Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Описание волн в неоднородной гетерогенной среде 11
1 Поиск универсальной формы волнового уравнения для среды с дисперсией локальных свойств. 13
2 Понижение порядка волнового уравнения 24
3 Метод решения дифференциального уравнения первого порядка для волн в кусочно-однородной среде 29
Глава 2 Расчет волнового поля в кусочно-однородной эквивалентной среде. Первый класс прямых задач 35
4 Горизонтально-однородная упругая среда. Алгоритм вычисления волнового сигнала в упругой плоскослоистой среде с частотной дисперсией эффективных свойств. 36
5 Горизонтально-однородная среда МЛ.Био. Алгоритм вычисления волнового сигнала в двухфазной плоскослоистой среде с динамическим взаимодействием фаз
6 Обнаружение продуктивного слоя по данным волнового зондирования. 59
Глава 3 Спектральный метод решения волнового уравнения в среде с плавным изменением свойств. Второй класс прямых задач.
7 Задание неоднородной среды в терминах гармонического анализа.
8 Метод нормальных волн для макро-неоднородной среды. Волновое поле в среде со сложным законом дисперсии 87
9 Инвариантное уравнение для одной произвольно выбранной нормальной волны и его решение. 95
Глава 4 Динамические задачи случайной микронеоднородной среды 99
10 Эффективные динамические свойства случайно-неоднородной среды.
11 Суммирование ряда Неймана для средней функции Грина и поиск эффективного оператора . ЮЗ
12 Итоговые соотношения для расчета эффективных свойств в полном пі диапазоне частот. Сравнение с результатом лабораторного эксперимента
Заключение 120
Приложение 125
Литература
- Понижение порядка волнового уравнения
- Горизонтально-однородная среда МЛ.Био. Алгоритм вычисления волнового сигнала в двухфазной плоскослоистой среде с динамическим взаимодействием фаз
- Метод нормальных волн для макро-неоднородной среды. Волновое поле в среде со сложным законом дисперсии
- Суммирование ряда Неймана для средней функции Грина и поиск эффективного оператора
Введение к работе
Распространение волн традиционно является основой многих методов исследования недр, разведки месторождений нефти, газа, залегания грунтовых вод, а также инженерной сейсмики. Строение гетерогенной среды определяет её динамические свойства и поэтому обнаруживает себя в процессе распространения механических колебаний. Колебания в точках источников и приёмников можно рассматривать, соответственно, как входные и выходные сигналы, а среду - как некоторый пространственно распределенный преобразователь или канал, обладающий нетривиальной импульсной характеристикой, поскольку локальные свойства подобного канала, включая число колебательных степеней свободы, могут изменяться на его протяжении. Согласно определению, импульсная характеристика, является откликом среды на сингулярное возбуждение и позволяет однозначно рассчитать выходной сигнал по заданному сигналу источника, её спектральную плотность также называют передаточной функцией [Баскаков, 1988]. С точки зрения теории сигналов, импульсная характеристика исчерпывает весь объём данных, которые могут быть получены волновым просвечиванием при фиксированном положении источника и приемника. Описывая универсальное преобразование между входными и выходными сигналами, она содержит косвенную информацию о той внутренней структуре, которая определяет динамические свойства среды по отношению к данному типу колебаний. Здесь мы имеем дело с некорректной обратной задачей, требуется восстановить среду по импульсным характеристикам -сечениям полной функции Грина в точках источников и приемников. Искомая информация о среде является неполной, поэтому для её «расшифровки» или интерпретации необходимо вначале ограничить многообразие всевозможных сред. Такое ограничение происходит при выборе модели среды, предполагается, что модель задается конечным числом независимых параметров. Относительно идеализированной постановки обратной задачи выбор модели априорен и диктуется некоторыми дополнительными сведениями. После выбора модели задача сводится к поиску значений свободных параметров, при которых сечения модельной функции Грина в точках источников и приемников максимально приближены к наблюдаемым импульсным характеристикам.
