своим коллегам — высококлассным специалистам: Т. М. Брагиной, Т. И. Чернышовой, 3. И. Громовой,
B. М. Моисеенко, В. П. Кал гину, М. В. Лебедеву — за примеры твор
ческого решения сложных производственных задач. Совместная работа
и дискуссии с к.т.н. К. Н. Зверинским сыграли немаловажную роль при
формировании навыков решения практических задач. Автор благодарен
C. В. Елецкому за обсуждения и сотрудничество при создании первых
приближений адаптивного способа построения оценок и их программных
реализаций.
Автор благодарен В. И. Самойловой за ценные консультации и рекомендации по методическим вопросам подготовки диссертации.
Структура и объём работы. Работа состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка литературы из 82 наименований и 3-х приложений. Полный объём работы: 218 страниц текста, 46 рисунков, 3 таблицы.
Расположение материалов в работе подчинено логической последова
тельности анализа подходов решения рассматриваемой задачи: \
постановка задачи структурных построений в статистической модели по скважинным и сейсмическим данным и анализ существующих алгоритмов решения;
анализ геостатистических методов, применяемых для создания алгоритмов решения поставленной задачи;
алгоритмы решения задачи в условиях неравноточности сейсмических и скважинных данных и в условиях нестационарной линейной зависимости прогнозируемой переменной от дополнительных данных, а также алгоритм оценки погрешности структурных построений.
Постановки задач структурных построений и способы их решения определяются двумя факторами: структурой и объёмом данных, видом зависимости между переменными и параметрами модели. Многообразие конкретных условий задачи, характерное для практики, порождает необходимость рассматривать различные методы и алгоритмы решения.
Поэтому в первой главе конкретизируются используемые скважин-ные и сейсмические данные, формулируются требуемые свойства решения задачи, и делается постановка задачи структурных построений на основе статистической модели данных. Анализируются основные гипотезы, приводящие к упрощению задачи, и соответствующие им модели. А также рассматриваются основные алгоритмы и подходы оценивания погрешности решения поставленной задачи.
При решении задач структурных построений модель на основе случайной функции используется в большом количестве работ. Наиболее обширное описание геостатистических методов решения задачи структурных построений с практическими примерами дано в работе [Дюбрул, 2002]. Более подробно с математической точки зрения примеры решения задачи структурных построений на основе статистической модели описаны в работе [Chiles and Delfiner, 1999]. Модели связей глубин и времён горизонтов рассмотрены в работах [Abrahamsen, 1995, Сысоев и др., 2001]. Факторы, влияющие на точность структурных построений, и подходы оценивания погрешности прогноза глубин анализируются в статьях [Thore ct al., 2002, Сысоев, 2005].
Существуют различные модели и способы решения задач интерпретации сейсмических данных. Их можно условно разделить на два взаимодополняющих подхода: детерминированный и вероятностно-статистический [Дюбрул, 2002, Никитин, 2004].
В статистической модели наблюдаемое явление рассматривается как ріекоторая реализация случайной функции. Для изучения структуры случайной функции применяется геостатистическая методология структурного анализа, основным инструментом которого является структурная функция или вариограмма. Для оценки неизвестных параметров используются методы оптимального оценивания, основанные на минимизации функционала среднеквадратичного отклонения погрешности прогноза.
С математической точки зрения эти методы базируется на разделе теории вероятностей, известном под названием "теория случайных функций". Основы этой теории были заложены работами А. Н. Колмогорова и Н. Винера по интерполяции и фильтрации стационарных случайных процессов [Колмогоров, 19416, Wiener, 1950]. Дальнейшее развитие статистической теории пространственно распределённых данных связано с работами Д. Г. Криге, Л. С. Гандина, Дж. Матерона, А. М. Яглома, Б. Д. Рипли, [Яглом, 1981, Давид, 1980, Гандин, 1959, Матерон, 1968, Matheron, 1971, Ripley, 1981].
