Циклические g-цепочки Дарбу Смирнов Сергей Валерьевич

Введение к работе

Актуальность темы

Вторая половина двадцатого века была ознаменована появлением в математической и физической литературе большого количества публикаций, имеющих отношение к теории одномерного оператора Шредингера. Уравнение Шредингера

Ьф=(~ + и(х)\ф = Хф, (1)

естественным образом возникающее во многих физических и механических задачах, оказывается связанным со многими разделами математики, активно развивавшимися во второй половине прошлого века. Отметим некоторые из этих связей.

Хорошо известно, что уравнение Кортевега-де Фриза

Щ — «ш + бгш*

является одним из представителей бесконечной иерархии эволюционных уравнений, описывающих изоспектральные деформации уравнения Шредингера (1), т.е. такое изменение потенциала и со временем t, при котором собственные значения оператора L остаются неизменными¹. Таким образом, теория КдФ (и их высших аналогов) есть в точности теория изоспектральных симметрии вида L_t = [L, А], где А — некоторый линейный дифференциальный оператор, для оператора Шредингера.

Веселое и Шабат² реализовали эту идею для дискретных симметрии оператора Шредингера следующим образом. Оператор Шредингера можно представить в виде произведения L = АА+ двух операторов первого порядка: A = gj + /(і) и его формально сопряженного А⁺ = -gj + f(x); имея такую факторизацию, можно построить новый оператор L = А⁺А, который связан с изначальным оператором Шредингера с помощью преобразования Дарбу:

A+L = LA+.

'Б А.Дубровин, В. Б Матвеев,СП Новиков. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечноэонкые линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 31 (1976), вып. 1 (187), 55-136; В. Б. Захаров, С В. Манаков, С П. Новиков, Л. П. Питаевский. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.,Наука, 1980; Дж. Л. ЛЭМ. Введение в теорию солитонов. М.,Мир, 1983.

² А. П. ВЕСЕЛОВ, А. Б. Шабат. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера. Функ. Анализ, 27 (1993), вып. 2, 1-21.

рос. национальная!

С Петербург (у^\

Веселое и Шабат рассмотрели последовательность чуть более общих преобразований оператора Шредингера L = L\

L\ — Li — L% — — ir+ii

где Lj и L_J+1 - aj связаны преобразованием Дарбу (a_;- — некоторые константы); при этом функции /,, определяющие факторизацию, удовлетворяют следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений, иногда называемой одевающей цепочкой:

(/i + W = /?-J?rt + oy. (2)

При каждом таком преобразовании спектр оператора Шредингера сдвигается на ау, поэтому рассмотрение циклического замыкания L_r+\ = L\ при

условии a = ol\ + oti -\ h а_т = 0 приводит к дискретной изоспектральной

симметрии оператора Шредингера. Оказывается, что потенциалы оператора Шредингера, допускающие такую изоспектральную симметрию, являются конечнозонными, а соответствующая система (2) является вполне интегрируемой бигамильтоновой системой при нечетном г. Таким образом, теорию одевающей цепочки можно рассматривать как теорию дискретных изоспек-тральных симметрии оператора Шредингера.

В.Адлером³ была отмечена замечательная связь одевающей цепочки с классическими вопросами теории обыкновенных дифференциальных уравнений: если а > О, то при г = 3,4 одевающая цепочка сводится к четвертому и пятому уравнениям Пенлеве соответственно.

При г = 1 оператор цепочки L = L\ является гармоническим осциллято
ром, поскольку соответствующее операторное соотношение превращается в
точности в соотношение Гейзенберга АА⁺ = А⁺А + а. Хорошо известно, что
спектр гармонического осциллятора дискретен, а его собственные функции
выражаются через полиномы Эрмита и потому образуют полное семейство
в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на пря
мой. Веселовым и Шабатом⁴ была высказана гипотеза о том, что в общем
случае одевающей цепочки при нечетном г > 1 потенциал оператора Шре
дингера L — L\ имеет "осцилляторо-подобную" асимптотику на бесконечно
сти: _{2 2}

Подобное асимптотическое поведение потенциала гарантировало бы дискретность спектра оператора Шредингера, однако, его обоснование для общих

*V. Б. ADLER. Nonlinear chains and Painleve equation!. Phynca (D), 73 (1994), 335-351. ⁴Сн. сноску С)

значений параметров о, является открытой задачей. Вопрос о полноте системы собственных функций представляется еще более трудным, поскольку требует изучения трансцендентов Пенлеве и их высших аналогов.

Бурное развитие аналитического аппарата во второй половине девятнадцатого века дало мощной толчок развитию теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений в частных производных; этим, вероятно, объясняется то обстоятельство, что теория дифференциальных уравнений разработана существенно больше, чем теория разностных, несмотря на то, что работа с последними не требует использования столь обширного аналитического инструментария. Кроме того, этому, видимо, способствовали господствовавшие до появления квантовой теории представления о непрерывности мира. Однако, в последней четверти двадцатого века сперва возник, а затем стал стремительно нарастать интерес к проблеме дискретизации (или квантования) тех или иных давно известных структур или систем. В частности, было введено разностное уравнение КдФ, был рассмотрен дискретный оператор Шредингера L,

{Ьф)_п = vXVn-i + В_пф_п + у/А~^ф_п+и (3)

изоспектральные деформации которого задаются уравнениями

Г (А,), = МВп-1 - в_п) \ (д,)« = Д.(Аи-1 - An) '

сводящимися к цепочке Тоды⁵.

