Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Состояние вопроса и обзор тенденций повышения точности определения и вычисления площадей территорий
1.1 Некоторые исторические сведения по определению площадей 16
1.2 Влияние несовпадения поверхностей геоида и эллипсоида на точность вычисления площадей территорий 20
1.3 Анализ некоторых способов сгущения геодезических сетей в свете применения современных технологий 22
1.4 Аналитический обзор систем координат, применяемых в геодезических работах 26
1.5 Сравнительный анализ погрешностей преобразований координат пунктов из одной системы в другую систему координат 36
1.6 Аналитический обзор способов вычислений площадей участков на различных поверхностях в свете современных требований
1.6.1 Анализ искажения площадей участков на плоскости в проекции Гаусса 51
1.6.2 Аналитический обзор способов определения площадей объектов на физической поверхности 60
1.6.3 Анализ погрешностей вычисления площадей в некоторых ГИС 66
Глава 2 STRONG Разработка способов определения площади участка на поверхностях
шара и эллипсоида. Анализ полученных результатов STRONG
2.1 Разработка способа вычисления площади участка на поверхности шара 72
2.2 Апробирование способа эквивалентного изображения эллипсоида на поверхности шара для вычисления площадей территорий 75
2.3 Апробирование способа конформного изображения эллипсоида на поверхности шара по второму способу К. Ф. Гаусса для вычисления площадей территорий 79
2.4 Анализ известных и разработка новых способов вычисления пло з щади участка на эллипсоиде 82
Глава 3 Разработка методов определения площади территории на поверхности эллипсоида
3.1 Анализ и разработка способов решения определённого интеграла 93
3.2 Обоснование выбора знаменателя геометрической прогрессии и оптимального количества увеличений интервалов 106
3.3 Повышение точности вычисления площади контуров в ЦММ и длины дуги меридиана на основе метода решения определённого интеграла 109
3.4 Установление взаимно однозначных соответствий между методом вычисления двойного интеграла и способами Симпсона и Ньютона -Котеса 135
3.5 Аппроксимация площади круга площадями вписанных многоугольников 140
3.6 Разработка и анализ методики деления геодезической линии на равные дуги на поверхности эллипсоида 151
Глава 4 Результаты экспериментальных и опытно-производственных работ
4.1 Разработка алгоритмов вычисления площадей территорий на поверхностях эллипсоида и шара 166
4.2 Анализ результатов вычисления площадей территорий 169
4. 3 Обоснование применения пространственной криволинейной системы координат 179
4.4 Вычисление площадей районов Омской области в разных системах координат и на разных эллипсоидах 188
Заключение 195
Список литературы
- Влияние несовпадения поверхностей геоида и эллипсоида на точность вычисления площадей территорий
- Апробирование способа эквивалентного изображения эллипсоида на поверхности шара для вычисления площадей территорий
- Повышение точности вычисления площади контуров в ЦММ и длины дуги меридиана на основе метода решения определённого интеграла
- Обоснование применения пространственной криволинейной системы координат
Влияние несовпадения поверхностей геоида и эллипсоида на точность вычисления площадей территорий
Механический способ измерения площадей получил широкое признание после появления работ российских учёных - Б. Я. Швейцера и А. Н. Савича. Для измерения площадей больших участков профессор А. Н. Савич разработал новый способ, который впоследствии был назван его именем. Применение этого способа ускоряло измерения и повышало точность определения площадей. Как показали результаты исследований, приведённые в некоторых работах [58, 107], относительные погрешности площади по способу А. Н. Савича составляют 1/600-1/800. Разработка и анализ различных способов определения площадей и оценка точности приведены в работах И. А. Стрельбицкого, А. А. Тилло, Ю. М. Шокальского, В. В. Витковского, Н. М. Волкова, А. В. Маслова, Г. Баера, Р. Мартэна, Р. Монти-геля и других учёных.
Для повышения точности измерения площадей кроме теоретических разработок (изменение положения полюса, направления обвода контура и т.п.), улучшались конструкции планиметров. В работах профессора В. В. Витковского указывается, что применение полированной пластины, по которой перемещается счётное колесо, уменьшает относительную погрешность определения площади до 1/10 000 [56]. Однако такие планиметры не нашли широкого применения в производстве.
При дальнейших усовершенствованиях к механическому планиметру присоединяют счётно-решающее устройство и полученную конструкцию называют электронным планиметром. В зависимости от вида программ, заложенных в счётно-решающее устройство, получают различные результаты, например, площадь обведённого участка в гектарах или последовательные записи в ячейки памяти площадей нескольких участков, суммирование результатов и т. д. Электронные планиметры ускоряют процесс вычислений, но не повышают точность определения площади участков.
Следует отметить роль российских учёных в разработке методик определения площадей территорий. Они не только смогли получить точные значения пло 18 щадей территорий Российской Империи, но и разработали способы введения поправок в площадь за абсолютную высоту территории и за искажение изображения в картографических проекциях [58]. Такая методика позволяла достигнуть достаточно точных результатов, и в современных условиях её необходимо применять с учётом современного развития техники и технологии производства. В настоящее время в действующих правовых документах [111, 122] нет требований по учёту таких поправок при вычислении площадей территорий даже для аналитического способа.
Исторические сведения по разработке и усовершенствованию аналитического способа вычисления площадей можно найти в работах Н. А. Веденяпина, В. Н. Ганыпина, А. В. Маслова, М. Г. Михайлова, Л. С. Хренова, А. С. Чеботарёва, Ф. Лорбера и других. Авторами предлагались различные способы измерений отдельных фигур (треугольников, четырёхугольников и трапеций) для последующего вычисления площадей участков. Рассматривались различные сочетания измеренных линий и углов фигур и затем, используя необходимые формулы, вычислялись площади. Участки с небольшим числом сторон предлагалось делить на треугольники, площади которых вычислялись по измеренным углам и сторонам, и окончательное значение находилось суммированием площадей всех треугольников.
Площади участков с числом углов более шести рекомендовалось вычислять по координатам вершин или по приращениям координат. Различные формулы для вычисления площади участка по координатам предложены К. Ф. Гауссом, В. Н. Ганыпиным и Л. С. Хреновым. Общий недостаток вычисления площадей по координатам вершин границ участка заключается в отсутствии контроля при вводе исходной информации (можно легко пропустить или взять дважды координаты какой-нибудь точки). Ещё труднее обнаружить погрешность, если в значении координат точки допущена описка. Поэтому в работе [107] рекомендуется применять различные формулы, включающие как координаты точек, так и приращения координат. Относительные погрешности определения площади аналитическим способом составляют 1/1000-1/2000. Погрешности площади зависят от точности установления (опознавания) точек границ на местности и погрешностей геодезиче 19 ских измерений. До появления электронных приборов преобладало влияние погрешностей измерений. Появление электронных тахеометров и настольных вычислительных машин внесло значительные изменения в полевые и камеральные работы [19, 74, 120]. Погрешности измерений стали значительно меньше погрешностей установления границ контуров. Применение компьютеров в геодезическом производстве способствовало замене графического и механического способов аналитическим. Поэтому вычисление площади аналитическим способом на плоскости стало основным.
По требованиям нормативных документов [111, 112, 125] погрешность определения площади участка зависит от его хозяйственной ценности. В последнее время в связи с массовым применением электронных тахеометров, спутниковых технологий и лазерных сканеров, появились возможности в получении практически одинаковых по точности координат точек любых территорий и погрешности равных площадей стали меньше различаться между собой, что отражено в работах [1,2,65,77].
При вычислении площади участка всегда ставился вопрос о погрешности её определения. Оценкой точности стали заниматься одновременно с разработкой способов определения площадей. В работах учёных И. А. Стрельбицкого, Ю. М. Шокальского, Н. М. Волкова, А. В. Маслова и др. приведены достаточно надёжные, универсальные и полные формулы оценки точности.
Обстоятельный и подробный анализ оценки точности определения площади с выводом формул имеется в работах проф. А. В. Маслова [61, 107]. Эти разработки выполнены с определённой перспективой и полностью удовлетворяют современным требованиям по оценке точности площадей участков.
Проблемами определения площади и повышением её точности занимались многие учёные в различных странах. С развитием общества существующие методы определения площади перестали соответствовать современным требованиям. Следовательно, необходимо разработать методологию определения и вычисления площади каждого участка с учётом его пространственного положения.
Апробирование способа эквивалентного изображения эллипсоида на поверхности шара для вычисления площадей территорий
На плоскости в проекции Гаусса площади участков искажаются за масштаб изображения. Для уменьшения искажений предлагается вводить поправки с учётом среднего радиуса кривизны эллипсоида. Как было установлено в параграфе 1.6.1, введение поправок не приводит к требуемому результату и необходимо разработать другие способы вычисления площади.
Рассмотрим поверхность шара, которую широко используют в математической картографии как переходную поверхность при разработке и построении различных проекций эллипсоида на плоскость. В практике геодезических вычислений сферу применяют как промежуточную поверхность для решения различными способами прямой и обратной геодезических задач на поверхности эллипсоида. Обычно сферу со средним радиусом кривизны эллипсоида, вычисленным по средней широте объекта, используют для нахождения различных поправок в результаты измерений или вычислений. Непосредственно для обработки геодезических данных в точных расчётах сферу или шар не применяют. В нашем случае рассмотрим поверхность шара или сферу как основную для вычислений площадей территорий.
При определении площади всей поверхности шара или ее значительной части Рсф, применяются формулы сферической тригонометрии. Площадь сферического треугольника или любого многоугольника, выраженная в радианах, равна его сферическому избытку є. В линейной мере площадь находят по формуле: Рсф= sR2, где є - сферический избыток многоугольника, выраженный в радианах; R - радиус шара. Для получения точного значения площади необходимо в процессе вычислений удерживать 10-12 верных значащих цифр.
При проектировании точек границ объектов с поверхности эллипсоида на поверхность шара получают сферические координаты этих точек (широту и долготу). Значения координат точек зависят от применяемого способа проектирования. Для получения сферического избытка многоугольника необходимо найти сумму его внутренних углов. Для этого последовательно между двумя соседними точками границы по известным сферическим координатам решают обратные геодезические задачи. Далее, последовательно берут поворотные точки и по азимутам сторон, исходящие из этих точек, находят внутренние углы многоугольника. Затем вычисляют сумму углов многоугольника и его сферический избыток.
Возможен и другой способ - делят фигуру (ABCD рисунок 6) на отдельные треугольники (ABC и ACD). Затем решают обратные задачи, но уже по сторонам выбранных треугольников, и вычисляют их площади. Далее суммируют полученные значения площадей и в результате находят площадь всего многоугольника.
Как решение обратных задач по точкам границы многоугольника, так его деление на треугольники и последующее вычисление площади становится трудоёмкой задачей. Кроме того, возможно появление погрешностей, связанных с неправильным делением исходного многоугольника на треугольники. При реализации таких способов на ЭВМ необходимо разработать логические алгоритмы де 74 ления больших многоугольников на треугольники. Даже для участков с простой конфигурацией это является не простой задачей, а для больших территорий потребуется разработка сложных программ.
В любом из рассмотренных способов необходимо выполнить значительный объём разнообразных действий. Главный недостаток известных способов вычисления площади - необходимость решать разнотипные задачи.
Применение единой методики ускорит процессы вычисления площади и упростит составление программы для работы на компьютере. В данной работе предлагаем отказаться от традиционных способов деления территории на треугольники, а, используя систему сферических координат, строить треугольники на основе точки полюса и граничных сторон территории. В этом случае все действия сводятся к вычислению сферического избытка по каждому построенному треугольнику (АВР, ВСР, CDP и DAP рисунок 6) и последующему суммированию этих избытков.
На поверхности шара выбираем полюс, плоскости экватора и начального меридиана. Для каждой поворотной точки границы находим ее широту и долготу (фі, ХІ). За начало отсчёта берём точку полюса Р, и вычисляем площадь всей фигуры по следующей формуле:
В этой формуле каждая точка участвует в вычислениях дважды, поэтому в некоторых программах координаты (широту и долготу) первой точки записывают в начале и в конце каталога. Для практических расчётов это наиболее эффективная методика.
Описание различных способов изображения эллипсоида на поверхности шара имеются в трудах таких учёных, как Г. В. Багратуни, Л. М. Бугаевский, А. В. Буткевич, А. В. Граур, В. П. Морозов, А. А. Павлов, Б. Б. Сирапинас и многих других [27, 28, 92, 127, 150]. По характеру искажений изображения эллипсоида на поверхности шара существуют способы эквивалентного, конформного и произвольного проектирования.
Поскольку поставлена задача определения площади территории с минимальными погрешностями, то это значительно сужает количество рассматриваемых способов. Для исследований выберем два наиболее известных и перспективных способа. Это эквивалентное изображение эллипсоида на поверхности шара и конформное изображение эллипсоида на поверхности шара по второму способу К. Ф. Гаусса.
Апробирование способа эквивалентного изображения эллипсоида на поверхности шара для вычисления площадей территорий
Способы эквивалентного или равновеликого изображения эллипсоида на поверхности шара рассмотрены во многих работах [70, 127 150, 155]. Для исследования погрешностей вычисления площади на поверхности шара, построенного путём эквивалентного проектирования на него эллипсоида, рассмотрим способ изображения всего эллипсоида на поверхности шара. Не вдаваясь в теоретические основы этого способа, который подробно изложен во многих работах [70, 127], приведём формулы, необходимые для дальнейших исследований.
Повышение точности вычисления площади контуров в ЦММ и длины дуги меридиана на основе метода решения определённого интеграла
Выполненные вычисления подтверждают возможность применения методики деления интегрируемой функции на равные интервалы при решении определённого интеграла для окружности и эллипса. Для более полной проверки необходимо произвести определённый объём дополнительных вычислений по формулам (3.3.9) и (3.3.10). Эти формулы ограничивают возможность широкого применения данного метода для решения как задач по вычислению площадей объектов сложной конфигурации на любых заданных поверхностях, так и других задач, решаемых методами геодезии (вычисление объёмов горных выработок в карьерах, или длины кривой на поверхности эллипсоида и т. п.). Поэтому рассмотрим другие, более простые, пути решения, деления кривой на равные интервалы.
Более простой путь решения - это деление угловой величины всей кривой на небольшие равные углы. Для эллипса в качестве первой угловой величины возьмём острый угол между нормалью к поверхности эллипса и осью абсцисс. В геодезии такой угол называется геодезической широтой В. Поэтому во всех даль 127 нейших рассуждениях данного параграфа будем считать, что термин «геодезическая широта В» это острый угол между нормалью к кривой и осью абсцисс.
Исследуем точность вычислений площадей сегментов эллипса и длин дуг при различных вариантах деления дуги кривой и для разных эксцентриситетов. В программном комплексе Excel составлены программы, по которым получены все основные и контрольные результаты, выполнена оценка точности. При вычислениях изменяем следующие исходные данные: большую полуось - а, и эксцентриситет - е. За начало координат принята точка Д относительно которой вычисляем прямоугольные координаты точек Fi и Дп (рисунок 15, с. 123). Положение конечной точки дуги эллипса задаём геодезической широтой В, по которой вычисляем значение абсциссы х с учётом начала координат и ординаты - у. По прямоугольным координатам точек конца кривой, Fi и Дп находим значение угла ф (рисунок 15) и приближённое значение длины дуги s по формуле (3.3.9). В результате положение конечной точки дуги эллипса задано тремя различными значениями: это - геодезическая широта В, полярный угол ф и длина дуги s. Далее вычисления выполним в трёх вариантах.
В первом варианте заданное значение геодезической широты делим на 128 частей, найдём геодезическую широту каждой промежуточной точки:
Во втором варианте за полюс примем точку Fi (рисунок 15), угол ф разделим на 128 частей и аналогично вычислению ВІ определим значение фі для каждой точки и по формулам (3.3.6) и (3.3.11) вычислим прямоугольные координаты промежуточных точек.
В третьем варианте, по дуге эллипса S найдём длины дуг от начала кривой до промежуточных точек по формуле (3.3.2) и углы фі по формуле (3.3.10). Затем по формулам (3.3.6) и (3.3.11) вычислим прямоугольные координаты точек дуги эллипса. Эти координаты получим с большими погрешностями, так как значения s и ф найдены по приближённым формулам.
Во всех вариантах линейные длины дуг, на которые разделена кривая, не равны между собой. Это вызвано следующими причинами: 1) постоянное линейное увеличение длины дуги происходит из-за постоянного увеличения радиуса кривизны дуги эллипса или радиус-вектора р; 2) первоначальная длина дуги эллипса найдена по приближенной формуле, и поэтому минимальные длины дуг, полученные в результате её деления на m интервалов, не равны теоретическим значениям, и их линейные размеры также не равны между собой.
При исследованиях длина дуги изменялась от 15 до 75 через 15, а эксцентриситету придавали значения 0, 2; 0,4; 0,6; 0,8 и 0,95. По выбранной длине дуги и всем значениям эксцентриситета вычислены площадь и дуга сегмента эллипса. Все полученные дуги сравнивались с дугой, вычисленной с максимально возможной точностью (при делении на 256 интервалов), а при малых значениях эксцентриситета - со значениями, вычисленными по известным формулам работы [170]. Дуги, разделённые на 64 и 128 интервалов и вычисленные по пятой итерации, различались на 1-2 единицы в последней (15-той) значащей цифре. Площади сегмента вычислялись по точным формулам работ [22, 134]. Погрешности вычислений дуг или площадей при делении на равные интервалы угловых величин (В и ф) примерно на порядок больше, чем при делении на равные интервалы самой дуги s. Следовательно, подтверждается, что при делении интегрируемой кривой на равные интервалы получаем наиболее точные результаты. Если минимальное значение интервала не превышает 0,02-0,04 радиана, погрешности вычислений дуг и площадей при делении угловых величин составляют 10" -10" . На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы: 1) наиболее точные результаты получаются при делении дуги на равные интервалы. При четырёх итерациях и делении четверти дуги эллипса на 64 интервала количество верных значащих цифр при вычислении площади составляет 14-16; 2) при делении углов В и (р на равные величины погрешности вычисления дуг или площадей на 1-2 порядка больше, чем при делении дуги на равные интервалы; 3) количество верных значащих цифр зависит от длины кривой и её эксцентриситета. Количество полученных в значениях дуги или площади верных значащих цифр в зависимости от длины дуги и эксцентриситета приведены в приложении В.
Можно сделать вывод, что применение разработанного метода повышает точность вычисления площадей криволинейных контуров. При этом не обязательно определять точное метрическое значение длины границы контура. Достаточно разделить контур на равные секторы, выбрав за центр произвольную точку.
По разработанному методу вычислим длину дуги четверти меридиана земного эллипсоида. Хотя эта задача решена, но в настоящее время разрабатываются и предлагаются новые варианты, которые, по мнению авторов лучше существующих. Используем в вычислениях угловое значение геодезической широты. Разделим дугу в 90 на 16 интервалов и получим минимальное значение дуги 5,625. Вычислим широты всех промежуточных точек, а затем по формуле (3.3.12) - прямоугольные координаты. Найдем приближённые значения дуги меридиана: сначала как хорду между точками экватора и полюса, затем как сумму двух хорд - от экватора до точки с широтой 45 и от этой точки до полюса, далее как сумму длин четырёх хорд и т. д. до суммы 16-ти хорд (таблица 22, столб. 2). Остальные значения длины дуги меридиана вычислим по формуле (3.1.24) (таблица22, столб. 3, 4 и 5) и сравним их с точным значением дуги меридиана 10 002 137,497 542 м.
Из сравнения с данными столбца 2 следует, что самое точное значение дуги меридиана получено с погрешностью 4 016 м, а предыдущее с погрешность 16 129 м. Но после первой итерации получаем длину дуги меридиана с погрешностью в 1,9 м. Погрешности второй итерации составляют 1,8 мм, а третьей 0,004 мм. В таблице 21 не приведено значение по четвёртой итерации, погрешность которого равна 0,0004 мм. Эта погрешность в 15-той значащей цифре и сопоставима с погрешностью округлений, так как при вычислениях удерживалось 15 значащих цифр.
Обоснование применения пространственной криволинейной системы координат
На основании проведённых исследований можно сделать вывод, что полученные для окружности зависимости имеют общий характер и их можно использовать и для любых других кривых и иных построений. Большинство функций можно разложить в ряд по возрастающим четным или нечетным степеням аргумента. Значит, и при возрастании числа интервалов, на которые делится кривая, отношение площадей (интегралов) должно изменяться в соответствии с установленными закономерностями. При вычислении интеграла по способу Симпсона отдельные отрезки кривой заменяют подходящими отрезками парабол. Считается, что при малых значениях отрезка Ах, парабола аппроксимирует кривую с достаточной точностью. Применение параболы связано с простотой её интегрирования. При малом значении интервалов (Ах или As) возможна замена малых отрезков кривой близкими к ней дугами окружностей. Это хорошо подтверждается формулой (3.4.2), полученной по формуле Симпсона, и её полным соответствием формуле (3.4.1).
При делении кривой на равные дуги во многих случаях между вычисленными последовательными значениями интеграла получается четко определяемая математическая зависимость, на основании которой можно получить результат с большей точностью.
Сравнение результатов вычисления определённого интеграла одной и той же кривой, но при разных расположениях её относительно оси абсцисс доказывает неоднозначность получаемых результатов. Чем меньше изменяются наклоны кривой к оси абсцисс, тем точнее получается результат при одинаковом числе интервалов, на которые делится заданный отрезок. Это подтверждается результатами исследований различных кривых при разных способах деления кривой или полярных углов на равные части.
Определенным обоснованием применения данной методики являются свойства многочленов Чебышева, которые «являются, в сущности, функциями Фурье cosn6, замаскированными простым преобразованием переменной 0 = arccosx»
Это преобразование можно рассматривать как проекцию пересечений полукруга с множеством прямых, исходящих из центра, и имеющих равные углы между собой, следовательно, множество точек X;, на котором система чебышевских многочленов Тп(х) ортогональна, таково: Это неравномерное расположение, у которого сгущаются к обоим концам интервала (-1 х і).
Конечно, окружность - такая кривая второго порядка, которая хорошо аппроксимируется правильными многоугольниками. Если увеличивать в геометрической прогрессии число сторон таких многоугольников, то в увеличении их площади или периметра можно найти определённые математические закономерности. Поэтому использование найденных закономерностей при вычислении определённого интеграла даёт преимущество перед другими способами.
Применение разработанного метода вычисления определённого интеграла возможно, когда нет четкой математической зависимости между значениями аргумента и функции. Так, уравнений геодезической линии на поверхности эллипсоида, выраженных через пространственные криволинейные или прямоугольные координаты, не существует. Следовательно, при решении задач, связанных с геодезической линией, возникают определённые сложности (например, вычисление площади территорий). Применение разработанного метода вычисления определённого интеграла позволяет однозначно вычислить площадь любого участка, любых форм и размеров на поверхности эллипсоида с погрешностью меньше любой заданной.
На основании проведённых математических исследований сделаем следующие выводы: 1) предлагаемый метод вычисления определённого интеграла хорошо обоснован, и его применение позволит решать двойные интегралы при отсутствии чётких, математических зависимостей между аргументом и функцией; 2) при нахождении известных математических зависимостей между вписанными многоугольниками в заданную кривую можно уменьшить погрешности результата на несколько порядков; 3) данный метод можно применять при вычислениях предельных значений плохо обусловленных функций (пересечение линий под острыми углами). Для применения данного метода - вычисления площадей участков на поверхностях вращения (эллипсоиде) необходимо разработать способ деления геодезической линии на т равных отрезков.
В соответствии с полученными формулами (2.4.2), (2.4.4) и (2.4.5) (см. стр. 83, 87, 87) площади участков на поверхности эллипсоида вычисляются по геодезическим координатам - широте и долготе. Обычно координаты точек границ участков даны в местных кадастровых системах координат. Следовательно, необходимо преобразовать координаты из МКСК в геодезическую систему с максимально возможной точностью, применяя наиболее точные способы и формулы. При преобразованиях координат из МКСК в ГСК необходимо руководствоваться рекомендациями параграфа 1.2.2 и работы [69].
Как было установлено в параграфах 3.1 и 3.3, для уменьшения погрешностей вычисления площади участка, каждую граничную сторону необходимо делить на равные интервалы. Максимальный эффект получим при делении геодезической линии на 2 равных интервала.
Примем, что исходные координаты точек границы даны в проекции Гаусса. Получим геодезическую линию на поверхности эллипсоида, поделённую на равные дуги, применяя: 1) проекцию Гаусса, для чего в заданной системе координат делим линию на т интервалов, а затем преобразуем прямоугольные координаты всех точек в геодезические координаты - широту и долготу; 2) поверхность эллипсоида, для чего преобразуем прямоугольные координаты граничных точек в геодезические координаты, находим на поверхности эллипсоида азимут и длину линии, делим полученную линию на m интервалов и по азимуту и расстояниям от первой точки линии до промежуточных точек находим их геодезические координаты, решая прямые геодезические задачи;