Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ закономерностей формирования прочности и устойчивости трещиноватого породного массива 8
1.1. Теории прочности и разрушения горных пород 8
1.2. Фрактальная геометрия трещин 22
1.3. Прочность и устойчивость трещиноватых породных массивов 26
1.4. Цель и задачи исследования 39
2. Исследование фрактальных характеристик трещин и построение паспорта прочности горных пород при сдвиге 40
2.1. Постановка и организация экспериментальных исследований 40
2.2. Вероятностная оценка траектории трещин 44
2.3. Фрактальные характеристики траектории трещин
2.3.1. Определение истинной длины трещины 51
2.3.2. Вероятностная оценка кривизны трещины 52
2.3.3. Взаимосвязь геометрии трещин с их фрактальной размерностью 58
2.3.4. Выделение и оценка извилистости трещин
2.4. Фрактальные характеристики поверхности трещин 70
2.5. Факторы, определяющие характеристики сдвига пород по трещине
2.5.1. Трение по берегам трещины 80
2.5.2. Свойства материала берегов трещины 84
2.5.3. Свойства материала заполнителя трещины 87
2.5.4. Наличие воды в трещине 88
2.6. Построение паспорта прочности при сдвиге пород по трещине (паспорт трещины) 89
Выводы по главе 2 96
3. Статистическое моделирование процесса сдвига горных пород по трещине 97
3.1. Методы и средства математического моделирования 97
3.2. Моделирование траектории трещин
3.2.1. Основы модели 101
3.2.2. Моделирование трещин на основе заданных шаблонов 105
3.2.3. Моделирование извилистых трещин методом срединных смещений 106
3.2.4. Моделирование зияющих трещин 110
3.3. Компьютерный анализ геометрии трещин 112
3.4. Моделирование сдвига горной породы по трещине 117
3.4.1. Постановка задачи 117
3.4.2. Моделирование линии возрастающей нагрузки 117
3.4.3. Моделирование линии спада нагрузки 120
3.4.4. Формирование общей имитационной модели 124
3.5. Построение паспорта прочности 125
Выводы по главе 3 127
4. Прогноз прочности и устойчивости трещиноватых горных пород и массивов 129
4.1. Постановка задачи 129
4.2. Прогноз устойчивости обнажений пород с учетом геометрии поверхности ослабления (трещины) 131
4.3. Прогноз устойчивости горных пород в подземной выработке 136
4.4. Использование результатов исследований 141
Выводы по главе 4 142
Заключение 143
Список литературы
- Фрактальная геометрия трещин
- Фрактальные характеристики траектории трещин
- Моделирование трещин на основе заданных шаблонов
- Использование результатов исследований
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование устойчивости обнажений пород в выработках является важнейшей научной и практической задачей в горном деле. Решению данной задачи посвящены многочисленные публикации, где критерием устойчивости является соотношение действующих напряжений и прочности породного массива. При этом теория вопроса нередко сводится к рассмотрению идеально упругой или идеально сыпучей среды. Однако потеря устойчивости трещиноватых массивов определяется преимущественно сдвигом пород по трещинам. Надежной методики осуществления сдвига пород по реальным трещинам массива (натурного эксперимента) практически не существует. Поэтому при решении данного вопроса преобладают лабораторные исследования на эквивалентных материалах (гипс, цемент и пр.). Причем, как правило, условия подобия не выдерживаются или, вообще, не рассматриваются, и реальный профиль трещины заменяют геометрически правильными выступами (зубцами). В такой модели на основе чисто геометрических построений дается теория сдвига породы по трещине. Очевидно, что реальные трещины далеки от такой идеализированной модели. Поэтому нужно проводить эксперименты с горной породой и присущей ей реальной трещиной. Однако это связано с двумя проблемами – трудностью сохранения природной трещины в образце и невозможностью многократных испытаний с одной и той же трещиной, что требуется для статистически надежных выводов. В связи с этим наиболее эффективным методом исследований служит статистическое (имитационное) моделирование.
