Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Решение волнового уравнения в параксиальном приближении 14
1.1 Параксиальная аппроксимация решения уравнения Гельмгольца. Уравнения квазипараболического типа 14
1.2 Решение неоднородного уравнения Гельмгольца. Алгоритм продолжения волнового поля 18
1.3 Поглощающие граничные условия 21
1.4 Моделирование волновых полей в трехмерном случае 22
1.5 Корректность определения амплитуд методом параксиальной аппроксимации в однородной среде 25
Глава 2. Метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации 28
2.1 Уравнение Гельмгольца и уравнения квазипараболического типа 28
2.2 Приближенное решение уравнения Гельмгольца методом многоступенчатой параксиальной аппроксимации 30
2.3 Граничные условия для уравнений метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации 31
2.4 Решение уравнений квазипараболического типа с ненулевой правой частью 34
Глава 3. Примеры применения метода многоступенчатой параксиальной аппрок симации 38
3.1 Вертикально-неоднородные модели 38
3.2 Горизонтально-неоднородные модели 38
3.3 Модели со скачкообразным изменением скорости 47
3.4 Модель соляного тела SEG/EAGE 53
3.5 Трехмерная модель 59
Глава 4. Метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации и другие под ходы к решению проблемы корректной оценки амплитуды волнового поля методами параксиальной аппроксимации 63
4.1 Метод параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды 63
4.2 Модифицированный метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации 66
4.3 Связь метода локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации и метода параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды 68
4.4 Вопросы практической реализации алгоритма продолжения волново- го поля в нижнее полупространство 70
Глава 5. Модифицированный принцип построения изображения. Связь с методом псевдоинверсии 74
5.1 Модифицированный принцип построения изображения 74
5.2 Пример применения модифицированного принципа построения изображения для миграции 77
5.3 Метод псевдоинверсии 80
5.4 Высокочастотная асимптотика модифицированного принципа построения изображения 82
5.5 Эффекты, связанные с ограниченностью апертуры системы наблюдений 84
5.6 Примеры применения миграции на основе модифицированного принципа построения изображения: синтетические данные 89
5.7 Результат миграции сейсмических данных Мексиканского залива 97
5.8 Алгоритм миграции в трехмерном случае 99
5.9 Заключение 100
Глава 6. Взаимосвязь миграции на основе метода наименьших квадратов, метода псевдоинверсии и модифицированного принципа построения изображения 102
6.1 Основы миграции на основе метода наименьших квадратов 102
6.2 Решение интегрального уравнения метода наименьших квадратов в высокочастотном приближении 103
6.3 Итерационные схемы решения обратных задач сейсмики и модифицированный принцип построения изображения 106
Глава 7. Модифицированный принцип построения изображения и миграция на основе метода наименьших квадратов 108
7.1 Метод наименьших квадратов. Диагональная аппроксимация 108
7.2 Расчеты для модели с наклонной границей ПО
7.3 Расчеты для модели соляного тела 111
Заключение. Обсуждение результатов и перспектив дальнейшей работы
- Решение неоднородного уравнения Гельмгольца. Алгоритм продолжения волнового поля
- Граничные условия для уравнений метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации
- Модифицированный метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации
- Высокочастотная асимптотика модифицированного принципа построения изображения
Введение к работе
Обзор работ по теме диссертации. На сегодня методы миграции, основанные на решении волнового уравнения в параксиальном приближении (см. [1], [2]), широко используются в сейсморазведке для построения изображений среды. Однако существенным недостатком большей части разработанных методов является невозможность корректного определения параметров среды по данным изображениям. Задачей данной работы являлась разработка метода миграции сейсмических данных, позволяющего восстанавливать параметры среды на основе методов параксиальной аппроксимации. Исследования в данной работе были ограничены акустическим случаем с постоянной плотностью, при котором процессы распространения волн описывались волновым уравнением.
Методы параксиальной аппроксимации могут быть использованы для расчета волновых полей в том случае, когда для решения поставленной задачи представляют интерес волны, распространяющиеся в направлениях, в некоторой степени близких к выделенному. Например, в случае проведения работ по методам наземной (морской) сейсмики или ВСП, выделенным направлением распространения волн можно считать направление вертикальной оси.
При моделировании волновых полей в сложно-построенных средах методы параксиальной аппроксимации представляют собой альтернативу лучевым методам (см. [3]), область применимости которых ограничена высокочастотным приближением и удаленностью от зон каустик. Практическая реализация методов параксиальной аппроксимации сводится к решению уравнений специального типа, которое не зависит от наличия каустик или используемого диапазона частот.
Алгоритмы решения уравнения квазипараболического типа в частотной области, основанные на продолжении волнового поля с дневной поверхности на последовательные глубинные уровни, обладают существенно более высокой производительностью по сравнению с точными копечно-разностными алгоритмами решения волнового уравнения (см. [4]). Это позволяет практически реализовывать класс алгоритмов, основанных на параксиальной аппроксимации, для миграции сейсмических данных в трехмерном случае.
Идея параксиальной аппроксимации была впервые предложена в работах [5] и [б], где рассматривалось решение волнового уравнения, отвечающее волнам, распространяющимся в направлениях, близких к выделенному. Для решения задач геофизики этот подход был впервые использован в работах Клербо (см. [1], [2]). Методы параксиальной аппроксимации позволяют корректно оценивать время прихода волн при условии, что угол между направлением их распространения и выделенным направлением (вертикалью) не превышает некоторого известного значения. Так, в работе [2] были предложены два типа параксиальной аппроксимации: 15-градусная и 45-градусная, для которых вышеупомянутое значение максимально допустимого угла составляет соответственно 15 и 45 градусов. С течением времени появились схемы, для которых значение данного угла составляет 60 и более градусов (см. [7], [8], 9]). Вышеупомянутые реализации параксиальной аппроксимации сводятся к конечно-разностному решению уравнений параболического (в случае 15-градусной аппроксимации) или квазипараболического (в случае аппроксимации высшего порядка) типа. Уравнением квазипараболического типа здесь и в дальнейшем названо уравнение, символьная запись которого асимптотически совпадает с уравнением параболы при малых углах между вертикалью и направлением распространения волны. Процедура решения данных уравнений представляет собой продолжение волнового поля в частотной области вдоль выделенного пространственного направления. Так как эта группа методов использована в настоящей работе, их описание дано в главе 2.
