Введение к работе
Актуальность темы.
В процессе математического моделирования климатической системы на основе анализа физических процессов делается предположение, что исходная система с определенной точностью описывается некоторой математической моделью. Обычно эта модель представляет собой систему уравнений в частных производных.
При численной реализации исходная система уравнений климатической модели , фазовое пространство которой обычно бесконечномерно , по существу, заменяется на некоторую конечномерную систему. Если в задачах прогноза погоды адекватность конечномерной системы исходной системе исследуется с помощью соответствующих теорем сходимости решения конечномерной системы к решению исходной дифференциальной системы на конечном интервале времени, то в задаче моделирования климата речь идет об адекватном описании характеристик аттрактора исходной системы, другими словами, о близости аттрактора исходной системы к аттрактору ее конечномерного аналога. Проблема аппроксимации аттракторов бесконечномерных систем очень сложна. Характерным примером такой сложности может служить явление "излишнего хаоса (spurious chaos)", наблюдаемое при решении уравнений двухслойной бароклинной модели атмосферы.
Рассмотрение климатической системы с точки зрения теории динамических систем дает нам возможность ввести в рассмотрение новый класс ее инвариантов (при некоторых условиях, накладываемых на систему). При этом если исходная система каким-либо образом аппроксимируется, то естественно возникает вопрос о сходимости инвариантов (например, показателей Ляпунова н размерности аттрактора) приближенных систем (например, галеркин-ских аппроксимаций исходной системы) к инвариантам исходной задачи. Если такая сходимость имеет место, то по поведению инвариантов приближенных систем можно судить о качестве аппроксимации исходной системы. Важной задачей здесь также является изучение того, как изменяется структура аттракторов приближенных систем (например, галеркпнских) при увеличении разрешения.
Отметим, что для некоторых систем получены аналитические оценки размерности аттрактора (Дымников, Филатов, 1994). Численная проверка этих оценок также является интересной проблемой.
Задача вычисления размерности аттрактора важна, кроме того, и в связи с оценкой вероятности существования так называемых режимов циркуляции (Дымников, Филатов, 1994).
Наиболее эффективным методом вычисления показателей Ляпунова и раз мерности аттрактора является метод, основанный на мультипликативной те орсме и формуле Каплана-Иорка. К недостаткам этого метода относится тс что он требует знання явного вида линеаризованного оператора системы, із кроме того, данный метод является вычислительно трудоемким. Это делас его неприменимым к моделям общей циркуляции атмосферы.
В случае, если распределение точек на аттракторе модели близко к нор мальному, для оценки числа независимых переменных можно воспользоватьс "статистическими" методами оценки числа степеней свободы системы. Срав нение числа независимых переменных и величины размерности аттрактор модели представляется интересной проблемой.
Другая важная задача, возникающая при усреднении диссипативной ев стемы по времени, - это проблема низкочастотной изменчивости, котора является ключевой в общей проблеме долгосрочного прогноза погоды И КС лебаний климата.
Усредняя траекторию системы по произвольному промежутку времени, Ml получаем траекторию, принадлежащую некоторой другой системе, уравнени которой нам неизвестны. Поведение этой системы при подходящем выбор интервала усреднения может кардинально отличаться от поведения исход ной системы. Для достаточно больших времен усреднения Т, при известны допущениях, дисперсия усредненного процесса будет стремиться к нулю ка 0(1/Т). Это означает, что объем фазового пространства, в котором находит ся усредненная траектория, сжимается. Хорошо известно также, что круг номасштабные низкочастотные процессы в атмосфере квазибаротропны, чт дает определенные основания использовать для их анализа линеаризовании баротропные или эквивалентно-баротропные уравнения. Перечислим некотс рые вопросы, являющиеся предметом исследования многих научных груш В какой степени низкочастотные колебания атмосферной циркуляции явлі ются собственными колебаниями или вынужденными? Если предположит что низкочастотные колебания являются вынужденными, то насколько cj щественна структура вынуждающей силы? В какой степени стационарнк волны (среднее состояние атмосферы) контролируют структуру низкочастої ных колебаний? В какой степени структуру низкочастотных колебаний можи исследовать с помощью баротропных уравнений?
Цель и задачи исследования. Цель диссертационной работы состон в том, чтобы исследовать структуру аттрактора моделей атмосферной ції] куляции (баротропной и двухслойной бароклинной) при помощи численны методов, основанных на теории динамических систем. При этом в работе бь ли изучены следующие задачи:
-
Как изменяется структура аттрактора галеркинских аппроксимаций уравнения баротропного вихря на сфере при увеличении размерности задачи?
-
Как связаны между собой размерность аттрактора и число независимых степеней свободы для двухслойной бароклинной модели атмосферной циркуляции?
-
Каков механизм возбуждения супернизкочастотной изменчивости двухслойной бароклинной модели атмосферы и в рамках какой модели он может быть описан?
Научная новизна. В данной работе впервые исследована зависимость показателей Ляпунова и размерностей аттракторов галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере от размерности фазового пространства задачи. Максимум в кривой зависимости размерности аттрактора от разрешения задачи связан с явлением "излишнего хаоса". Исследованы причины этого явления.
Для двухслойной квазигеострофической модели атмосферы при различных нормах правой части вычислены показатели Ляпунова модели и размерность ее аттрактора.
Исследован вопрос о возможности использования числа статистически независимых степеней свободы для оценки размерности аттракторов двухслойной бароклинной и баротропной моделей атмосферной циркуляции.
Исследован механизм возбуждения низкочастотной изменчивости циркуляции, генерируемой двухслойной бароклинной моделью. Показано, что для данной модели схема возбуждения низкочастотной изменчивости через возбуждающую силу, описываемую как случайный процесс с плотностью функции распределения по пространству в виде "белого шума", работает на уровне корреляции 0.75 для доминирующей естественной ортгональной функции.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и Ученом совете Института вычислительной математики РАН, на семинаре кафедры компьютерных методов физики физического факультета МГУ, на международной конференции по динамике атмосферы и океана (Dynamics of ocean and atmosphere, Москва, 22-25 ноября 1995 г.), на российско-французском семинаре по проблемам предсказуемости климата (Москва,1996).
Публикации. Основные результаты изложены в пяти печатных работах.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех