Введение к работе
^, ; .
.і і !
.ї. .і:::::.-, і
>тдо АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕЖ
"""За'последнее десятилетие возникла новая область топологии -
изучение четырехмерных многообразий (4-многообразий) методами
математической физики. В этой области был получен ряд сколь
глубоких стол'ь и неожиданных результатов о гладких структурах на
1-многообразиях. Эти результаты указывают на разительный контраст
левду строением гладких многообразий в размерности 4 и в больших
размерностях. Среди них:
1.Наличие h-кобордантных но не диффеоморфных многообразий;
2.Наличие счетного -семейства гладких структур на
топологическом замкнутом многообразии;
3. Наличие несчетного семейства экзотических гладких структур
и ї*.
Эти исследования развивались на фоне полученного Фридманом в
.982 году результата о том, что топологическая (то есть с
'очностью до гомеоморфизма ') классификация односвязных
.-многообразий' может быть проведана по существу методами
шогомерной топологии .и, .за исключением небольшой
^определенности, сводится к алгебраической классификации
[олочисленных унимодулярных форм. Такие формы возникают здесь как
юрмы пересечений на двумерных гомологиях 4-многоабразия н
вляются центральным инвариантом односвязного замкнутого
-многообразия.
Техника, с помощью которой были получены результаты о гладких
-многообразиях, состоит в использовании антиавтодуальных
связностей - или инстантонов - придуманных физиками. С помощью пространств модулей строятся некоторые инварианты рационального типа, которые существенно зависят от гладкой структуры на многообразии ( как и само уравнение антиавтодуальности). Эти инварианты дают возможность сравнивать и различать некоторые гладкости на 4-многообразиях.
Гладкие структуры на 4-многообразиях строятся преимущественно следующими двумя способами.
Для многообразий, допускающих алгебраическую проективную структуру - заданием' их' в виде пространства решений систем алгебраических уравнений (проективных моделей). Различные системы могут давать гомеоморфныэ ,но - как показывают указанные инварианты - не диффвоморфные многообразия.
Второй способ состоит в разрезании и переклейке имеющихся (в том числе и полученных первым способом ) многообразий.
Задача состояла в том , чтобы для имеющегося запаса многообразий фиксированного топологического типа указать среди нгос нвдиффеоморфныв. и. по возможности, выявить закономерности. К подобного рода попыткам и относится гипотеза о гладкой инвариантности размерности Кодаиры алгебраических поверхностей:
Две гомвоморфные алгебраические поверхности с разной размерностью Кодаиры Ее могут быть диффеоморфны ( обсуждения этой гипотезы см. [>]).
Техника инстантонных пленок - или модулей антиавтодуальных связностей , как следует из назваішя^__является_!__&уіцественно— ^еометрігашШГНЗтІГІщачитТв частности, что для построения такой пленки мы должны зафиксировать риманову метрику на 4-многообразии.
Указанная техника основана на использовании полезных свойств пространств модулей wasd актиавтодуальных (asd) связностей на, комплексном векторном двумерном расслоении на 4-многообразии.
снабженном некоторой ргалановой метрикой. Ниже изложены некоторш из этих свойств.
1.В общем случав (для общей метрики) tfasd является ориентированным многообразием фиксированной размерности.
2. Можно контролировать конци этого многообразия , и ото , грубо говоря , дает возможность определить "фундаментальний класс" этого многообразия.
3. Можно контролировать зависимость этого класса от римановоп
метрики на 4-многоойразші.
4. Пространство модулей можно вычислить. Наиболее
плодотворный путь для этого - использование теоремы Дональдсона о
взаимно однозначном соответствии между неприводимыми
антиавтодуальнш.ш связностями на алгебраической проективной,
поверхности со стандартной Ходжевой метрикой и стабильными
относительно проективной поляризации алгебраическими расслоениями.
Однако в этом случае мы теряем нервов свойство, так как Ходжева
метрика может на быть общей и, следовательно, пространство модулой
антиавтодуалышх связностей может не быть многообразием. Дело в
том, что Ходжевы мерикн встречаются среди всех метрик довольно
редко (они образуют нигде не плотное подмножество).
ЦЕЛЬ РАбОТЫ.
Цель' данной работы состоит в том чтобы определить гладкие инварианты 4-шюгообразия исходя из пространства модулей, построенного для необщей Ходжевой метрики. Шлеются примеры таких метрик. Один из них рассматривался Моагом и относится к гомотопическим КЗ-поверхностям. Второй пример, относящийся к численным поверхностям Годо рассмотрен в диссертации с целью проверки упомянутой гипотезы.
Все результаты диссертации являются новыми' и имоыт
теоретический характер. Развитая техника, по существу, сводит задачу вычисления инвариантов 4-мерных гладкостей к влгеоро-геометрическим вычислениям и может Сыть применена как для вычислений различных известных инвариантов так и для определения нових.
Результаты диссертации докладывались на семинарах в МИАН п. р. А. Н. Тюрина и А.Н.Рудакова, на мех.-мат. ф-те МГУ п. р. ММ. Постникова, на мех.-мат. ф-те МГУ п. р. А.С.Мищенко и Ю.П.Соловьева., в отд. геометрии ЛОМИ п. р. 0. Я. Виро, на школе-семинаре по алгебраической геометрии (Ярославль, 1990 г.). международной конференции по 4-мерным многообразиям (университет Макмастер. Гамильтон, Канада, 1990).
ПУбЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 2 работы.
СТРУКТУРА РАООТЫ. Диссертация изложена на 50 страницах. Она состоит из введения и двух глав - всого 11 параграфов. Список литературы содержит 13 наименований.