Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 3
1.1. Постановка задачи 3
1.2. Краткое содержание работы 8
1.3. Обозначения и сокращения 13
Глава 2. Предварительные сведения 14
2.1. Гиперкэлеровые многообразия и их примеры 14
2.2. Абсолютно трианалитические подмногообразия 23
2.3. Инварианты Розанского-Виттена 26
2.4. Когомологии гиперкэлеровых многообразий 28
Глава 3. Ограничения на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий 34
3.1. Четырёхмерные гиперкэлеровы многообразия 34
3.2. Инварианты Розанского-Виттена для некоторых графов 38
3.3. Основное неравенство 42
3.4. Применения Основного неравества 46
3.5. Ограничения на Ь в размерностях восемь и десять 51
Глава 4. Абсолютно трианалитические подмногообразия гипер кэлеровых многообразий 58
4.1. Трианалитические подмногообразия в известных примерах гиперкэлеровых многообразий 58
4.2. Калибрации 63
4.3. Основная теорема 66
Публикации по теме диссертации 74
Список литературы
- Краткое содержание работы
- Обозначения и сокращения
- Абсолютно трианалитические подмногообразия
- Трианалитические подмногообразия в известных примерах гиперкэлеровых многообразий
Краткое содержание работы
Рассмотрим гиперкэлеровое многообразие (М, /, J, К). Любое триана-литическое подмногообразие гиперкэлерового многообразия Z — М имеет гладкую гиперкэлерову нормализацию Z в М; эта иммерсия в общей точке биективна на образ. Тем самым, естественным является вопрос, какие абсолютно трианалитические подмногообразия могут содержаться в известных примерах простых гиперкэлеровых многообразий.
Вербицкий доказал, что любая деформация схемы Гильберта К3 поверхности не содержит комплексных подмногообразий [V3]. Аналогичное утверждение предполагалось Калединым и Вербицким и в случае обообщённой поверхности Куммера [KV]. Однако, затем они ([KV1]) обнаружили контрпример, действительно, рассмотрим инволюцию v : t — — , действующую на торе. Эта инволюция может быть продолжена до инволюции схемы Гильберта тора Т п+ \ и, так как она коммутирует с отображением Альбанезе гр[п+1\ —у гр то сохраняет обобщённое многообразие Куммера Кп(Т). Замыкание множества пар неподвижных точек деформационно эквивалентно схеме Гильберта. Случай многообразий ОТрэди рассмотрен в [SV].
Теорема 1.2.3. [SVJ Пусть М является гиперкэлеровым многообразием максимальной голономии, Т - гиперкэлеров тор, и Т — М гиперкэлерова иммерсия с абсолютно трианалитическим образом. Тогда Ь2(М)-1) dimc(T) 2 , где Ь2(М) - второе число Бетти. Это позволяет доказать, что в многообразиях О Грэди нет абсолютно трианалитических торов. Также из соображений размерности вторых кого-мологий следует отсутствие известных простых гиперкэлеровых многообразий в качестве абсолютно трианалитических подмногообразий многообразия ОТрэди М10 [SV].
Согласно следующей теореме [GV] трианалитические многообразия связаны с теорией калибраций.
Теорема 1.2.4. Пусть (M,I,J,K,g) - гиперкэлерово многообразие, UJ,U)J,UK соответствующие симплектические формы икЗр := ——-—iU-стандартная SU(2)-инвариантная Ар-форма, нормированная константой ср = YJk=i ту (2k)W k. Тогда Qp калибрация и её грани это р-мерные ква-гпернионные подпространства ТМ. Кроме того, форма Ер := /, также калибрация с теми же гранями.
Подмногообразия, калибруемые формой Qp называются трианалити-ческими подмногообразиями.
В нашей диссертации исследуется вопрос наличия абсолютно трианалитических торов в многообразии Куммера. Выясняется, что таких торов там нет
Теорема 1.2.5 (Основная теорема). Пусть Кп(Т) - обобщённое многообразие Куммера, и Z С Кп(Т) абсолютно трианалитическое многообразие. Тогда Z не является тором.