Данная формулировка исходной задачи позволяет перейти к ряду прямых задач, которые, оставаясь неэлементарными, допускают возможность аналитического исследования, и могут выявить качественные признаки интересующего строения среды. А именно, выявить признаки наличия или отсутствия в составе многослойной среды двухфазного слоя, содержащего твердую и жидкую (газообразную) компоненту, а также признаки существования в каком-либо слое трещин, пор. Таким образом, речь идет о наблюдении волнового процесса в многослойной модели, в которой насыщение пор жидкостью и средний радиус поровых каналов а, следовательно, дисперсия и затухание волн, могут быть заданы уникальными в каждом слое. Размер поровых каналов показывает, насколько существенно движение жидкости влияет на общее волновое движение среды. Можно сказать, что радиус поровых каналов и вязкость заполняющей жидкости определяют число колебательных степеней свободы, которые активно вовлечены в волновой процесс [Славкин, 1997]. Следовательно, фактическое число степеней свободы также может изменяться при переходе от слоя к слою, на рисунке 1 изображены простейшие эквивалентные схемы такой слоистой среды. Нетривиальные динамические свойства сложно построенной среды, или, в более узком смысле, частотные зависимости локальных свойств, составляют основу для возможности распознавания (детектирования) некоторого выделенного слоя в составе многослойной среды, по данным волнового зондирования.
Наблюдение и анализ эффектов дисперсии, затухания и перераспределения энергии по степеням свободы имеет больший практический интерес при вертикальном зондировании и профилировании, на рис.1 приведены эквивалентные схемы вертикально-неоднородной среды для различных свойств выделенного слоя. Такие задачи становятся актуальными при разведке месторождений нефти, газа или залегания грунтовых вод, когда требуется ответить на главный качественный вопрос о существовании продуктивного слоя и сделать возможные количественные оценки. В настоящее время для поиска нефтегазовых месторождений успешно применяется метод ПДС (Поглощение и Дисперсия Скорости), предложенный его авторами [Рапопорт, 1992 - 2000], [Ryjkov, 1994]. В 1992 - 2003 гг. авторы метода ПДС сделали 12 докладов на Всемирных (SEG, IGRC) и Европейских (EAGE) геофизических конференциях, что вызвало интерес специалистов и привлекло внимание к проблеме. Актуальным остаётся вопрос о виде уравнений, которые описывают распространение волн в среде насыщенной смесью газа и жидкости, находящимися в состоянии равновесия фаз.
Данная работа посвящена разработке метода вычисления волнового сигнала в сложно-построенной многослойной среде. Используется универсальная форма системы уравнений, которая учитывает частотную дисперсию свойств. Теоретическое решение задачи о волновом зондировании выявляет также частотную зависимость коэффициентов отражения на границе между слоями с различным насыщением и проницаемостью. Полные синтетические сейсмограммы получены для точно решаемой модели, заданной обобщёнными уравнениями Био, в том числе, с учётом явлений «второй» вязкости. Метод позволяет вычислять сейсмограммы и наблюдать эффекты, вызванные наличием выделенного слоя, для различных видов уравнений и моделей среды. Сравнение синтетических и экспериментальных наблюдений позволит проверять гипотезы о поведении среды и сделать правильный выбор количественной теории. Последнее позволит извлечь наибольшую информацию из реальных данных сейсмических измерений, т.е. решить обратную задачу в рамках выбранной теории.
Таким образом, речь идет о нелучевом описании волн в макро- и микронеоднородной гетерогенной среде. Микро-неоднородность является случайной - это различные флуктуации свойств, трещины, поры, вкрапления других кристаллитов, насыщение пор жидкостью. Классификация неоднородностей по масштабу, как известно, связана с минимальной длиной волны, для которой неоднородная среда еще остается прозрачной, т.е. волна может распространяться с некоторым надкритическим затуханием. Все неоднородности, имеющие размер меньше минимальной длины волны, можно считать микроскопическими и учитывать с помощью теории эффективных свойств (ЭС) [Шермергор, 1977], [Shapiro, 1999]. В результате микронеоднородная среда заменяется эквивалентной средой, которая имеет нетривиальные дисперсионные свойства. А именно, свойства эквивалентной среды, например, плотность и тензор упругости, зависят от частоты и волнового вектора. Последнее позволяет наблюдать резонансные и диссипативные явления присущие реальной среде [Чесноков, 2001]. Именно ЭС являются наблюдаемыми в эксперименте. Зная ЭС на низкой частоте и имея общие сведения о составе композита, можно решить многие обратные задачи о структуре гетерогенной среды [Баюк, 1999].
Аналогично, двухфазная среда, состоящая из упругой проницаемой матрицы (скелета) и вязкой жидкости, описывается уравнениями М.А.Био [Biot, 1956,1962], где динамическое взаимодействие колеблющейся жидкости с матрицей описывается функцией частоты. В результате, среда Био обнаруживает частотную дисперсию скоростей и затухания волн и имеет большее число колебательных степеней свободы, по сравнению с обычной упругой средой. Наличие частотной дисперсии означает, что связь между напряжением и деформацией не локальна во времени, обычно такую связь задают сверткой, учитывающей предысторию деформации.
Если макро-неоднородностей в исходной среде нет, то полученные эффективные свойства не будут зависеть от координат и эквивалентная среда станет однородной. Если же в среде кроме микро-неоднородностей, существует еще макроскопическая неоднородность с масштабами больше минимальной длины волны, то в локальных свойствах, наряду с появлением дисперсии, сохранится зависимость от координат и эквивалентная среда останется неоднородной, но будет содержать только крупномасштабные неоднородности. Подчеркнем, что частотно-зависимые эффективные свойства есть не что иное, как учет микро-неоднородности или гетерогенного характера среды на малом масштабе длин. В конечном итоге, подлежащее решению волновое уравнение записывается для макро-неоднородной среды с дисперсией локальных свойств. Иначе говоря, коэффициенты волнового уравнения представляют собой операторы и задают свойства эквивалентной среды — эффективные свойства.
Мы рассмотрим два класса прямых задач о распространении волн и, соответственно, два метода решения волнового уравнения. Первый метод решения можно осуществить с помощью локализации неоднородности, если принять следующие тезисы, определяющие первый класс задач: (Главы 1, 2)
— Эквивалентная среда кусочно-однородная, т.е. эффективные свойства изменяются в пространстве лишь в малой окрестности поверхностей границ.
— Решение ищется только для сечений функции Грина на границах раздела, а не для всего волнового поля. Для сечений выводится точное интегральное уравнение с пониженной кратностью интегрирования.
Если среда не кусочно-однородная, реализуется спектральный метод решения или метод нормальных волн со сложным законом дисперсии. Однако спектральный метод будет оправдан следующими условиями второго класса задач: (Глава 3)
— Эффективные свойства среды плавно изменяются в пространстве.
— Дисперсия любой нормальной волны имеет линейный коротковолновый предел. Компромисс между названными классами задач пока представляется достижимым при переходе к трехмерному интегральному уравнению, в первом методе, или при увеличении размерности спектральной задачи, во втором методе.
Решение задач первого класса (Глава 2) позволяет наблюдать волновой процесс в многослойной модели, в которой насыщение пор жидкостью и средний радиус поровых каналов, а, следовательно, дисперсия и затухание волн, могут быть заданы уникальными в каждом слое. Полученные здесь результаты позволят выяснить, насколько разнообразны условия, при которых возможно осуществить детектирование продуктивного слоя по данным волнового просвечивания. В третьей главе строится спектральный метод решения волнового уравнения в среде с плавным изменением свойств (второй класс прямых задач). Решается задача о нахождении волнового поля в среде со сложным законом дисперсии. Используется метод нормальных волн для моделирования и исследования волновых процессов в сложно построенных средах с трехмерной неоднородностью. Так как спектральный подход позволяет представить возбуждение в неоднородной среде в виде суперпозиции независимых нормальных волн, то задача сводится к поиску каждой отдельной нормальной волны. Каждая нормальная волна задается своим законом дисперсии. На основе принципа инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре, получено скалярное уравнение для одной произвольно выбранной нормальной волны. Группа Пуанкаре рассматривается как группа асимптотической симметрии характеристик обобщённого волнового уравнения [Фущич, 1990]. Такая симметрия, в свою очередь, гарантирует выполнение принципа причинности в процессе распространения волн. Полученное уравнение является инвариантным обобщением уравнения Клейна-Гордона-Фока на случай сложного закона дисперсии. Найден вид решения полученного уравнения, позволяющий осуществить корректное численное моделирование.
Четвёртая глава посвящена решению задачи об определении эффективных динамических свойств случайно-неоднородной (в том числе гетерогенной) среды, при произвольной контрастности компонент или фаз. Достоверное теоретическое описание динамических свойств случайно-неоднородной, в том числе гетерогенной, среды становится важным для решения широкого класса прямых и обратных задач о распространении волн. Так, например, при спектральном анализе волновых (сейсмических) сигналов в резервуарах с преобладающей ориентацией трещин (включений) наблюдается частотно-зависимое расщепление поперечных волн и частотно-зависимое затухание волн всех типов поляризации.
Согласно первоначальному представлению, возможность постановки задачи об эффективных свойствах неоднородной среды диктуется тем классом задач, для которых исходная случайно-неоднородная среда (СНС) может быть заменена некоторой однородной эквивалентной средой, обладающей нетривиальными дисперсионными свойствами. Именно динамические свойства указанной однородной среды представляют интерес для исследования и носят название «эффективные свойства», так как они описывают поведение исходной СНС при распространении волн.
В настоящее время хорошо разработанной и дающей согласие с экспериментальными наблюдениями является теория эффективных динамических свойств, для плоскослоистой СНС, [Shapiro, 1999].
Для слабоконтрастной трехмерной неоднородности справедливо парное корреляционное приближение [Шермергор, 1977]. Корреляционное приближение представляет собой асимптотику общего метода построения средней функции Грина и эффективного оператора, при малой относительной величине флуктуации локальных свойств СНС, т.е. при малой контрастности. Локальные свойства представляют собой случайные функции координат, следовательно, задание определенного вида или класса СНС возможно с помощью корреляционных функций, которые описывают статистическую связь между свойствами среды в различных точках пространства, а в общем случае, и в различные моменты времени.
С точки зрения общего метода, описание свойств СНС в теории упругости,
основано на определении эффективного оператора Le , связывающего среднее поле
смещений U, возбужденное произвольным источником, и среднюю 4-дивергенцию
тензора напряжений и плотности импульса — LU, по формуле:
LU = LeffU
где L- волновой оператор для исходной СНС. Заметим, что в статическом случае результат действия волнового оператора на поле смещений может быть записан в виде трёхмерной дивергенции тензора напряжений.
Точное вычисление L , требует суммирования ряда с бесконечным числом слагаемых, которые исчерпывают все многоточечные корреляции в неоднородной среде. Таким образом, точное решение задачи об эффективных свойствах предполагает, что известны корреляционные функции всех порядков. В диссертационной работе рассмотрен способ задания общего вида п -точечной корреляционной функции, позволяющий суммировать названный ряд и найти эффективный оператор в аналитическом виде. Основные результаты четвёртой главы таковы:
- На основе общего определения выведено уравнение для эффективных динамических свойств микронеоднородной среды, в рамках теории упругости.
- Проведено суммирование ряда Дайсона для средней функции Грина случайно-неоднородной среды, в предположении о статистической однородности и факторизуемости многоточечных корреляционных функций.
- Найдено импульсное представление эффективного оператора исследуемой случайно-неоднородной среды. Эффективный оператор, согласно основному определению, связывает среднее поле смещений и среднюю дивергенцию тензора напряжений и плотности импульса.
- Исследованы дисперсионные ветви объемных волн в случайно-неоднородной среде (СНС). Получены зависимости скоростей и коэффициента затухания продольных и поперечных волн от частоты и направления, теоретические результаты согласуются с данными лабораторного эксперимента.
Понижение порядка волнового уравнения
В предыдущем параграфе было показано, что в общем случае макро-неоднородной среды с частотной дисперсией локальных свойств волновое уравнение может быть приведено к универсальному виду, в котором минимальный порядок производных равен двум: (2.1) 9 0 (х;/0 dvup(x,0 = fa ( ./)» P = Tt v = 0,l,...,d где индесы a,p нумеруют компоненты волнового поля, для упругой трёхмерной среды — это компоненты вектора смещения и a,p = 1,2,3., для среды Био к названным компонентам присоединяется потенциал осциллирующей части порового давления и сс,р = 0,1,2,3. Данное уравнение удобно для поиска гармонических решений в однородной среде с зависимостью эффективного тензора от частоты и волнового вектора, а также для решения спектральной задачи в к -представлении, если свойства среды плавно изменяются в пространстве. Однако, решение уравнения (2.1) в координатном х -представлении затруднительно, если свойства резко изменяются пространстве, в частности, для кусочно-однородной среды. Целью данного параграфа будет вывод системы уравнений первого порядка для описания волн в неоднородной среде.
