Введение к работе
Актуальность темы. За последние 25 лет изучение вопросов асимптотического поведения различных алгебраических и топологических инвариантов оформилось в самостоятельную науку, которая, возможно, не очень точно стала называться асимптотической алгеброй. Можно сказать, что асимптотическая алгебра изучает поведение размерностей градуированных алгебр, чисел Бе.тти локальных колец и CW -комплексов, рангов гомотопических групп и т.д. в зависимости от номера градуировки или размерности группы.
Наиболее бурное развитие асимптотической алгебры пришлось на минувшее десятилетие. В начале восьмидесятых был получен отрицательный ответ на ряд старых вопросов - проблем Серра, Серра-Капланского, Кострикина-Шафаревича, Говорова, Милнора и некоторых других. Примечательно, что эти проблемы были решены практически одновременно ( мевду ними оказались глубокие взаимосвязи ) и отрицательно. Можно с уверенностью сказать, что в последнее десятилетие интерес к асимптотическим проблемам в алгебре, топологии и геометрии существенно возрос, и наиболее отчетливо это видно на примера выделения асимптотической алгебры в самостоятельную ветвь алгебры.
В геометрии асимптотические тенденции ясно прослеживаются на примере эволюции вопроса о числе замкнутых геодезических на римановом многообразии. Классическая задача геометрии - существование замкнутых геодезических на замкнутом римановом многообразии v> ,3-) - восходит к работам Адамара, Пуанкаре и Биркгофа и имеет почти столетнюю историю. Первоначально этот вопрос звучал так: " На любом ли замкнутом
римановом многообразии (МуЬ) существует нетривиальная замкнутая геодезическая? Каково наименьшее гарантированное число геометрически различных замкнутых геодезических существует на (/i,4J ?"
В таком виде вопрос о замкнутых геодезических существовал до середины 60-х годов, точнее,до появления работы Гро-молла и Мейера , в которой были сформулированы топологические условия, выделяющие достаточно широкий класс многообразий, имеющих в лххЗой метрике бесконечно много замкнутых-геометрически различных геодезических. Небольшой недостаток этих условий заключался в их труднопроверяемости, но восемь лет спустя он был преодолен ( хотя и с некоторой потерей общности ) Сулливаном и Випо. С публикацией работы Громолла и Мейера вопрос о замкнутых геодезических трансформировался следующим образом: " Всегда ли на замкнутом многообразии ( в метрике общего положения ) существует бесконечно много замкнутых геодезических? " Длительными усилиями ряда авторов
на этот вопрос был наконец получен положительный ответ. Окон-
2}
чательный результат, видимо, принадлежит Радемахеру '.
В начале 80-х, еще задолго до того, как был найден ответ на последний вопрос, постановка задачи изменилась в очередной раз: " Пусть даже на многообразии много замкнутых геодезических, но насколько их там много ?" Примеры показывают , что
-
Cromoll U. ,1'еуег і'/. Periodic geodesies on compact Г.іеиаші-isn manifolds. J.Diff.Goom. 1969,V.3, « 3, P.433-510
-
Bodsmaher II. B. On the averace indecec of closed suodesicp.
J.niff.Geon. 1989,V.29, :i I, P.63-33
на многообразиях может быть "по-разному" бесконечно много замкнутых геодезических в зависимости от топологии многообразия. Более формально этот вопрос можно сформулировать следующим образом. Пусть *^iS'Vy - число ( возможно равное бесконечности ) замкнутых геодезических длины не более С . Как ведет себя эта функция Ь Т со , точнее, какие нижние универсальные асимптотические оценки, зависящие от топологии ( а возможно и от геометрии ) А/ можно найти для этой функции ? Проблема изучения функции и представляет собой современное состояние проблемы замкнутых геодезических.
На протяжении всей своей истории проблема замкнутых геодезических была и остается "полигоном" для создания и применения новых методов топологии и вариационного исчисления в целом. Так и для данной работы изучение функции d/(',iit%). которая рассматривается в третьей главе, было лишь одним из побудительных мотивов определения новых гомотопических инвариантов неодносвязных многообразий. Изучение топологии неод-носвязных многообразий имеет длинную историю, продвинутые результаты , и врядли актуальность этой проблематики подлежит сомнению. Появление новых результатов в этом направлении всегда вызывало внимание и интерес.
Цель работы: определение абсолютных асимптотических объемов гладких многообразий и доказательство их гомотопической инвариантности, исследование свойств этих инвариантов; детальное изучение одного из видов абсолютных объемов - так называемого абсолютного гомологического объема, исследование связей этого инварианта с введенными в работе гомологическими инвариантами многообразия - алгебраическим объемом и алгебраической массой, которые определяются по кольцу
целочисленных когомологии; изучение связей абсолютных асимптотических объемов с некоторыми проблемами "геометрии в,целом", в частности, изучение связей абсолютного гомологического объема с систолическими константами многообразия и с асимптотическими оценками числа замкнутых геодезических на многообразии; вычисление некоторых абсолютных асимптотических объемов для двумерных многообразий.
Общая методика работы. Разработанные в диссертации методы можно классифицировать как методы асимптотической геометрии. Это направление современной геометрии начало формироваться в последние годы и находится в стадии становления. Работу отличает использование синтетических методов, сочетающих в себе.технику алгебраической топологии и геометрии выпуклых тел с одной стороны и методы теории чисел с другой.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. В диссертации развивается теория новых гомотопических инвариантов гладких многообразий, названных абсолютными асимптотическими объемами многообразия. Изучаются связи таких инвариантов с другими гомотопическими инвариантами многообразий. В диссертации также доказана гомотопическая инвариантность систолических констант и изучены их связь с абсолютным гомологическим объемом. Построенная теория применяется , в частности, к классическому вопросу о числе -замкнутых геодезических на многообразии. В этом направлении получены универсальные асимптотические оценки числа замкнутых геодезических, старший член которых зависит только от топологии многообразия и его объема. Описан большой запас многообразий, имеющих положительные абсолютные асимптотические объемы.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Конструкции, результаты и методы настоящей работы могут найти применение в топологии неодносвязных многообразий и различных вопросах "геометрии в целом".
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах по топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ, на семинарах по геометрии и топологии в ЛОМИ АН СССР, на .геометрическом семинаре Института математики СО АН СССР, на семинарах по геометрии и топологии Пенсильванского ( Шиверсити Парк ) и Нью-Йоркского ( Стони Ьрук ) университетов, на Ломоносовских чтениях в МГУ, на совместных заседаниях общемосковского топологического семинара им. П.С.Александрова и Московского математического общества. По результатам диссертации были сделаны доклады на международных конференциях по алгебре ( Новосибирск,1989 и Барнаул,.Ї99І ) и на международной конференции "Геометрия в целом" ( Обервольфах, 1991 ).
Публикации. Основные результаты.диссертации опубликованы в работах автора fl] - [б] , приведенных в конце автореферата. Все работы выполнены без соавторов.
Структура и объем диссертации, диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на 14 параграфов, а также из. списка цитированной литературы. Формулы, теоремы и прочее нумеруются в каздои главе отдельно, при ссылках на утверждения и формулы других глав впереди добавляется римский номер главы. Общий объем диссертации 188 страниц. Библиография содержит 50 наименований.