Вместе с результатами предыдущих исследователей она позволяет сказать, что в известных примерах гиперкэлеровых многообразий нет абсолютно трианалитических торов. Таким образом, в этой части классификация завершена. Если рассматривать только известные деформационные типы гиперкэлеровых многообразий, то открытым остаётся вопрос существования абсолютно трианалитических подмногообразий деформационного типа M\Q в обобщённом многообразии Куммера, а также схем Гильберта п точек на КЗ в многообразии ОТрэди MQ. Для доказательства основного результата мы рассматриваем образ 7T(Z) трианалитического тора в симметрической степени тора (общего) и соответствующий прообраз T 1(TI(Z)) В Тп. Z— TI{Z) -\TI{Z)) где Т - схема Гильберта п точек тора, Т п - симметрическая степень тора, отображение 7Г это отображение Гильберта-Чжоу (2.1), г отображение факторизации Тп — Т п\ и квадрат декартов. Было доказано, что отображения т : T 1(IT(Z)) — TT(Z) И 7Г : Z — TT(Z) конечны в общей точке (Предложения 4.3.4, 4.3.5). Из этого, в частности, следует изогенность абсолютно трианалитического тора Z и прозвольной компоненты в T 1{IT(Z)).
Предложение 1.2.6. Пусть Z С Т - абсолютно трианалитический тор в обобщённом многообразии Куммсра. Рассмотрим диаграмму T-HA.Z)) (Z) где Z - расслоенное произведение Z и T 1(TI(Z)). Тогда Z и любая компонента T 1(TI(Z)) изогенные торы.
Далее, используя теорию калибраций, были подсчитаны симплектиче-ский и кэлеров объёмы для исходного тора Z и для подтора Т (TT(Z)) В Тп. Отношения этих объёмов из-за гиперкэлерового условия должны быть равны, однако, в нашем случае, это оказывается не так, что приводит к противоречию. Благодарности
Автор выражает благодарность своему научному руководителю М. Вербицкому, без внимания и неоценимой помощи которого эта диссертация не могла быть написана. Также автор выражает благодарность за обсуждения результатов работы Ф. Богомолову, С. Галкину, В. Жгу ну, Д. Каледину, А. Солдатенкову. Работа была выполнена при поддержке Лаборатории Алгебраической Геометрии и ее приложений НИУ-ВШЭ в рамках государственной поддержки ведущих университетов Российской Федерации "5-100" и гранта правительства РФ дог. 11.G34.31.0023, гранта РНФ (соглашение 14-21-00052 от 11.08.14). Автор поддержан грантом Фонда Саймонса (2013), грантом "Молодая математика России" (2016) и грантом МК-1297.2014.1 (соисполнитель). Также автор признателен всем близким и друзьям за поддержку во время работы над диссертацией.
Обозначения и сокращения
Пусть М является компактным кэлеровым многообразием комплексной размерности п. Числа Ходжа hp,q обозначают размерности соответствующих когомологии Дольбо. Для гиперкэлеровых многообразий естественным образом выполнены следующие симметрии для ромба Ходжа, выполненные также и для кэлеровых многообразий: hP,q = hn-p,n-q = hq,p {2А.1) Если М компактное гиперкэлерово многообразие вещественной размерности 4т, то мы можем получить и другие равенства на числа Ходжа. В частности, Фуджики ([F]) показал, что умножение на голоморфно сим-плектическую форму задаёт отображение Hp,q — Нр+ ,q, которое инъективно при р + 1 т, и (т - р)-ая его степень - изоморфизм.Тем самым, hP,q = h2m-P . (2.4.2) Это также следует из теоремы Вербицкого (2.4.4) о действии алгебры Ли so(5) на когомологиях, которая будет приведена ниже (см. раздел 2.4). Более того, Вакакува ([W]), исследуя действие Sp(m) на пространстве гармонических форм, доказал, что для к ш, и, что нечётные числа Бетти &2&+1 делятся на 4. Также Фуджики ([F]) доказал, что hp,q hp+l,q-l, если р q. Замечание 2.4.1. Первое число Бетти Ь\ для простого гиперкэлерового многообразия равно нулю по определению, но в общем случае нечётные числа Бетти могут быть ненулевыми, например, &з {К2 (Т)) = 8. Равенство Саламона Симметрии чисел Ходжа 2.4.1 и 2.4.2 в применении к формуле Хирцеб-ру ха- Р и м ан а- Роха позволяют получить следующее утверждение. Предложение 2.4.2. [S, Theorem 4-І-] Пусть М - компактное кэлерово многообразие вещественной размерности d = 2п = Am с числами Ходжа, удовлетворяющими соотношению 2.4-2. Тогда ClCn_i = V J м Если многообразие М - гиперкэлерово, то С\ = 0, а, значит выполнено равенство Саламона ([Sa]): 4m Y (-1) ( 6i2 - n (6n + 1) 6») = 0 (2.4.3) «=o Из результатов Вакакува следует, что пе(Х) делится на 24, где е(Х) -эйлерова характеристика. Замечание 2.4.3. Для КЗ поверхности эйлерова характеристика равна 24. Также делимость на 24 была показана Гриценко и Хирцебрухом [GrH]. Неравенство Саламона 2.4.3 может быть переписано в терминах эёлеро-вой характеристики: 4т (-1) Ъг = П (6П + 1) Є (X) , г=0 где е(Х) - эйлерова характеристика гиперкэлерового многообразиях. Действие алгебры Ли so(&2 + 2) на когомологиях
Описание кольца когомологий в случае схемы Гильберта КЗ поверхности получено Леном и Зоргером ([LS]), затем Накаджима посчитал базис когомологий [N]. Числа Бетти и Ходжа были определены в работе Гётше и Зоргеля ([GS]).