Выберем новые искомые функции, которые, являясь производными от компонент исходного волнового поля, позволят записать универсальное волновое уравнение (2.1) как дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Пусть такими искомыми функциями будут поле обобщенного тензора дисторсии
В результате определения (2.2) обнаружим, что исходное уравнение (2.1) представляет собой (d + 1)-мерную дивергенцию обобщенного тензора напряжений, это уравнение движения элемента среды (2.з) ам = fa Исходные векторы и тензоры, имеют верхние индексы \x,v, отвечающие координатам пространства-времени, и нижние индексы a, р — для компонент поля
С другой стороны, обобщенный тензор дисторсии образован частными производными компонент вектора ua, поэтому, требование отсутствия разрывов среды приводит к следующим условиям интегрируемости [Ильюшин, 1990]: (2.4) д а-дуЕ»=0, n,v = 0,l,...,d Объединяя в систему уравнения движения (2.3) и условия интегрируемости (2.4), получим дифференциальные уравнения первого порядка: (2.5) ад!+ад;=f« 1 л m 0 n m,n = l,...,d 0Єа -dmSa +rapemns s8p = где произвольные коэффициенты гар образуют некоторую невырожденную матрицу, emns— единичный антисимметричный тензор. Тензоры а и є связаны определением (2.2). Для «прозрачности» преобразований удобно переписать (2.5) в таком виде
Здесь и везде по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, s = l,...,d. Видно, что в левой части системы (2.5 ) возникли два столбца (набора) искомых функций. Чтобы не использовать громоздкие матричные записи введем для названных столбцов и матриц в системе (2.5 ) специальные обозначения: а0 а .т = Фа = 1, 5 -6 \га J здесь верхняя компонента столбца соответствует значению индекса ц. = 0, а нижняя - значениям индекса fi = m, где m = l,...,d. Попутно заметим, что свертка Ці Ув является инвариантом и равна плотности энергии колеблющейся среды. Теперь можно вернуться к лаконичной индексной записи системы (2.5): (2.5") ЗДЇ + Ь дУа + тта тп5д5ц,1 = fa68, H,v = 0.1,...,d Исходя из определения (2.2), связывающего тензоры а и є, можно вычислить матрицу Нр , связывающую два столбца искомых функций \рг и \У, а именно (2.6) Ч а=НИ, или Р ЄР; а fc Л fuOO _0п Yrr0 Є" Иар Мар а6 Vay H mO umn ч ар Пар; Умножим слева обе части системы (2.5") на матрицу Н: WW) + (H«PL7 + К а тт(Н 1№)д5ч 1 = . Тогда, благодаря соотношению (2.6), получим замкнутую систему уравнений с производными первого порядка относительно набора искомых функций в столбце іу, это компоненты скорости єа и обобщенного тензора напряжений т, другими словами, замкнем систему (2.5 ) в переменных скорость - напряжение [Dai, 1995]: (2.7) Э0 + Г и 5sH/pv = f , f = H$fp где (s) , рЦУ_ UHTTTV , unm mns/u-Knv 1 aP= napbs + naa ra P e Vn Jp p Итак, искомая система уравнений первого порядка в переменных скорость-напряжение, в записи без индексов, такова: (2.7 ) Г д (s д Л — + Г (х;р) — \/(х, 0 = f (х, О где Г квадратные матрицы по парам индексов (ц,а)х(у,Р). С другой стороны, подставляя (2.6) в уравнение (2.5"), получим систему уравнений замкнутую относительно набора искомых функций в столбце ф, это компоненты плотности импульса а и тензора дисторсии Е , другими словами, замкнем систему (2.5") в переменных импульс-деформация:
Горизонтально-однородная среда МЛ.Био. Алгоритм вычисления волнового сигнала в двухфазной плоскослоистой среде с динамическим взаимодействием фаз
Рассмотрим упругую среду в одномерном случае. Данная задача возникает при вертикальном распространении плоской волны в горизонтально-однородной среде. В действительности возбуждение такой плоской волны невозможно -источник (например, удар) должен быть распределен равномерно по бесконечной горизонтальной поверхности. Реальный источник всегда локализован в конечной области. Тем не менее, одномерные модели можно использовать для интерпретации данных волнового просвечивания на малых базах. При известном удалении от источника, в пространстве - для прямой волны, или во времени - для отражённых волн, кривизна волновых поверхностей невелика, и приближение плоской волны оправдано, если источник и приемник расположены на одной вертикали или близко друг к другу. Главное преимущество одномерной модели - существование точного решения, допускающего возможность аналитического исследования. Особый интерес представляет исследование многослойной модели, в которой дисперсия и затухание волн могут быть заданы уникальными в каждом слое. Точное решение такой задачи выявляет характерные признаки наличия-отсутствия некоторого выделенного, например, трещиноватого слоя в составе многослойной среды, иначе говоря, позволяет обнаружить выделенный слой по данным волнового зондирования на малых базах. Еще одна цель данного параграфа - осуществить общий метод 3 на простом примере. Обратимся к результатам первой главы, фиксируя значение размерности d=1. В одномерном случае уравнение первого порядка (2.7 ) содержит только одну матрицу Г, так как индекс s = 1:
В рассматриваемом здесь случае, среда характеризуется двухкомпонентной функцией \у , содержащей скорость точек среды є, = d0ui и напряжение с, = д и , такой набор переменных отвечает одной степени свободы каждой точки среды - это смещение U](x,t). Следовательно, эффективная среда однофазна, так как волновое поле не содержит компонент, которые отвечали бы движению других фаз. Определенный в (1.4) расширенный тензор Ср(х;/ ); (сс,р = 1;ц,у = 0,1) имеет следующие отличные от нуля компоненты: (4.2) С]\(х;р) = С(х;/), С?(х;/ ) = -р(х;р); где С - модуль упругости, р - плотность, обе величины - эффективные свойства. Согласно формуле (2.11), матрица уравнения первого порядка (4.1) такова: где функция с{х;р) соответствует частотно-зависимой скорости распространения волны, а функция Z(x;p) описывает поведение импеданса среды:
Названные функции, в общем случае, комплексные. В соответствии с постановкой задачи, комплексные функции скорости распространения волны и импеданса задают эффективные свойства и позволяют описывать наличие трещин, пор, любую микронеоднородность исходной среды. (1) Из формулы (4.3) видно, что из матрицы Г(х;р) выделился общий множитель с(х;р), а матрица содержащая импеданс Z, имеет единичный детерминант detr = -1. Согласно условию (3.6), матрицу Г как функцию координаты х, необходимо представить в виде изоморфизма некоторой матрицы Г = с(х; р)у(р) для среды с постоянным импедансом: Г(х;р) = Щх;р) Т(х;р) V \x;p) Умножим справа обе части последнего равенства на матрицу U, получим:
В одномерном случае матрица Г может быть выбрана диагональной и содержащей собственные значения матрицы где с содержит на диагонали модули собственных значений, а у - сигнатуры. Тогда столбцы осуществляющей изоморфизм матрицы U, являются собственными векторами матрицы Г. Решая задачу (4.5), найдем явный вид нормированных собственных векторов матрицы Г и её собственные значения s .
Вычислим связность А, зная матрицу U из решения задачи (4.5) на собственные векторы. Для кусочно-однородной среды (рис.2) связность будет суммой дельта-функций, так как все элементы матрицы U в этом случае - кусочно-постоянные функции координаты х, следовательно, по формулам (4.9) и (4.6) связность имеет вид:
Метод нормальных волн для макро-неоднородной среды. Волновое поле в среде со сложным законом дисперсии
Любая нормальная волна (или нормальная мода) может быть интерпретирована как возбуждение, распространяющееся в такой эквивалентной среде, в которой реализуется отвечающий данной моде закон дисперсии. Следовательно, в импульсном представлении нормальная волна является обобщенным решением уравнения определяющего взаимосвязь частоты и волнового вектора [Боголюбов, 1984].
Следуя обозначениям предыдущего параграфа, используем стандартные обозначения для 4-векторов, соответственно, пространства-времени х = {х0,х}, где х0 = cj, и импульса-энергии к = {к0,к}, где к0 = со/са. Пусть П (Л) проекционный оператор в импульсном представлении. Для обозначения прямого и обратного четырехмерного преобразования Фурье примем: ф( ) = F [ф(х) ] ( ) , ф(х) = F [ф( ) ] (х)
Используя приведенные обозначения, запишем функцию Грина уравнения (7.2). Функция Грина уравнения (7.2) представляется в виде суперпозиции нормальных волн: Gij(x,x )=X X Sq(x-x )e- ("x- ) p.qeP a=1 где запаздывающая функция Грина \у выражается через спектральную плотность ф: $,f (х) = JdV ціа(х-х ) n{V), Ч «( ) = 6() Fk [фв( )]( ) фа( ) = -і sign( o) 5(ОД), Цк) = к2 -М2а(к) Проекционный оператор определяет тензорную структуру, он равен линейной комбинации дельта-функции 5(х ) и ее производных, поэтому свертка с проекционным оператором сводится к суммированию конечного числа производных скалярной функции \\)а умноженных на соответствующие тензорные коэффициенты. Закон дисперсии нормальной волны с индексом а может быть задан в неявной форме (8.1) aW , k2=kvkv, kv=&\ = 02-(coa(A)/ca)2=0 Функция L(k) должна обращаться в ноль на дисперсионной ветви, следовательно: (8.2) Mj( ) = 4-(CDa(A))2-A2 ; A2=-gmn, m,n = 1,2,3. где co(k) явная зависимость частоты от волнового вектора, причем w(k) = со(-к). Функцию (8.2) будем условно называть квадратом массы, это отклонение от линейного закона дисперсии. Согласно предположению, при больших к зависимость со(к) приближается к гиперболической.
Роль абсолютной скорости выполняет коротковолновой предел фазовой скорости са. Параметры са,та и коэффициенты тензора g можно определить согласно методу наименьших квадратов, они должны обеспечивать минимальное значение функционалу: X(ca,ma,ga)= Jd3k(M2(k)-m2)2, при detg =-1 cultra l l cmax Без ограничения общности тензор g может быть приведен к диагональному виду с помощью линейного преобразования импульсных переменных. Волна возбужденная точечным источником в однородной среде заданной законом дисперсии (8.1) описывается запаздывающей функцией Грина ф : (8.3) ф(х) = 9(х0) Fj9( )](x), cp() = -/sign(0)5(L()) где F обратное четырехмерное преобразование Фурье. Спектральная плотность ф, к нормальной моды а, представляет собой 8 -функцию на многообразии h(k) = 0, она удовлетворяет однородному уравнению: (8.4) (к2-М2(к))фа(к) = 0 при постоянной массе уравнение (8.4) совпадает с уравнением Клейна-Гордона-Фока в импульсном представлении. Фурье-образ запаздывающей функции ф(х), является решением неоднородного уравнения: (8.5) (к2-М2(к))фа(к) = 1 Функция ф(х) есть запаздывающая функция Грина. Цели настоящего параграфа таковы: (і) получить инвариантное относительно преобразований из группы Пуанкаре, уравнение (8.4), (ii) перевести полученное инвариантное уравнение в координатное представление. Группа Пуанкаре рассматривается как группа асимптотической симметрии характеристик волнового уравнения [Фущич, 1990]. Такая симметрия (инвариантность), в свою очередь, гарантирует выполнение принципа причинности в процессе распространения волн. Согласно определению алгебры инвариантности и теоремам доказанным в монографии [Фущич, 1990], уравнение вида Ьф = 0 инвариантно относительно непрерывной группы преобразований, если оператор уравнения L коммутирует со всеми элементами алгебры Ли этой группы. Алгебра Ли группы Пуанкаре состоит из четырех операторов трансляций kv, трех генераторов преобразований Лоренца и трех генераторов вращения пространства, всего десять элементов: А А А А (8.6) {kv, J v = x kv-xvk } , (n v; n,v = 0,l,2,3.) где хц- операторы координат, в импульсном представлении хц = /Э/Экц. Нетрудно установить, что все элементы алгебры (8.6) коммутируют с оператором уравнения (8.4) при постоянном параметре массы М2 (k) = const, т.е. когда уравнение (8.4) совпадает с уравнением Клейна-Гордона-Фока, для последнего алгебра Пуанкаре (8.6) является алгеброй инвариантности. Оказывается, что в случае сложного закона дисперсии, когда параметр Мп зависит от пространственных компонент импульса к, сохранение Пуанкаре-инвариантности требует введения дополнительной зависимости функции квадрата массы за пределами дисперсионной ветви (ДВ)- многообразия L(k) = 0, так как оператор уравнения (8.4), в общем случае, не коммутирует с генераторами J v, вращения и преобразований Лоренца. Чтобы доопределить функцию квадрата массы, прежде всего, заметим следующее, решение уравнения (8.4) определяется только поведением функции L(k) = к2 — М (к) в нуле - на дисперсионной ветви.
Суммирование ряда Неймана для средней функции Грина и поиск эффективного оператора
Раскрывая в последнем слагаемом выражения (11.15) усредненную флуктуацию с С = С(х) - С (k), запишем условие (11.17) в виде, пригодном для вычисления с искомого тензора С(к) методом прямой итерации: (12.1) C(A:) = fc(x)(l-JC )"1+TwV(l-JC ) 1) , В равенство (12.1) входят матрицы размерности (9x9), с учетом симметрии тензора с Q (k). В матричной записи имеем: (12.2) T(yt) = C(l-JC)"1-C(l-JC)"1, где черта сверху обозначает усреднение по объёму среды. Непосредственное вычисление матрицы (12.3) Л( )= (і-Гс)"1 возможно только при достаточном удалении 4-вектора к от дисперсионных ветвей — полюсов функции Грина Gc, оператора тела сравнения Lc. Тем не менее, уравнения для эффективных свойств (12.1) необходимо использовать именно на дисперсионной ветви. Чтобы вычислить матрицу Л(к) на дисперсионных ветвях, перейдем к пределу det(Lc)— 0, в выражении (12.3) для искомой матрицы. Запишем тензор J00, определенный второй формулой (11.12), в виде: 114 J yV= Л Зц( ) = - Л (ATLc )ij, z = detLc, где матрица Д c союзная к матрице Lc, подставляя в (12.3), при z—»0 получим следующее: (12.4) A(k)=Hmz(lz-UC ) l, Ujjv S- v(ATL,)y Матрица U размерности (9x9) вырождена при любом значении к и разложение соответствующей обратной матрицы (12.4) в ряд Лорана, по степеням переменной z таково: (12.5) (lz-UC)_1=-A + M0+zMi+z2M2+... z где искомая матрица Л не меняется при умножении матрицы U (или 4-вектора к) на любое число отличное от нуля. Воспользуемся формулой Коши и найдем первый и, в данном случае единственный, коэффициент главной части ряда Лорана (12.5), как интеграл по окружности z=r, [Сидоров, 1989]. В результате, будем иметь интегральное представление искомой матрицы Л на дисперсионных ветвях:
Радиус окружности г - должен превышать максимальное абсолютное значение корней полинома: det(lz-UC ) = 0. Совместно с видом тензора J(to,k), который вычисляется с помощью интеграла (11.12), формулы (12.1 - 12.6) дают решение задачи о динамических свойствах случайно-неоднородной среды, заданной статистически-однородными корреляционными функциями, отвечающими факторизованному спектру мощности (11.11).
Статический предел построенного метода количественно согласуется с методом обобщенного сингулярного приближения (ОСП) [Шермергор, 1977], в котором свойства тела сравнения совпадают с эффективными. Для проведения численных вычислений, в интеграле (11.12) удобно сделать замену переменной интегрирования q = k-aAx , и записать результат с использованием универсальной функции ф(т), введенной в спектре мощности (11.11). (12.7) = ]Лф(т)( - / )(Ау-ху/ау)С; -а-Ч)
Таким образом, мы получили динамическое обобщение того же самого интеграла который играет основную роль в вычислительной схеме статического метода ОСП. Для решения модельных задач универсальная функция ф(х) определяет характер убывания корреляционных функций. Последний может быть монотонным или немонотонным, в частности, осциллирующим. Приведенные ниже численные результаты были получены для функции вида: (12.8) Ф(т) = 5(т0) / 2ч2 , г 2= т? + т + т32, (1+]т2)2 при постоянных во времени локальных свойствах неоднородной среды, т.е. масштаб корреляции во времени а0 много больше масштабов корреляции в пространстве а{: а0 » max{al,a2,ai]. Для универсальной функции (12.8) интеграл (12.7) вычислялся в сферических координатах, причем результат интегрирования по радиальной переменной т выводился аналитически, с помощью разложения подинтегральной рациональной функции на парциальные дроби, а интегрирование по углам осуществлялось численно. 116 Данный алгоритм справедлив как для изотропных, так и для произвольно анизотропных сред. Пространственные масштабы (длины) корреляции {ava2Mi} позволяют моделировать форму так называемого зерна неоднородности. Проведенные теоретические вычисления, для экспериментально исследованной в работах [Fjaer Е, 1997], [Fjaer Е. and Suarez-Rivera R., 1998] модели ориентированных тонких дисков, приводят к следующим результатам. Спектр затухания определялся как отношение амплитуд падающей и прошедшей через образец волны, деленное на длину образца С, = А(0)/А()/. Теоретическая частотная зависимость коэффициента затухания С,, при различном отклонении волнового вектора от направления перпендикулярного к плоскости дисков, приведена на рисунке 26, соответствующие зависимости скорости продольных волн приведены на рисунке 27.