Альтернативным подходом является продолжение волновых полей в области частота-волновое число. Этот подход впервые был предложен в работах [10], [11] (метод фазового сдвига) и со временем породил группу методов GSP (Generalized Screen Propagators, см. [12-18]). Методы GSP основаны на учете вклада двух составляющих волнового поля на каждом шаге его продолжения через тонкую прослойку среды. Первая составляющая расчитывается методом фазового сдвига для однородной опорной модели слоя. Вторая составляющая учитывает вклад неоднородности прослойки в приближении Борна.
Методы параксиальной аппроксимации позволяют корректно моделировать время прихода волн в некотором диапазоне направлений их распространения. Однако, эти методы обладают следующим недостатком: амплитуда волн, полученная на их основе, верна лишь в однородной среде. Таким образом, классические методы параксиальной аппроксимации позволяют получить лишь структурное изображение среды, но не информацию о ее параметрах.
Следовательно, актуальной задачей является разработка метода моделирования волновых полей, основанного на параксиальной аппроксимации, но позволяющего получать более точные оценки амплитуд волновых полей. Решению данной задачи посвящено относительно немного работ. В работе [19] было предложено модифицированное уравнение параболического типа, решение которого корректно воспроизводит коэффициент прохождения волны через границу раздела двух сред при нормальном падении. Но этот подход не воспроизводит корректно коэффициента прохождения волны при ненулевом угле падения и не учитывает влияния латеральных вариаций скорости на амплитуду. В работе [20] предложена другая модификация уравнения квазипараболического типа, для которого решения уравнений эйконала и переноса входят во множество решений аналогичных уравнений, полученных для волнового уравнения. Теоретически этот подход достаточно привлекателен, однако пути его практической реализации не вполне ясны. Этот вопрос будет обсуждаться в главе 4 настоящей работы.
В связи с проблемой оценки амплитуды волновых полей с использованием методов параксиальной аппроксимации следует упомянуть работы [21], [22], в которых предлагается интересный подход к описанию взаимосвязи волнового уравнения и уравнений квазипараболического типа, описывающих распространение волн в противоположных направлениях. Волновое уравнение разбивается на два зависимых уравнения квазипараболического типа, которые становятся независимыми в случае вертикально-однородной среды. Такое представление позволяет учитывать влияние вертикального градиента скорости в среде на волновое поле. Однако, полученные уравнения содержат оператор квадратного корня из оператора Гельмгольца, который не может быть выписан явным образом. Аппроксимация данного оператора ведет к ошибкам в оценке ампрлитуд волновых полей. В работе [21] предлагается выразить оператор квадратного корня через собственные числа и собственные функции (вектора в дискретном случае) оператора Гельмгольца. Но практическое использование такого подхода затруднено в силу чрезвычайных вычислительных затрат, требуемых для его реализации в трехмерном случае. В работе [22] предлагается использовать однородное асимптотическое разложение для получения функции Грина уравнения квазипараболического типа. Однако метод вычислений, следующий из построений работы [22], является слишком громоздким для практического использования.
Однако реализация метода вычисления, дающего верную оценку амплитуд вол новых полей, еще не достаточна для того чтобы построить алгоритм восстановления параметров среды.
За последние тридцать лет было разработано несколько подходов к извлечению информации о параметрах среды из изображений, полученных при миграции сейсмических данных. Данные подходы позволяют восстанавливать либо непосредственно величины возмущений параметров относительно опорной модели среды, либо зависимость коэффициента отражения волны от границы раздела сред от угла падения.
Первый подход предложен в работах Клербо [1, 2]. Данный метод позволяет восстанавливать коэффициент отражения от границ и основан на обработке данных, отсортированных по пункту взрыва. Изображение среды строится как результат кросс-корреляции волнового поля, созданного источником, с волновым полем, полученным в результате обращенного продолжения ноля, зарегистрированного приемниками. В отечественной литературе вопросы построения обращенно-продолжепного волнового поля обсуждались в работах [23, 24, 25]. В работе [23] было показано, что восстановление положения отражающих границ определяется кинематическими характеристиками волновых полей. Для того, чтобы восстановить коэффициент отражения, результат кросс-корреляции нормируется на мощность волнового поля, созданного источником. Этот принцип построения изображения среды будет далее в работе называться классическим. При вышеописанной постановке задачи не делается никаких предположений относительно метода моделирования волнового поля. Таким образом, принцип построения изображения Клербо может применятся совместно с лучевыми и конечно-разностными методами моделирования.
На практике обычно используются данные многократного перекрытия (многих пунктов взрыва) и длина косы приемников (базы наблюдений) существенно ограничена. Вследствие этой ограниченности изображение среды, построенное по данным одного пункта взрыва, несет мало полезной информации. Для того, чтобы построить более полное изображение среды, изображения, полученные по разным пунктам взрыва, суммируются. При этом суммировании теряется информация о коэффициентах отражения и параметрах среды, так как изображение каждого сегмента среды зависит от положения пункта взрыва. Таким образом, для восстановления параметров среды по данным многократного перекрытия представляет интерес разработка метода, не привязанного к определенной схеме наблюдений (как классический принцип построения изображения, привязанный к схеме наблюдений с общим пунктом взрыва).
В восьмедесятых годах задача миграции сейсмических данных была сформулирована как обратная задача в терминах метода наименьших квадратов, см. [26], или в терминах обобщенного преобразования Радона, см. [27]. В отечественной литературе постановка задачи восстановления параметров среды как обратной геофизической задачи, решаемой методом наименьших квадратов, обсуждалась в работах [28, 29].
Использование лучевого метода для представления волновых полей позволило разработать методы псевдоинверсии, см. [27], [30-33]. Идея методов псевдоинверсии заключается в подборе такого оператора отображения из пространства сейсмических данных в пространство параметров среды, копмозиция которого с высокочастотным представлением оператора моделирования (отображения из пространства параметров в пространство данных) давала бы оператор тождественного равенства в высокочастотном приближении и при неограниченной апертуре сейсмических наблюдений. Такой подход напоминает метод Бейкуса-Гильберта, см. [34]. К этой-же группе методов можно отнести методы миграции Киргхоффа, см. [35-37]. Миграция Киргхоффа основана на взвешенном диффракционном преобразовании сейсмических данных. Данное преобразование определяет отображение из пространства данных в пространство параметров. Весовая функция подбирается так, чтобы параметры восстанавливались корректно. Такой подход позволил также разработать метод восстановления параметров анизотропных сред, см. [38]. Миграция Киргхоффа тесно связана с методами псевдоинверсии, см. [37], и классическим изображающим принципом, см. [39].
Вышеописанные методы миграции (на основе псевдоинверсии или диффракцион-ного преобразования), основанные на лучевом методе, позволяют получать как оценку коэффициентов отражения, так и непосредственную оценку возмущений (скачков на границах раздела) параметров среды, которые не зависят от углов падения волн на границы раздела. Данные методы могут применятся для обработки данных различных схем наблюдений. Однако они требуют удовлетворения условий высокочастотного приближения (лучевого метода) и достаточно плотного покрытия профиля (площади) источниками и приемниками. Однако, помимо того что на практике эти условия не всегда выполнены, в работе [40] приведены результаты, свидетельствующие о том, что использование низкочастотных волн может быть крайне полезно для получения более качественных изображений сред под базальтовыми толщами.
Теоретически, наиболее общий подход к решению обратных задач сейсмической разведки основан на методе наименьших квадратов, см. [26, 29]. При постановке задачи на основе метода наименьших квадратов имеется возможность работы с любой конфигурацией системы наблюдений, в том числе и системы с неплотным покрытием участков профилей (площадей) приемниками (источниками). Также подход на основе метода наименьших квадратов позволяет работать с любыми методами моделирования волновых полей. Использование регуляризации позволяет учитывать априорную информацию при восстановлении параметров среды.
В работах [26, 29, 41] было показано, что градиент функционала невязки между модельными и измеренными данными, взятый но параметрам среды, имеет структуру оператора миграции на основе классического изображающего принципа (т. е. формула для градиента представляет из себя результат кросс-корреляции между полем, порожденным источником, и полем, полученным в результате обратного продолжения волновых полей, зарегистрированных приемниками). Но сам по себе градиент функционала невязки не дает истинных значений параметров среды. Набор параметров среды, доставляющий минимум функционалу невязки, получается в результате умножения матрицы, обратной Гессиану (матрицы вторых производных функционала невязки по параметрам), на градиент функционала (с обратным знаком). На сегодняшний день ввиду больших размеров матрицы Гессиана не представляется возможным рассчитать обратную матрицу. Для того чтобы аппроксимировать обратную матрицу, был предложен ряд диагональных аппроксимаций матрицы Гессиана, см. [42, 43, 44]. Однако, на практике матрица Гессиана не является диагональной, поэтому подходы, основанные на диагональной аппроксимации, могут дать правильную оценку параметров в ограниченном числе случаев. Этот вопрос будет рассмотрен в главе 7 настоящей работы. Тем не менее, для того, чтобы улучшить оценку параметров среды, в рамках метода наименьших квадратов существует возможность итерационного подхода. Итерационный алгоритм восстановления параметров среды может быть также использован в случае недостаточного количества источников (приемников) на поверхности для построения качественного изображения среды в результате миграции (первого шага итерационного алгоритма). Однако, применение итерационных алгоритмов требует значительных вычислительных затрат.
Таким образом, рассмотрены основные методы восстановления параметров среды: метод, основанный на классическом принципе построения изображений, метод пссвдо-инвсрсии и метод наименьших квадратов. Метод псевдо-инвсрсии основан на лучевом методе расчета волновых нолей. Однако, когда модель среды является достаточно сложной, возникают зоны многолучевости и каустик. Это приводит к практическим трудностям вычисления волновых полей лучевым методом в таких зонах, а также невозможности корректной оценки амплитуды волновых полей в зонах каустик. В таких случаях более предпочтительно рассчитывать волновые поля конечно-разностными методами, в том числе и основанными на параксиальной аппроксимации. Использование метода псевдо-инверсии совместно с конечно-разностными методами расчета волновых полей не представляется практически возможным в силу излишней вычислительной громоздкости такого подхода. Следовательно, в данной работе метод псевдо-инверсии в его классической формулировке не используется для практических расчетов. Для того чтобы построить алгоритм восстановления параметров среды с использованием конечно-разностных методов моделирования, нужно либо адаптировать метод псевдо-инверсии для использования совместно с конечно-разностным методом, либо модифицировать классический принцип построения изображения, либо использовать метод наименьших квадратов, основанный на диагональной аппроксимации матрицы Гессиана, см. [43, 44].
В этом отношении следует упомянуть метод восстановления коэффициентов отражения волн от границ раздела в среде, предложенный в работе [45]. Метод является по сути коррекцией аналогичного метода, предложенного в работе [46]. Данный метод предназначен для обработки данных многократного перекрытия и основан на і продолжении волновых полей в нижнее полупространство методами параксиальной аппроксимации. Первым шагом такого алгоритма является снятие эффекта среды выше некоторого заданного глубинного уровня. Такое снятие достигается перемещением источников и приемников на заданный уровень и осуществляется с использованием теоремы взаимности и алгоритмов продолжения волновых полей. Вторым шагом данного алгоритма является вычисление коэффициента отражения в результате преобразования типа Радона сейсмических данных, перемещенных на заданный глубинный уровень. Вышеописанный метод требует достаточно плотного покрытия профилей приемниками и источниками. Также общей проблемой технического характера, касающейся методов этого типа, является трудность хранения огромных объемов информации, требующихся для вычисления коэффициентов отражения для ряда углов падения в каждой точке среды.
Таким образом, на пути восстановления параметров на основе методов параксиальной аппроксимации стоит две проблемы: проблема некорректной оценки амплитуды в рамках классической параксиальной аппроксимации и проблема разработки метода восстановления параметров среды по данным многократного перекрытия. Цели работы
1. Первой задачей данной работы являлась разработка метода решения прямой задачи, основанного на параксиальной аппроксимации и позволяющего корректно оценивать амплитуду волновых полей в неоднородной среде.
2. Второй задачей работы являлась разработка метода восстановления параметров среды по данным многократного перекрытия с использованием конечно-разностных алгоритмов вычисления волновых полей на основе параксиальной аппроксимации. Основные полученные результаты.
1. Предложен метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации, учитывающий неоднородность среды при моделировании волновых полей. Метод позволяет ввести поправку за ошибку факторизации уравнения Гельмгольца, возникающую в неоднородной среде, посредством решения дополнительных уравнений квазипараболического типа с правой частью, включающей информацию о неоднородности среды.
2. Предложен метод локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации, который позволяет моделировать волновое поле, не включающее отраженных волн. Такая модификация позволяет избежать типичных артефактов, появляющихся в изображениях среды при миграции сейсмических данных на основе методов моделирования волновых полей, воспроизводящих отраженные волны.
3. Предложен модифицированный принцип построения изображения среды, целью которого является непосредственно восстановление относительных возмущений медленности (обратной скорости распространения волн) среды. Относительное возмущение медленности определено как разность медленностей в истинной и опорной моделях сред, деленное на медленность в опорной среде. Изначальная формулировка модифицированного принципа построения изображения позволяет получать оценки скачков медленности на границе вместо оценок коэффициентов отражения, даваемых классическим принципом построения изображения. Преимуществом такого подхода является то, что полученные оценки скачков параметров среды не зависят от угла падения волны и от положения пункта взрыва. Следовательно, при суммировании изображений, полученных по данным разных пунктов взрыва, информация об этих скачках параметров сохраняется. Предложенный метод может быть использован совместно с любым конечно-разностным методом моделирования волновых полей.
4. В высокочастотном приближении модифицированный принцип построения изображения тесно связан с методом псевдо-инверсии. На основе изучения этой связи предлагается формулировка модифицированного изображающего принципа, позволяющая восстановить относительное возмущение медленности как функцию пространственных координат. Также взаимосвязь между модифицированным изображающим принципом и методом псевдоинверсии позволяет показать, что суммирование изображений среды, построенных по данным с общим пунктом взрыва (common shot data), с изображениями, построенными по данным с общим пунктом приема (common receiver data), дает в высокочастотном приближении тот-же результат, что и суммирование изображений, построенных по данным с общим удалением приемника (common-offset data) методом псевдо-инверсии, которые являются на практике более информативными, чем изображения на основе данных с общим пунктом взрыва и общим пунктом приема.
5. Показано, что в высокочастотном приближении миграция на основе метода наименьших квадратов приводит к тому-же результату, что и метод псевдо-инверсии, при условии, что волновые поля, рассеянные на неоднородностях среды, могут быть описаны в приближении Борна, а также при условии неограниченности апертуры сети приемников. Учитывая связь между модифицированным изображающим принципом и методом псевдо-инверсии, этот результат позволяет утверждать, что модифицированный принцип построения изображения может быть использован в итерационном алгоритме уточнения параметров среды. Следует отметить, что метод исевдо-инверсии использовался для этой цели в работах [47, 48]. Полученный в данной работе результат формально оправдывает эти подходы. Практическая значимость результатов
Предложена методология миграции сейсмических данных, основанная на методе многоступенчатой параксиальной аппроксимации и модифицированном принципе построения изображения, см. [64-70]. Метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации является возможным решением проблемы некорректной оценки амплитуд волновых полей классическими методами параксиальной аппроксимации. По построению реализация метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации основана на классическом методе параксиальной аппроксимации. В данной работе применялся метод параксиальной аппроксимации, который был предложен в работах [8] и [9], основанный на рациональной аппроксимации оператора квадратного корня и конечно-разностной схеме продолжения волнового поля внутрь исследуемой среды. Но метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации может применяться совместно с любым другим алгоритмом продолжения волнового поля на основе параксиальной аппроксимации, который дает верную оценку времен прихода волн в некотором диапазоне направлений их распространения, но не дает корректной оценки их амплитуд, например, с методом, основанном на методах GSP (см. [12], [17]).
Модифицированный принцип построения изображения позволяет восстанавливать параметры среды по данным многократного перекрытия. Миграция на основе модифицированного принципа построения изображения может применяться совместно с любым конечно-разностным алгоритмом моделирования (продолжения внутрь среды) волновых полей. Основные положения, выносимые на защиту
1. Разработан метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации, позволяющий получать существенно улучшенные оценки амплитуд волновых полей по сравнению с методом классической параксиальной аппроксимации. Метод может применяться для расчета волновых полей в неоднородных средах с горизонтальными и вертикальными градиентами скоростей распространения волн, а также с отражающими границами, на которых скорость терпит разрыв. Метод позволяет рассчитывать сейсмограммы отраженных волн.
2. Предложен модифицированный принцип построения изображения среды, позволяющий оценивать параметры скоростной модели среды по данным многократного перекрытия. Показано, что в высокочастотном приближении методы восстановления параметров среды на основе модифицированного принципа построения изображения, метода псевдо-инверсии и метода наименьших квадратов ведут к идентичным результатам.
3. Предлагаемая методология миграции опробована на ряде полевых и синтетических сейсмических данных, в том числе и созданных для модели соляного тела, принятой в международных геофизических обществах SEG и EAGE в качестве эталона для тестирования алгоритмов миграции.
Решение неоднородного уравнения Гельмгольца. Алгоритм продолжения волнового поля
Уравнение квазипараболического типа (1-13) было выведено в предположении отсутствия в рассматривемой области среды источников внешних сил. Для того, чтобы решить уравнение Гельмгольца (1-1) с произвольной правой частью, достаточно рассмотреть случай с источником в виде сосредоточенной силы, т. е. когда правая часть представлена в виде /(х,ш) = 5(x)8(z): ф + А2)и = 6(х)6(г). (1-17) В данном разделе, как и в предыдущем, все рассмотрения приводятся для случая двумерной однородной среды.
Пусть при этом также выполнены условия излучения, т.е. решение задачи при z = ±оо содержит только уходящие волны. Решения для произвольного случая является суперпозицией решений уравнений вида (1-17). Такого типа уравнения однородны в области z 0. Следовательно, при z 0 на практике можно использовать уравнение (1-13). Начальные условия для данного уравнения можно получить исходя из правой части уравнения (1-17).