В общем случае произвольного гиперкэлерового многообразия для чётных когомологий выполнена следующая теорема ([V8, V9])
Теорема 2.4.4. Пусть М - неприводимое гиперкэлерово многообразие комплексной размерности 2п и пусть SH2(M,C) Z Н (М,С) - подалгебра, порождённая Я2(М,С). Тогда SH2{M,C) = S H2{M,)/ {an+l\q{a) = 0), где q форма Бовиля-Богомолова-Фуджики. Замечание 2.4.5. Из этой теоремы следует вложение Symn Н2 (М) - - Н2п. При этом теорема 2.4.4 ничего не говорит про нечётные когомологий и ту часть чётных когомологий, которые не лежат в SH (М,С). Пусть М - кэлерово многообразие размерности 2п. Тогда для любого кэлерового класса а Є Hl,l(M) возникает 5[(2)-представление: заданное умножением на а : La Фа у О о двойственным оператором Лефшеца: О О Л« := Фа , и оператором Ходжа такой что Н\Нк щ = (2п — к) id. Алгебра Ли, порождённая 0W/;WJA,K(.S[(2)), изоморфна 5о(4,1). В эту алгебру также входят коммутаторы KJJ = [Lh Kj], KIK = [L7, Ак], KJK = [Lj, Ак]. Теорема 2.4.6 ([V9]). Пусть Q С End(A V ) - алгебра Ли, порождённая операторами L\} Лд, KJJ} KJK} KJK, H. Тогда Q изоморфна so(4,1). Замечание 2.4.7. Операторы LR {R = I, J, К) имеют степень 2, Лд (R = I, J, К) имеют степень -2, KRS степень ноль. Заметим также, что, напри мер, оператор KJJ имеет вид i{p — q)Tljj, где UJJ является проекцией на пространство (р, д)/-форм. Пусть М - гиперкэлерово многообразие. Для индуцированной комплексной структуры L на М рассмотрим кэлерову форму UJL = g (, L-), где (,) риманова форма. Обозначим через Lj,, как и раньше, оператор внешнего умножения на шь- Двойственный оператор LL обозначается через Л . Тогда из теоремы 2.4.4 имеется следующее следствие.
Следствие 2.4.8 ([V9]). Пусть М - гиперкэлерово многообразие и а% алгебра Ли, порождённая LL и AL для всех индуцированных комплексных структур L на М. Тогда алгебра Ли а% изоморфна so(4,1). Из теоремы 2.4.6 следует утверждение ([LL]):
Следствие 2.4.9 ([LL]). Структура Ходжа на кольце когомологий Н (М) простого гиперкэлерового многообразия М полностью определяется структурой Ходока на Н2(М) и действием Н2(М) на Н (М).
Подалгебра, порождённая Н (М) может быть посчитана явно, в частности, теорему 2.4.4 можно переписать в следующем виде:
Теорема 2.4.10 ([V8]). Пусть М является компактным простым гиперк-элеровым многообразием, dimcM = 2п и Н (М) - подалгебра в когомологи-порождённая Н2(М). Тогда Н2г (М) SlH2 (М) і п, Н2г (М) S2n lH2 (М) г п Если мы будем рассматривать алгебру Ли, порождённую 5[(2)-представлениями для всех классов а в Н (М), то эта алгебра называется общей алгеброй Ли Qtot- Эта алгебра Ли была описана в работах Вербицкого ([V8]) и Луенги-Лунца ([LL]).
Теорема 2.4.11. Обищя алгебра Ли гиперкэлерового многообразия М изоморфна $o((H2(M)}q) 0 U), где U - гиперболическая плоскость.
Из этой теоремы 2.4.11 следует, что когомологий неприводимого гиперкэлерового многообразия распадаются в сумму неприводимых представлений алгебры Ли 5о(4, &2 — 2). Об этом речь пойдёт в разделах 3.4.3 и 3.5.
В случае рассмотрения целочисленных когомологий даже для схемы Гильберта над КЗ строение когомологий является непростым вопросом. В частности, недавно было доказано, что фактор Н4(Н.ИЪп(КЗ, Щ)/ Sym Н2(М, Z) содержит элементы конечного порядка при п = 2,3 ([BNS, Кар]). Для схемы Гильберта трёх точек Капфер использовал компьютерные вычисления, исходя из базиса Накаджимы для когомологий схемы Гильберта [N]. Для п 4 Маркман ([Ма]) ранее показал, что фактор - свободная группа порядка 24.
Абсолютно трианалитические подмногообразия
Для гиперкэлеровых многообразий комплексной размерности четыре Гу-ану удалось доказать, что существует конечное число возможностей для чисел Бетти, а именно Теорема 3.1.1. Если М неприводимое гиперкэлеровое многообразие комплексной размерности четыре, то если &2 = 23, то Ьз = 0, то ромб Ходжа М такой же, как у схемы Гильберта двух точек над К3, если Ь і = 23, то Ь і 8, и если Ь і = 8, то &з = 0. в случае, если Ь і = 7, то Ъ% = 0 или 8. в случае, если Ь і = 3,4,5,6, то возможны следующие случаи ь2 3 4 5 6 h 4/,/ 17 4/,/ 15 41,1 9 4, 4 второй класс Черна лежит в алгебре Н , порождённой Н2 (М) если и только, если (Мз) = (5, 36), (7,8), (8,0), (23,0). Доказательство ограниченности второго числа Бетти опирается на результат Вербицкого о вложении Symп(Я2(М)) в Н2п(М) 2.4.4, [LL]. Чтобы получить ограничения на &з Гуан в своей работе [Gu] использовал следующий результат для полиномов от чётных классов Черна:
Предложение 3.1.2. Пусть М - компактное гиперкэлерово многообразие, С - полином от чётных классов Черна степени 4г. Тогда число С(и) riln—lr I( U 2«л М М независит от и Є Н2п(М) таких, что jMu2n = 0. Используя соотношения Ходжа-Римана ([GH, р. 123]) можно получить Предложение 3.1.3. Пусть М - неприводимое компактное гиперкэлерово многообразие комплексной размерности четыре, тогда ЗЪ2(С2(и))2 (Ъ2 + 2)Cf[M] и равенство выполняется только в том случае, еслиС2 Є А2(Н2). В качестве следствия Предложений 3.1.2 и 3.1.3 Гуан получил Предложение 3.1.4. Если М неприводимое гиперкэлеровое многообразие комплексной размерности четыре, то 4(23 - Ь2)(8 - Ь2) Ьз (fcTTj (злл Заметим, что третий пункт теоремы из Предложения 3.1.4 не следует. Согласно Вакавуке ([W]) нечётные числа Бетти делятся на четыре. В случае же четырёхмерных гиперкэлеровых многообразий верно следующее утверждение: Предложение 3.1.5. Пусть М - неприводимое компактное гиперкэлеро Ь2 -1 во многообразие комплексной размерности четыре, тогда b% = k2 2 для некоторого целого к. В частности, если Ь2 = 7, то Ь% = 8к. Это предложение следует из результатов Вербицкого и Луенги-Лунца (Теорема 2.4.4, [LL]). В самом деле, алгебра Ли so (4, Ь2 — 2) действует на кольце когомологий гиперкэлерового многообразия М (см. раздел 2.4). В частности, Н 0 Н5 является спинорным представлением Spin (b2 + 2), и по ГЬ2+21 этому 2&з делится на 21- 2 J. В случае, если Ь2 = 7, получаем, таким образом, что &з-8.
Естественным является желание обобщить результаты Гуана. К сожалению, прямое обобщение не позволяет получить неравенств на числа Бетти и Ходжа гиперкэлеровых многообразий. В следующих разделах мы рассмотрим использование инвариантов Розанского-Виттена, в частности, докажем неравенство на инварианты Розанского-Виттена (см. раздел 3.2.5). Оказывается, что с использованием этого неравенства можно получить наше основное неравенство - некоторый аналог Предложения 3.1.4 в размерности шесть.
Отдельным вопросом является ограниченность второго числа Бетти, для этого требуется рассмотреть неприводимые представления алгебры Ли so(&2 + 2), на которые распадается ромб Ходжа согласно теореме Луенги-Лунца (теорема 2.4.11). В малых размерностях ограниченность Ь доказана Сейвоном ([S-b2]) и автором ([КиЗ]). В заключение главы (см. раздел 3.5) мы приведём некоторые результаты и сформулируем ряд гипотез.
Отдельное место занимает вопрос изучения гиперкэлеровых многообразий с заданными числами Бетти. Наиболее "простой"случай - многообразия размерности четыре с Ь = 23. Но даже в этом случае полной классификации пока нет. Некоторые результаты удалось получить Капустке [Ка].
Оказывается, что для гиперкэлерового многообразия X с Ь = 23 любой обильный дивизор имеет самопересечение вида 12к для некоторого натурального к. В работе [Ка] изучен случай минимального возможного самопересечения, т.е. когда есть дивизор Н с Н = 12. Напомним, что идеал для р\н\ задаёт структуру схемы С на особой части образа рщ{Х) С Р5. Известно, что С С Р5 Коэн-Макалеево размерности 3.
Напомним, что EPW секстикой С Р5 =: Р(И/Г) называется секстика, определяемая детерминантом морфизма A0s - (З) CF{W) х /\3W (3.1.2) соответствующего выбору 10-мерного Лагранжиана А С Д W по отношению к естественной симметрической форме ([EPW, Ex. 9.3]). Теорема 3.1.6. Пусть X - четырёхмерное гиперкэлерово многообразие с &2 = 23, допускающее обильный дивизор с НА = 12, такой что Н задаёт бирациональный автоморфизм (р\н\- Тогда существует единственная секстика, содержащая схему с особенностями С С Р5, определённую по (р\н\(Х) С Р5 выше. Более того, эта секстика - ЕРW секстика SА 3.2. Инварианты Розанского-Виттена для некоторых графов
Инварианты Розанского-Виттена для простых графов были определены в работах Сейвона и Хитчина ([HS, S]). В этом разделе мы докажем неравенство 3.2.5, связывающее инварианты Розанского-Виттена простых графов. Напомним, что определение самих инвариантов было дано в разделе 2.3. Наиболее простыми являются граф G, имеющий две вершины, соединённые тремя рёбрами и граф 02, у которого четыре вершины. В большей размерности чаще всего рассматривают графы 0 (к дизъюнктных копий графа 0 на двух вершинах) и 0 02 (к дизъюнктных копий графа 0 на двух вершинах и один граф 02 на 4 вершинах). Оказывается, что для графа 0 его инвариант Розанского-Виттена на многообразии М является геометрической характеристикой самого многообразия [HS, (10)]. Предложение 3.2.1. Пусть М - гиперкэлерово многообразие размерности 2к. Тогда h ,,,»_ МДМ2 _(2n)"(JMc2n-1n-1r Н ; (4ттЧ;)к (Vol(M) -1 n! (J fi"fi»)-1 [ В частности, если к = 1, т.е. в случае КЗ имеем Ь(М) = 2с2(М) = 48. Более того, верно следующее утверждение: Предложение 3.2.2. Пусть М - компактное неприводимое гиперкэлерово многообразие размерности 2к. Тогда 1 \\Я\\2к (1927r2/c)fc {Vol{Mf-1 где Td1 2 мультипликативная последовательность классов Понгпряги Гг/2 sinh\fz/2 38 на, определённая степенным рядом Г vzl_ 1/2 Td1/2[M], (3.2.2) Следующим по сложности графом является граф G 2, состоящий из графа 02 и к —2 копий графа 0. Для того, чтобы вычислить его инвариант Ро-занского-Виттена можно воспользоваться "пузырьковой" теоремой, которая позволяет осуществлять перестроения графов в соответствии со следующей картинкой:
Трианалитические подмногообразия в известных примерах гиперкэлеровых многообразий
В этом разделе мы дадим основные определения и свойства калибрации. Более подробные сведения содержаться в [HarL], а также в [J], где приведены результаты для многообразий с ограниченной группой голономии.
Пусть W С V является р-мерным подпространством Евклидова пространства и Vol(VK) обозначает риманнову форму объёма для W С V, определённую с точностью до знака. Для любой р-формы ц Є PV, назовём ко-массой comas s(rj) максимум из i Tifrnfi Для всех р-элементных наборов (vi,...,vp) векторов в V и гранью назовём набор плоскостей W С V, где лЩЩ = comas s(r]).
Прекалибрацией на риманновом многообразии называется дифференциальная форма с комассой 1 везде.
Калибрацией называется прекалибрация, которая замкнута.
Определение 4.2.1. Пусть ц - /с-мерная прекалибрация риманового многообразия и Z С М - к-мерное подмногообразие (обычно предполагается, что хаусдорфова размерность множества особых точек Z не более, чем к — 2, поскольку в этом случае дифференциальная форма с компактным носителем может быть проинтегрирована над Z). Будем говорить, что Z калибруется формой г], если для любой гладкой точки zGZ, касательное пространство TZZ является гранью прекалибрации г]. Замечание 4.2.2. : Ясно, что для любой прекалибрации ту, Vol(Z) ту, (4.2.i; z где Vol(Z) обозначает риманов объём компактного подмногообразия Z, и равенство выполняется тогда и только тогда, когда Z калибруется формой г]. Если к тому же Г] замкнута, то jz Г] когомологический инвариант, и из неравенства (4.2.1) следует, что Z минимизирует риманов объём в своём классе гомологии.
В работе [GV] было построено несколько семейств калибраций на гипер-кэлеровых многообразиях. Пусть (М, /, J, К) - гиперкэлерово многообразие, a UJI,UJJ,UJK кэлеровы формы. Эти формы порождают некоторую коммутативную подалгебру в (М) (некоторые результаты об этой подалгебре можно найти в [GV, HarL]). В [GV] Гранчаров и Вербицкий строят новые калибраций, которые являются полиномами от UJJ UJJ UJK Калибраций играют центральную роль в различных геометрических аспектах теории струн и М-теории. До размерности восемь, калибраций хорошо изучены ([DHM]), но в больших размерностях, их классификация существенно сложнее. Даже в таких специальных случаях, как гиперкэлерова геометрия, проблема классификации естественных, т.е. 8р(п)-инвариантных также изучена не полностью. Тем не менее, ряд хороших калибраций получен в [GV]
На кэлеровом многообразии, нормированная степень кэлеровой формы j является калибрацией. И, более того, подмногообразие является комплексно-аналитическим если и только если оно калибруется этой формой. Заметим, что абсолютно трианалитические многообразия по определению являются комплексно аналитическими, что мы в дальнейшем используем при доказательстве основного утверждения. Действительно, подпространство V С ТМ является гранью - тогда и только тогда V комплексно-линейно, это, в частности, следует из неравенств Виртингера [HarL]).
Калибраций, возникающие в кватернионной геометрии, и соответствующие калиброванные многообразия были в первую очередь рассмотрены в [GV]. Эти калибраций аналогичны во многих смыслах приведённой выше калибраций степенями кэлеровой формы. Так, в гиперкэлеровой геометрии роль кэлеровой формы выполняет 4-форма G := UJ\ + UJ2J + UJ\. Оказывается, что степени Qp являются калибрациями. Несложно видеть, что V С ТМ грань для G тогда и только тогда, когда V кватернионной пространство (4.2.4). Соответственные калиброванные подмногообразия это те, которые комплексно аналитичны по отношению ко всем трём структурам /, J и К, т.е. трианалитические. Более сложные калибраций задаются однородными полиномами P(x,y,z) степени р. В частности, любой однородный полином P(x,y,z) степени р даёт замкнутую 2р-форму P(UJI,UJJ,UJK) на М. В случае, когда го-лономия М максимальна, то все параллельные дифференциальные формы получаются таким способом [GV]. Когда P(x,y,z) = - это кэлерова калиб рация, если Р(х,у, z) = ср(х2 + у2 + z2)p, где ср = Y7k=o Щу {Щ]Лр к:, то это трианалитическая калибрация, определённая выше (4.2.4). Ранее было отмечено, что поскольку трианалитические многообразия являются комплексно-аналитическими, то прекалибрация, задаваемая Qp "сла бее" кэлеровой калибрации. В общем случае, на прекалибрациях можно ввести упорядочение. Определение 4.2.3. Будем говорить, что ц - щ (г) слабее туї), если все грани Г] также являются гранями для т]\. 2» Р - (2р)! (4.2.4). Наиболее простой пример калибрации на гиперкэлеровом многообразии задаётся следующей теоремой, аналогичное утверждение для кватернионного неравенства Виртингера есть в [Вег].