Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
0.1 Алюбры Кричеиера-Новикова и их место і; тео
рии алгебр Ли, іеомеїрии и топологии просі раногв
модулей, теории интегрируемых сік: і ем и конформ
ной кваншвоіі теории поля 4
0.2 Пооїаповка основных чадам диссоріации 7
0.3 Основные результаты диссеріации 12
0.4 Струкіура и содержание диссоріации 13
0.5 Апробации работы и публикации 16
1 АЛГЕБРЫ КРИЧЕВЕРА-НОВИКОВА: ОСНОВНЫЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ 18
-
Алюбры токов, векторных полей и другие ашобры Кричеиера-Новикова 18
-
Мероморфныо (|)ормы веса А и двойсівениосгь Кричеиера-Новикова 19
-
Базисы Кричеиера-Новикова 21
-
Почти градуированная структура, троуюльныо разложения 23
-
Центральные расширения и 2-когомологии. Алюбры типа Вираооро 27
-
Аффинные алгебры Кричеиера-Новикова, в том число алгебры Каца-Муди 31
-
Цеп і ральные расширения алгебры Рд 34
-
Локальные коциклы для sl(n) и gl(rc) 30
-
Коприсоедииенное представление аффинной алюбры Кричевера-Новикова 38
1.10 Коприсоодиненныо орбшы и проблема Римана-
Гшіьборіа 41
2 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АФФИННЫХ АЛГЕБР КРИЧЕВЕРА-
НОВИКОВА 50
-
Описание голоморфных расслоении it терминах параметров Тюрина 52
-
Бачисы Кричевера-Ноникова в сечениях голоморфных расслоений 54
-
Бачисы и случаи многих точек 5G
-
Конеірукции фермиопных представлений 58
-
Классы чквиваленіносіи фермионных представлений G2
-
Модули Верма аффинных аліебр 67
3 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР ТИПА ВИРАСОРО ... 70
-
Фермионпые представления 70
-
Предеіавлепие Сугавары 73
-
Доказательство основных теорем о конструкции Сугавары 81
4 ПРОЕКТИВНО ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ НА ПРОСТРАН
СТВЕ МОДУЛЕЙ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И
УРАВНЕНИЯ КПИЖНИКА-ЗАМОЛОДЧИКОВА . . . 100
-
Алгебры типа Вирасоро и просіраііегва модулей римаповых поверхносіей 101
-
Пучок конформных блоков и другие пучки на пространство модулей Л^'у+1 ПО
-
Дифференцирование об ьскт он Кричевера-Новиковн по модулярным переменным 112
-
Проективно плоская связность и обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова 118
1.5 Яшіьіїі вид уравнении Киижиика-Замолодчпкова
дли родов Омі 125
5 КАЗИМИРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ml
5.1 Описание1 качимиров в юрою порядка 111
5 2 Качимиры в фермионных предешвлепиях 148
-
Теорема единственное in терминах аффинной свяч-НОС111 151
-
Описание полукачимирон 157
-
Полу качимиры и просіраногиа модулей М*\ . . . 159
ЛИТЕРАТУРА 164
,
Введение к работе
ОД Алгебры Кричевера-Новикова и их место в теории алгебр Ли, геометрии и топологии пространств модулей, теории интегрируемых систем и конформной квантовой теории поля
Алгебры Кричевера-Новикона введены авторами, имена коюрых они нося г, в 1987 юду, и сві-гш с исследованиями в теории еолитонов [2G, 27, 28|. Следует сразу уточнить, чю иод "-этим названием и шестпо два класса аліебр Ли: алгебры аффинного типа и алісбрьі типа Вирасо-ро. Первые являются алтебрами токов, а вюрыо — алгебрами вектор-пых полей (точнее, в обоих случаях, их центральными расширениями) на риманоюй поверхности с комплексной структурой и некоторыми дополнительными данными. Эю хорошо и шестые в теории еолитонов данные, включающие в себя отмеченные точки на римановой поверхности и выбор (струй) локальных координат в окрестности этих точек. По простоте эти алгебры сюяг вслед за аффинными алгебрами Капа-Муди и аліеброй Вирасоро соо гне і с і пенно. Среди друїттх алгебр токов и векторных полей алгебры Кричевера-Новикова выде-ляются важным свойством — почти градуированной структурой, которое слабее градуировки, но сильнее фильтрации, и ведет к многим важным последствиям, и частости, пошоляег рассматривать аналоги представлений старшего веса. Применительно к центральным расширениям почти градуированноеп> эквивалентна свойству локальности соответствующих коциклов, которое в важнейших случаях определяет последние одио'шачно. Аффинные (не скрученные) алгебры Каца-Муди и алгебра Вирасоро содержатся в соответствующих классах алгебр Кричевера-Новикова, и слой точки зрения соответствуют римановой сфере с двумя отмеченными точками.