Одним из проявлений общего интереса к проблеме дискретизации явилось появление на рубеже 80-90-х годов прошлого века в литературе (главным образом, физической) большого количества публикаций, посвященных дискретизации гармонического осциллятора. Самая простая модель разностного гармонического осциллятора, предложенная Атакишиевым и Сусловым⁸, получается из модели обычного гармонического осциллятора заменой дифференциальных операторов рождения А* и уничтожения А в разностными операторами первого порядка; при этом оператор Шредингера L становится дискретным вида (3).

Другая модель разностного осциллятора берет свое начало в работах Би-денхарна и Макфарлэна⁷, где было предложено рассматривать "д-соотноше-

'См. сноску (¹)

Н. М. АТАКИШИЕВ, С. К. СУСЛОВ. Модель гармонического осциллятора на решетке. Современный групповой анализ: методы и приложения. Баку, Элм, 1989, 17-20.

⁷L. С. BiEDENHarn. The quantum group Sf/,(2) and a ^-analogue of the boson operators. J. Phys. A: Math. Gen., 22 (1989), L873-878; A. J. MaCFarlane. On ^-analogues of the quantum harmonic oscillator and the quantum group 5(/(2),. J Phys. A. Math. Gen., 22 (1989), 4581-4588.

ниє Гейзенберга", т.е. операторное соотношение вида

АА⁺ = qA+A + а

где q ф 1 — некоторое действительное число. Атакишиев, Суслов, Франк и Вольф⁸ подробно изучили два принципиально различных по своим свойствам координатных представления g-осциллятора разностными операторами на целочисленной решетке: представление А = а + ЬТ, где Г — оператор элементарного сдвига вправо, приводит к неограниченному g-осциллятору, а представление А = аТ~¹ + ЬТ — к ограниченному. Рассматривались также и другие реализации д-осциллятора⁹.

В диссертации рассматривается циклическая цепочка разностных операторов, в которой соседние операторы связаны g-преобразованием Дарбу (такая цепочка является обобщением описанных выше моделей разностного гармонического осциллятора и дискретным аналогом одевающей цепочки Веселова-Шабата). В нашем случае (в отличии от системы Веселова-Шабата) удается установить асимптотику коэффициентов операторов цепочки на бесконечности, которая гарантирует дискретность их спектров и полноту семейства собственных функций.

Цель работы

Целью работы является реализация циклической g-цепочки Дарбу ограниченными разностными операторами в гильбертовом пространстве Сг(Ъ) квадратично суммируемых последовательностей и исследование ее связи с одевающей цепочкой Веселова-Шабата.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построена реализация циклической g-цепочки Дарбу четной длины ограниченными разностными операторами на одномерной решетке Z.

*Н.М.АТАКИШИЕВ, С.К.СУСЛОВ. Разностные аналоги гармонического осциллятора, ТМФ, 85 (1990), вып 1,64-73; Н М Атакишиев, С. К Суслов Об одной реализации g-гармонического осциллятора, ТМФ, 87 (1991), вып. 1,154-156; N. Atakishiyev, A. Frank, К. Wolf. A simple difference realization of the Heuenberg 9-algebra. J. Math. Phys, 35(7), 1994, 3253-3260.

"P. P. Kulish, E. V. Damaskinsky. On the q oscillator and the quantum algebra su,(l,l). J.Phys.A. Math. Gen., 23 (1990),L415-L419; M. Chaichian, H. Grosse, P. Presnajder. Unitary representations of the «-oscillator algebra. J Phys. A. Math Gen., 27 (1994), 2045-2051, A. LOREK, A.RUFFING, J.Wess. A ї-deformation of the harmonic oscillator. Z Phys. C, 74, (1997), 369-377, N. M. Atakishiyev, E. I. Jafarov, Sh. M. Nagiev, K. B. Wolf. Meixner oscillators. Rev. Мех. Fit., 44 (1998), 235-244.

Доказано, что операторы цепочки имеют чисто дискретный спектр, а соответствующие собственные векторы, которые могут быть найдены по схеме Дарбу, образуют полное семейство в гильбертовом пространстве г(2) квадратично суммируемых последовательностей.

1. Показано, что циклическое замыкание ^-цепочки Дарбу длины г со сдвигом s не может быть реализовано ограниченными разностными операторами, если s ^ 0 или з ^ г.

2. Показано, что решение циклической g-цепочки длины г = 2 сходится к решению одевающей цепочки Веселова-Шабата и описан численный эксперимент, свидетельствующий о наличии подобной сходимости и при г = 6,10.

3. Для циклической дискретной одевающей цепочки (случай q = 1), сумма изоспектральных сдвигов которой равна нулю, построено зависящее от параметра представление нулевой кривизны. Для цепочки длины г = 2 выписан полный набор первых интегралов.

Основные методы исследования

В работе используются некоторые стандартные методы теории интегрируемых систем: построение зависящего от параметра представления нулевой кривизны (дискретного аналога представления Лакса), преобразования Дарбу, дискретные изоспектральные симметрии.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего построения дискретных аналогов классических интегрируемых систем и изучения их свойств.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "Геометрия, топология и математическая физика" кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ (Москва, 2004 г.), на семинарах института теоретической физики имени Л. Д. Ландау (Черноголовка, Россия, 2003 г.) и отдела физики университета "Roma-ПГ (Рим, Италия, 2004 г.) и на международных конференциях "Геометрия,

интегрируемость и квантизация" (Варна, Болгария, 2002 г.), "Асимптотические теории и уравнения Пенлеве" (Анже, Франция, 2004 г.) и "Симметрии в нелинейной математической физике" (Киев, Украина, 2005).

Публикации

Основные результаты опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и трех глав; полный объем диссертации 105 страниц, список литературы включает 39 наименований.