Введение к работе
, ' і
Jj- < ;/
^.„/^"Яиссертация посвящена изучению инстантонных гомологии (гомологии Флоера) трёхмерных многообразий.
Актуальность темы.
Сильным алгебраическим инвариантом замкнутого связного ориентированного 3-многообразия "Z является его фундаментальная группа 31^(2). К сожалению, она не чает удовлетворительного описания класса 3-многообразий. Это происходит, по меньшей мере, по двум причинам. Во-первых, классификация многообразий с изоморфными фундаментальными группами упирается в хорошо известную проблему Пуанкаре. Во-вторых, до сих пор нет удовлетворительного описания групп, являющихся фундаментальными группами трёхмерных многообразий.
Появившиеся в последние годы альтернативные инварианты 3-м'ногообразий используют представления группы ЗҐ< ("21) в некоторой неабелеБой группе Ли G .
Так, в I9b5 году для ориентированной Z -гомологической З-еферы "Z А.Кассой ввёл целочисленный инвариант Х(2) , который определяется исходя из пространства 12(23) классов сопряжённости неприводимых представлений ЗГ.,(22)в ST7("2>. Инвариант Кассона был использован для решения ря-1& известных зат,ач трёхмерной топологии.
Многообещающее обобщение инварианта Кассона дал в 19о7 готу А.ілоер СІ] , введя так называемые "инстантоннке гомологии" или "гомологии 5лоера". Зтот инвариант имеет вид
[I ] Ploer A. An instanton-invariant for 3-manifolds. . v.118. P.215-240.
абелевой группы ~X^CZ) с естественной 3._ -градуировкой) причём
Определение групп инстантонных гомологии существенно использует калибровочную теорию на трёх- и четырёхмерных многообразиях, и их вычисление достаточно сложно.
Р.Зинташел и Р.Стерн С2] в I9cd го^у, используя ранее развитую ими технику лсевдосвобоцных орбиобразий. получили ряд важное результатов о группах инстантонных гомологии гомологических сфер Ззйферта 3 (о-о -.. ,aiv)- Ь частности,они предложили эффективный алгоритм их вычисления для п. =3. Попытки вычислений для п. 5= 4 натолкнулись на проблему описания топологического типа компонент связности пространства "K?CS Са-о — ,G~yv}). ота проблема была решена П.Кирком и Э.Классеном [31 для ч-4и п=5й остаётся открытой для и, 5* 6.
Предлагаемый в" данной работе подход к вычислению групп инстантонных. гомологии, сфер Зейферта позволяет вообще обойти эту проблем/ и провести вычисления для произвольного п .
Кроме того, в диссертации изучается дифференциал цепного комплекса Злоера связкой суммы гомологических сфер S0 #27t . Рассматриваемая задача описания многообразия Ш (02о-# Z^x-IR ) &0&) -инстантонов з тривиальном расслоении на цилиндре ( 2^^2^)^15 исходя из многообразий
[21 Fintuohel Н., Stern R, Instanton Homology groups of Seifert fibered homology spheres. Ргос.Ьопйол Math.Soc. Зех.З. 1990. v.61. V.109-137.
PI Kirk P., Klassen E. Representation spaces of Seifert fib«-e4 hoaology spheres. Jopology. 1991. v.ЗО. P.77-95.
была поставлена С.Донадъд-соиом. Предлагаемая техника' "склейки" ннстантонов вдоль S *"R является некомпактным аналогом проекции Таубса, разработанной для обычных связных сумм компактных 4-миогообразий.
Цель работы. Исследование поведения функтора инстантонных гомологии относительно сплетений и сеяэных сумм гомологических сфер и на основании этого получение эффективного алгоритма для вычисления групп инстантонных гомологии сфер Зейферта.
Общая методика иссле ювания. В работе используются методы дифференциальной геометрии и топологии, нелинейного анализа, теории индекса эллиптически операторов на некомпактных кного-ооразиях и на многообразиях г. краем. Используется и частично развивается теория орбиооразий С V -многообразий).
Научная нозизна.
Основные результаты диссертации являются новыми. Сни состоят в следующем.
I. Получен простой алгоритм тля вычисления групп инстантонных гомологии произвольной сферы Зейферта Именно, Хх(2 С«->, і—,0.0} — Х*(2 1,,., .ctj, а^, ...- ан У; ^*Q2Car—-^-, a^t,-, аД)
для любого і такого, что Z-& і & ti-2 . По индукции бычис-ления для произвольного Уг сводятся к случаи к-3.
__ 2. Изучено поведение групп инстантонных гомологии сфер Зейферта при перестройках Дена по особым слоям.
3. Доказано существование мономорфизма (гулевой степени ХЛС2Г„) Ф х* (-so -* Х№С2В#3,) . для связной суммы IS70-Jt 321 произвольных: гомологических сфер Зейферта 2:с_ и Zt
4, ЇІредяожагіа їехняйа склейки шстані-оков на о'бакошчньк цилиндрах эдлль образуищих згчх цилиндров -- некомпактная проекция Хаубоа.
Й)акгиуеслак ценное?ь; Дчсоертадчи чооиї тсорегкчєский характер, їїояучм"-;ье резульгг-ш могут їїрййєьяїьєя в теории многообразий палых размерностей.
Апробация:. Резульїаїьг диссертации докладывались на семинарах мгханысо- -иатематінескего факультета Шг :
по адгебравдєской ^апологии, рук. проф. MoJu-Hooi-khkoBv
по геометрии и гоподогик, рук. преф. А,.С,Н:,ігі;,з;гйс к
с.н.с. ШЇ.С-одазізв,
по фушщиональкому анализу, рук, акад. И.Ы.Гельфаэд,
П^блккацик. Основные резул^.гаты Дйсеертрцкк 0);убячі?о~айц.
Є?рук?ура .диссертации. Диссертация состоит :&з ззед.;н*я; четырёх ГЛ&Н, миютак-Ертс семь параграфов,- к «шока тотеряч-урц, ссдсдазцєго. 25 названий,- Объем джозртацчк /Со с.'ролет;,