Содержание к диссертации
Введение
1. Государственные геодезические сети республики бенин 10
1.1. История создания геодезической основы во время колонизации 10
1.2. Государственная геодезическая сеть Республики Бенин 21
1.3. Государственные нивелирные сети Республики Бенин (RGNB) 24
1.4. Сеть постоянно действующих спутниковых референцных станций CORS 25
1.4.1. Сеть постоянно действующих спутниковых станций Республики Бенин 28
1.5. Выводы по главе 1 36
2. Взаимосвязь систем координат республики бенин с международными системами координат 38
2.1. Международные системы координат 39
2.1.1. ITRF 39
2.1.2. Система WGS-84 43
2.1.3 Параметры связи между различными реализациями ITRF и WGS 84 45
2.2. Уточнение координат и скорости смещения постоянно действующих базовых станций Республики Бенин 46
2.2.1. Результаты обработки данных CORS Республики Бенин в Bernese Результаты обработки данных 54
2.3. Методы установления взаимосвязи между различными системами координат
2.3.1. Преобразование декартовых координат 63
2.3.1.1. Семи-параметрические формулы Гельмерта 63
2.3.1.2. Десяти-параметрические формулы Молоденского 66
2.3.2. Преобразование эллипсоидальных координат дифференциальные формулы Молоденского 67
2.3.3. Преобразование плоских прямоугольных координат в проекции -четырёх-параметрические преобразования подобия 78
2.3.4. Вычисление параметров преобразования координат ITRF2008 -Datum 58(81) 79
2.3.4.1. Исходные данные 79
2.3.4.2. Преобразование плоских прямоугольных координат в проекции 83
Вычисление общих параметров преобразования для всей территории Республики Бенин 83
Вычисление параметров преобразования, применимых только к южной части территории Бенина 84
Вычисление параметров преобразования, применимых только к северной части территории Бенина 85
2.3.4.3. Преобразование эллипсоидальных координат 86
2.3.4.3.1 Программная реализация 88
2.4. Выводы по главе 2 93
3. Построение модели геоида на территорию республики бенин: benin national geoid 2015 (BNG-15) 95
3.1. Современное состояние высотной геодезической основы Республики Бенин 95
3.2. Выбор методики обработки данных 96
3.2.1. Интерполяционная сплайн-поверхность 97
3.2.1.1. Замечания по программной реализации и применению метода 99
3.2.1.2. Модель регионального геоида BNG-15 101
3.3. Вывод по главе 3 110
Заключение 112
Литература
- Государственные нивелирные сети Республики Бенин (RGNB)
- Уточнение координат и скорости смещения постоянно действующих базовых станций Республики Бенин
- Преобразование эллипсоидальных координат дифференциальные формулы Молоденского
- Выбор методики обработки данных
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В процессе модернизации государственной координатной основы на базе применения спутниковых методов и данных международных сетей, а таюке при привязке локальных геодезических сетей, построенных с помощью спутниковых измерений, к пунктам государственной геодезической сети, требуется совместно использовать как результаты, полученные методами космической геодезии, так и традиционные наземные измерения.
В настоящее время, координатной основой на территории Республики Бенин служат государственная геодезическая сеть 1-го класса (RGB), государственная нивелирная сеть (RNGB) и сеть постоянно действующих спутниковых референцных станций (CORS).
В условиях создания и развития сетей в Республике Бенин имеется ряд проблем, которые мешают проведению корректного совместного уравнивания, установлению взаимосвязи и практическому использованию спутниковых и традиционных опорных геодезических сетей:
Государственная геодезическая сеть 1-го класса (RGB) и государственная нивелирная сеть (RNGB) в Республике Бенин не имеют общих пунктов, поскольку созданы они в разное время и в разных системах отсчета. Эта ситуация приводит к тому, что системы RGB и RNGB не формируют единую трехмерную пространственную систему координат.
Точность относительного положения пунктов спутниковой сети примерно на порядок выше, чем соответствующая точность существующей ГГС, созданной традиционными методами.
Спутниковая сеть CORS создана в Республике Бенин относительно недавно с применением современных методов, точность которых также существенно выше традиционных. В противоположность традиционным геодезическим сетям RGB и RNGB - CORS образует трехмерную систему.
При совместном использовании RGB, RNGB и спутниковой сети CORS на относительно небольшой территории Бенина возникает локальная неустойчивость модели трансформирования координат.
Эти особенности приводят к тому, что совместное уравнивание существующих в Республике Бенин геодезических сетей (отличающихся по точности и геометрически) требует корректного выбора математической модели обработки, не ухудшающей точность спутниковой сети. Кроме этого, в условиях неизбежных ошибок измерений и выбранной методики трансформирования координат возникает задача корректного выделения устойчивой части решения, согласованной с точностью исходных данных.
Степень разработанности темы исследования. В настоящее время отсутствует точная связь системы координат первого класса Республики Бенин Datum 58(81) с международными общеземными системами координат. Такая ситуация объясняется тем, что существующие на территории Бенина геодезические сети имеют хорошие точностные характеристики, но практически не связаны между собой.
Создание региональной модели геоида, покрывающей всю территорию Бенина, также является важной задачей и существенной частью настоящих диссертационных исследований. Впервые была построена модель геоида для Бенина. Модель геоида построена на основании вычисленных в ходе исследований параметров трансформирования координат Datum 58(81) -ITRF2008, а также доступных данных нивелирной и гравиметрической сетей.
Цель диссертации - установление связи национальной системы координат республики Бенин с международными общеземными системами координат.
Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:
исследование современного состояния координатной основы Республики Бенин;
уточнение координат и скоростей смещения постоянно действующих базовых станций CORS Республики Бенин;
выполнение анализа методов определения параметров преобразования координат;
составление и реализация в программном обеспечении алгоритмов для определения параметров перехода между Datum 58(81) и ITRF2008;
исследование различных методов построения моделей геоида, с учетом имеющихся данных;
- построение региональной модели геоида для территории Республики Бенин и
представление её в виде карты высот геоида и текстовых файлов.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
результаты уточнения координат и скоростей смещения постоянно действующих базовых станций Республики Бенин;
методика определения параметров трехмерного преобразования координат на основе только широт и долгот опорных пунктов, параметры перехода между системами Datum 58(81) и ITRF2008 и оценка их точности;
методика создания региональной модели геоида, построенная региональная модель геоида для Бенина и сравнение полученной модели с глобальной моделью геоида EGM2008.
Научная новизна заключается в том, что были уточнены координаты и скорости смещения постоянно действующих спутниковых референцных станций CORS Республики Бенин, впервые определены параметры точного трехмерного перехода между Datum 58(81) и ITRF2008 и построена региональная модель геоида.
Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в составлении теоретических и методических положений, позволяющих оптимально выполнить переход от ITRF2008 к Datum 58(81) и наоборот.
Практическая значимость. Аналитические выражения доведены до практической реализации и предназначены для решения фундаментальных и прикладных задач геодезии, космической геодезии, геодинамики и точной навигации. Результаты исследований позволяют повысить эффективность проведения производственных работ, особенно при их выполнении спутниковым оборудованием.
Результаты диссертационной работы, полученные в ходе исследований, позволяют выполнять преобразования координат пунктов, измеренных спутниковыми методами, из ITRF2008 в национальную систему координат Datum 58(81) с вычислением ортометрических высот этих пунктов.
Методология и методы исследования включают в себя сравнительный анализ и эксперименты. В процессе решения поставленных задач были проанализированы различные методы определения параметров перехода между
системами координат и создания модели геоида. На основании выбранных методов, составлены алгоритмы и выполнена их программная реализация.
Достоверность научных и практических результатов, выводов и рекомендаций подтверждена теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в ходе диссертационной работы.
Апробация результатов. Основные задачи, пути их решения и значимость исследований, выполненных в настоящей диссертации, обсуждалась на Генеральной Ассамблее FGF (Федерация франкоговорящих геодезистов) в Республике Буркина-Фасо в октябре 2012 г. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: 69-я научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК (Москва, апрель 2014 г.) и 70-я научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК (Москва, апрель 2015 г.).
Результаты диссертационной работы опубликованы в 5 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК России.
Структура и объем диссертации.
Диссертационная работа изложена на 148 страницах машинописного текста и состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, списка сокращений и четырёх приложений, содержит 23 рисунка и 16 таблиц. Список литературы включает в себя 64 наименования, в том числе 38 на иностранных языках.
Государственные нивелирные сети Республики Бенин (RGNB)
В 1904 г. созданной французскими специалистами географической службе была поручена задача по картографированию французской колониальной империи. Служба в то время назвалась SGAOF- Service geographique de l Afrique occidentale Francaise (Географическая Служба для Французской Западной Африки). Исходя из анализа рельефа, плотности населения и экономического развития было принято решение о создании общих карт масштаба 1:200 000 с высотой сечения 40 м, покрывающих всю территорию работ. Для крупных населенных пунктов и быстро развивающих городов, составили карты масштаба 1:50 000 с высотой сечения 20 м. В пустынных районах топографических карт не составлялось [2].
К 1945 году Национальный Географический Институт Франции издал новую инструкцию по картографированию для специалистов, работающих на Западе Африки. Одним из важных разделов инструкции является принятие решения об использовании проекции Гаусса (модифицированная поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора) для выполнения всех геодезических работ и при создании топографических карт различных масштабов.
Для территории Республики Бенин параметры проекции следующие: долгота центрального меридиана равна 0 30 ; ширина каждой зоны составляет 6; масштабный коэффициент на центральном меридиане зхоны M = 0,999; к координатам добавляются смещения для исключения отрицательных значений: 1000 000 м на Восток и 1000 000 м на Север; поверхность относимости -эллипсоид Хейфорда 1909 года со следующими параметрами: большая полуось а = 6378388 м, сжатие f = 1/297 [2]. Начиная с 1948 года, французские специалисты начали выполнять аэрофотосъемки масштаба 1:50 000. Параллельно с аэрофотосъемкой выполнялись геодезическая триангуляция и астрономические определения (точность полученных координат 30 м). Среднее расстояние между пунктами триангуляции 40-50 км. Кроме этого, на пунктах выполнялось барометрическое нивелирование.
К концу 1950 г. была опубликована новая инструкция об используемой проекции. Исходя из того, что используемую проекцию во Франции поменяли на UTM (Universal Transverse Mercator). В дальнейшем все работы службы SGAOF выполнялись с использованием эллипсоида Кларка 1880 года в UTM со следующими параметрами: - проекция Гаусса; - масштабный фактор вдоль центрального меридиана составляет М = 0, 9996; - границы зон совпадают с границами соответствующих зон на листе карты масштаба 1:1 000 000; - меридиан Гринвича совпадает с границей между двух зон (30 и 31); - ширина каждой зоны по долготе составляет 6 . За несколько лет интенсивной работы получены следующие главные результаты: - выполнены астрономические наблюдения на 3870 пунктах (к сожалению, из всех пунктов, на которых выполнялись астрономические определения, к настоящему времени в Бенине сохранился один); - проложено 69300 км нивелирных ходов различных классов; - аэрофотосъемка 95% территории Французской Западной Африки была выполнена в масштабе 1:200000, но лишь половина съемок была оформлена в виде карт. На основании 27 аэрофотосъемок были составлены карты, покрывающие примерно 39% территории Республики Бенин;
- кроме того, была создана карта в масштабе 1:50000 на общую площадь 600000 км2 [2].
Кроме аэрофотосъемки с 1946 года французские специалисты начали работать над созданием Африканского гравиметрического базиса. В ходе двух первых компаний (первая в 1951 году и вторая в 1952 году), измерения проводились на территории следующих стран: Алжир, Марокко, Сенегал, Мавритания, Гвинея, Судан, Буркина-Фасо, Нигер, Гана, Нигерия, Камерун, Чад, Центральная Африканская Республика, Дагомея (Бенин), Того, Габон, Конго, Бельгийское Конго, Замбия, Танзания, Кения, Уганда, Танзания, Мадагаскар, Реюньон, Маврикий. Следует отметить, что в этот базис входят измерения, которые были выполнены на территории нескольких европейских стран (Франция, Португалия...). Эти пункты (293 гравиметрических пункта) послужили исходными пунктами, для построения гравиметрической основы Африки [3-Ю].
Над созданием Африканского гравиметрического базиса, главным образом, работали французские специалисты из отдела Геофизики Центральной Научной Службы Управления научно-технических исследований за рубежом (ORSTOM). Как было сказано выше, этот базис берет начало из Европы. На рисунке 1.1 показано расположение пунктов и связей выполненных в 1951 и 1952 г [6, 7].
Гравиметрические съемки на западе Африки начались в 1953 г. [3, 6]. В среднем по континенту, плотность гравиметрического покрытия составляет примерно 150 пунктов на квадратный градус.
Уточнение координат и скорости смещения постоянно действующих базовых станций Республики Бенин
Станции сети непрерывно наблюдают спутники GNSS продолжительный период времени. В глобальном масштабе развиваемая сеть GNSS станций слежения обеспечивает доступ к общеземной системе отсчета, параметрам ориентировки Земли и точным спутниковым эфемеридам. В региональном масштабе непрерывный мониторинг станций GNSS обеспечивает базовые измерения для полевых работ и связь с глобальной системой отсчета. Более того, они обеспечивают улучшенное временное разрешение и возможность лучше характеризовать спектр ошибок GNSS, чем периодические измерения. Сети постояно действующих базовых станций дают возможность осуществлять дополнительные исследования, такие как мониторинг тропосферы, ионосферы и геодинамических проецессов (что невозможно при периодических измерениях), оценивать скорость изменения координат станций и многое другое [35].
Программное обеспечение. Используемые для обработки программы принято делить на коммерческое программное обеспечение, поставляемое производителями спутниковой аппаратуры, и многоцелевое научное программное обеспечение от разработчиков из научных организаций. Программы первой группы предназначены преимущественно для обработки данных от приемников определенного типа. Однако более совершенные программы принимают данные также через интерфейс формата RINEX. Как правило, математические модели этих продуктов в большинстве случаев пользователю недоступны. Коммерческие программы подходят для повседневной геодезической работы. Обычно этот вид программ позволяет делать обработку статических и кинематических измерений [35]. Из коммерческих программ в настоящее время наиболее распространенными на рынке являются [35]: Trimble Business Center компании Trimble; Leica Geo Office компании Leica; Pinnacle, Ensemble компании Javad Navigation Systems; MAGNET Tools и Topcon Tools компании Topcon Positioning Systems; Ashtech Solutions компании Thales Navigation (сейчас это подразделение компании Trimble). Разработка многоцелевой системы для пост-обработки GNSS данных представляется сложной задачей, требующей многолетней работы научного коллектива и состоящей из большого числа индивидуальных программ. Обычно эти программные пакеты не ограничиваются использованием одного типа приемников, а принимают данные от всего разнообразия геодезической аппаратуры. Эти пакеты в большинстве случаев служат для решения следующих задач [35]: профессионального стандартного использования для быстрой обработки данных небольших сетей; профессионального использования при высокоточных измерениях, а также на больших расстояниях; для обработки данных научных исследований, включая геодинамические исследования и обработку массивов данных постоянно действующих станций.
Кроме стандартных опций быстрой обработки, эти виды программных пакетов предлагают многие виды особых режимов для научной обработки. Некоторые пакеты включают опции для определения орбит или для оценивания атмосферных моделей. Математические модели научных программных пакетов общего назначения в большинстве случаев хорошо документированы и описаны в научной литературе. В некоторых случаях пользователь имеет доступ к исходным текстам модулей программ и может делать свои модификации или вставлять новые фрагменты. Считается, что в научных программах моделирование явлений выполняется на уровне точности в 1 мм, в то время как в коммерческих программах - 5 мм [35-37].
В настоящее время примерами программ второй группы являются [35]: Bernese - разработана в Астрономическом институте Университета Берна, Швейцария; GAMIT/GLOBK - разработана в Массачусетском институте технологий, США; GEONAP - разработана в Университете Ганновера, Германия; GIPSY-OASIS II - разработана в Лаборатории реактивного движения Калифорнийского института технологий, США; программа BAHN разработана в Университете Ньюкастла совместно с LogicaCMG (Англия), используется для вычисления орбит и поправок часов спутников
Известно несколько других программ, но их использование ограничивается институтами и центрами, где были разработаны. К ним можно отнести программы PAGES (Национальная геодезическая служба США) [35, 38, 39]. Программный пакет PANDA (Position And Navigation Data Analyst) разработан в исследовательском центре Университета г. Ухань (КНР) и предназначен также для обработки лазерных наблюдений спутников. Пакет EPOS, разработанный в центре GFZ (ФРГ), используется для получения координат станций, тропосферных зенитных задержек и содержания паров воды. Программа применяется также для прогнозирования орбит спутников GPS и ГЛОНАСС [35]. Многоцелевые научные программные пакеты (как и выбранное нами программное обеспечение Bernese версия 5.2) состоят из нескольких частей. Можно выделить три главные группы [35]: уровень предварительной обработки, на котором данные готовятся к основной обработке; уровень основной обработки имеет дело с оцениванием неизвестных параметров; уровень пост-обработки, на котором, если необходимо, происходит объединение сессий в сеть и, кроме того, полученная информация оформляется в виде таблиц или графиков.
Обработка в Bernese начинается с ввода данных измерений всех приемников, включенных в отдельную сессию, эти данные необходимо перевести в доступный для чтения ASCII формат RINEX и проверить на наличие грубых ошибок. Файл в формате RINEX требует дополнительной информации, которая не всегда обеспечивается приемником, например, высота антенны, приближенные координаты станции, метеорологические данные и т. д. Эти данные можно ввести в базу данных [35].
Решения для одиночной станции по кодовым измерениям или по псевдодальностям, сглаженным по фазе несущей, обычно образуются на уровне главной программы. На этой стадии можно ввести необходимые поправки в данные, это могут быть поправки за ионосферу, тропосферу, фазовый центр антенны, вращение Земли и релятивистские эффекты. На этом уровне можно ввести (если потребуется) внешнюю информацию об орбитах от IGS. Данные можно проконтролировать на наличие пропусков фазовых циклов и сжать в нормальные места [35].
Оценивание параметров в программе Bernese производится, либо в соответствии с концепцией исключения параметров, либо - определения параметров, либо по обеим концепциям. В программе Bernese основными исходными данными для решенияявляются двойные разности, сформированные из наблюдений [35].
Преобразование эллипсоидальных координат дифференциальные формулы Молоденского
В рамках этих исследований, в научном программном обеспечении Bernese, были обработаны результаты наблюдений на базовых станциях. Обработка была разделена на несколько этапов: обработка суточных наблюдении; объединение результатов (по годам) и вычисления координат и скоростей для каждого года; на третьем этапе заново объединяются все наблюдения для получения окончательных результатов (за три года).
Исследованы различные методы получения параметров преобразования координат между системами Datum 58(81), ITRF2008 и WGS84. В результате этих исследований нам удалось вычислить несколько наборов параметров трансформирования.
Сделана попытка установления взаимосвязи между WGS84 и национальной системой координат путем перехода от пространственных координат к плоскими в проекции UTM 31N с последующим определением параметров аффинных преобразований, т.е. локализация по способу III на рисунке 2.5 (X,Y,Z - B,L,H - E,N UTM31N эллипсоид GRS 1980 - E,N UTM31N эллипсоид Кларка 1880). При этом потребовалось разделить территорию страны на две части северную и южную.
Не смотря на то, что при уменьшении площади, на которой расположены исходные данные, результаты улучшаются, нужно было найти метод позволяющий вычислить один общий набор параметров для перехода из одной системы в другую с точностью превышающей точность результатов, полученных при локализации. Были проанализированы несколько подходов к определению параметров трансформирования пространственных координат. Проведенные исследования показали, что дифференциальные формулы М.С. Молоденского наилучшим образом подходят для решения задачи установления взаимосвязи национальной системы координат Республики Бенин Datum 58(81) с общеземной системой ITRF2008.
Накладывая ограничения на величины параметров трансформирования, удается получить различные группы наборов параметров, обеспечивающих преобразования координат с остаточными уклонениями не более 2 см, не смотря на то, что формальные оценки ошибок полученных параметров сравнимы или даже превосходят величины самих параметров. Оптимальный из нескольких полученных нами наборов параметров, с точки зрения равномерности распределения остаточных уклонений по территории страны, представлен выше. Этот набор параметров позволяет выполнять преобразования координат на всей территории страны между ITRF2008 и проекцией UTM 31N, построенной на Datum 58(81), без какого-либо предварительного разбиения на области, не требуя дополнительных преобразований плоских координат или изменений параметров проекции как изложено в работе [50]. Кроме этого, появляется возможность вычисления геодезических высот пунктов над эллипсоидом Datum 58(81).
Возросшее в последние годы применение спутниковых методов определения координат в Республике Бенин привело к необходимости наличия точной модели геоида для выполнения различных задач, связанных с получением высот над уровнем моря на основе геодезических эллипсоидальных высот. На самом деле, точная модель геоида является очень важной частью полной и достоверной геодезической инфраструктуры.
Как изложено в первой главе, в Республике Бенин, имеются различные государственные геодезические сети: государственная геодезическая сеть, построенная методами триангуляции и полигонометрии, улучшенная за счет использования допплеровских наблюдений спутников Transit; сеть постоянно действующих спутниковых станций GNSS (RSPB), а также нивелирная сеть и гравиметрическая сеть.
Как уже отмечалось, по данным IGN Benin, государственная нивелирная сеть Республики Бенин I класса имеет протяжённость 1060 км, II класса — 309 км. Средняя квадратическая ошибка I класса на 1 км нивелирного хода составляет 5 мм, а ошибки сети II класса — 10 мм [14]. К настоящему времени, к сожалению, утрачены многие пункты нивелирной сети, и высотная основа не связанна с системой Datum 58(81). Тем не менее, на некоторых нивелирных реперах были выполнены и спутниковые наблюдения для точного определения их координат в системе ITRF2008. Аналогичным образом были определены и координаты некоторых гравиметрических пунктов, имеющих нивелирные высоты.
Существует ряд методов восстановления высот рельефа поверхности по произвольно расположенным точкам как в нашем случае (смотреть на рисунок 3.2), наиболее распространённые среди них [53]: - метод трендовых поверхностей, - метод обобщенной средневзвешенной интерполяции, - метод средней квадратической коллокации, - метод кусочно-полиномиального сглаживания, - мультиквадриковый метод, - метод полиномиальной интерполяции на основе триангуляции, - различные варианты сплайн-интерполяции, - двумерные ряды Фурье и т.д. При решении задач восстановления различных геофизических полей по дискретным данным в нерегулярно расположенных точках, в подавляющем большинстве случаев наилучшие результаты дает способ сплайн-аппроксимации функции двух переменных с использованием сплайнов с дифференциальным функционалом качества, который минимизирует интеграл «энергии» тонкой пластины (фольги - thin-plate) [54-57].
Выбор методики обработки данных
В результате выполненной работы достигнута поставленная цель -установление связи национальной системы координат Республики Бенин с международными общеземными системами координат. Впервые построена модель регионального геоида на территории Бенин. Анализ этой модели показывает, что она реализована с достаточно высокой точностью.
Основные итоги выполненного исследования заключаются в следующем:
Изложены сведения из истории выполнения работ по созданию и развитии геодезической основы в некоторых стран Африки и в частности Республике Бенин. С 1904 г. французские специалисты проделали довольно объемную работу. В 1961 г. была создана система координат Datum 58 на основании наблюдения начатых с 1958 г. К марту 1981 г. система была переопределена более точными методами для улучшения точности определения положения всех пунктов сети. В результате проведенных работ сеть переименовали Datum 58(81). В ГГС первого класса Бенина входят 60 пунктов. В 2008 г. для улучшения координатной основы и для перехода к использованию международных общеземных систем координат была создана сеть постоянно действующих базовых станций, состоящая из 7 станций, входящих в CORS США, и расположенных в семи городах Республики Бенин.
На основании обработки в научном программном обеспечении Bernese результатов наблюдений за 2009-2012 гг. уточнены координат и скорости смещения постоянно действующих базовых станций Республики Бенин.
Исследованы различные методы получения параметров преобразования координат между системами Datum 58(81), ITRF2008 и WGS84. В результате этих исследований нам удалось вычислить несколько наборов параметров трансформирования. Установлена взаимосвязь между WGS84 и национальной системой координат путем перехода от пространственных координат к плоскими в проекции UTM 31N с последующим определением параметров аффинных преобразований, т.е. локализация по способу III на рисунке 2.3 (X,Y,Z - B,L,H - E,N UTM31N эллипсоид GRS 1980 - E,N UTM31N эллипсоид Кларка 1880). Для повышения точности при переходе этим способом потребовалось разделить территорию страны на три части - северную, среднюю и южную. Не смотря на то, что при уменьшении площади, на которой расположены исходные данные, результаты улучшаются, нужно было найти метод позволяющий вычислить один общий набор параметров для перехода из одной системы в другую с точностью превышающей точность результатов, полученных при локализации. Были проанализированы несколько подходов к определению параметров трансформирования пространственных координат. Проведенные исследования показали, что дифференциальные формулы М.С. Молоденского наилучшим образом подходят для решения задачи установления взаимосвязи национальной системы координат Республики Бенин Datum 58(81) с общеземной системой ITRF2008. В результате применении этих формул, удалось получить различные группы наборов параметров, обеспечивающих преобразования координат с остаточными уклонениями не более 2 см, не смотря на то, что формальные оценки ошибок полученных параметров сравнимы или даже превосходят величины самих параметров. Эти наборы параметров позволяют выполнять преобразования координат на всей территории страны между ITRF2008 и проекцией UTM 31N, построенной на Datum 58(81), без какого-либо предварительного разбиения на области, не требуя дополнительных преобразований плоских координат или изменений параметров проекции как изложено в работе. Кроме этого, появляется возможность вычисления геодезических высот пунктов над эллипсоидом Datum 58(81).
На основании двумерной сплайн-функции, построена модель регионального геоида, покрывающая всю территорию Бенина. Проверка правильности построения сплайн-функции выполнялась двумя путями. Во-первых, путем сопоставления значений высот геоида, вычисленных по сплайн-функции, построенной по неполному набору опорных точек, с высотами геоида, полученными в опорных точках по измерениям. Результаты показывают, что интерполяционная сплайн-функция хорошо подходит для восстановления поверхности геоида даже по произвольно расположенным точкам. Во-вторых, для косвенной проверки полученные по сплайн-функции значения высот геоида, сравнивались с вычисленными по глобальной модели геоида EGM2008. Сравнение вычисленных в узловых точках высот геоида со значениями высот геоида из модели EGM2008 показывает, что полученная модель геоида близка к глобальной модели EGM2008 на территории Республики Бенин. Результаты представлены в виде карты высот геоида над эллипсоидом Кларка 1880 г. и в виде текстовых файлов, содержащих координаты в системе Datum 58(81) и высоты геоида, в формате удобном для использования в программах обработки спутниковых наблюдений. Например, мы импортировали построенную модель геоида в Topcon Tools и полевое программное обеспечение контроллера спутникового оборудования TopSurv компании Topcon.