Таким образом, тема представленной диссертации, направленной на изучение указанных вопросов, является актуальной.
Работа выполнена в рамках стратегической программы исследований технологической платформы твердых полезных ископаемых.
Объект исследований – трещиноватые скальные породы и породные массивы месторождений Урала.
Предмет исследований – закономерности процесса сдвига горных пород по трещинам с различной их геометрией.
Цель работы – повышение надежности прогноза прочности и устойчивости трещиноватого породного массива на основе фрактального анализа трещинной структуры горных пород.
Идея работы заключается в использовании фрактального анализа природных трещин для статистического моделирования и прогноза устойчивости обнажений пород, осложненных поверхностями ослабления.
Задачи исследований:
-
Исследование комплекса свойств и трещиноватости горных пород.
-
Фрактальный анализ геометрии трещин.
-
Экспериментальные исследования сдвига горных пород по трещине.
-
Количественная оценка шероховатости и извилистости трещин как параметров паспорта прочности горных пород.
-
Разработка статистической (имитационной) модели процесса сдвига горных пород по трещине.
-
Совершенствование методов прогноза прочности и устойчивости трещиноватых горных пород и массивов.
Методы исследований: современные стандартные методики лабораторного определения свойств горных пород; методы и инструментарий фрактальной геометрии; статистическое моделирование методом Монте-Карло; аналитические исследования закономерностей сдвига горных пород по трещине на основе классических представлений физики горных пород и геомеханики; оценка результатов с позиций математической статистики и теории вероятностей.
Защищаемые научные положения:
-
Извилистость природных трещин как фрактальных объектов определяется спектральным анализом поверхности по критической величине топотезы; коэффициент шероховатости и фрактальная размерность траектории трещин связаны степенной зависимостью.
-
Статистические модели трещин основаны на изученных параметрах фрактального броуновского движения и вероятностных характеристиках их трещинной структуры; многократный розыгрыш моделей методом Монте-Карло позволяет адекватно оценивать прочность горных пород при сдвиге по трещине.
-
Прогноз устойчивости обнажений пород, ослабленных трещинами, основывается на результатах имитационного моделирования процесса сдвига, учитывающего фрактальные характеристики трещин, дилатансию горных пород и величину жесткости трещин.
Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций работы
обеспечивается достаточным (для принятой надежности 95 %) объемом экспериментальных исследований; доказанной адекватностью статистической модели сдвига горных пород по трещине; удовлетворительным (в пределах естественно-
го разброса данных) соответствием аналитических и экспериментальных результатов прогноза прочности горных пород при сдвиге по трещине.
Научная новизна результатов исследований заключается в следующем:
впервые предложен и обоснован метод оценки коэффициента шероховатости природных трещин по фрактальной размерности их траектории;
обоснована процедура выделения и оценки характеристик извилистости трещин на основе спектрального анализа их сечений как случайных функций;
предложен способ идентификации трещин по величине топотезы и фрактальной размерности их поверхности, определяемых спектральным и триангуляционным методами;
установлена зависимость сдвиговой жесткости трещины от нормальных напряжений сжатия, учитывающая фрактальную размерность траектории трещины;
разработана методика компьютерного анализа геометрии трещин, основанная на генерации их вероятностной траектории по законам фрактального броуновского движения и аппроксимации координат берегов трещины кусочно-линейными функциями;
предложен новый способ оценки прочности материала берегов трещины путем внедрения в поверхность трещины плоского штампа;
разработана компьютерная имитационная модель процесса сдвига горных пород по трещине, отличающаяся тем, что математические соотношения модели базируются на фрактальных характеристиках трещинной структуры пород;
обоснована расчетная схема прогноза прочности и устойчивости обнажений пород, базирующаяся на результатах имитационного моделирования процесса сдвига пород по трещине с учетом вероятностных и фрактальных характеристик формирования природных трещин.
Практическая значимость работы заключается в обосновании методов фрактального анализа природных трещин, позволяющих определять параметры паспорта прочности трещиноватых породных массивов; в разработке статистической (имитационной) модели сдвига пород по трещине, реализация которой повышает точность и надежность прогноза прочности и устойчивости обнажений трещиноватых пород.
Личный вклад автора состоит в его непосредственном участии в лабораторных исследованиях свойств и сдвиговой прочности горных пород; фрактальном анализе трещин; разработке статистической модели процесса сдвига пород
по трещине; формировании основных выводов и рекомендаций по результатам исследований.
Реализация результатов работы. Комплексная методика прогноза прочности и устойчивости трещиноватого породного массива, включающая: комплексный фрактальный анализ геометрии трещин; процедуру построения паспорта прочности при сдвиге горных пород по трещине; комплект компьютерных программ и статистическую модель процесса сдвига; алгоритм расчета устойчивости обнажений пород с учетом геометрии поверхности ослабления, передана для использования в организации: ЗАО «Проекты и Технологии – Уральский регион», Институт горного дела УрО РАН, ОАО «Научно-исследовательский и проектный институт обогащения и механической обработки полезных ископаемых «Уралмеханобр», ОАО «Уральский проектно-изыскательский институт транспортного строительства».
Результаты теоретических и экспериментальных исследований использованы для подготовки учебно-методических пособий и при проведении занятий по курсам «Моделирование физических процессов в горном деле», «Физика горных пород», «Математические методы в горном деле», а также в организации научно-исследовательской работы студентов.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и её отдельные результаты докладывались на X Всероссийской молодежной научно-практической конференции «Проблемы недропользования» (г. Екатеринбург, 2016 г.), на V Международной конференции «Проектирование, строительство и эксплуатация комплексов подземных сооружений» (г. Екатеринбург, 2016 г.), на Международной научно-практической конференции «Уральская горная школа – регионам» (г. Екатеринбург, 2016 г.).
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 9 научных работах, из них 5 статей – в ведущих рецензируемых научных изданиях.
Объем и структура работы. Объем диссертации составляет 156 страниц машинописного текста, включая 96 рисунков и 13 таблиц. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 84 наименований и приложения.
Фрактальная геометрия трещин
Данная формула, как и все предыдущие выкладки, справедлива для плоского напряженного состояния тела. В условиях плоской деформации следует учитывать ее поперечную составляющую, т. е. коэффициент Пуассона . Тогда предыдущая формула примет вид: = i (1.1.24) (1-2)4р Теория Гриффитса до сих пор остается основным инструментом исследований в области механики разрушения, поскольку она верно отражает физику процесса. Однако количественные оценки теории (критерий Гриффитса) совпадают с экспериментальными данными лишь для хрупких аморфных тел. Для кристаллических материалов разрушающие напряжения должны быть значительно выше, чем предсказывает теория. Кроме того, показатель es, принимаемый А. Гриффитсом за константу материала, таковым фактически не является. Все большее число экспериментальных исследований свидетельствуют о том, что на величину es существенно влияют характер и скорость нагружения тел, окружающая среда и пр.
Последующие исследования показали, что это обусловлено наличием дефектов структуры кристаллической решетки и, связанной с этим пластической деформацией кристаллических тел. Внутри кристаллических зерен, которые слагают горную породу, существуют плоскости скольжения (плоскости спайности), где расстояние между соседними атомными плоскостями значительно больше, чем между атомами в других частях кристаллической решетки. Это определяет меньшую силу связи между атомами в таком ослабленном сечении. В общем случае плоскости скольжения составляют некоторый угол по отношению к линии действия нагрузки на кристалл. Тогда в этих сечениях возникают касательные напряжения t, которые обеспечивают необратимый сдвиг частей кристалла. Однако расчеты показывают, что необходимые касательные напряжения для отрыва и смещения одной атомной плоскости от другой составляют величину порядка t = G/30, где G – модуль сдвига. Это значение на несколько порядков выше реальных напряжений, при которых начинается пластическое течение.
