Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Параболические 2-семейства плоскостей в Р5 10
1.1. Репер первого порядка параболического семейства 10
1.2. Внутренняя корреляция на семействе (^2)2 16
1.3. Основной фундаментальный объект семейства (2)2 22
1.4. Геометрические свойства семейства (2)2 27
1.5. Включение заданной 2-поверхности в семейство (2)2 35
Глава II. Геометрия конфигурации F 40
2.1. Вмещение псевдофокального семейства прямых в конфигурацию JP 40
2.2. Вмещение гиперболического семейства (2)2 в конфигурацию F 53
2.3. Оптимальный репер 60
2.4. Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации F 65
2.5. Канонический репер конфигурации F 68
2.6. Полная конфигурация F 73
2.7. Фокальная три-ткань конфигурации F 83
Глава III. Проективное изгибание семейств, определяющих конфигурацию F 89
3.1. Проективное изгибание первого порядка параболического семейства 89
3.2. Проективное изгибание второго порядка параболического семейства 93
3.3. Изгибание 1-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации F 100
3.4. Изгибание 2-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации F 103
3.5. Изгибание пары параболических семейств конфигурации F 109
3.6. Изгибание конфигурации F 113
3.7. Изгибание 2-го порядка семейств (Ll)2 И9
3.8. Особое решение изгибания 2-го порядка семейств(L32)2 124
3.9. Изгибание фокальных поверхностей семейства (2)2 127
Заключение 130
Литература 131
- Основной фундаментальный объект семейства (2)2
- Вмещение гиперболического семейства (2)2 в конфигурацию F
- Канонический репер конфигурации F
- Изгибание 1-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации F
Введение к работе
Данная работа относится к дифференциальной геометрии линейчатых многообразий многомерных проективных пространств. В настоящее время теория конгруэнции прямых и их пар трехмерного проективного пространства представляет классический раздел дифференциальной геометрии и достаточно полно изложена в монографиях С. П. Фи-никова [39, 40]. Одним из возможных направлений в обобщении этой теории является изучение геометрии r-параметрических семейств т-мерных плоскостей и их пар в проективном пространстве Рп. Такие семейства стали предметом научных исследований во второй половине XX века ([4, 13, 20, 25, 29, 30, 32] и другие).
Первые обобщения конфигурации Г и расслояемых пар конгруэнции СП.Финикова были сделаны В.И.Коровиным [18], P.M. Гейдель-маном [5], К. И. Дуничевым [11]. Ученики Р. М. Гейдельмана, например, В.С.Фокин [41], М.А.Войтенко [2, 3] ввели обобщение этих понятии в Р4.
Заметив, что прямая в Р3 является двойственной сама себе, Г. Н. Макеев поставил задачу обобщения пар Т и расслояемых пар конгруэнции прямых в нечетномерных проективных пространствах. В связи с этим С.Е.Тычинина рассматривала двупараметрические семейства (2)2 плоскостей Ьг в Р5. Семейство (2)2 называется гиперболическим, слабопараболическим или параболическим, если каждая плоскость Ьг имеет три линейно независимых действительных фокуса, два фокуса или один фокус. Пары Т и расслояемые пары гиперболических семейств (Zr2)2 были введены и исследованы С. Е.Тычининой [37, 36], а обобщение пар в Попова сделала Л. Ф. Степанова [33-35]. Эти результаты получили обобщение в пространстве Р2П_і в работах Г.Н.Макеева [26-28]. Им введено понятие семейств -k^-u которые являются обобщением семейств (2)23 и пх преобразований Лапласа [25]. В.А.Глуздов изучал слабопараболические семейства (2)2 и их пары в Р$ [6-10].
Дифференциально-геометрические свойства гиперболических семейств (2)2 изучала Т.Б.Жогова [13-15]. Дальнейшие её работы [12, 16, 17] посвящены проективному и коррелятивному изгибанию семейств 2п-1 * Л. Е. Куновская в работе [21] рассматривала некоторые свойства параболического семейства (2)2 в ^5-
Целью настоящего исследования является изучение дифференциальной геометрии двупараметрического семейства плоскостей параболического типа в пространстве Р$.
Исследование ведется методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана [38].
Полученные в диссертации результаты являются новыми.
На защиту выносятся следующие научные положения и результаты:
фокальные свойства параболического семейства плоскостей;
построение конфигурации F на базе параболического семейства плоскостей;
включение заданной 2-поверхности в параболическое семейство плоскостей;
связь между геометриями параболического семейства плоскостей и псевдофокального семейства прямых в Р$\
геометрические свойства конфигурации F; полная конфигурация F]
проективное изгибание элементов конфигурации F; проективное изгибание конфигурации F.
Диссертационная работа носит теоретические характер. В ней построена достаточно полная проективно-дифференциальная теория семейств плоскостей (Ll)2 параболического типа пространства Р$. Результаты, полученные в диссертации, открывают возможность провести классификацию семейств (^2)2 по ЧИСЛУ фокальных точек стационарной прямой текущей плоскости семейства, выяснить роль фокальных точек при изучении геометрии гиперболических и слабопараболических семейств плоскостей, а также геометрии пар Т и расслояемых пар этих семейств. Полученные в диссертации результаты могут ис-
пользоваться при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии семейств плоскостей многомерных пространств и написании дипломных работ по геометрии.
Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции молодых ученых Горьковской области (1980); на IX, X, XI, XII Международных конференциях серии "Женщины-математики" в Чебоксарах (2001, 2004), Ростове-на-Дону (2002) и Воронеже (2003); на Всероссийской научно-практической конференции в Нижнем Новгороде (2002); на VIII Международной конференции серии "Нелинейный мир" в Астрахани (2003); на научных семинарах по дифференциальной геометрии в Московском железнодорожном институте (рук. проф. Р. М. Гейдельман), в Московском институте стали и сплавов (рук. проф. М.А. Акивис), в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.М.Васильев), в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (рук. проф. В. А. Иго-шин) и неоднократно на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета.
Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, приведенных в конце диссертации. Соавторов нет.
Приведем краткий обзор содержания диссертации.
Первая глава посвящена изучению дифференциальной геометрии параболических 2-семейств плоскостей в Р$, которые обозначим через
В 1.1 к рассматриваемому семейству плоскостей присоединяется многообразие реперов 1-го порядка, определяются инвариантные образы, связанные с семейством (-^2)2' изучаются фокальные свойства этого семейства, доказывается теорема существования (-^2)2*
В 1.2 введено понятие внутренней корреляции на семействе (2)2' которая дает возможность исследовать инвариантные двойственные образы многообразия и выяснить геометрический смысл репера 1-го порядка. Семейство (L\)2, как точечное многообразие, представляет собой гиперповерхность 5| с плоскостной образующей L\. Оказалось, что
в плоскости L\ существует единственная прямая, вдоль которой касательная гиперплоскость к гиперповерхности S\ стационарна. Эта прямая проходит через фокус и называется стационарной.
В 1.3 установлено, что третий фундаментальный объект семейства (2)2 является основным, а четвертый — полным [22].
В 1.4 продолжено изучение геометрических свойств семейства (--2)2* На стационарной прямой найдены три инвариантные точки, каждая из которых описывает двумерную поверхность. Любая из этих поверхностей является фокальной поверхностью параболического семейства плоскостей, а каждые две из них суть фокальные поверхности некоторого гиперболического семейства плоскостей (2)2- Совокупность семейства стационарных прямых, трех параболических семейств и трех гиперболических семейств образует конфигурацию F.
В 1.5 решена задача о включении заданной поверхности в параболическое семейство (^2)2-
Вторая глава посвящена изучению геометрических свойств конфигурации F.
В 2.1 вводится понятие отношения вместимости двух многообразий. Многообразие 9Л находится в отношении вместимости с многообразием 91, если в Рь существует такой репер, в котором оба многообразия определяются одной и той же системой уравнений Пфаффа. Если при этом ПЛ С 9t, то будем говорить, что ЗЯ вмещено В 91.
Двупараметрическое семейство стационарных прямых является псевдоконгруэнцией, у которой касательное пространство вдоль луча четырехмерно. Доказано, что такое семейство можно вместить в конфигурацию F.
Двупараметрическое семейство стационарных прямых в дальнейшем будем называть псевдоконгруэнцией.
В 2.2 находятся такие ограничения на гиперболическое семейство (2)2, ПРИ которых оно может быть вмещено в конфигурацию F. Это семейство обозначается через (2)2 и существует с произволом пяти функций двух аргументов.
В 2.3 введено понятие оптимального репера конфигурации F. Оптимальный репер построен на двух параболических семействах и одном гиперболическом семействе (2)2 плоскостей конфигурации F. В этом репере прямая (АіАз) описывает псевдоконгруэнцию; точка А\ является фокусом параболического семейства, описываемого плоскостью (А1А3А4); Аз — фокус параболического семейства с текущей плоскостью (АіАбАз); плоскость (А1А2А3) описывает семейство {Щ)2 с фокусами в точках Аі, А2, A3. Установлено, что любая пара многообразий, составляющих конфигурацию F, находится в отношении вместимости, а псевдоконгруэнция может быть вмещена как в любое параболическое семейство, так и в любое гиперболическое семейство конфигурации F.
Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации F изучается в 2.4. Оказалось, что эти семейства связаны между собой преобразованиями Лапласа [25].
В 2.5 построен канонический репер конфигурации F и выяснен его геометрический смысл.
В 2.6 введено понятие полной конфигурации F. Для каждой пары фокальных точек прямой (А1А3) существует единственная пара, содержащая третью фокальную точку, которая гармонически разделяет данную пару точек. Вторая пара точек является парой фокусов некоторой плоскости слабопараболического семейства, причем фокальная точка будет двукратным фокусом. Таким образом, с прямой (АіАз) инвариантно связаны еще три плоскости, каждая из которых описывает слабопараболическое семейство. Этими семействами пополняется конфигурация F. Каждое из трех гиперболических семейств конфигурации F имеет шесть первых преобразовании Лапласа, некоторые из которых совпадают. Эти преобразования Лапласа также пополняют конфигурацию jP. Полученную конфигурацию назовем полной конфигурацией F.
Таким образом, полная конфигурация F содержит псевдоконгруэнцию, три параболических семейства, три слабопараболических семейства и восемь гиперболических семейств плоскостей.
В 2.7 изучается фокальная три-ткань конфигурации F. Оказалось, что конфигурация F с шестиугольной фокальной три-тканью существует с произволом четырех функций двух аргументов.
Третья глава посвящена вопросу проективного изгибания конфигурации F и семейств, составляющих её.
В 3.1 и 3.2 рассматривается задача проективного изгибания 1-го и 2-го порядков параболического семейства плоскостей. Оказалось, что любые два параболических семейства плоскостей наложимы изгибанием первого порядка с произволом «2 = 1. А класс параболических семейств, допускающих проективное изгибание второго порядка, существует с произволом «2 = 3.
В 3.3 и 3.4 изучается проективное изгибание первого и второго порядков псевдоконгруэнции. Изгибанием первого порядка заданная псевдоконгруэнция наложима на псевдоконгруэнцию любой конфигурации F с произволом S2 = 2. Доказано, что существует с произволом S\ = 2 класс конфигураций F, у которых псевдоконгруэнция допускает изгибание второго порядка.
В 3.5 исследуется задача изгибания пары параболических семейств конфигурации jF, которая допускает изгибание только первого порядка с произволом S2 = 2.
В 3.6 рассмотрено проективное изгибание конфигурации F. Оказалось, что конфигурация F допускает только проективное изгибание первого порядка с произволом si — 13.
В 3.7 установлено, что класс семейств [L\)2i допускающих изгибание
ВТОРОГО ПОрЯДКа, Существует С ПРОИЗВОЛОМ 52 = 1.
В 3.8 рассматривается особое решение задачи изгибания семейства (2)2- Оказалось, что в особом случае выделяется класс семейств {L\)2 (семейства Щ), существующих с произволом si = 15, которые допускают непрерывное изгибание второго порядка с произволом одного параметра.
В 3.9 рассмотрено фокальное изгибание семейств (-2)2- Доказано, что только семейства Rq допускают непрерывное фокальное изгибание второго порядка с произволом одного параметра. Заметим, что семейство Rl является аналогом конгруэнции і? в Рз-
Основной фундаментальный объект семейства (2)2
На стационарной прямой найдены три инвариантные точки, каждая из которых описывает двумерную поверхность. Любая из этих поверхностей является фокальной поверхностью параболического семейства плоскостей, а каждые две из них суть фокальные поверхности некоторого гиперболического семейства плоскостей (2)2- Совокупность семейства стационарных прямых, трех параболических семейств и трех гиперболических семейств образует конфигурацию F. В 1.5 решена задача о включении заданной поверхности в параболическое семейство ( 2)2 Вторая глава посвящена изучению геометрических свойств конфигурации F. В 2.1 вводится понятие отношения вместимости двух многообразий. Многообразие 9Л находится в отношении вместимости с многообразием 91, если в Рь существует такой репер, в котором оба многообразия определяются одной и той же системой уравнений Пфаффа. Если при этом ПЛ С 9t, то будем говорить, что ЗЯ вмещено В 91. Двупараметрическое семейство стационарных прямых является псевдоконгруэнцией, у которой касательное пространство вдоль луча четырехмерно. Доказано, что такое семейство можно вместить в конфигурацию F. Двупараметрическое семейство стационарных прямых в дальнейшем будем называть псевдоконгруэнцией. В 2.2 находятся такие ограничения на гиперболическое семейство (2)2, ПРИ которых оно может быть вмещено в конфигурацию F. Это семейство обозначается через (2)2 и существует с произволом пяти функций двух аргументов. В 2.3 введено понятие оптимального репера конфигурации F. Оптимальный репер построен на двух параболических семействах и одном гиперболическом семействе (2)2 плоскостей конфигурации F. В этом репере прямая (АіАз) описывает псевдоконгруэнцию; точка А\ является фокусом параболического семейства, описываемого плоскостью (А1А3А4); Аз — фокус параболического семейства с текущей плоскостью (АіАбАз); плоскость (А1А2А3) описывает семейство {Щ)2 с фокусами в точках Аі, А2, A3. Установлено, что любая пара многообразий, составляющих конфигурацию F, находится в отношении вместимости, а псевдоконгруэнция может быть вмещена как в любое параболическое семейство, так и в любое гиперболическое семейство конфигурации F. Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации F изучается в 2.4. Оказалось, что эти семейства связаны между собой преобразованиями Лапласа [25]. В 2.5 построен канонический репер конфигурации F и выяснен его геометрический смысл. В 2.6 введено понятие полной конфигурации F. Для каждой пары фокальных точек прямой (А1А3) существует единственная пара, содержащая третью фокальную точку, которая гармонически разделяет данную пару точек. Вторая пара точек является парой фокусов некоторой плоскости слабопараболического семейства, причем фокальная точка будет двукратным фокусом. Таким образом, с прямой (АіАз) инвариантно связаны еще три плоскости, каждая из которых описывает слабопараболическое семейство. Этими семействами пополняется конфигурация F. Каждое из трех гиперболических семейств конфигурации F имеет шесть первых преобразовании Лапласа, некоторые из которых совпадают. Эти преобразования Лапласа также пополняют конфигурацию JP.
Полученную конфигурацию назовем полной конфигурацией F. Таким образом, полная конфигурация F содержит псевдоконгруэнцию, три параболических семейства, три слабопараболических семейства и восемь гиперболических семейств плоскостей. В 2.7 изучается фокальная три-ткань конфигурации F. Оказалось, что конфигурация F с шестиугольной фокальной три-тканью существует с произволом четырех функций двух аргументов. Третья глава посвящена вопросу проективного изгибания конфигурации F и семейств, составляющих её. В 3.1 и 3.2 рассматривается задача проективного изгибания 1-го и 2-го порядков параболического семейства плоскостей. Оказалось, что любые два параболических семейства плоскостей наложимы изгибанием первого порядка с произволом «2 = 1. А класс параболических семейств, допускающих проективное изгибание второго порядка, существует с произволом «2 = 3. В 3.3 и 3.4 изучается проективное изгибание первого и второго порядков псевдоконгруэнции. Изгибанием первого порядка заданная псевдоконгруэнция наложима на псевдоконгруэнцию любой конфигурации F с произволом S2 = 2. Доказано, что существует с произволом S\ = 2 класс конфигураций F, у которых псевдоконгруэнция допускает изгибание второго порядка. В 3.5 исследуется задача изгибания пары параболических семейств конфигурации JF, которая допускает изгибание только первого порядка с произволом S2 = 2. В 3.6 рассмотрено проективное изгибание конфигурации F. Оказалось, что конфигурация F допускает только проективное изгибание первого порядка с произволом si — 13. В 3.7 установлено, что класс семейств [L\)2i допускающих изгибание ВТОРОГО ПОрЯДКа, Существует С ПРОИЗВОЛОМ 52 = 1. В 3.8 рассматривается особое решение задачи изгибания семейства (2)2- Оказалось, что в особом случае выделяется класс семейств {L\)2 (семейства Щ), существующих с произволом si = 15, которые допускают непрерывное изгибание второго порядка с произволом одного параметра. В 3.9 рассмотрено фокальное изгибание семейств (-2)2- Доказано, что только семейства RQ допускают непрерывное фокальное изгибание второго порядка с произволом одного параметра. Заметим, что семейство Rl является аналогом конгруэнции і? в Рз 1. В пятимерном проективном пространстве Р$ рассмотрим двупара-метрическое семейство 2-плоскостей. В дальнейшем 2-плоскость будем называть плоскостью. Определение. Двупараметрическое семейство плоскостей назовем параболическим, если описывающая его плоскость имеет один трехкратный фокус. Обозначим такое семейство ( 2)2 В Р5 введем проективный репер {Ар}, состоящий из шести линейно независимых точек. Инфинитезимальные перемещения этого репера определим вполне интегрируемой системой дифференциальных уравнений
Вмещение гиперболического семейства (2)2 в конфигурацию F
Данная работа относится к дифференциальной геометрии линейчатых многообразий многомерных проективных пространств. В настоящее время теория конгруэнции прямых и их пар трехмерного проективного пространства представляет классический раздел дифференциальной геометрии и достаточно полно изложена в монографиях С. П. Фи-никова [39, 40]. Одним из возможных направлений в обобщении этой теории является изучение геометрии r-параметрических семейств т-мерных плоскостей и их пар в проективном пространстве Рп. Такие семейства стали предметом научных исследований во второй половине XX века ([4, 13, 20, 25, 29, 30, 32] и другие). Первые обобщения конфигурации Г и расслояемых пар конгруэнции СП.Финикова были сделаны В.И.Коровиным [18], P.M. Гейдель-маном [5], К. И. Дуничевым [11]. Ученики Р. М. Гейдельмана, например, В.С.Фокин [41], М.А.Войтенко [2, 3] ввели обобщение этих понятии в Р4. Заметив, что прямая в Р3 является двойственной сама себе, Г. Н. Макеев поставил задачу обобщения пар Т и расслояемых пар конгруэнции прямых в нечетномерных проективных пространствах. В связи с этим С.Е.Тычинина рассматривала двупараметрические семейства (2)2 плоскостей Ьг в Р5. Семейство (2)2 называется гиперболическим, слабопараболическим или параболическим, если каждая плоскость Ьг имеет три линейно независимых действительных фокуса, два фокуса или один фокус. Пары Т и расслояемые пары гиперболических семейств (Zr2)2 были введены и исследованы С. Е.Тычининой [37, 36], а обобщение пар в Попова сделала Л. Ф. Степанова [33-35]. Эти результаты получили обобщение в пространстве Р2П_і в работах Г.Н.Макеева [26-28]. Им введено понятие семейств -k -u которые являются обобщением семейств (2)23 и пх преобразований Лапласа [25]. В.А.Глуздов изучал слабопараболические семейства (2)2 и их пары в Р$ [6-10]. Дифференциально-геометрические свойства гиперболических семейств (2)2 изучала Т.Б.Жогова [13-15]. Дальнейшие её работы [12, 16, 17] посвящены проективному и коррелятивному изгибанию семейств 2п-1 Л. Е. Куновская в работе [21] рассматривала некоторые свойства параболического семейства (2)2 в 5 Целью настоящего исследования является изучение дифференциальной геометрии двупараметрического семейства плоскостей параболического типа в пространстве Р$. Исследование ведется методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана [38].
Полученные в диссертации результаты являются новыми. На защиту выносятся следующие научные положения и результаты: фокальные свойства параболического семейства плоскостей; построение конфигурации F на базе параболического семейства плоскостей; включение заданной 2-поверхности в параболическое семейство плоскостей; связь между геометриями параболического семейства плоскостей и псевдофокального семейства прямых в Р$\ геометрические свойства конфигурации F; полная конфигурация F] проективное изгибание элементов конфигурации F; проективное изгибание конфигурации F. Диссертационная работа носит теоретические характер. В ней построена достаточно полная проективно-дифференциальная теория семейств плоскостей (Ll)2 параболического типа пространства Р$. Результаты, полученные в диссертации, открывают возможность провести классификацию семейств ( 2)2 по ЧИСЛУ фокальных точек стационарной прямой текущей плоскости семейства, выяснить роль фокальных точек при изучении геометрии гиперболических и слабопараболических семейств плоскостей, а также геометрии пар Т и расслояемых пар этих семейств. Полученные в диссертации результаты могут ис пользоваться при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии семейств плоскостей многомерных пространств и написании дипломных работ по геометрии. Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции молодых ученых Горьковской области (1980); на IX, X, XI, XII Международных конференциях серии "Женщины-математики" в Чебоксарах (2001, 2004), Ростове-на-Дону (2002) и Воронеже (2003); на Всероссийской научно-практической конференции в Нижнем Новгороде (2002); на VIII Международной конференции серии "Нелинейный мир" в Астрахани (2003); на научных семинарах по дифференциальной геометрии в Московском железнодорожном институте (рук. проф. Р. М. Гейдельман), в Московском институте стали и сплавов (рук. проф. М.А. Акивис), в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.М.Васильев), в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (рук. проф. В. А. Иго-шин) и неоднократно на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, приведенных в конце диссертации. Соавторов нет. Приведем краткий обзор содержания диссертации. Первая глава посвящена изучению дифференциальной геометрии параболических 2-семейств плоскостей в Р$, которые обозначим через В 1.1 к рассматриваемому семейству плоскостей присоединяется многообразие реперов 1-го порядка, определяются инвариантные образы, связанные с семейством (- 2)2 изучаются фокальные свойства этого семейства, доказывается теорема существования (- 2)2 В 1.2 введено понятие внутренней корреляции на семействе (2)2 которая дает возможность исследовать инвариантные двойственные образы многообразия и выяснить геометрический смысл репера 1-го порядка. Семейство (L\)2, как точечное многообразие, представляет собой гиперповерхность 5 с плоскостной образующей L\. Оказалось, что в плоскости L\ существует единственная прямая, вдоль которой касательная гиперплоскость к гиперповерхности S\ стационарна. Эта прямая проходит через фокус и называется стационарной. В 1.3 установлено, что третий фундаментальный объект семейства (2)2 является основным, а четвертый — полным [22]. В 1.4 продолжено изучение геометрических свойств семейства (--2)2
Канонический репер конфигурации F
Отнесем конфигурацию F к реперу 2-го порядка. Тогда будут иметь место уравнения (2.22), (2.29). Продолжая эту систему уравнений Пфаффа, получим уравнения (2.34), (2.35). Условимся, что индексы j, к = 1,3, j ф к. Продифференцировав внешним образом уравнения (2.34), (2.35), получим Продифференцировав это выражение по вторичным параметрам, получим в силу (2.28), (2.51) Отсюда следует, что равенство достигается путем канонизации репера с помощью вторичной формы 0 4 Аналогично, можно считать, что за счет вариации вторичной формы о . Геометрический смысл заключительной канонизации репера состоит в том, что точки М4 и MQ будут являться фокусами плоскостей соответственно с фокальными направлениями Репер 2-го порядка конфигурации F, для которого выполняются условия (2.52), (2.53), (2.56)-(2.58), является каноническим репером конфигурации F. В силу теоремы 2.8 следует, что канонический репер конфигурации F является каноническим репером и для параболического семейства плоскостей (А1А3А4), и для псевдоконгруэнции (псевдофокального семейства прямых), и для семейства (- 2)2 Таким образом, доказана Теорема 2.10. Третий фундаментальный объект является основным, а четвертый — полным и для параболического семейства плоскостей, и для псевдоконгруэнции, и для семейства (- 2)2 Чтобы получить замкнутую систему уравнений канонического репера конфигурации F, нужно конечные уравнения (2.53), (2.56)-(2.58) присоединить к уравнениям (2.22), (2.29), (2.34), (2.35). Уравнения (2.56) удобно разрешить, полагая Продифференцировав эти уравнения обычным образом, получим где где Hi, Щ, Н4, Щ — некоторые известные скалярные функции, которые мы не выписываем. Так как Ъ = 1, то в уравнениях (2.50) Замкнутая система уравнений (2.22), (2.29), (2.34), (2.35), (2.50), (2.52), (2.53), (2.57)-(2.61) определяет канонический репер конфигурации F. Заметим, что заключительную часть канонизации репера можно провести следующим образом: функции Ь45 К, Ъ привести к нулю за счет вторичных форм ш\, ш\, и}\ соответственно.