В частности, в своих работах Дж. Матерон для описания структуры наблюдаемых явлений (метеорологических полей, распределения рудных запасов, геологических и петрофизических свойств) использовал введённую А. Н. Колмогоровым структурную функцию [Колмогоров, 1941а], которую зарубежные исследователи называют полувариограммой или просто вариограммой. Для некоторых типов случайных функций существует связь между вариограммой и другой важной характеристикой статистической структуры — ковариационной функцией. Вариограмма является более универсальным инструментом изучения свойств случайной функции, так как она существует даже в том случае, когда не существует ковариация [Давид, 1980].
С использованием информации о статистической структуре исследуемых явлений — вариограммы и ковариационной функции — был разработан метод оптимального оценивания и интерполяции пространственно распределённых данных Л. С. Гандиным [Гандин, 1959, 1963, Гандин и Каган, 1976] и Дж. Матероном [Матерон, 1968, Matheron, 1971]. Дж. Матерон назвал этот метод крайгииг в честь южноафриканского горного инженера Д. Г. Криге, который, вероятно, был первым, кто использовал наилучшие линейные несмещённые оценки при подсчёте минеральных запасов [Давид, 1980].
Дж. Матерон обобщил различные методы решения задач, использовавшиеся в лесоведении, рудной геологии, метеорологии, теории стохастических процессов и случайных полей, ввёл термин геостатистика и разработал основные положения этой методологии [Давид, 1980]. Геостатистика может быть определена как «приложения вероятностных мето-
дов к анализу и изучению регионализованных переменных» [Chiles and Delfiner, 1999, с. 2]. Это более понятное определение, чем «статистика в науках о земле».
Геостатистика, в целом, может не представлять новизны для специалистов по математической статистике. Однако можно утверждать, что в науках о земле, в том числе и геофизике, существуют весьма специфические проблемы, решение которых приводит к разработке оригинальных теоретических представлений, гипотез и к введению специфической терминологии. Это не означает, что целью геостатистики является пересмотр терминологии, существующей в рамках математической статистики. Однако имеет смысл развивать методологию, которая была бы специально предназначена для решения практических задач наук о земле и, соответственно, обладала своим языком. Термин «крайгинг» был введён для обозначения статистического термина: «наилучшее линейное несмещённое оценивание» реализации стационарной второго порядка случайной функции [Давид, 1980, с. 227]. Главными положениями геостатистических работ, являются разработки в области прикладного моделирования, основанного на использовании вариограмм [Дюбрул, 2002]. Таким образом, геостатистика является своеобразным мостом, соединяющим наблюдаемые в ходе эксперимента данные и статистические методы обработки и интерпретации этих данных.
Геостатистические разработки можно разделить на две широкие категории [Дюбрул, 2002]. Первую из них, основанную на методе оптимальной интерполяции — крайгииге, можно назвать детерминированной геостатистикой. Сюда входит большое число методов: универсальный крайгинг, универсальный крайгинг с внешним дрейфом, байесовский крайгинг, ко-крайгинг, совместный кокрайгинг и др. Хотя эти методы основаны на случайной модели наблюдаемых и прогнозируемых переменных, они- дают одно решение, и поэтому их можно назвать детерминированными методами. Методы именно этого раздела геостатистики нашли применение при решении задач структурных построений.
Вторая категория методов основана на идее обусловленного стохастического моделирования и в качестве решений даёт семейство реализаций, совместимых с априорной моделью и имеющимися данными. Поэтому её
называют стохастической геостатистикой. Она включает в себя методы: индикаторного моделирования, совместного моделирования и геостатистическую инверсию.
В настоящее время статистические модели применяются для решения широкого круга задач, связанных с обработкой и интерпретацией геологических и сейсмических данных. Это стало возможным благодаря работам [Гольцмап, 1971, Белов, 1973, Давид, 1980, Дэвис, 1990а,б, Omre, 1987, Xu et al., 1992, Никитин, 1979].