Такое противоречие устраняется, если учесть, что сдвиг частей кристалла происходит не за счет разрыва связи между всеми атомами в сечении, а вследствие движения дислокаций, которые при выходе на границу кристалла образуют «ступеньку». Исследование этого процесса показало, что существующих в кристалле дислокаций явно недостаточно для обеспечения наблюдаемых в опыте пластических деформаций. Главным здесь является процесс размножения дислокаций и их последующее участие в переносе массы. Действительно, опыт показывает, что плотность дислокаций в ходе деформирования кристалла возрастает в сотни тысяч раз. Однако переизбыток дислокаций приводит к ограничению их подвижности из-за взаимного переплетения и упругого взаимодействия между ними. Поэтому для перемещения дислокаций требуется дополнительная энергия. Это приводит к тому, что для реализации пластической деформации необходимо увеличивать напряжения в горной породе. Рассмотренный механизм часто называют «внутризеренным скольжением».
Следует отметить, что на макроуровне для горных пород преобладающим механизмом является «межзеренное скольжение» [34], которое можно представить следующим образом. За счет разницы в упругих свойствах минеральных зерен, составляющих горную породу, при одной и той же нагрузке им свойственна неодинаковая деформация. Но поскольку в горной породе разные зерна деформируются совместно, то на контактах зерен возникают дополнительные напряжения. Если эти напряжения превысят прочность контакта, произойдет его разрушение и проскальзывание зерен. Такие необратимые изменения уже связаны с местным разрушением материала, т. е. с частичной потерей сплошности тела, и потому называются квазипластичными.
Механизм пластического деформирования твердых тел за счет напряжений сдвига был раскрыт в 1934 г. Дж. Тейлором [83]. Он впервые высказал идею о существовании в кристаллах линейных дефектов – дислокаций, показал, что они могут взаимодействовать друг с другом. Позднее был описан механизм размножения дислокаций (модели Франка-Рида, Зинера, Коттрелла, Балафа-Гилмана, Орована-Стро [37]).
Связь этих явлений с разрушением кристаллов установил венгерский физик Е. Орован [82], автор дислокационной теории пластической деформации. Он показал, что на пластическое (необратимое) деформирование берегов трещины расходуется дополнительная энергия, часто значительно превышающая удельную поверхностную энергию тел. Действительно, аморфные тела, не имеющие дислокаций, разрушаются так, что осколки с высокой точностью прилегают друг к другу (например, стеклянное изделие можно склеить), в то время как поверхность разрушения горной породы будет пластически деформирована, что не позволяет собрать и склеить обломки.
Для количественного учета данного механизма Орован предложил ввести в критерий Гриффитса (уравнение (1.1.25)) новое слагаемое eр, т.е. удельную энергию пластических деформаций, тогда: p = 2Е(е +ер) (1.1.25) Для горных пород величина eр на 2-3 порядка больше es, поэтому часто упругую составляющую eS вообще исключают из формулы ввиду ее малости. Однако теоретического инструмента оценки величины удельной энергии пластической деформации не существует. Поэтому ее определяют чисто эмпирическим путем с помощью разрушения образцов с искусственно созданным надрезом, имитирующим трещину.
В этой связи в инженерной практике чаще используется силовой подход к механике разрушения. Он основан на предложенном Дж. Ирвином [78] показателе - коэффициенте интенсивности напряжений. При действии нагрузки на тело с трещиной берега этой трещины смещаются относительно друг друга. На основании принципа суперпозиции линейной теории упругости [12] это смещение можно представить следующим образом. В зависимости от характера напряжений возможно развитие трещин трех видов или родов: отрыва (I), поперечного (II) и продольного (III) сдвига.
Фрактальные характеристики траектории трещин
Реальный породный массив имеет блочное строение, определяемое системой трещин отрыва или сдвига. Тогда на макроуровне его разрушение будет определяться сдвигом породы по трещине за счет касательных напряжений. В общем случае паспорт прочности такого массива (паспорт трещины) определится выражением [22]: = С + f , (1.3.19) где С – сцепление в плоскости контакта, т. е. касательное напряжение, необходимое для взаимного скольжения двух берегов трещины при отсутствии сжимающей силы s; f – коэффициент трения; обычно принимается f = tg , где - угол трения, зависящий от шероховатости поверхности трещин, материала и степени их заполнения.
Помимо рассмотренных выше факторов, определяющую роль в сдвижении горной породы по плоскости трещины играет ее геометрия. В общем случае увеличение неровностей контактирующих поверхностей повышает сдвиговую прочность породы по трещине. Для количественной оценки этого обычно рассматривают некоторые идеализированные модели.
В общем случае, если мощность заполнителя трещины больше амплитуды неровностей ее берегов, то сдвиг по трещине обусловлен только прочностью заполнителя. Если мощность меньше, то в результате сдвиговых деформаций выступы трещины соприкасаются, и сопротивление сдвигу увеличивается. Такой случай впервые рассмотрел Бартон [75]. Он ввел два понятия – коэффициент трения tg т и коэффициент скольжения tg i. Коэффициент трения соответствует классическому представлению угла внутреннего трения контакта. Коэффициент скольжения tg i определяет сопротивление скольжению соприкасающихся берегов трещин. Критерий разрушения в этом случае: = tg(т + i). (1.3.20) Шнейдер [4], полагая, что угол скольжения i с ростом напряжений уменьшается экспоненциально, получил зависимость: = tg [G + i0 exp (- k)], (1.3.21) где i0 – угол скольжения при = 0; k – зависящая от прочности константа материала заполнителя (в опытах получено k = 0,05 – 0,11). Однако процесс разрушения по трещине не одномоментный. Он связан со сложным скольжением берегов трещины. В общем случае этот процесс можно представить графиком (Рисунок 1.3.3).
В начальной части графика деформации наблюдается монотонный рост величины сдвига по мере увеличения сдвигающего усилия. Нелинейный характер графика на этом участке свидетельствует о наличии пластической деформации, обусловленной прижатием выступающих частей (зубцов) берегов трещины, уплотнением их контактов с микроразрушением неровностей. При некоторой пороговой величине сдвигающих напряжений С происходит страгивание. Затем нагрузка резко падает до достижения нового положения равновесия по трещине (участок АВ). По мере дальнейшего сдвига происходит дискретное снижение от f до fm. Это связано со срезом выступов шероховатости, попаданием продуктов разрушения на контакты берегов трещины (образованием третьего промежуточного тела). Снижение по линии ВС носит экспоненциальный характер и имеет асимптоту fm. Именно она представляет интерес как предельная несущая способность породы по трещине.
График зависимости напряжений и сдвиговых деформаций до момента нарушения контактов берегов трещин (страгивания) имеет явно выраженный нелинейный характер (Рисунок 1.3.3, линия ОА). Тогда, как любую пластическую деформацию ее можно описать секущим модулем, зависящим от уровня приложенных напряжений. Данную характеристику принято называть сдвиговой жесткостью или жесткостью трещины: Кс = /U, (1.3.22) где U – сдвиговая деформация (). В работе [22] рассмотрены различные идеализированные модели сдвига в плоскости трещины, имеющей выступы пилообразной формы. На схеме (Рисунок 1.3.4) показано разложение сил при сдвиге в направлении, указанном стрелкой. Здесь – средний угол наклона зубьев поверхности к направлению сдвига.
В обозначениях формулы (1.3.19) и С представляют собой угол сопротивления сдвигу и сцепление по ровной поверхности грани зубьев. Тогда уравнение сопротивления сдвигу запишется в виде: = К + tg, (1.3.23) где к (1.3.24) Ccosj cosacos(a + ) y = a + cp . (1.3.25) Из приведенной схемы (Рисунок 1.3.4) видно, что сдвиг происходит путем скольжения по плоскости зубьев без их разрушения, а угол сопротивления сдвигу \/ равен сумме угла трения ф и угла наклона зубьев а. Как следует из формул (1.3.23 - 1.3.25) при a 90 - ф cos (a + q ) стремится к нулю и сдвиг, в принципе, невозможен (т —оо). Рассмотрим эту ситуацию на схеме (Рисунок 1.3.5).