Так как в правой части уравнения (1-17) стоит дельта-функция 5(z), то производная j при z = 0 терпит разрыв: z=+0 ди z а сама функция и непрерывна ди = 6(х), (1-18) 2=-0 «1,=+о=«1,=-о- (!-19) Также, в предположении однородности среды и при учете условий излучения, факторизация уравнения (1-17) при z 0 дает: (JLA)u = 0, (1-20) а при z 0: ( -HA)u = 0. (1-21) На основании уравнений (1-20) и (1-21) граничные условия для производных также могут быть выражены как: ди d z = гЛиг=+0, (1-22) г=+0 ди J z = -гЛиг=_0. (1-23) 2=-0 Подстановка (1-22) и (1-23) в (1-18) при условии (1-19) приводит к следующему результату: 2г Л =+0 = ( ). (1-24) Решением этого уравнения будет являться функция: "UM = - ), (1-25) или =+о = АЛ-а (х). (1-26) В практических вычислениях вместо оператора Л используется его аппроксимация Л„, и граничное условие для и при z — 0 принимает вид: «Uo = а(к2 + рГШ (1-27) Здесь использовано определение оператора Л2. Замена Л на Ла привносит ошибки в определение поля и при z = 0. В однородной среде такие ошибки повлияют лишь на вычисление тех компонент волнового поля, которые распространяются под большим углом к вертикали. Некорректное моделирование этих компонент волнового поля является общей проблемой методов параксиальной аппроксимации и в данной работе не рассматривается. Если же среда латерально-неоднородна при z = 0, то замена Л на Ла привнесет ошибки в результат вычисления всех компонент волнового поля. Этот вопрос будет затронут в следующей главе, где будет представлен метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации, позволяющих внести коррекцию за неоднородность среды в волновое иоле, расчитанное методами параксиальной аппроксимации.
Таким образом, начальные условия для алгоритма продолжения волнового поля в нижнее полупространство даны уравнением (1-27). Теперь следует рассмотреть метод последовательного продолжения поля и с уровня z = z\ на уровень z = z\+&z.
Решение уравнения (1-13) с известным значением поля при z — z\ может быть представлено в виде: u{zx + Az, х, и) = е =1 J u(zi,x,u). (1-28)
Экспоненциальный оператор в данном выражении можно рассматривать как псевдодифференциальный. Выражение (1-28) может быть представлено в виде: " . Щ, Аг (zl + Az,x,uj) = f[ek2+a fe eikAzu{zux,u). (1-29) 3=1 Пусть vQ(Zl + Az,x,w) = elk u{Zl,x,uj), (1-30) и,-(гі + Az,i,w) = e +ajs fj-i(-2i + Дг,і,ш), (1-31) u(zx + Az,x,u) = vn(zi + Az,x,w), (1-32) где j = 1,...,n. Тогда используя представление ex при малых х: + ех = J37. С1"33) (1-31) может быть представлено в виде: 1 _1 %а Az «j(zi + Az,z,u;) = J3P ty-ifa + Az.x.w). (1-34)
Тогда действие оператора к2 + о,- на обе части дроби в выражении (1-34) дает Следующие уравнения ОТНОСИТеЛЫЮ Vj . (к2 + (oj - іЩвАг)— J Vj = ( к2 + ( + ifcb l - 9)Az)—3 J «,_!, j = 1, ...,n. (1-35) где 0 = 1/2. Поглощающие граничные условия для (1-35) обсуждаются далее в разделе 1.3. Дискретизация уравнений (1-35) приводит к системе линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Такие уравнения решаются методом прогонки, который может быть реализован достаточно просто и эффективно. Схема нахождения Vj с в = 1/2 называется симметричной неявной вычислительной схемой, см. [52]. Вышеописанный способ нахождения волнового поля u(zi + Az,x,u ) на нижней кромке тонкой прослойки (zi, zi + Az) по его значениям u(zi,x,u) на верхней кромке был предложен в работе [8].
Таким образом, процедура решения уравнения Гсльмгольца с сосредоточенным источником в правой части состоит из следующих шагов:
1. Сначала определяется поле при z = 0, см. выражение (1-27).
2. Волновое поле последовательно продолжается с глубинного уровня z = Zj на глубинный уровень z = Zj+i, где Zj = jAz и j - целочисленный индекс, меняющийся от 1 до N, а N - общее число уровней в рассматриваемой модели.
Для осуществления одного шага продолжения требуется следующие действия: 2.1 Вычисление значения vo{zi + Az,x, и) по известному значению волнового поля u(zi,x,ui), см. выражение (1-30).
Решение рекуррентных уравнений (1-35), последовательное нахождение значений Vj{z\ + Az, х,и) (j = 1,..., n — 1). Нахождение значения волнового поля u{z\ + Az,x,u ) = vn{z\ + Az,x,w).
Для решения уравнений (1-35) требуется конечно-разностное решение системы линейных алгебраических уравнений с трсхдиагоналыюй матрицей, которое является достаточно простым и эффективным с вычислительной точки зрения. Такая схема решения уравнения эволюционного типа (1-13) принадлежит к разряду неявных схем, которые являются безусловно стабильными (т. е. не приводят к решению, экспоненциально возрастающему с глубиной), чего нельзя сказать о явных схемах.
Метод решения уравнений квазипараболического типа, описанный в данном разделе, называется методом разделения (splitting method), так как основан на разделении экспоненциального оператора на рациональные компоненты, что приводит к практически реализуемому алгоритму продолжения волнового поля.
Данный алгоритм, обоснованный в случае однородной среды, на практике используется и для вычисления волновых полей в неоднородной среде. При этом времена прихода волн воспроизводятся верно, если отклонение направления их распространения от выделенного менее заданного значения.
В вышеприведенном описании алгоритма продолжения волнового поля не были определены граничные условия для уравнений вида (1-16) и (1-35) в случае ограниченной модели среды. При наиболее простом задании этих условий в виде условий Дирихле или Неймана возникают отражения волн от границ модели, которые являются помехой для дальнешей процедуры построения изображения среды. В данной работе используются подход, основанный на введении так называемой абсолютно поглощающей среды (слоя) (Perfectly Matching Layer, PML), позволяющий практически полностью подавить паразитные отражения от границ модели. В следующем разделе дано описание этого подхода.
Граничные условия для уравнений метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации
Уравнение (2-8) может быть приближенно решено методом теории возмущений. Пусть в волновом ноле и, удовлетворяющем уравнению (2-8), может быть выделена основная часть, щ, являющаяся решением уравнения Lau0 = 0.
Решением данного уравнения будет являться и решение уравнения квазипараболического типа: = ІЛаЩ, (2-12) которое, следовательно, может рассматриваться как решение уравнения (2-8) в нулевом приближении.
Пусть и = щ + Аи. Тогда Аи должно удовлетворять уравнению LaAu = Е(ио + Аи). Если норма оператора расхождения мала, то членом ЕАи можно пренебречь, и считать, что в первом приближении решение уравнения Гельмгольца представляется как UQ + ui, где поправка щ определяется из уравнения: (Q-Z + гЛа)(— - гЛ 1 = Ещ. (2-13)
Таким образом, решение уравнения Гельмгольца представимо в виде решения уравнения квазипараболического типа и поправки щ, учитывающей неоднородность среды.
Введя обозначение iti/2, определяемое выражением (— - іАа)щ = ui/2 (2-14) уравнение (2-13) естественно решать в два этапа. Первый этап состоит в нахождении щ/2 из решения уравнения дг + iAa )Ul/2 = Еи (2"15) которое следует из уравнения (2-13). Данное уравнение является неоднородным уравнением квазипараболического типа. Правая часть данного уравнения является оператором расхождения, действующим на волновое поле, рассчитанное в параксиальном приближении. Метод решения уравнений вида (2-13) с ненулевой правой частью обсуждается в разделе 2.4 настоящей главы.
Второй этап решения уравнения (2-13) состоит в нахождении поправки щ из уравнения (2-14), правая часть которого уже определена на предыдущем этапе. Таким образом, решение уравнения Гельмгольца в нервом приближении состоит из последовательного решения трех уравнений квазипараболического типа: (2-12), (2-15) и (2-14). Так как такое решение состоит из трех этапов, предложенный метод нахождения приближенного решения уравнения Гельмгольца назван методом многоступенчатой параксиальной аппроксимации.
Для реализации метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации необходимо определить граничные (начальные) условия для уравнений (2-12), (2-15) and (2-14). Этому посвящен следующий раздел.
В предыдущих разделах настоящей главы рассматривалось приближенное решение уравнения Гельмгольца (2-8) с нулевой правой частью, что соответствует областям среды, к которым не приложены внешние силы. В данном разделе рассматривается решение неоднородного уравнения (2-8). Влияние источников внешних сил учитывается в граничном условии для первого уравнения метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации. Также предлагаются граничные условия для остальных двух уравнений метода, необходимые для расчета волновых полей в ограниченной области.
Для того, чтобы учесть влияние внешних сил на распространение волн, достаточно рассмотреть решение уравнения Гельмгольца с правой частью (источником), заданной выражением /(х, z,w) = 5(z)fs(x), где 5(z) - дельта-функция Дирака. Решение для произвольного случая может быть получено на основе принципа суперпозиции.
Пусть модель среды, для которой требуется произвести расчеты, ограничена по координате z интервалом (0,zmax). С источником сил, заданным и вышеуказанной форме, уравнение (2-8) представляется в виде Lau = (g z+ гЛа)(— - іЛ„)и = Еи + ф)Л(х). (2-16)
При решении задач на распространение волн в неограниченной области на бесконечности ставят условия излучения, которые говорят о том, что там существуют только уходящие волны. В нашем случае область, которая представляет интерес, ограничена. Поэтому для того, чтобы обеспечить выполнение условий излучения на границах модели, приходится применить искусственный прием.
Пусть рассматриваемый интервал глубин будет расширен до пределов (—e,zmai), где е 0, и в области — е z 0 скорость распространения воли задана следующим образом: c(x,z) = с(х, 0). Также пусть при z = — є 0 выполнено условие (JL + iAa)u\z=_e = 0, (2-17) а При Z = Zmax - уСЛОВИв ( - iK)u\z=Zmax = 0. (2-18)
Введение граничных условий (2-17) и (2-18) можно объяснить следующим образом. Если допустить, что при z — е с(х, z) = с(х,0) и распространение волн описывается уравнением ( + гЛа)и = 0, (2-19) а при z Zmax c(x, z) = c(x, zmax) и справедливо уравнение (А_гЛа)и = 0, (2-20) то это допускает следующую интерпретацию. В однородной (горизонтально-однородной) среде уравнение (2-19) описывает волны, распространяющиеся преимущественно вверх (в направлении, противоположном оси Oz). Уравнение (2-20) описывает волны, распространяющиеся вниз. Таким образом, волны, падающие на нижнюю границу модели z = zmax сверху, не вызывают отражения, а поглощаются в среде z zmax. Так же область z -е можно рассматривать как поглощающую среду для волн, распространяющихся вверх. Фактически, условия (2-17) и (2-18) введены для того, чтобы в ограниченной области модели построить решение, эквивалентное решению в безграничной среде.
На самом деле, такой прием, основанный на введении в области, где требуется поглощение волн, гипотетических сред с особыми свойствами, используется достаточно часто. В частности, на нем основаны поглощающие граничные условия, предложенные в одной из первых работ в этом направлении [54].
Таким образом, нужно найти решение уравнения (2-16) с граничными условиями (2-17) и (2-18). Это решение будет найдено медодом последовательных приближений.
Если, следуя методу, изложенному в предыдущем пункте, в уравнении (2-16) пренебречь членом Ей, отвечающим за влияние неноднородности среды, получится уравнение для волнового поля в нулевом приближении Uo {h + iAa)iTz ІАа)Щ = )/s(x) (2"21)
Граничные условия для (2-21) можно выбрать в виде: + гЛа)иог=_е = 0, ( Уравнение (2-21) может быть решено в два этапа. Первый этап состоит в решении уравнения ( + iAa)g = 6(z)fa(K) (2-23) где д определено в уравнении (--іАа)щ = д. (2-24) Второй же этап состоит в решении данного уравнения.
При z 0 уравнение (2-23) представляет собой обычное однородное уравнение квазипараболического типа: ( + гЛа)9 = 0. (2-25)
Из второго граничного условия из (2-22) следует, что д(х, zmax) = 0. Тогда из уравнения (2-25) следует, что д(х, z) = 0 V z 0. Это означает, что при z 0 справедливо уравнение
Модифицированный метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации
В предыдущих разделах работы утверждалось, что метод параксиальной аппроксимации, строго сформулированный для однородной среды, и используемый для неоднородной среды, дает верную оценку времен прихода волн в некотором диапазоне направлений их распространения. Это утверждение обосновано далее. Уравнение квазипараболического типа представляется в виде: j = гЛаЩ (4-1) где Аа - аппроксимация оператора квадратного корня. Ла может быть как рациональной аппроксимацией, K = k + ±[e + a kb f7 , (4-2) так и интегральной аппроксимацией, Л. - + /дЛ. ( + -«І;) 1 Ы(.) - 7g, (4-3) где к = - волновое число; aj, 6 (г = l,...,n), a(s), 6(s) - коэффициенты рациональной и интегральной аппроксимации; G - множество значений переменной s. В лучевом приближении волновое поле представляется в виде и = Ает = (Л + 4і + 7 + ...)е т, (4-4) где А - амплитуда волн, которая разложена в ряд по обратным степеням частоты, а г - время пробега волны от точки источника. Подстановка лучевого разложения (4-4) в уравнение (4-1) приводит к уравнению дт ЗА г)т іш -Ае + е т = ікаАеш = 1иАа( -)Ае т + 0(w), (4-5) где oz oz ох . = -Ё(з- 1=] I =М = ) («) dx v г \ v2 в случае рациональной аппроксимации и -(!)-;-/„ 5-w(s) (1) « в случае интегральной аппроксимации. Приравнивая в (4-5) члены при о;1, можно получить уравнение эйконала: дт А /5г\ дт 2 Эх! " описывающее распространение волновых фронтов, для уравнения квазипараболического типа. Легко видеть, что данное уравнение эйконала является аппроксимацией одной из ветвей уравнения эйконала, получаемого для уравнения Гельмгольца: )+[)= (4-9) гдт\2 (дЛ2 = 1 дх) \dzj v2
Отсюда следует, что решение уравнений квазипараболического типа дает верную оценку времен прихода волн в тех областях среды, где решения уравнений эйконала (4-8) и (4-9) совпадают. Это происходит, когда волны распространяются в направлениях, близких к выделенному (оси Oz).
Из уравнения (4-5) также можно получить и уравнения переноса для последовательного определения членов амплитудного разложения Д. Уравнение переноса для AQ определит амплитуду решения уравнения (4-1) в нулевом приближении лучевого метода. Однако, данное уравнение не совпадает с уравнением переноса для уравнения Гельмгольца (см. [20]): 2(УЛ, Vr) + ААт = 0. (4-10)
Следовательно, амплитуды, даваемые решением классического вида (4-1) уравнений квазипараболического типа, неверны даже в лучевом (высокочастотном) приближении.
Для того, чтобы верно оценивать амплитуду волнового поля в высокочастотном приближении, в работе [20] был предложен метод параксиальной аппроксимации с поправкой за неоднородность среды. Данный метод основан на решении модифицированного уравнения квазипараболического типа: ои — - гкааи -Gu = 0. (4-11) Ла является интегральной аппроксимацией оператора квадратного корня, задаваемой выражением Aa3u = k(u + - ds\/l - S2LT1(S,X,Z,W)(VVX)2U), (4-12) 7Г J-l где LT(S,X,Z,U) = UJ2 + S2(VVX)2, (4-13) и (UVX)2 = vj v-fe в двумерном случае, а результат действия оператора L 1 на функцию / ( 7 = L lf) определяется решением уравнения, подобного уравнению Гельмгольца: (u 2 + s2(vVx)2)q = f, (4-14) с соответствующими граничными условиями. В данной главе, для того чтобы избежать излишней громоздкости вычислений, все рассмотрения проводятся в двумерном случае. Оператор G определяется следующим образом: Gu = (u- LTX(1,X,Z,U){VVX)2U) . (4-15)
Введение поправки G в уравнение (4-11) обеспечивает эквивалентность первого уравнения переноса, полученного для данного уравнения, и уравнения переноса (4-10), см. [20]. Для однородной среды поправка обращается п нуль, так как в этом случае vz = 0. Следовательно, можно считать, что введенная поправка является поправкой за неоднородность среды.
Таким образом, решение уравнения (4-11) описывает амплитуду волнового поля корректно в нулевом приближении лучевого метода. Поэтому в данной работе этот подход и называется методом параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды.
В целом этот подход достаточно заманчив, однако, путь его практической реализации не вполне ясен.
В данной работе предлагается модификация метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации, названная методом локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации. Метод локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации и результаты его сравнения с методом параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды представлены в следующих разделах.
Метод локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации.
Метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации, сформулированный в главе 2, существенно отличается от метода параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды. Отличие состоит прежде всего в том, что волновые поля, полученные методом многоступенчатой параксиальной аппроксимации, содержат отраженные волны. Как обсуждалось ранее, это может рассматриваться как преимущество, так и как недостаток метода в зависимости от конкретной ситуации. Но существует возможность модификации метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации, позволяющей избежать генерации отраженных волн. Эта модификация далее и будет сравниваться с методом параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды.
Метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации был основан на решении трех уравнений квазипараболического типа во всей области модели. С помощью первого уравнения осуществляется продолжение волнового поля от верхней границы модели до нижней границы. С помощью второго - от нижней до верхней и наконец, с помощью третьего - от верхней до нижней.
Идея предлагаемой модификации метода состоит в реализации трех шагов метода мпогоступепчатой параксиальной аппроксимации не глобально, т.е. во всей области модели, а локально, т.е. в каждом тонком слое, задаваемом интервалом глубин (z, z+ Az).
Пусть известно значение волнового поля на верхней кромке слоя, u(z) (если источник, плотность сил которого задана функцией f(z)S(z) находится на глубине z = О, то согласно результатам главы 2, и(0) = %-/) Зависимость и от х опущена для простоты изложения. Тогда для продолжения поля на нижнюю кромку слоя применяется модифицированный метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации, состоящий из трех шагов:
Высокочастотная асимптотика модифицированного принципа построения изображения
Модифицированный принцип построения изображения сформулирован в выражении (5-8). Это выражение было получено путем умножения подинтегральной функции классического принципа построения изображения (5-1) на cos2# (где 9 - угол падения волны на виртуальную отражающую границу, построенную по волновым векторам падающей и обращешю-продолжешгой волн), которое впоследствии было выражено в терминах дифференциальных операторов.
Предполагая, что высокочастотная асимптотика волнового поля, созданного источником, не содержит зон мпоголучевости в некотором множестве точек X, можно использовать оригинальную формулировку модифицированного принципа построения изображения (см. раздел 5.1): м(хя,х) = T -;r)fweildujui(xs,x,u)Trb(xs,x,uj)cos2e{x) P(xs,x) = 1иеП(1ищ(ха,х,и)щ(х8,х,и;) .
В данной формулировке щ является волновым полем, созданным источником х3. Пусть данное волновое поле описывается функцией Грина G(X,XB,UJ). щ — обращешю-продолжешюе волновое поле, которое может быть в высокочастотном приближении (см. [39]) выражено через измеренные поверхностные данные посредством теоремы представлений: щ(х) = 2/Xr dxr (xs,xr,u;). (5-22)
Равенство в выражении (5-22) справедливо лишь в случае неограниченной системы наблюдений. В высокочастотном приближении (см. представление (5-12) функции Грина) -г— « ikzG = ги)—;—г— G, (5-23) oz u(xr) где и - угол между вертикалью и направлением распространения волны, зарегистрированной на поверхности в точке хг.
Используя теорему представлений (5-22), выражение (5-23) и высокочастотную асимптотику функций Грина (5-12), можно представить выражение (5-21) в виде: м(х.»х) = -РОЬО J"«en " Ь ех dXrA(Xa х)х xA(xr,x) eiu Td x x )d(xs,xr,ш) (5-24) Р(х„х) = Axs,x)/wncL;±i .
Так как множество О, не включает окрестности и = 0 по определению в разделе 5.1, то последний интеграл существует.
Произведение косинусов в подинтегралыюм выражении (5-24) в случае схемы наблюдений с общим пунктом взрыва связано с определителем Белкина h и амплитудой функции Грина А: cos2 в cos v _ v2(x)\h(xr,x)\ , __v и(хг) 1б7гД2(хг,х) Доказательство справедливости этого выражения приведено в Приложении 4.
Подстановка выражения (5-25) в (5-24) дает следующее выражение для высокочастотной асимптотики модифицированного принципа построения изображения: которое очень похоже на результат метода псевдо-инверсии (5-20). Различие между выражениями (5-26) и (5-20) заключается лишь в постоянном множителе и присутствии sgnuj в подинтегралыгом выражении (5-20).
Если теперь подинтегралыюе выражение высокочастотного представления модифицированного принципа построения изображения (5-26) умножить на С(и) = — Msgn{w) .LgfidwA, это выражение будет полностью эквивалентно результату метода псевдо-инверсии (5-20).
Можно также умножить подинтегралыюе выражение конечно-разностной формулировки модифицированного принципа построения изображения (5-8) на С(ш): г(х)«/м(х„х) = х /w6n 5n(u;)(ud(xs,x,w)u(xg,x,cj)+ ,ъ_21\ 1 г 18ud(x\,x,ui) 1 дЩ(х,,х,и) , FI Ї. ,дх .«„ах 1 dud(x,,x,u) 1 дЩ{х,,х,и)і\ і дг 1 dz 1)
Эта формулировка модифицированного принципа построения изображения, в отличие от предыдущей, дает оценку возмущения медленности г(х) и является аналогом метода псевдо-инверсии, который может быть реализован на основе конечно-разностных методов моделирования волновых полей.
Следует отметить, что модифицированный принцип построения изображения был получен в предположении небольших углов падения в. Но его высокочастотная асимптотика дает тот-же результат, что и метод псевдо-инверсии, который не зависит ни от каких предположений об углах падения. Таким образом, ограничения области применимости модифицированного принципа построения изображения на случай с небольшими углами падения не существует.
Используя формулировку модифицированного принципа построения изображения, приведенную в данном пункте, можно получать оценки возмущения медленности среды г(х). Также эта формулировка может быть использована в итерационных алгоритмах восстановления параметров среды. Более подробно это будет обсуждено в следующей главе.
Но приведенные формулировки модифицированного принципа построения изображения обладают следующим недостатком: они сформулированы в рамках схемы наблюдений с общим пунктом взрыва и поэтому в силу ограниченности апертуры системы наблюдений при обработке данных многократного перекрытия они будут давать изображения среды с искаженной на некоторых участках амплитудой восстановленного параметра. Влияние эффектов апертуры и способ их устранения будет обсуждаться в следующем разделе.
Эффекты, связанные с ограниченностью апертуры системы наблюдений. Под апертурой системы наблюдений понимается величина угла (телесного угла в трехмерном случае), под которым видна система наблюдений (например, приемная коса) из какой-либо точки среды. Величина апертуры системы наблюдений также связана с диапазоном возможных для этой системы наблюдений направлений волнового вектора к, определенного выражением (5-17). Чем больше апертура системы наблюдений, тем точнее результат восстановления параметров среды. Ограниченность системы наблюдений приводит к ошибкам в их оценке.
Один пример влияния апертуры системы наблюдений был приведен в разделе 5.2 данной главы. В том случае амплитуда возмущения параметра среды в окрестности одной из отражающих границ была недооценена.
Здесь будет приведен пример миграции синтетических данных, созданных для двумерного разреза модели соляного тела SEG/EAGE (Рис. 5-6). Модель, из которой взят этот разрез, используется в международных геофизических обществах SEG и EAGE для тестирования алгоритмов миграции. Для двумерной модели, изображенной на Рис. 5-6, были рассчитаны синтетические сейсмические данные морского типа для 237 пунктов взрыва, расстояние между которыми составляло 80 м. Данные каждого пункта взрыва регистрировались на 65 приемниках, расстояние между которыми составляло 40 м. Максимальное удаление приемника в приемной базе наблюдений составляло 1.35 км.
Для миграции использовалась сглаженная версия модели соляного тела, см. Рис. 5-7. Волновые поля рассчитывались в этом примере методом многоступенчатой параксиальной аппроксимации. Для построения изображения использовался модифицированный принцип построения изображения в формулировке (5-27). Результат миграции показан на Рис. 5-8, где отчетливо видно, что амплитуда восстановленного возмущения параметра в окрестности левой части верхушки соляного тела занижена по сравнению с амплитудой в окрестности ее правой части.
Изображение на Рис. 5-8 было получено посредством суммирования изображений, построенных по разным пунктам взрыва. Оценка возмущения медленности была бы верной, если бы длина косы приемников была бы бесконечной. При конечной длине косы в рамках этого подхода неизбежна ошибка в оценке параметров среды.
Похожие диссертации на Миграция сейсмических данных в истинных амплитудах на основе метода параксиальной аппроксимации