В течение последних 30 лет совместное развитие геостатистических методов и программных систем моделирования привело к все большему включению геостатистики в процесс отдельных научно-технических дисциплин: геологии, геофизики и разработки. В связи с этим, многие современные методы оценивания появились благодаря трудам специалистов, работающих в области разработки нефтяных месторождений и сейсморазведке: Г. Омре, В. Ху, П. Чилес, П. Делфинер О. Дюбрул [Omre, 1987, Xu et al, 1992, Chiles and Delfiner, 1999, Дюбрул, 2002].
Методы построения оптимальных геостатистических оценок основаны на гипотезах стационарности случайной функции. А структурный анализ является неотъемлемой частью алгоритмов практического применения геостатистических методов оценивания. Поэтому изложение методологических аспектов геостатистики: терминологии, гипотез стационарности, структурного анализа, — сделанное преимущественно на основе книги Ж. П. Чилесаи П. Делфинера [Chiles and Delfiner, 1999] приведено в приложении А (стр. 166). В русскоязычной литературе наиболее современное изложение структурного анализа сделано в книге [Каневский и др., 1999].
В связи с вышесказанным, вторая глава посвящена анализу преимущественно геостатистических детерминированных методов одномерного (раздел 2.1, стр. 45) и многомерного (раздел 2.2, стр. 68) линейного оценивания, применяемых для решения задачи структурных построений в статистической модели.
В разделе 2.1.3 (стр. 66) крайгинг интерполяция данных с погрешностями позиционирования KALE2 [Cressie and Kornak, 2003] расширена для неодинаково распределённых ошибок локации. Также найдено ана-
2kriging adjusting for location error
литическое выражение функции ковариации случайной функции, осложнённой нормально распределёнными погрешностями позиционирования с изменяющимися дисперсиями, для гауссовской функции ковариации исходной случайной функции. С помощью численного интегрирования найдена аппроксимация трансформации линейной вариограммы в условиях погрешностей локации данных.
В разделе 2.2.3 (стр. 80) предлагается способ получения непрерывной адаптивной оценки в условиях нестационарной линейной зависимости оцениваемого параметра от дополнительных данных на основе компиляции метода географически весовой регрессии (стр. 81) и комбинирования оценок (стр. 84). Замечено, что пространственно весовая регрессия позволяет также получить непрерывные адаптивные оценки геостатистических методов, основанных на экранирующей гипотезе марковского типа.
В третьей главе описываются и обосновываются алгоритмы решения задачи структурных построений в статистической модели по сейсмическим и скважинпым данным. Многообразие алгоритмов порождено производственной необходимостью, поэтому все результаты иллюстрируются практическими примерами. Расположение материала в этой главе сделано но типам задач, в соответствии с имеющимися данными: 1) времена слежения горизонтов и глубины геологических границ, определённые по разведочным скважинам; 2) времена слежения горизонтов, измерения эффективных скоростей и глубины геологических границ; 3) времена слежения горизонтов и глубины геологических границ, определённые по эксплуатационным скважинам.
Предложены алгоритмы, построенные с использованием метода оптимальной интерполяции неравноточных данных: профильный алгоритм структурных построений (раздел 3.2, стр. 97) и алгоритм прогноза средней скорости по измеренным эффективным скоростям (раздел 3.4, стр. 113). Отличительной особенностью этих алгоритмов является то, что в них не игнорируется неравноточность данных, используемых для построения скоростной модели.
Опробование и обоснование эффективности профильного алгоритма представлено на основе данных трёх площадей с различными плотностями сейсмических данных. Исследуется изменение эффективности ал-
горитма по мере разуплотнения сети сейсмических профилей. Эффективность алгоритма использования данных горизонтального скоростного анализа обосновывается на примере опробования по трём площадям.
На примере северной части Самотлорского месторождения рассмотрен алгоритм адаптации пространственных оценок, в том числе двух геостатистических оценок: совместного кокрайгинга и мульти-совместного ко-крайгинга (раздел 3.3, стр. 103). Подход адаптации на основе пространственно весовой регрессии сравнивается с традиционным подходом, основанным на локальной выборке данных.