Моделирование трещин на основе заданных шаблонов
Здесь жирной линией показана усредненная по двум реализациям траектория трещины. Однако это лишь одна из возможных ее реализаций. Вероятная траектория трещины определится доверительным интервалом координат ее неровностей, которые приведены в таблице
Здесь применительно к моделированию трещины а – ордината средней линии трещины; S – среднее квадратическое отклонение; ri – случайное равномерно распределенное число в интервале от 0 до 1. При использовании аппарата Microsoft Excel ri генерируется командой СЛЧИС(), а параметры полинома находятся с помощью встроенных команд тренд-анализа.
Одна из возможных реализаций траектории поверхности трещины показана на Рисунке 2.2.8 в виде линии с треугольными маркерами.
Таким образом, разработанная методика анализа геометрии трещин позволяет определять статистические характеристики неровностей ее контура и находить наиболее вероятную траекторию берегов трещины. 2.3. Фрактальные характеристики траектории трещин
Сдвиг горной породы по трещине и паспорт прочности в значительной мере определяются ее геометрией. Для производства инженерных расчетов требуется однозначная количественная оценка данного фактора. Базой такой оценки являются координаты профиля берегов трещины.
Простейшей характеристикой геометрии трещин служит оценка их кривизны, определяемая средним отклонением траектории трещины от линии, связывающей ее вершины (уравнения (1.1.1, 1.1.2)). Совершенно очевидно, что данный показатель может использоваться лишь для классификации (выделения систем трещин), но мало пригоден для расчетов прочности.
Реальные трещины представляют собой сложную геометрическую структуру с дробной (фрактальной) размерностью. Для ее вычисления разработана компьютерная программа. В качестве примера на рисунке 2.3.1 показан график уравнения (2.1.6) для одной из трещин образцов, изображенных на рисунке 2.2.1. Величина фрактальной размерности данной трещины, полученная методом «покрытия» составила df = 1,045.
Следующей задачей исследований является оценка фрактальной длины трещин. Однако если фрактальную размерность трещины можно считать объективной характеристикой, то ее длина в соответствии с законом Ричардсона будет величиной переменной, зависящей от шага измерений [32]: d f—1 т Г A0l (2.3.1) hфр =L0s где L0 – линейная длина трещины, принимаемая как расстояние между ее вершинами; – принятая точность (шаг) измерений трещины.
График зависимости (2.1.6) для трещины образца порфирита Шаг измерений определится существом решаемой задачи и требуемой точностью результатов. Опыт показывает, что в большинстве случаев достаточно адекватные результаты дает шаг = L0/100.
Геометрия трещин определяется множеством случайных независимых факторов, определяемых как составом и строением породы, так и способом образования трещин. Опыт показывает, что даже в условиях лаборатории и тщательно соблюдаемой процедуры получения трещин добиться их одинаковой геометрии не удается. Все это требует рассматривать любую трещину с вероятностных позиций.
Наиболее употребительной вероятностной оценкой служит дисперсия или среднее квадратическое отклонение (стандарт). Такую процедуру оценки геометрии трещин предлагает К. В. Руппенейт [57]. По измеренному профилю трещины с равноотстоящим шагом х в n точках определяются ординаты yi от произвольной поверхности. Затем вычисляются приращения ординат hi и определяется среднее квадратическое отклонение (стандарт): h sh = J. (2.3.1) n Величину шероховатости трещины предлагается оценивать средним значением высоты уступов: Яс= , (2.3.2) где НІ - расстояние от впадины до выступа, измеренное в Лоточках.
При этом возникает необходимость формализовать задачу, т. е. определить, как находить число N, абсциссу точек Яг, что принимать за вершину выступа и дно впадины. В противном случае появляется существенный элемент субъективизма. Однако четкого алгоритма определения НС не существует. Поэтому использовать эту величину в качестве меры шероховатости затруднительно.
Функцию ординат поверхности трещины hi = f (хг) можно рассматривать как случайную функцию. Тогда вероятностной характеристикой траектории трещины является корреляционная функция. Ее общий вид: 1 1-М К(Ы)= \h(l)-h(l + M)dl, (2.3.3) L где L - линейная длина трещины; / - ее произвольное приращение; h(l) - отклонение ординаты от средней линии. Для практических расчетов К. В. Руппенейт предлагает использовать формулу: K(Alm) = Yh(jAl)-h[(j + m)All (2.3.4) п — т j=0 где im = яг х при (т = О, 1, 2, ...). Для оценки закономерностей изменения К(1т) производится корреляционный анализ ее значений при различных т. В работе [57] показано, что уравнение регрессии имеет вид экспоненты: K(lm) = D ехр (- /), (2.3.5) где D - дисперсия отклонений профиля трещины от ее средней линии. Для приближенной оценки К(1т) предлагается формула: (A/m) = (0)-[l-A/m222], (2.3.6) где - среднее число пересечений (на единицу длины) функции hi = fixi) средней линии трещины. Здесь ДО) = Д т. е. дисперсия отклонений.
Для оценки сдвига горной породы по трещине наиболее известными и нашедшими широкое применение является формулы, где в качестве показателя геометрии трещин используется коэффициент шероховатости Кш. Для определения его величины в работе [18] предлагается сравнивать изучаемую трещину с 10 стандартными профилями (эталонами) - Рисунок 2.1.1. По этому поводу следует отметить, что вряд ли все многообразие природных трещин можно свести к 10 эталонам. Кроме того, чисто визуальное сопоставление профилей реальной и эталонной трещин связано с большой долей субъективизма. Но следует учесть, что полученные рекомендации основаны на многочисленных экспериментальных данных и в этой связи несут ценную информацию. Тогда необходимой задачей является обоснование количественного признака (критерия), позволяющего более надежно выбирать тип эталона и оценивать величину коэффициента шероховатости [31].
Использование результатов исследований
Данная зависимость описывается уравнением: dS = 1,37 N -0,0425 (2.4.9) с коэффициентом R = 0,785. Это свидетельствует о существенной анизотропии характеристик трещины. При этом средняя фрактальная размерность dS = 1,23 значительно меньше этой же величины для трещины гранита. Это подтверждает ранее выполненный анализ (см. раздел 2.2), показывающий, что при явной извилистости траектории трещины базальта ее шероховатость значительно меньше, чем у трещины гранита.
Указанные и отработанные методики основаны на оценке фрактальной размерности поверхности трещин путем усреднения характеристик по каждому из сечений. Строго говоря, такое усреднение достаточно корректно при изотропной поверхности трещин, что не всегда соответствует действительности. Более адекватные характеристики можно получить, исследуя все координаты поверхности трещины в единой модели.
Как и для определения фрактальной размерности траекторий, здесь может использоваться метод покрытия. Для этого все трехмерное пространство, содержащее данную поверхность, покрывается кубами со стороной Li и подсчитывается число непустых кубов N(Li). Последовательно изменяя размеры кубов покрытия Li, производят построение графика функции: ln Li ln [N(Li)]. (2.4.10) По наклону линии определяется фрактальная размерность поверхности.
В классической интерпретации данного метода покрытие осуществляется кубами, т. е. фигурой с равными сторонами. Применительно к поверхности трещин, где размеры основания (проекции трещины на горизонтальную плоскость) обычно на несколько по 76 рядков больше размеров превышений, покрытие следует осуществлять фигурами (параллелепипедами) с высотой пропорциональной превышениям. Тогда в формуле (2.4.10) Li – величина превышений. Угол наклона логарифмической линии будет соответствовать показателю Хёрста Н и фрактальная размерность поверхности: DL = 3 – H.
Реализация данной методики показала следующее. Для трещины в образце гранита размер превышений находится в интервале от 0 до 8,37 мм при размерах проекции трещины 90 х 98 мм. Основание параллелепипедов покрытия приято 2 х 2 мм. Их высота последовательно менялась со следующим шагом: L, мм: 0,1 0,2 0,25 0,5 0,75 0,9 1,0 N(Li): 994 611 516 293 212 191 170 Логарифмическая зависимость (2.4.10) приведена на Рисунке 2.4.6. График уравнения (2.4.10) для трещины гранита Все опытные точки практически точно ложатся на логарифмическую линию, что подтверждает фрактальные свойства поверхности трещины. Показатель Хёрста Н = 0,772 и фрактальная размерность поверхности DL = 2,228. Реализация этой же процедуры в компьютерной программе для трещины базальта показала следующие результаты: Li: 0,2 0,3 0,5 0,8 1,0 1,2 1,5 1,8 2,0 N(Li): 1614 1319 931 666 547 469 384 326 291 График логарифмического уравнения (Рисунок 2.4.7) и его интерпретация для данной трещины дает величины: Н = 0,751; DL = 2,249.
Фрактальная размерность по методу покрытия для трещины базальта выше, чем для гранита, что свидетельствует в целом о большем отклонении поверхности от плоскости проекции трещины.
Поскольку единичная поверхность трещины является одной из множества ее случайных реализаций, фрактальную размерность следует оценивать с вероятностных позиций. Пусть число измеренных точек поверхности М. Вероятность того, что m точек попало в куб со стороной Li, составит P(m, Li). Тогда число кубов, необходимых для покрытия всех точек определится как m1 (2.4.11) N(Li )= P(m,Li ). m=1 Это значение пропорционально Li-D. Отсюда фрактальная размерность: (2.4.12) -ln[iV(L,.)] D = . lnL
Другой метод предложен Б. Мохаддамом (B. Moghaddam) [46]. Он основан на представлении поверхности как результата фрактального броуновского движения (ФБД) точки в трехмерном пространстве. Это движение можно описать функцией вида: [V(x, y) – V(x+x; y+y)]2 = [x2 + y2]H, (2.4.13) где Н – сопоставляется с показателем Хёрста и D = 3 – H. При Н = 1 имеет место идеально ровная (гладкая) поверхность и предыдущее уравнение описывает теорему Пифагора.
На основе уравнения (2.4.13) составлена компьютерная программа, вычисляющая расстояния для смежных точек поверхности и суммирующая полученные расстояния по всей области трещины (). Для поверхности трещины гранита выполняется соотношение ( = 2,86 мм) = [(22 + 22)1/2]0.51. Тогда фрактальная размерность данной поверхности по методу Мохаддама составит DM = 3 – 0,51 = 2,49. Для трещины базальта та же процедура дает практически одинаковую размерность DM = 2,48. Следует отметить, что указанная размерность сильно зависит от принятого шага измерений (x+x; y+y) и в этом качестве не может служить надежной характеристикой шероховатости поверхности.
Другим способом определения фрактальной размерности поверхностей, основанным на непосредственном измерении площадей, является триангуляционный метод. Для его реализации разработана соответствующая компьютерная программа, алгоритм которой состоит в следующем. Производится построение пирамид с все уменьшающимся размером оснований. В качестве ее высоты принимается максимальное превышение координат z в данной области. Вычисляется апофема А каждой пирамиды и вычисляется ее боковая поверхность. При неравных сторонах основания a, b площадь боковой поверхности: S = (a A2 + b A1), где A1 = [(b/2)2 + z2]1/2 и A2 = [(а/2)2 + z2]1/2. Производится построение зависимости ln Si – ln i, где i - соответствующий размер ребра основания пирамид. По углу наклона линейного участка графика определяется Df.
Для реализации триангуляционного метода разработана компьютерная программа, в которой на основе матрицы координат трещин определяется относительная суммарная площадь боковых граней пирамид S/S0, покрывающих поверхность трещины при ступенчатом изменении размеров сторон их основания d. Автоматически производится построение графика уравнения: