Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Возможности применения метода S-аппроксимаций при решении геодезических, геоморфологических и геофизических задач 14
1.1 История и обзор методов интерпретации данных геофизических полей 14
1.2 Метод линейных интегральных представлений 17
1.3 Метод S-аппроксимаций
1.3.1 S-аппроксимация в локальном варианте 21
1.3.2 S-аппроксимация в региональном варианте 23
1.3.3 Методы решения СЛАУ, возникающих при интерпретации геофизических данных методом S-аппроксимаций
1.4 S-аппроксимация рельефа поверхности 27
1.5 Применение S-аппроксимации для вычисления уклонения отвесной линии в Атлантике 29
1.6 S-аппроксимация при выявлении слабоинтенсивных аномалий для оконтуривания сложнопостроенных ловушек углеводородов
1.6.1 Использование S-аппроксимации при разведке месторождений нефти и газа 33
1.6.2 Результаты математического эксперимента 35
1.7 Рекомендации к применению S-аппроксимации 40
1.8 Решение обратных задач геофизики при помощи теории динамических систем 1.8.1 Постановка обратной задачи 41
1.8.2 Приближение заданного элемента набором базовых цилиндров 44
1.8.3 Алгоритм нахождения неизвестных функций 49
1.8.4 Результаты апробации алгоритма на модельном примере 51
1.9 Выводы к главе 1 53
Глава 2. Модификация метода S-аппроксимаций 54
2.1 Обоснование модификации метода S-аппроксимаций 54
2.2 Постановка модифицированного метода S-аппроксимаций 55
2.3 Анализ деформационных функций 62
2.4 Выбор функционала качества решения 65
2.5 Неэффективность решения безусловной вариационной задачи 66
2.6 Линейные трансформации поля на основе модифицированного метода S-аппроксимаций 68
2.7 Апробация модифицированного метода S-аппроксимаций на модельном примере по выявлению контура глубоко залегающего геологического тела 71
2.8 Выводы к главе 2 77
Глава 3. Разработка и совершенствование методов решения систем линейных алгебраических уравнений при интерпретации данных большого объема 79
3.1 Прямые и итерационные методы решения СЛАУ 79
3.1.1 Обоснование постановки задачи 79
3.1.2 Обобщенный метод Лаврентьева 80
3.1.3 Регуляризованный метод Холецкого 81
3.1.4 Метод блочного координатного спуска 82
3.2 Регуляризация итерационного метода Чебышева для решения систем линейных алгебраических уравнений в рамках метода линейных интегральных представлений 84
3.2.1 Трехслойная итерационная схема решения операторного уравнения с чебышевским набором параметров 84
3.2.2 Регуляризация итерационного метода Чебышева для решения плохо обусловленных СЛАУ 86
3.2.3 Выбор минимального собственного значения 92
3.3 Метод блочного контрастирования для решения СЛАУ больших и сверхбольших размерностей 98
3.3.1 Методика разбиения области 98
3.3.2 Автоматический и полуавтоматический режимы работы блочного метода контрастирования 102
3.4 Выводы к главе 3 103
Глава 4. Разработка программного обеспечения решения СЛАУ и построения линейных трансформант поля в рамках модифицированного метода S-аппроксимаций 105
4.1 Введение 105
4.2 Формирование матрицы в региональном и локальном вариантах 106
4.3 Программная реализация регуляризованного итерационного трехслойного метода Чебышева 1 4.3.1 Последовательный алгоритм 106
4.3.2 Параллельный алгоритм 109
4.4 Программная реализация блочного метода контрастирования 110
4.4.1 Последовательный алгоритм 110
4.4.2 Параллельный алгоритм 111
4.5 Тестирование программного обеспечения 113
4.5.1 Сравнительный анализ регуляризованного итерационного трехслойного метода Чебышева с обобщенным методом Лаврентьева 113
4.5.2 Выводы к разделу 4.5.1 125
4.5.3 Использование блочного метода контрастирования при решении СЛАУ 125
4.5.4 Выводы к разделу
4.5.5 Применение параллельных алгоритмов при решении СЛАУ 131
4.5.6 Выводы к разделу
Глава 5. Применение модифицированного метода S-аппроксимаций для выявления разломных структур по гравиметрических данным на примере северо-западной части Тихого океана 144
5.1 Введение 144
5.2 Анализ компонент полного горизонтального градиента на основе построенной аппроксимационной конструкции северо-западной части Тихого океана 146
5.3 Характеры поля и компонент полного горизонтального градиента в разломных структурах Тихого океана 158
5.4 Выявление разломных структур по аномальному гравитационному полю в Филиппинском море 169
5.5 Выводы к главе 5 175
Заключение 177
Приложение 1. Основные публикации и доклады автора по теме диссертации 178
Список литературы
- Методы решения СЛАУ, возникающих при интерпретации геофизических данных методом S-аппроксимаций
- Анализ деформационных функций
- Регуляризация итерационного метода Чебышева для решения систем линейных алгебраических уравнений в рамках метода линейных интегральных представлений
- Сравнительный анализ регуляризованного итерационного трехслойного метода Чебышева с обобщенным методом Лаврентьева
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Современная прикладная геофизика имеет огромное количество разнообразных методов по изучению и выявлению региональных особенностей исследуемой области, исследованию строения планет и по поиску и эксплуатации месторождений полезных ископаемых. Такое разнообразие методов определяется природой и типом геофизического поля (гравитационное, магнитное, сейсмическое, электрическое и т.д.), а также конкретной геологической задачей, в рамках которой проводится интерпретация.
Методология интерпретации геофизических данных постоянно совершенствуется, и связано это со следующими обстоятельствами:
-
возрастает объем данных, подлежащих интерпретации;
-
предъявляются новые требования к теории и методологии интерпретации геофизических данных в связи с постоянным ростом возможностей вычислительной техники. Все чаще используются многопроцессорные вычислительные системы (МВС), в рамках которых для анализа большого объема данных наиболее примечательным для геофизики является техника параллельного программирования;
-
увеличивается разрешающая способность геологических исследований;
-
решаются все более сложные геологические задачи, в рамках которых однозначно определить необходимые физико-геологические параметры среды лишь по одному методу представляется невозможным.
Несмотря на значительные успехи в продвижении использования геофизических методов при решении прикладных геологических, геодезических и других геофизических задач, в большинстве методов используются те или иные идеализации, не соответствующие реальной геофизической практике: идеализация плоского поля, идеализация задания некоторого элемента в узлах регулярной сетки и т.д. Эта проблема была частично решена с развитием истокообразных аппроксимаций, при которых наблюденное поле приближается линейной комбинацией элементарных источников. Совершенствование и разработка методов истокообразной аппроксимации развивались благодаря исследованиям М.А. Алексидзе, В.И. Аронова, А. Бьерхаммера, В.М. Гордина, В.Н. Страхова и других отечественных и зарубежных ученых [Bjerhammer, 1963; Аронов, 1963; Алексидзе, 1969; Аронов, 1971; Аронов, Гордин, 1973; Аронов, 1976; Гордин, Михайлов В.О., Михайлов Б.О., 1980]. Основное преимущество данной методики состоит
в том, что построенные аппроксимационные конструкции имеют те же аналитические свойства, что и измеренные поля. Идеи истокообразных аппроксимаций активно развивались по всему миру, так как они позволяли эффективно решать задачи различного интерпретационного характера. Однако проблемы обработки больших массивов данных геофизических полей на произвольном рельефе поверхности наблюдений остаются актуальными до сих пор.
Одним из эффективных методов интерпретации данных геофизических полей является метод линейных интегральных представлений, предложенный В.Н. Страховым. В рамках этого метода полезный сигнал задается в виде интегрального представления функции, гармонической в некоторой области.
Одним из вариантов метода линейных интегральных представлений является метод S-аппроксимаций, разработанный В.Н. Страховым и И.Э. Степановой, заключающийся в аппроксимации поля суммой простого и двойного слоев, распределенных на некоторой совокупности носителей, залегающих ниже заданного рельефа. Простые аналитические формулы для вычисления элементов матрицы при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и трансформант поля в региональном и локальном вариантах делают алгоритм построения такой аппроксимационной конструкции простым и эффективным.
Несмотря на достоинства данного метода, ему присущ ряд недостатков, которые хотелось бы устранить: в методе линейных интегральных представлений, одним из вариантов которого является S-аппроксимация, невязка между исходным элементом поля и аппроксимированным полем минимизируется в пространстве функций, интегрируемых на носителе эквивалентных масс. Подобная постановка обратной задачи по поиску распределения масс, эквивалентного по внешнему полю, позволяет получить простые аналитические формулы. Но при этом теряется существенная часть информации о геометрии носителя масс.
При построении аппроксимационных конструкций основной вычислительной проблемой после редуцирования задачи к конечномерной является нахождение устойчивого приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений, поэтому актуальной задачей также является создание новых итерационных методов решения СЛАУ, позволяющих получать приближенное устойчивое решение систем больших размерностей.
Основные направления исследований в рамках диссертационной работы направлены на решение перечисленных актуальных задач.
Целью работы является совершенствование метода S-аппроксимаций в рамках метода линейных интегральных представлений, а также разработка новых итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей больших и сверхбольших размерностей.
Основные задачи исследования
-
Модификация метода S-аппроксимаций, позволяющая учитывать априорную информацию об исследуемом районе с сохранением аналитичности алгоритма.
-
Разработка новых устойчивых итерационных методов решения СЛАУ больших и сверхбольших размерностей, возникающих при решении обратных задач геофизики.
-
Практическое применение разработанных методов при интерпретации больших массивов данных геофизических полей.
Научная новизна
-
Разработан модифицированный метод S-аппроксимаций, включающий дополнительный функционал качества решения, который минимизируется на множестве допустимых решений.
-
Регуляризован трехслойный итерационный метод Чебышева применительно к СЛАУ, возникающим в рамках метода линейных интегральных представлений.
-
Разработан блочный метод контрастирования (БМК) интерпретации данных большого объема, основанного на разбиении исследуемой области на подобласти с наиболее интенсивными аномалиями.
-
Создано программное обеспечение по решению СЛАУ регуляризованным итерационным методом Чебышева и блочным методом контрастирования с применением пакета MPI для распараллеливания вычислений.
-
Продемонстрирована эффективность разработанных методов по сравнению с другими методами решения СЛАУ на модельных примерах с резкими перепадами высот в условиях нерегулярной сети с различным уровнем сигнал/помеха.
6. Показана эффективность модифицированного метода S-аппроксимаций при
построении линейных трансформант поля при интерпретации реальных
гравиметрических спутниковых данных в региональном варианте.
Методология и методы исследования
Для решения поставленных задач используется аппроксимационный подход при интерпретации данных аномальных геофизических полей. В рамках аппроксимационного подхода выбран метод S-аппроксимаций, при котором поле аппроксимируется суммой простого и двойного слоев [Страхов, Степанова, 2002а, 2002б].
При разработке итерационных методов используются традиционные хорошо изученные схемы [Самарский, Николаев, 1978; Фадеев, Фадеева, 1963] с их последующей регуляризацией [Тихонов и др., 1990].
Все разработанные методы апробированы на модельных примерах различной конфигурации. Приведен детальный сравнительный анализ с методами, применявшимися при интерпретации геофизических данных [Страхов, 2004].
Основные защищаемые положения
-
Разработан модифицированный метод S-аппроксимаций, включающий дополнительный функционал качества решения, который минимизируется на множестве допустимых решений.
-
Разработан регуляризованный трехслойный итерационный метод Чебышева, который позволяет находить качественные устойчивые приближенные решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих в рамках метода линейных интегральных представлений.
-
Разработан блочный метод контрастирования решения систем линейных алгебраических уравнений, который позволяет находить устойчивые приближенные решения систем больших и сверхбольших размерностей.
Научная и практическая значимость полученных результатов
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для интерпретации наземных и спутниковых данных геофизических полей планет. Модифицированный метод S-аппроксимаций позволяет строить более качественные с геолого-физической точки зрения аппроксимационные конструкции, чем его немодифицированный аналог.
Основным преимуществом разработанных итерационных методов решения СЛАУ является устойчивость и физическая адекватность получаемого решения. Эффективность методов продемонстрирована с помощью сравнительного анализа с другими регуляризованными методами решения СЛАУ.
Автором диссертационной работы продемонстрировано практическое применение разработанных методов по выявлению возможных разломных зон акватории планеты по гравиметрическим данным на примере северо-западной части Тихого океана.
Разработанные методы в настоящее время используются при построении высокоточных цифровых моделей рельефа в научно-исследовательской работе, проводимой ИФЗ РАН в рамках контракта с Минобороны РФ (шифр «Рельеф»).
Достоверность полученных результатов
Для оценки достоверности результатов проведен сравнительный анализ с другими методами, хорошо зарекомендовавшими себя при интерпретации данных геофизических полей. Для оценки эффективности разработанного ПО, результаты вычислений сравнивались с результатами решения СЛАУ другими методами при помощи ПО, созданного группой авторов во главе с В.Н. Страховым.
Результаты, представленные в диссертации, прошли рецензирование и были опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.
Личный вклад
Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно или при его непосредственном участии.
Постановка большинства задач формулировалась при совместном обсуждении с д. ф.-м. н. И.Э. Степановой. Автором предложена и описана модификация метода S-аппроксимаций. Автором разработаны регуляризованный итерационный трехслойный метод Чебышева и блочный метод контрастирования для решения СЛАУ. Создано программное обеспечение с поддержкой вычислений на многопроцессорных системах. Автором продемонстрировано практическое применение модифицированного метода S-аппроксимаций по выявлению особенностей северо-западной части Тихого океана.
Апробация и публикации
По теме диссертации опубликованы 14 научных работ, из них 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов докторских и кандидатских диссертаций, и 9 в тезисах докладов и материалах конференций.
Основные положения работы были представлены на 41-й (Екатеринбург, ИГФ УРО РАН, 2014), 42-й (Пермь, ГИ УРО РАН, 2015) и 43-й (Воронеж, ВГУ, 2016) сессиях международного семинара им. Д.Г. Успенского. Результаты исследований были представлены на XV (Екатеринбург, ИГФ УРО РАН, 2014) и XVI (Пермь, ГИ УРО РАН, 2015) Уральских международных научных школах по геофизике:
Результаты работы также докладывались и обсуждались на молодежной научно-практической конференции СМУИР 2014, ВНИИГАЗ, Москва; Международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы», РУДН, Москва, 2014; IV Международной конференции молодых ученых и специалистов памяти академика А.П. Карпинского, Санкт-Петербург, ВСЕГЕИ, 2015; III школе-семинаре «Гординские чтения», Москва, ИФЗ РАН, 2015; Международном семинаре по обратным и некорректно-поставленным задачам, Москва, МГУ, 2015. Результаты исследований активно обсуждались на научных семинарах ИФЗ РАН и конференции молодых ученых и аспирантов ИФЗ РАН в 2014-2016 годах и на семинаре «Обратные задачи математической физики» в МГУ, 2015.
Структура и объем работы
Методы решения СЛАУ, возникающих при интерпретации геофизических данных методом S-аппроксимаций
Основным толчком в продвижении теории и практики интерпретации геофизических полей стали исследования в 20-30е годы XX века, посвященные Курской магнитной аномалии а также исследования других наиболее интенсивных аномалий (Криворожская магнитная аномалия, исследования на Урале и т.д.) [Заборовский, 1932; Заморев, 1939; Гамбурцев, 1960]. В начале XX века производительность измерительной аппаратуры была невысокой, все вычисления проводились вручную, поэтому применение сложной математической теории на практике было невозможным. Все модели заметно упрощались для решения наиболее важных геологических задач. Прежде всего, развивались методы нахождения физико-геологических параметров среды для идеализации плоского поля в узлах регулярной сети.
Во второй половине XX века, под влиянием всевозрастающего объема геофизических съемок по всей стране, заметно стало улучшаться качество измерительной аппаратуры. К тому же, появление первых ЭВМ способствовало применению более трудных вычислений, неудобных или даже невозможных при ручном счете. В итоге, благодаря работам Б.А. Андреева, В.И. Аронова, В.М. Березкина, Е.Г. Булаха, Г.Я. Голиздры, А.К. Маловичко, В.М. Новоселицкого, З.М. Слепака, В.И. Старостенко, В.Н. Страхова, А.В. Цирульского, В.Г. Черниченко и других исследователей, сформировались особые направления в интерпретации геофизических полей: появились такие термины, как «детальная» и «высокоточная» гравиразведка и магниторазведка. Применение новых подходов и методов в теории интерпретации гравитационных аномалий позволило решать новые, принципиально важные задачи. Гравиразведка получила широкое применение при поиске нефтегазоносных структур, связанных с выделением слабоинтенсивных аномалий, а также при структурно-геологическом изучении строения литосферы Земли.
На рубеже XX-XXI веков значительный прогресс в техническом обеспечении привел к полной автоматизации измерительной аппаратуры. Точность современных наземных и спутниковых наблюдений постоянно возрастает, создаются огромные геоинформационные системы (ГИС) для сбора, всестороннего анализа и графического представления данных. Качественно новый этап в области интерпретации гравиметрических материалов обусловлен созданием большого количества компьютерных технологий по анализу геолого-геофизических данных. Различные подходы для интерпретации данных геофизических полей разработаны благодаря работам В.И. Аронова, П.С. Бабаянца, П.И. Балка, Ю.И. Блоха, Е.Г. Булаха, В.Н. Глазнева, Г.Я. Голиздры, В.М. Гордина, И.А. Керимова, А.И. Кобрунова, В.Н. Конешова, П.С. Мартышко, В.О. Михайлова, А.А. Никитина, В.М. Новоселицкого, С.А. Серкерова, И.Э. Степановой, В.Н. Страхова и многих других ученых.
В рамках теории интерпретации геофизических полей особую роль играет теория некорректно поставленных задач, основные методы решения которых были предложены в работах [Иванов, 1962; Лаврентьев, 1962; Тихонов, 1963]. Как известно, обратные задачи геофизики являются некорректно поставленными, поэтому теории, развитые В.К. Ивановым, М.А. Лаврентьевым и А.Н. Тихоновым, успешно применялись для интерпретации геофизических данных (см., например, [Старостенко и др., 1975; Цирульский, 1975; Оганесян, Старостенко, 1978; Старостенко, 1978; Кобрунов, 1979а, 1979б; Цирульский и др., 1980; Кобрунов, 1981а, 1981б, 1989; Гласко, Степанова, 1991; Zhdanov, 2002]). Особое внимание уделялось проблемам единственности и эквивалентности в обратных задачах магнитометрии и гравиметрии [Новиков, 1938; Страхов, 1967; Прилепко, 1970; Страхов, 1972, 1973; Чередниченко, 1973; Страхов, 1977, 1979а, 1979б, 1980; Цирульский и др., 1980; Цирульский, Пруткин, 1981; Кобрунов, 1983; Страхов и др., 1983, 1984; Маргулис, 1987]. Существует множество различных подходов для интерпретации данных геофизических полей, использующихся и в настоящее время. Широкое распространение получили сферические гармонические анализ (СГА) и синтез (СГС), основанные на разложении геофизического поля в ряд по шаровым функциям (см., например, [Bjerhammer, 1963; Tscherning, 1983; Страхов, 1988; Sneeuw, 1994; Lemoine et al., 1996; Страхов, 1998; Sanso et al., 2003; Bethencourt et al., 2005; Бойков, 2010; Tscherning et al., 2013]). Благодаря спутниковым наблюдениям миссии Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) последняя модель EGM2008, основанная на спутниковых и наземных наблюдениях, содержит коэффициенты сферического разложения и до степени n=2159 [Pavlis et. al., 2012]. Появилась возможность анализировать временные вариации глобального гравитационного поля Земли с точностью до 1 мкГал = 10-9 см/с2 в низкочастотной части спектра (в настоящее время до 80-й сферической гармоники), в том числе связанные с косейсмическими и постсейсмическими событиями [Sun, Okubo, 2004; Михайлов и др., 2005, 2014].
Для интерпретации данных геофизических съемок активно применяется спектральный анализ [Cеркеров, 1991; Maus, Dimri, 1996; Страхов, Керимов, 1999; Конешов, Степанова, 2008; Керимов, 2009, 2011;], среди которых наиболее распространенным в последнее время является вейвлет-анализ [Barthelmes et. al, 1995; Утемов, Нургалиев, 2005; Jach et al., 2006; Крайниковский, 2007; Ya Xu et. al., 2009; Palkesh, Goyal et. al., 2014; Болотин, Вязьмин, 2014]. Также применяются монтажный метод [Овчаренко, 1975; Страхов, Лапина, 1976;Балк, 1993; Балк и др., 1993; Балк, Долгаль, 2009; Балк и др.,2010], метод конечных элементов [Kaftan et al., 2005; Currenti et al., 2008; Долгаль и др., 2012], аппроксимация сингулярными источниками [Ballani et al., 1993; Блох, 1999]. Одной из широко применяемых конструкций является истокообразная аппроксимация, основанная на приближении геофизических полей линейными комбинациями элементарных источников (точки, пластины, стержни и т.п.) (см., например, [Bjerhammer, 1963; Аронов, 1963; Страхов, 1963; Dampney, 1969; Алексидзе, 1969; Аронов, Гордин, 1971, 1973; Аронов, 1976; Гордин и др., 1980; Страхов, Керимов, 1999; Долгаль, 2000; Страхов, Степанова, 2002а, 2002б; Долгаль и др., 2010]).
Одним из последних направлений, возникших в теории интерпретации потенциальных полей, стала интерпретационная томография, с помощью которой возможно послойное изучение геологической структуры объекта в вертикальном направлении [Ващилов, 1995; Новоселицкий, Простолупов, 1999; Мартышко и др., 2002; Бабаянц и др., 2004; Бычков, 2005].
Анализ деформационных функций
Нелинейные обратные задачи геофизики рассматривались в большом числе работ отечественных и зарубежных авторов [Старостенко и др., 1975; Старостенно, 1978; Цирульский и др., 1980; Цирульский, Пруткин, 1981; Страхов, Бродский, 1983]. Эти задачи и в настоящее время остаются актуальными, при этом постановка задач становится все более сложной [Бычков, 2005; Балк и др., 2009, 2010]. В настоящей главе описана методика решения обратных задач геофизики по локализации аномалиеобразующих объектов при помощи теории фильтрации.
Тесную связь между теорией фильтрации и потенциальными полями в двумерном случае продемонстрировали Вейгман и Забродин в работе [Weigman, Zabrodin, 2000], в которой рассматривалась задача меняющейся формы границы раздела между двумя несжимаемыми жидкостями различной вязкости. Например, если задана некоторая вязкая жидкость (нефть или масло) во внешности односвязной области, а внутренность этой области заполнена жидкостью с меньшей вязкостью (вода). Накачка воды происходит в точке , а более вязкая жидкость, заданная во внешности односвязной области, движется к источнику на , поэтому граница деформируется. В двумерном случае изменение границы такой области в теории фильтрации жидкостей определяется законом Дарси [Баренблатт и др., 1972] , где – внешнее давление, – некоторый коэффициент.
Если все внешние моменты области известны, то граница области однозначно восстанавливается по ним. Ищутся конформные отображения определенной канонической области, например, единичного круга, на внешность искомой области. В этом и состоит схожесть обратных задач теории потенциала и задач теории фильтрации жидкостей, так как внешнее поле также однозначно определяется по внешним гармоническим моментам и наоборот. Решение двумерной обратной задачи теории потенциала единственно в классе звездных областей, если их плотность постоянна и известна [Иванов, 1958]. Но для произвольной области с гладкой границей малое изменение внешних гармонических моментов приводит к возникновению новой области с гладкой границей. Поэтому искомое конформное отображение определяется по известным моментам области с помощью построения решения бездисперсионной интегрируемой иерархии — цепочки Тоды. В работе [Weigman, Zabrodin, 2000] показано, что одно решение бездисперсионной иерархии Тоды описывает изменение однозначного конформного отображения области, ограниченной простыми аналитическими кривыми, на внешность единичного круга. Совокупность таких иерархий по времени эквивалентна набору гармонических моментов области.
Вейгманом и Забродиным [Weigman, Zabrodin, 2000] было показано , что в двумерном случае для областей, представляющих собой эллипсы и другие фигуры, близкие к ним, построение цепочки Тоды осуществляется достаточно просто.
Допустим, что задано измерений некоторого элемента аномального поля ( – полезный сигнал, – помеха) в точках наблюдения . Рассматривается задача рудного типа, то есть предполагается, что поле создается совокупностью геологических тел, залегающих ниже дневного рельефа и имеющих избыточную (или недостаточную) плотность по отношению к плотности вмещающих пород. В трехмерном случае внешнее поле является гармонической функцией в , поэтому такая нелинейная задача особенно сложна и требует разработки новых приближенных методов решения, чем аналогичные в двумерном.
На основе имеющейся априорной информации (оценка влияния помех, приблизительная глубина залегания тел, наличие симметрий и т.д.) предлагается аппроксимировать трехмерное тело, порождающее его, совокупностью базовых цилиндров. Определим базовый цилиндр, как произведение некоторой двумерной области на отрезок [Степанова, 1997]:
Разбив аномалиеобразующее тело на базовые цилиндры (не ограничивая общности, будем считать, что оси этих цилиндров параллельны оси OZ), то можно определить моменты каждого из этих цилиндров следующим образом: где - область, представляющая собой сечение базового цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси OZ, а Dx - внешность области . Внешние и внутренние моменты сечений базового цилиндра специально обозначены разными буквами, чтобы подчеркнуть тот факт, что внешние моменты являются независимыми параметрами в двумерном случае, а — непосредственно функциями, подлежащими определению. При этом нулевой момент тоже является переменной (принимающей лишь действительные значения). Площадь двумерной области и набор моментов такой области идентифицируется со временами бездисперсионной двумерной иерархии Тоды: (1.40) Для каждого из базовых цилиндров рассматриваются конформные отображения внешности канонической области единичного круга на внешность данного сечения. Конформные отображения представляются в виде рядов Лорана по комплексной переменной . При этом отображения имеют такой вид, чтобы бесконечная точка сферы Римана отображалась в себя:
По внешним моментам относительно базового цилиндра находятся внутренние гармонические моменты области и коэффициенты конформного отображения, определяющие форму аномалиеобразующего тела. Далее, форму источников можно уточнить с помощью решения СЛАУ вида (1.27), в которой является заданным элементом аномального потенциального поля а -матрица, которая получается, если область источников описывать с помощью полученных конформных отображений, с элементами , x представляет собой N-вектор коэффициентов конформного отображения, который требуется определить.
Если заданы внешние гармонические моменты некоторой области в , то сама область определяется по ним однозначно. Будем находить конформное отображение внешности некоторой канонической области, например единичного круга на внешность искомой области. Известно, что такое отображение единственно в случае звездных областей на плоскости. Опишем методику решения нелинейной обратной задачи, когда функция гармонична в трехмерном пространстве.
Пусть выполняется закон Дарси (в теории фильтрации жидкостей принимается такое предположение): где представляет собой скорость изменения границы трехмерной области , - давление, как функция пространственных координат, X — числовой параметр, зависящий от конкретных условий задачи.
Если рассматривать трехмерный объект, создающий поле в окружающем пространстве, то можно попытаться аппроксимировать искомое тело совокупностью базовых цилиндров (1.38). При таком подходе необходимо учесть имеющуюся априорную информацию об источниках: наличие симметрий, глубине залегания (хотя бы диапазон глубин), уровень помех во входных данных. Подобная априорная информация позволяет регуляризовать некорректно-поставленную обратную задачу. В упомянутой работе [Weigman, Zabrodin, 2000] было показано, что внешние моменты в двумерном случае сохраняются с течением времени. К тому же внутренние моменты, как функции внешних моментов, удовлетворяющие определенным условиям комплексной сопряженности, могут быть выражены как частные производные всего одной функции (так называемой т-функции):
Регуляризация итерационного метода Чебышева для решения систем линейных алгебраических уравнений в рамках метода линейных интегральных представлений
В алгоритме модифицированного метода S-аппроксимаций построение однопараметрического семейства (2.7) происходит так, что большему параметру регуляризации соответствует меньшее значение нормы невязки, и каждый элемент является решением системы (2.1). На этом основании можно утверждать, что функции деформации M ) должны хорошо коррелировать друг с другом и области их знакопостоянства совпадают.
Тогда максимальные по модулю значения () достигаются в той же области, что и (f), так как разность функций определяется набором аннигиляторов. Определим две положительные функции () и (f): Л } I () ЛЧ l () Анализ функций (H и (%) определяет адекватность построения аппроксимаций p (i W ): если в точке достигается экстремум pk(fX) для всех F и для некоторого f+ (f ) достигается локальный максимум функции () ( (f)), то вероятность обнаружения геологического тела с избыточной (недостаточной) плотностью под такой областью будет тем выше, чем меньше . Совокупность таких областей можно считать достоверно определенными. Если же хотя бы для одного х такое условие не выполняется, то вероятность снижается.
Рассмотрим простейший пример: внешнее аномальное потенциальное поле создается двумя призматическими телами, расположенными друг от друга на расстоянии двух максимальных горизонтальных сечений. Избыточные плотности объектов равны по модулю, но противоположны по знаку. Поля таких объектов будут перекрываться. Как будут выглядеть деформационные функции однопараметрического семейства (2.7) в рамках поставленной задачи? Максимальные по модулю значения простого и двойного слоев, естественно, достигаются в экстремумах поля, поэтому при построении аппроксимационной конструкции максимальная амплитуда деформаций искомых распределений вначале будет достигаться там же. Однако, при приближении невязки к нулю, такие деформации будут создавать вокруг искомых областей, соответствующих реальным геологическим объектам, области повышенной амплитуды обратного знака, чтобы порождаемое ими поле приближалось к нулевому. Такие области могут накладываться друг на друга, и, в свою очередь, создавать подобные. В результате аппроксимация, которой соответствует минимальная невязка, может неверно отражать геометрию тел, породивших поле, и интерпретация результатов в этом случае затруднительна.
Для выделения действительных аномалий, соответствующих реальным объектам, сравнительный анализ экстремумов функций (f) и () и каждой из аппроксимаций (х) позволит определить, какие из них не вызваны деформациями, а соответствуют геологическим телам.
Однако, на этом качественный анализ деформационных функций не заканчивается. В соотношении (2.18) можно рассматривать не всю сумму деформационных функций, а лишь некоторую ее часть для выделения изменения распределения плотности в определенный период. Также можно отдельно рассматривать каждую деформацию (f), что особенно эффективно на начальном этапе, когда формируются области повышенных значений, приводящих к возникновению «ложных» аномалий.
При таком качественном анализе можно определить информативность параметров выбранной модели: например, количество и глубины залегания носителей простого и двойного слоев, выбор функционала качества и т.п. 2.4 Выбор функционала качества решения Определение функционала качества решения зависит как от априорной информации, накладывающей ограничения на распределения масс в недрах, так и от конкретной поставленной проблемы. В разделе 2.2 настоящей главы было упомянуто, что можно его представить в виде суммы нескольких функционалов, каждый из которых накладывает свое ограничение на распределения плотностей простого и двойного слоев. Однако такая постановка задачи в то же время усложняет сам алгоритм поиска таких аппроксимаций, что может привести к «неверному» решению. В данном случае под «неверным» решением подразумевается именно его физико-геологический смысл и дальнейшая интерпретация результатов.
Целесообразным представляется выбор такого функционала качества решения, который давал бы наиболее содержательные результаты для определенной цели. Например, если требуется построить аналитическое продолжение поля вверх для выделения регионального фона [Мартышко, Пруткин, 2003] вместе с вычислением высших производных поля, то функционал качества решения для каждой из поставленных задач следует выбирать отдельно.
Рассмотрим два варианта выбора функционала качества решения, если неизвестна какая-либо априорная информация.
Локальный вариант. Если требуется найти высшие производные поля, в качестве функционала качества решения, дающего наиболее адекватные результаты, можно выбрать квадрат нормы горизонтальных производных плотностей простого и двойного слоев:
Выбор такого функционала обусловлен тем, что полученные аппроксимации дают картину наиболее общего поведения аномального потенциального поля, а горизонтальные и вертикальные производные находятся с приемлемой для геофизики точностью и будут представлять из себя более гладкие функции, чем при решении обычным методом S-аппроксимаций.
Если требуется найти аналитическое продолжение поля в нижнее или верхнее полупространство, то дополнительно целесообразным представляется выделение области D, в которой наблюдается наименьшая интенсивность поля. После такого качественного анализа, функционал качества решения можно выбрать следующим образом:
В таком случае, аппроксимации искомых функций будут лучше отображать геометрические формы геологических тел, создающих аномальное поле, и, в результате, аналитические продолжения полей будут устойчивее. П. Региональный вариант. Если для аналитического продолжения полей вверх или вниз функционал , определяемый выражением (2.21) остается без изменений, то если требуется найти высшие производные поля, выражение (2.22) примет следующий вид:
Сравнительный анализ регуляризованного итерационного трехслойного метода Чебышева с обобщенным методом Лаврентьева
Алгоритмы модифицированного метода S-аппроксимаций и предложенных новых методов решения СЛАУ больших и сверхбольших размерностей, описанных в главах 2 и 3, были реализованы на языках программирования C и C++ с использованием кросс-платформенной библиотеки cephes1, необходимой для вычисления эллиптических интегралов первого и второго рода в региональном варианте. Все программы были апробированы на модельных примерах различной конфигурации. Для оценки эффективности регуляризованного итерационного трехслойного метода Чебышева проведен сравнительный анализ с обобщенным методом Лаврентьева. Этот метод решения СЛАУ с симметрической положительно полуопределенной матрицей и приближенно заданной правой частью реализован в пакете прикладных программ П-СППМ (В.Н. Страхов, А.В. Страхов).
В настоящее время особое внимание уделяется параллельным алгоритмам решения обратных задач геофизики [Акимова, 2009; Акимова и др., 2014; Долгаль и др., 2012; Tscherning et. al., 2013]. В связи с постоянным ростом данных, подлежащих своевременной обработке, современные суперкомпьютеры позволяют существенно сэкономить время вычислений и с необходимой точностью за короткое время решать системы даже сверхбольших размерностей. Поэтому в рамках предложенных методов реализованы параллельные варианты программ с использованием пакета MPI. Программы были протестированы с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютера «Ломоносов» НИВЦ МГУ [Воеводин и др., 2012].
Для решения СЛАУ вида (1.27) необходимо знать вектор правой части , а также матрицу . Вектор предполагается известным по заданным данным. Для вычисления элементов матрицы разработаны программы Matrix_local для локального варианта и Matrix_regional для регионального. Для корректной работы программ необходимо задать файл с топографией и количество слоев. Также для программы Matrix_local необходимо задать глубины расположения плоскостей, а для Matrix_regional – радиусы сфер, на которых распределены простой и двойной слои. Для обеих программ файл с координатами полностью считывается и построчно обрабатывается, где каждая строка соответствует трехмерной координате. Программа Matrix_local вычисляет элементы матрицы по формуле (1.16), а Matrix_regional для расчета использует выражение (1.25).
Матрица записывается в виде двоичного файла с расширением .m. Имя файла с матрицей аналогично имени файла с топографией. Элементы матрицы в файле записываются в следующем порядке: Модифицированный метод S-аппроксимаций предполагает отбор решений, минимизирующих функционал качества решения на множестве допустимых решений в соответствии с (2.14). С учетом регуляризованного итерационного трехслойного метода Чебышева, описанного в главе 3, устойчивое приближенное решение для каждого значения находится путем усреднения множества оптимальных решений . Таким образом, алгоритм модифицированного метода S-аппроксимаций включает в себя дополнительно итерационный цикл по , внутри которого запускается метод решения СЛАУ.
Для персонального компьютера созданы программы RegCheb, реализующий предложенный в разделе 3.2 главы 3 итерационный способ решения СЛАУ, и RegCheb_modified для модифицированного метода S-аппроксимаций с учетом дополнительного функционала качества решения. Для корректной работы программы необходимо ввести имя файла с матрицей, имя файла с приближенно заданным вектором правой части, а также значения и (для программы RegCheb_modified значения ( ) и ). Для варианта RegCheb_modified можно задать необязательный параметр для ограничения количества итераций по . Если же этот параметр не задается, то алгоритм проходит все значения, пока не выходит за границы ( ) и . Версия программы RegChebmodified реализована с функционалами вида (2.21)-(2.23). Для выбора конкретного вида необходимо задать параметр « -s » с одним из значений 1,2,3 для выбора функционала (2.21), (2.22), (2.23), соответственно. Для вариантов (2.22), (2.23) программа запросит дополнительный файл с границами области D, представляющей из себя объединение прямоугольных областей. Построчно файл хранит четыре последовательных значения , где - координата нижней левой вершины прямоугольника, - координата верхней правой вершины прямоугольника. Поэтому каждая строка описывает отдельную область прямоугольной формы, объединение которых соответствует области D. На выходе программа RegCheb выдает вектор-решения размерности вектора правой части. Программа RegCheb_modified формирует набор векторов, каждый из которых соответствует своему значению параметра регуляризации . Вектор решения, наилучшим образом минимизирующий функционал в (2.1), выделяется в имени файла приставкой «х_». В качестве нулевого приближения выбирается следующее значение