Ал і обры Кричевера-Новикова имеют многочисленные связи с фуп-дамешальпыми проблемами іоомотрии, анали м и маіома і ической физики.
Будучи введены как алн1бры рядов Фурье-Лорана на римамовой поверхности, они ЯВЛМЮІСЯ частью гармонического анализа.
Теория представлений алгебр Кричевера-Новикова тесно связана с теорией голоморфных расслоений на римановых поверхностях. В частности, голоморфные расслоения играют основную роль в парамеїри-зации предсіавлепий основного известного в настоящее время (введенного авюром в |5б|) класса фермиопныг предітавлаїий.
Консірукция фермиопных предсіавлепий демоне і ])ирует и другую важную связь с интегрируемыми системами: в конструкции существенно исиользукнея обьекты теории комму штивных колец раЗНОСТ-ных операторов, построенной в [31, 32, 33].
Имеемся фундамешальная связь, основанная па теории Кодаиры-Спенсера, между алгебрами векторных полей Крнчевера-Новикова и пространствами модулей римановых поверхности с отмеченными точками. Эту связь можно сформулировать сло/гующим образом [50]: касательное просграпсіво к просіранству модулей римановых поверхностей с произвольным числом отмеченных точек и произвольными порядками фиксированных струй локальных координат1 в них изоморфно прямой сумме некоюрых однородных подпространств шп ебры векторных полей Кричевера-Новикова. Эюг факт находится в одном ряду с классическим описанием касательного пространства к пространству модулей замкнуплх римановых поверхностей в терминах тензоров па римаиопой поверхности (дифференциалов Бельтрами, квадратичных дифференциалов), восходящим к Тойхмюллеру, Альфорсу, Берсу. Ситуация с одной отмененной точкой впервые рассмоірепа Концовичем |22| с привлечением шігебрьі Вирасоро. Двухточечная стуация рас- ємні рипалась в [26, 14] уже средствами алгебр Кричевера-ІІовикова. Продвижение, евя іанное с '-тім и аліебрамн, основано на том, чю оказывайся возможным указать базис касательного пространства к пространству модулей в терминах базисов Кричевера-Новикова.
Свя іь меж/су алгебрами Кричевера-Новикова и просгранегвами модулей римановых поиерхносіей лежит в (кчюве приложений -этих ал-іебр в двумерной конформной кванювой теории поля (2D CFT) [49, 50|. Понимание двумерной конформной теории поля как проективно плоской свяшосги на просграисіве модулей римановых поверхностей, заданной тензором анергии-импульса, восходи і' к рабою А.Полякова [35| и оічегливо сформулировано в рабо і е Фридана и Шснкера [10].
Среди двумерных конформных теорий поля теории Всші-Зцмюш-HoeuKoea-Bummcua (WZNW) выделяюк-я наличием дополнительных первичных полей — чокоії, образующих преде ишлепие аффинной алгебры Ли, и условием, что теївор знергии-импульса связан с ними конструкцией Сугавары. В теориях ъюю класса существенную роль играют а-иериоды тока, которые физики называют нулевыми модами. Как подчеркивает в [2] один из основателей кюрии Д.Берпар, "нулевые моды несут в себе почти всю нетривиальную информацию, касающуюся модели WZW". Точнее, это ошачает, чю через нулевые моды операторов тока выражаю і ся основные корреляционные функции, например, среднее тензора "-энергии-импульса. В связи со сказанным возникает важная проблема явного определения действия нулевых мод. Для решения этой проблемы Д.Берпар [2, 3] ввел дополнительные параметры — наборы групповых з-лемснюв ("твисты,,в физической терминологии), и определил нулевые моды как инфииитезимальные сдвиги по ним, что является дополнительным соглашением, не предусмотренным основами теории. Первый математически строгий подход к построению двумерных конформных теорий поля [С6| вообще игпори- ровал эту проблему
Использование аффинных алгебр Кричевера-Новикова о качесіне шпебры чеков решает проблему пулевых мод, поскольку последние являюіся ко)ффициенгами разложения тока по башеу Кричевера-Новикова, чо ecu. фурьс-модами в точном смысле слова. Если ток пршшмаег значения в операторах представления аффинноіі аліебрьі Кричевера-Повикова, чо зіи моды еенчтвешю действуют в просіран-erne предсіавления без всяких дополпшельпых соглашений.
0.2 Постановка основных задач диссертации
Основными задачами чеории алгебр Ли являеіея описание сгрукчуры шпебры, ее инварианюв и предсіавлепин.
Из определения аффинных алгебр Кричевера-Повикова непосред-СПІЄННО вы і екаю г свойства почти градущюваииости и, как следствие, наличие треугольного разложения (аналог разложения Ивасавы по-лупросгых алгебр Ли). Эю делает сірукчуру аффинных ал і обр Кричевера-Новикова похожей па таковую для аффинных алгебр Каца-Муди. В отличие ог них, в алгебрах Кричеиера-Иовикова кроме верхней и нижней треугольных подалгебр и каріановекой подалгебры имеется не являющееся подалгеброй дополнительное подпространство. Перечисленные факты ^10 все, ччо было известно о структуре алгебр Кричевера-Новикова к началу настоящего исследования. Они найдены для случая двух отмеченных точек Кричевером и Новиковым в [26|, а для многих отмеченных точек Шлихен май ером в [43| и последующих работах. Об аналогах более глубоких факюв сірукчурной чеории алгебр Каца-Муди, таких как наличие системы корней, корневого разложения и группы Веґіля ничего не извеечно и в насюящее время.
Основным методом в теории представлений алгебр Каца-Муди яв-ляеісн теория (чаршего веса. Ее главный вывод— неприводимые пред- еіавлеппя аліебрьі Каца-Муди находя і ся по взаимно однозначном со-опзеїслвпн счлеменіами неотрицательною конуса двойственного про-еіранеіва к каріановокой подалгебре — старшими весами. Однако, каріаповекая подалі ебра у аффинной алгебры Кричевера-Новикова точно такая же как у алгебры Каца-Муди (с той же конечномерной аліеброії Ли). ҐІснюму и пространство представлений сіа])іпеіо веса, построенное но классической схеме, 'іочно такое же. Однако, ясно, чю в огличие or аліебр Каца-Муди, представления аффинных аліебр Кричевера-Новикова долж[п>1 зависеть or комплексной сгруктуры на рпмановой поверхности. Her никаких оснований счиїать, чю завиеи-мосчь or чгих дополнительных парамеїров должна припяіь форму сіаршего веса.
В связи с '-ним была пославлена ладана о разработке новой конструкции представлении, в коюрой сохранялся бы имеющий глубокие физические основы принцип порождения ироеіранслва представления старшим вектором, но вес был бы заменен другим обьектом (зависящим ог аналитической структуры поверхности).
Решение этой задачи привело к конструкции фермиониых пред-сіавлений. Представлення чюго класса парамегритуюіея ("в существенном") юломорфными векторными расслоениями на римановой поверхности. Эю приводит к выводу о Юм, что теория представлений аффинных алгебр Кричепера-Новикова далеко выходит тл рамки классической теории сіаршего веса, и в ней весьма существенна роль алісбро-геомегричееких явлений.
Помимо нового ингредиент, которым являемся использование ю-ломорфных расслоений, в конструкции фермионного представления важную роль играет хорошо известное понятие полубесконечных ко-сосиммеїричеких форм, введенное Б.Л.Фейгиным и Д.Б.Фуксом в \7\. К началу настоящего исследования уже существовали примеры нред- навлопии ал і ебр Кричовера-Нопикова, поп роенные о использованием зіихобьемов (20,27, 28,43].
Один т центральных вопросов теории продсіавленин аліебр Ли описание операторов Кашмира (казимиров, лапласианов). Казимиры могут бьпь охарактеризованы как эндоморфизмы представлении ал-юбры Ли, коюрыо определенным образом пронюя по самим опера-*Ю])ам предпавлепия. Казимиры обьект исключительной важное] и в теории и приложениях. Теория специальных функций, конструкции гамильтонианов и исследование свойств кванювых сипом, обладающих симмеїриями, теории вполне интегрируемых синем — далеко не полный список их приложений. Наиболее важны казимиры второго порядка
Дли конечномерных полуироегых алгебр Ли описание казимиров основано, главным образом, на теореме И.М.Гельфанда о центре универсальной обертывающей алгебры |12]. Эюг подход не рабоїаег в бесконечномерном случае. Для алгебр Каца-Муди определение казимира второго порядка использует либо корневую структуру (как в [17]), ли-бо наличие оператора градуировки (выделенного векторного поля z-jfc па римаповой сфере) — как в [18]. Для аффинных алгебр Кричевера-Новикова не известно ни корневой структуры (как отмечалось выше), ни какою бы то пи было выделенного векторного поля, пи градуировки. Поэюму определение казимира второго порядка требуег какого-то нового подхода. В напоя щем исследовании мы еіавим и решаем задачу полного описания казимиров второго порядка аффинных алгебр Кричевера-Новикова.
Перечисленные выше основные задачи теории предпавлоний при-меншелыю к аффинным алгебрам Кричевера-Ноникова впервые по-павлены, и в той или иной степени решены, в ходе напоящего исследования,
Параллельно с разработкой теории представлений алгебр Криче-иера-Новикова выяснялись ее возможные приложения.
В 'ісорим представлений алгебр Каца-Мудн имееіся специфическое и очень интересное явление, названное В.Кацем в [17| "одним из самых мощных инструментов конформной теории поля" конструкция Сута-вары. Эта конструкция пошолясг при очень общих предположениях построить по представлению аффинной алюбры іі])едсіавлсние центральною расширения соответствующей алюбры векторных полей. Это последнее называется представлением Сугавары. Коисірукция восходит к рабою Сугавары [G4]. Общепринятое изложение1 для аффинных алгебр Каца-Муди дано в [18]. Основы обобщения конструкции на римаповы поверхности положи і ельного рода заложены в [27|. В 41 ой работе, впрочем, рассматривался случай ал і обры токов со значениями в коммутативной (конечномерной) алгебре Ли (по-другому это называется алгеброй тина Гейзеиберта). Возникает естественная задача нахождения некоммутативного аналога конструкции {27J.
В настоящей рабою представлен совместный результат автора и М.Шлихонмайора обобщение конструкции Сугавары на случай токов па риманоаой поверхности с произвольным числом отмеченных точек и со значениями в произвольной конечномерной редуктивиой алгебре Ли. Случай некоммуіативньтх токов па римановых поверхностях с двумя отмеченными точками впервые рассмотрен в физической литературе [4]. В этой работе, в основном решающей задачу, имеются значительные математические пробелы (анализ коюрых дан в раздело 3.2). Совмесіная работа автора и М.Шлихонмайора [48] для случая токов со значениями в полупроел ой алгебре Ли появилась независимо, но позднее. В ней использованы другие методы доказательства, позволившие устранить пробелы работы [4], а также рассмотрен случай римановых поверхностей с многими отмеченными точками. Несложное обобщение конструкции на редукттпшый случаи проделано ашором [С1|.
Отмстим особо, чю хорошо ишестпо |18| использование копеїрук-ции Сугавары б описании казимиров вюрого порядка аффинных алгебр Каца-Муди. Мы также используем полученные нами результаты но конструкции Суіаварьі на римановых поверхностях в упомянуюм выше описании операто])ов Казимира.
Полученное нами обобщение конструкции Суганары позволило иерей і и к дальнейшим приложениям теории пр( Оставлю ник алгебр Кри-чевера-Новикова в конформной теории поля.
В основе приложений аффинных аліебр Ли в конформной теории поля лежит тої факт, чю дейепше Весса-Зумипо-Новикова инвариантно огпоппелыю группы токов на римановой поверхности, и, следовательно, ею кванюнапио связано с представлениями алгебры токов, то есть алгебры Кричевера-Новикова. Ограничивая токи па римановой поверхности на малые контуры вокруг ошеченных точек, можно получи іь вложение алгебры Кричевера-Новикова в прямую сумму алгебр Каца-Муди, причем каждое представление шорой задаст представление первой. Исюричсски был выбран именно '-зі о г путь [21, GG|, причем насюящая алгебра симметрии была забыта. Во шикает есче-с тленная задача: построить двумерную конформную теорию поля г аффинной алгеброй Кричевера-Новикова о кичеетве, алгебры токов. При этом увеличивайся число параметров, от которых зависит теория, и получает решение проблема нулевых мод, обсуждавшаяся выше {раздел 0.1).
Результат, полученные в направлении реализации этой программы, предствлены к главе 4 диссертации (см. также следующий раздел ). Эю посіроеиие расслоения конформных блоков и проективно плоской связное і и на нем, нахождение1 аналога уравнений Книжиика-
Замолодчикова для положительного рода. 13 целом -ни рсчультаїм получены в eoaiuopciise с- М.Шлихеимайером. Все поеіановки 'задач и ре їультатьі, евя шнныо с деформациями (при изменении модулей) фер-миопных представлений, представления Сугавары, ])егулярных функций и векторных полей Кричевера-Новикоиа, имеющие принципиальное чпаче пи е, а также окончательный вывод аналога уравнений Книжника-Замолодчикона для родов 0 и 1 принадлежат' исключительно am ору.
0.3 Основные результаты диссертации
Основные результаты диссеріации относятся к теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, геометрии просі ране і в модулей рима-новых поверхностей и 2-мерной конформной теории поля. В теории представлений: найдена консірукция фермионных представлений аффинных ал-іччбр Кричевера-Новикова и алгебр типа Вирасо]>с>; дано строгое обоснование конструкции Сугавары для алгебр Кричеверн-Новикова; дано описание казимиров вюрого порядка аффинных алгебр Кри-чевера-Новикова; введено П0ИЯ1ИР полуказимиров и дано их описание.
В геометрии пространств модулей: дамо описание касательной) просі рапсі ва в і очке общею положения проегранеіва модулем римановых поверхности с произвольным числом отмеченных 'іочек и (|)Иксированиымн до некоторого порядка еіруями локальных координат в них и терминах базисов Кричевера-Новикова в аліебре Ли векторных полеіі; найдены формулы инфиниюзимальных деформации регулярных функций и векторных нолей Кричовора-Иовикова при доформа-ции модулой, согласованные с теорией Кодаиры-Спгнеера; найдены отображения касательных просі ранг і в к просі рапс і вам модулей в пространство операторов, индуцированных полуказимирами па конформных блоках; исследованы условия корректной определенное!и '-них ошбражеимй.
В конформной теории поля: введеіМ)і расслоения конформных блоков, отвечающие алгебрам Кричевера-Новикова; для указанных расслоений решена задача построения проективно плоской связности; дано обобщение уравнений Книжнпка-Замолодчикова на римано-вы поверхности положи тельного рода с несколькими отмеченными точками; найденные уравнения явно записаны в терминах базисов Кричевера-Новикова.
0.4 Структура и содержание диссертации
Диссеріация сосюит из введения и пяти глав. Нумерация всех утверждений и определений сквозная в пределах главы; каждый номер со- сюиг и! двух чнеіей номер главы и номер утверждения {споїношении).
В главе 1 вводя іся основные определения, относящиеся к алгебрам Кричевера-Новикова, и даеіся обчор их основных свойств. Введены алгебры токов, векторных полей и дифференциальных операторов Кричевера-Новикова, пространства тенчоров Кричевера-Новикова на римановьіх поверхностях. Определена двойствеппоеіь Кричевера-Но-викова между 'іепюрами дополнительных весов (вален пюсіей). Введены бачисы Кричевера-Новикова и соси ве і ствующан ночі и гравированная еіруктура, играющие основную роль в дальнейшем изложении. Дано описание цешральных расширений и 2-когомологий введенных алгебр. Даны определения обьектов, составляющих предмет настоящей работы — аффинной алгебры Кричевера-Новикова и алюбры типа Вирасоро.