На примере скважинных данных двух месторождений сделано описание алгоритма, позволяющего использовать неравноточные данные эксплуатационных скважин (раздел 3.5, стр. 131), в том числе, и данные, имеющие неодинаково распределённые ошибки позиционирования. Алгоритмы построения оценок, учитывающие неравноточность данных наклонных скважин, сравниваются с алгоритмами, игнорирующими неодинаковую распределенность погрешностей измеренных данных.
С использованием сеточных функций оценки дисперсии погрешности интерполяции предложен алгоритм построения оценки стандартного отклонения погрешности прогноза глубин геологических границ в виде карты (раздел 3.6, стр. 152).
Модели структурных построений при отсутствии дополнительных данных
Пусть для исследуемой области известны времена слежения to д. (г) по N горизонтам (к — 1,... N). Интервальная модель построения глубины геологической границы hn(r), соответствующей n-му горизонту, описывается следующим уравнением: п hn(r) = J2 -іДг) (to (r) - t0 ,_!(r)), (1.7) где too = 0) a -i,fc(r) — значение интервальной скорости, соответствующее интервалу (к — 1, к).
При увеличении числа прослеживаемых горизонтов и, следовательно, уменьшении мощности интервалов можно достичь высокой степени описания этой моделью реальной среды. Но, так как погрешность оценивания интервальной скорости обратно пропорциональна квадрату временной мощности интервала, соответственно будет возрастать погрешность прогноза глубины горизонта. Поэтому обычно стремятся к минимально необходимой детальности описания вертикального скоростного разреза. Если сделать перегруппировку слагаемых в уравнении (1.7), то получим однородную линейную модель: п hn(r) = Y1 а (г) (г) С1-8) к=1 где а/;(г) = (Vjt—i,fc(r) — Vktk+i{v))- Это уравнение приводит к модели многомерной регрессии: п к= /jn(r) — неописываемая составляющая модели. В этой модели необходимо использовать линейно независимые времена слежения горизонтов, иначе она будет приводить к неустойчивому результату. Для использования метода кокрайгииг при выполнении прогноза по этой модели необходимо оценить функции ковариаций и взаимных ковариаций всех переменных, входящих в модель. По этим причинам модель многомерной регрессии редко используется при решении практических задач структурных построений. Анализ влияния последовательности прогноза глубин по интервальной модели на точность построений сделан в работе [Abrahamsen, 1995]. Способы упрощения кокрайгинга для интервальной модели структурных построений рассмотрены в работе [Chiles and Delfiner, 1999].
Как видно, модель многомерной регрессии соответствует первой экранирующей гипотезе марковского типа.
Одномерная модель
Одномерные модели основываются на второй экранирующей гипотезы марковского типа, т.е. глубина геологической границы зависит только от времени слежения горизонта в точке г, соответствующему этой геологической границе, не зависит от данных времён слежения в других точках плоскости наблюдения и времён слежения других горизонтов.
Регрессионная модель основана на анализе эмпирических зависимостей глубин и времён слежения горизонтов для выявления их связей. Самая простая регрессионная модель связи — это модель линейной регрессии: Л(г)=:а о(г) + Ь + &(г), (1.10) где /i(r) — случайная составляющая, не описываемая в рамках модели. Параметры а и b оцениваются из условия минимизации не описываемой случайной составляющей, как правило, в среднеквадратичном смысле. При близком к нулю значении оценки параметра b эта модель вырождается в модель средней скорости (1.3).
Для данной модели можно предложить простое физическое толкование, если рассмотреть однородно-слоистую модель среды с определёнными соотношениями мощностей слоев. Если неописываемые составляю щие линейной регрессионной МОДЄЛРІ удовлетворяют требуемой точности структурных построений, то эта модель может успешно применяться для прогноза глубин геологических границ.
Ненулевое значение оценки коэффициента Ъ при его надёжном определении свидетельствует о наличии вертикального градиента скорости. Положительное значение оценки этого параметра при ненадёжной связи времён и глубин может говорить о наличии погрешностей определения времени слежения горизонта или, что вероятнее, о наличии не описываемой, в рамках линейной регрессионной модели, составляющей скоростной модели. Как отражено в работе [Сысоев и др., 2001], если предположить, что основные погрешности содержатся во временах слежения горизонта, то оценки параметров а и Ъ будут отличаться от оценок по модели (1.10) и будут более точно характеризовать скоростную модель. Но при прогнозе глубин геологических границ эти оценки дадут менее точный результат, так как, если во временах слежения горизонтов имеются погрешности, то более сглаженная линия регрессии будет частично компенсировать эти погрешности и, следовательно, приводить к более точному прогнозу глубин.
Иногда для описания вертикального градиента скорости прибегают к однородной квадратичной регрессионной модели: ад = ( 5(г) + 0(г))+4(г), (1.П) предполагая, что средняя скорость до горизонта линейно зависит от его времени слежения:
Как правило, оценки параметров с, d по моделям (1.11) и (1.12) приводят к различным значениям. И в этом случае необходимо руководствоваться принципом оптимальности прогноза целевого параметра — глубины геологической границы, т.е. использовать оценки по модели (1.11). При решении практических задач эта модель используется редко, так как из-за квадратичной составляющей обладает меньшей устойчивостью к погрешностям слежения горизонта.
Линейная относительно данных интерполяция
Простейшим и вместе с тем весьма важным случаем процедуры интерполяции (2.4) будет случай, когда оператор интерполяции Int является линейным однородным относительно своих аргументов, т.е. относительно измеренных данных: п lnt(/(ri), /(г2),..., 7(гп)) = $ /(г ) (2.22) fc=i где ujki к = 1,2,... ,п — некоторые множители, определяемые методом интерполяции, которые называют весовыми множителями или просто весами. А интерполяцию, производимую в этом случае, т.е. по формуле п 7(г) = Х /(г ), (2.23) к=1 называют линейной по отношению к наблюдённым значениям. Для того, чтобы выражение (2.23) имело смысл и результат интерполяции не зависел от начала отсчёта поля /, необходимо потребовать выполнение равенства: п Х = 1, (2.24) Jfe=l которое называется ограничением нормировки [Гандин и Каган, 1976]. Это условие означает, что формула (2.23) должна, в случае замены /(г) = (р(г) + с, где с — любая константа, переходить в формулу вида (2.23) для функции р(г), т-е- в формулу п Jfc=l Легко убедиться, что так будет только в случае выполнения равенства (2.24). Класс методов интерполяции, являющихся линейными относительно данных, довольно широкий. Практически все формальные методы являются линейными относительно наблюдённых значений.
Термин "линейная" по отношению к интерполяции часто применяют в различных смыслах, что нередко приводит к недоразумениям. Так, например, линейной называют интерполяцию, производимую на основании описания элемента /(г) линейной функцией координат. В таком понимании линейную интерполяцию противопоставляют квадратичной интерполяции, базирующейся на представлении функции /(г) полиномом второго порядка от координат. Нетрудно показать, что любая интерполяция, выполняемая посредством разложения поля по любой системе базисных функций координат, является линейной по отношению к наблюдаемым значениям [Гандип и Каган, 1976]. Пусть интерполяция выполняется на основе разложения по базисным функциям координат /?(г): п Дг) = ]Г №(г). (2.25) k=l
Коэффициенты bki которые необходимы для определения оценки функции / в точке г, можно найти как решение системы уравнений: п ]Г Ьк(рк(т{) = 7(г0, s = 1, 2,..., п. (2.26) fc=i
Величины (pk{ri) в уравнениях (2.26) образуют квадратную матрицу порядка п. Обозначая через с элементы обратной матрицы, запишем решение системы (2.26) в виде п Ьк = сік7(гі), к =1,2,..., п. (2.27)
Подставив (2.27) в (2.25), получим: п п к-\ г= Как видно, интерполяция в этом случае является линейной относительно наблюдённых значений, что и доказывает высказанное утверждение.
Как было показано в статье [Billings et al., 2002а], широкий класс методов интерполяции может быть описан с помощью общей математической структуры: п Дг)=Кг) + ][ Ф(г-г;), (2.29) г=1 где р{г) — полиномиальный тренд, Лг, г — 1,...,п — набор коэффициентов, Ф(г) — функция, действующая из Rm в R. Для метода RBF функция Ф(г) — это одна из набора радиально-базисных функций; для сплайнов — это функция Грина для бигармонического уравнения и т.д. Приведённые рассуждения показывают, что класс методов интерполяции, линейных относительно данных, достаточно широк, он включает в себя, с точностью до полиномиального тренда, методы, имеющие вид (2.29), а также методы, изначально линейные относительно данных: методы на основе триангуляции Делоне, метод «веса обратно пропорционально расстоянию» и т.д. Поэтому этот класс методов заслуживает более детального рассмотрения.
Дисперсия погрешности интерполяции для линейных относительно данных методов
Степень точности интерполяции принято оценивать по тому, как быстро уменьшается ошибка интерполяции 6f с уменьшением расстояния между точками данных, по которым производится интерполяция. Если такими данными являются результаты наблюдений, то ошибка интерполяции не стремится к нулю. Такая оценка характеризует метод интерполяции и не зависит от свойств интерполируемого поля, что, с практической точки зрения, не очень удобно. Поэтому заслуживает внимания иной путь оценки точности интерполяции, состоящий в определении статистических характеристик ошибки интерполяции.
Многомерные геостатистические методы оценивания
Кокрайгинг [Chiles and Delfiner, 1999] — это многомерное обобщение метода крайгинг, когда для построения оценки рассматриваются несколько коррелируемых случайных функций. В аспекте решения задач структурных построений в качестве таких функций можно рассматривать глубину горизонта, известную в точках расположения скважин, и времена слежения горизонтов, известных по более плотной сети наблюдений.
Рассмотрим случайные функций Fa(r), а = 1,... ,q, определённые в области D С Rrn. Пусть значения каждой функции известны в па точках г І из набора Sa: Sa = {гІ G D : известны Fa(r;)}. (2.80) Введём обозначение векторов Fa набора данных случайной функции: Fa = (Fa(ri), Fa(r2),..., Fa(rnJ) a = 1,..., q, (2.81) и аналогичное обозначение векторов весовых коэффициентов соа: иа = (wai,wa2,...,wanQ) a-1,...,q. (2.82) Матрицу ковариаций векторов Fa и Fp размера па х пр, состоящую из элементов C0YFaFp (гг5 rj) = 1,-.., па, j = 1,..., пр, обозначим как Сар. А векторы ковариаций, состоящие из ковариаций наблюдаемой функции в точках гг- Є Sa и оцениваемой функции F в точке г — COYFaF (Гг, г), г = 1,..., па, обозначим как са.
Оценка F(r) значения случайной функции F в точке г, которая является одной из функций Fa, строится в виде линейной комбинации: я я М = Z Е "cdFaiTi) = {и а, Fa). (2.83) a=l riSa a=l
Пусть все рассматриваемые функции Fa имеют нулевое среднее, тогда среднеквадратичная ошибка оценки равна её дисперсии: / \2 q q q E(F(T)-F(T)) =J] (u;QjCQ/3 )-2 (a;a,ca +4(r). (2.84) a=l p=\ a=l Точка безусловного минимума этого функционала даётся как решение системы уравнений простого кокрайгинга: ч У] Сд/зшр = са a = l,...,q. (2.85) /3=1 ДиСПерСИЯ ПОГреіННОСТИ ЭТОЙ ОЦеНКИ 7д sc (г): Ч од sc W = 4 (г) - Х «» са . (2.86) а=1 Пусть теперь случайная функция Fa имеет дрейф простой формы в виде разложения по базисным функциям координат: L шяЛг) = Y2Xaia r" = (Aa,aa(r)) a=l,...,q, (2.87) г=о коэффициенты которого для различных функций независимы. Вектор средних значений случайного вектора Fa может быть записан в виде про-Різведения АаЛо,, где Аа — матрица размера па х {L-\-1) базисных функций координат, строками которой являются векторы аа(гг), г = 1,..., па. В точке г оценивается значение одной из функций Fa, для определённости функции і7!, в виде: q F1(r) = X)(fa,« Ftt (2-88) Q=l при этом количество известных значений функции F\ не равно нулю (Si у {0})- Оценка Fi(r) будет несмещённой тогда и только тогда, когда выполнены условия универсальности кокрайгинга: A wa = 5аіаі(г) а = 1,..., g, (2.89) где 5ai — дельта Кронекера. Минимизация дисперсии погрешности оценки вида (2.88) при условиях (2.89) приводит к системе уравнений универсального кокрайгинга с дополнительными неизвестными — векторами параметров Лаграижа fia — (//ао, , раь) ч Гса + Аа/ха = са а = 1,...,д Ґі (2.90) Аасоа = 5Qiai(r) а = 1,..., g.
Дисперсия погрешности оценки универсального кокрайгинга о\ ис (г) выражается уравнением: я \ис М = 0%г (Г) - Е « С« - О- ! аі(Г) - (2-91) Q=l При решении практических задач сложно представить ситуацию когда две переменные имеют независимое поведение средних, но при этом их отклонения от средних коррелируют между собой, таким образом, сохраняя информацию друг о друге. Единственный случай, представляющий практический интерес, — это когда все средние случайных функций являются константами, — в этих условиях универсальный кокрайгинг называется обычным кокрайгингом. Основной проблемой применения кокрайгинга является необходимость оценивания функций ковариаций и кросскова-риаций, что ис всегда удаётся сделать, особенно при малом количестве данных первичной переменной, подлежащей оцениванию.
Совместный кокрайгинг
Совместный кокрайгинг [Xu et al., 1992] является упрощением построения оценки простого кокрайгинга первичной переменной F\ в предположении, что вторичная переменная Fi известна во всех точках, где выполняется прогноз. При этом, на поведение вторичной переменной в точке прогноза оказывает влияние значение первичной переменной только в этой же точке, т.е. значением первичной переменной в точке прогноза как бы экранируются её значения во всех остальных точках, что приводит к экранирующей гипотезе марковского типа:
Адаптивный алгоритм построения непрерывных оценок в условиях нестационарной линейной зависи мости прогнозируемой переменной от дополнитель ных данных
Алгоритм получения непрерывных адаптивных оценок в точке г, принадлежащей области выполнения прогноза D С R2, можно представить в виде последовательности операций:
1. По данным координат, определения первичной переменной г , г = 1,..., п и координате точки оценивания г вычисляются весовые коэффициенты rj(hi), hi = r — Гг, обеспечивающие локальность оценок. Вычисление весовых коэффициентов реализовано по трём возможным функциям ядра: обратно пропорционально расстоянию, с учётом степенного и сглаживающего параметра (2.104); гауссиаи (2.105) и локальная выборка данных (2.106)
2. По данным, определённым в точках г , первичной переменной /І(ГІ), и значениям вторичной переменной /2( )5 полученным в точках определения первичной переменной, по формулам (2.108) и (2.109) в точке прогноза г вычисляются адаптивные оценки коэф-фициентов линейной регрессии Ло(г), Лі (г) и оценка коэффициента корреляции р(г) первичной и вторичной переменных.
3. Выполнение комбинации прогнозов по интерполяции и по пространственно локальной регрессии в соответствии с тремя моделями комбинирования оценок.
Модели комбинирования оценок:
Модель совместного кокрайгинга. Оценка по этой модели находится по предварительно центрированным и нормированным перемен-ным. Значение первичной переменной /icc(r), согласно модели совместного кокрайгинга в виде комбинации (2.98) с учётом коэффициента корреляции /э(г), полученного по пространственно локальной регрессии, вычисляется по формуле: у „ (1 - У(г))/і (г) + 8 (г) р(г)/2(г) /iccW- (l-j?(r)) + (r)8urt(r) (i-5) где /і sfc(r) — прогноз первичной переменной по интерполяции, а a2F sk (г) — оценка стандартного отклонения погрешности интерполяции первичной переменной.
Модель мульти-совместного кокрайгинга. Оценка первичной пе-ременной /imcc(r) вычисляется по формуле: /imccW = /ifc(r) + Аі(г) (/2(Г) - /2fc(r)) , (3.6) где /2/с(г) — прогноз вторичной переменной по интерполяции, выполненный с использованием её значений, определённых только в точках расположения данных первичной переменной.
Простое комбинирование. Простое комбинирование оценок по ло-кально линейной модели /і л(г) = Ai(r)/2(r) + Ао(г) и по интер-поляции /ifc(r) осуществляется на основе формулы [Новокрещин и Елецкий, 2005]: /ісотбф = p2(v)flLR(T) +(1- Р2(Г)) /lfc(r). (3.7)
Так как результат этой комбинации не совпадает со значениями данных первичной переменной в точках их определения, то необходимо дополнительное уточнение результата с помощью интерполяции остаточных разниц значений и оценки по комбинации.
На основе разработанного алгоритма была создана программная система, осуществляющая реализацию данного способа получения адаптивных оценок, получившая название «Improvement-V» (руководство к программе дано в приложении В, стр. 214).
Результатом работы данной системы являются сеточные функции, содержащие улучшенный прогноз, и коэффициент корреляции между прогнозируемой первичной переменной и дополнительной вторичной. Кроме этого может быть сделана верификация способов комбинирования оценок с помощью теста Cross-Validation по адаптивной пространственно локальной линейной регрессии, по интерполяции и по комбинации, в соответствии с моделями комбинирования оценок.
При апробировании на реальных данных алгоритм показал хорошие результаты. В качестве прогнозируемого параметра была рассмотрена средняя скорость до горизонта, а времена слежения этого горизонта были использованы как дополнительные данные. На рис. 3.5.А представлены зависимости средней скорости от времени слежения горизонта по сква-жинным данным для разных локальных участков. На рис. 3.5.Б показана карта изохрон горизонта, цветными точками на этой карте показано положение скважинных данных и условное разделение по цвету точек на локальные области с различной зависимостью средней скорости от времени слежения горизонта. Как видно, поведение данных соответствует гипотезе пространственно локального изменения параметров линейной зависимости переменных.
Результаты проведённого теста Cross-Validation, выполненного с помощью программы «Improvement-V», для разных моделей комбинирования оценок и различных функций ядра локальной регрессии, представлены в таблице 3.2. В этой таблице жирным шрифтом выделены оценки, полученные по алгоритмам выносимым на защиту. Из этой таблицы видно, что все модели комбинаций оценок имеют меньшее стандартное отклонение погрешности прогноза в сравнении с используемыми при комбинировании оценками интерполяции и пространственно локальной регрессии. Такое поведение ошибок прогноза, на первый взгляд, кажется странным: комбинируя два метода, получаем меньшую ошибку, чем по каждому из них в отдельности. Но здесь большую роль играет адаптивность комбинирования, полученная с помощью изменяющегося по площади коэффициента корреляции, в результате чего больший вклад в прогноз по комбинации вносит лучший, для конкретной локальной области, метод прогноза: либо интерполяция, либо пространственно локальная регрессия. Это хорошо заметно на рис. 3.6.