В этом случае квадратичные уравнения (2.50) принимают наиболее простой вид и дают возможность, применяя лемму Картана, найти разложения форм Достаточно простой вид будут иметь разложения (2.33), т.к. форму о 2 — 5 сделать главной не представляет труда. Всё это можно проделать, если имеется необходимость знать полный фундаментальный объект конфигурации F. 1. Используя преобразования Лапласа, мы указали взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации F. В оптимальном репере семейство (2)2 занимает особое положение — оно включено в репер. Остальные гиперболические семейства плоскостей конфигурации F являются надлежащими первыми преобразованиями Лапласа семейства (Ll)2. Но семейство (2)2 имеет шесть первых пре образований Лапласа, которыми естественно пополнить конфигурацию F, тем более, что некоторыми из них мы пользовались при канониза ции репера. Итак, отнесем конфигурацию F к каноническому реперу и пополним её гиперболическими семействами плоскостей (2.54). 2. Из уравнений следует, что прямая (А\А±) является фокальной прямой плоскости (Л1А3А4), а прямая (А3А6) — фокальной прямой плоскости (Л3А1Л6), каждая из которых описывает параболическое семейство. Рассмотрим преобразование Лапласа (1,3) семейства ( 2)2- ак как прямой Лапласа фокуса А\ является прямая АгМ , то формулы (2.48), определяющие фокусы преобразования Лапласа, не справедливы. Напомним, что точки М± и MQ являются фокусами плоскостей гиперболических семейств По определению, имеем Если и \ = 0, то ж2 = 0, ж4 = 0 и точка .А і есть фокус плоскости (А1А2М4) с фокальным направлением = 0, что следует и из первого уравнения (2.62). Если ш\ = 0, то является фокусом плоскости (А1А2М4) с фокальным направлением U)\ = 0. Наконец, если ш\ = 0, то и точка является фокусом плоскости (А1А2М4) с фокальным направлением w4 = 0. К такому же результату приводит преобразование Таким образом, фокальная прямая (AiA4) плоскости (А 1А3А4) параболического семейства инцидентна плоскости (А1А2М1), описывающей гиперболическое семейство, получающееся преобразованиями Лапласа (2.63) или (2.64). Аналогично, через фокальную прямую (АзАб) плоскости (А3АіАб) параболического семейства проходит плоскость (АзАгМб), которая описывает гиперболическое семейство, причем Фокусы этой плоскости находятся в точках соответственно с фокальными направлениями Рассмотрим третье параболическое семейство плоскостей конфигурации F. Это семейство описывается плоскостью
Изгибание 1-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации F
Конфигурацию F отнесем к оптимальному реперу, определяемому системой уравнений Пфаффа (2.22). Выпишем эту систему В дальнейшем будем считать, что по индексам i,j суммирования нет и они не принимают равных значений, если находятся в одном и том же математическом выражении. Продифференцировав внешним образом уравнения (3.28), (3.29), получим (3.32) 06 = wj — а; — а; + а . Пусть произвольное двупараметрическое семейство прямых отнесено к реперу {Вр}, введенному в 3.1 так, что прямая [В\В ) описывает это семейство, за независимые формы которого примем формы Q\ и Q. Рассматривая проективное преобразование П, переводящее репер {Вр} в репер {-Вр}, совпадающий с репером {Ар} так, что Вр = Ар, получим равенство которое характеризует аналитическое касание 1-го порядка прямых {B\Bz) и (А\Аз). Отсюда находим и уравнения (3.34), (3.35). Заметим, что система (3.33) в силу (3.28) равносильна системе уравнений Продифференцировав внешним образом уравнения (3.35), получим Из уравнений (3.34), (3.35), (3.29) имеем следствием уравнения Сравнивая систему уравнений (3.33), (3.37) с системой уравнений (2.8), заключаем, что прямая (В1В3) описывает псевдофокальное семейство, т. е. псевдоконгруэнцию. Покажем, что эта псевдоконгруэнция может быть задана произвольно. Действительно, внешним дифференцированием уравнений (3.33), (3.37) находим Замкнутая система уравнений (3.33), (3.37); (3.37a) определяет псевдоконгруэнцию (В\В$). Эта система содержит q = 11 искомых форм: изгибание 1-го порядка семейств (АіАз) и (В\В$) никаких ограничений на эти семейства не накладывает, т. е. они могут быть заданы произвольно. Заметим, что в замкнутой системе уравнений (3.33), (3.37); (3.37а) формы 0,2 и Oj являются вторичными. Замкнутая система уравнений (3.28)-(3.31), (3.33), (3.35)-(3.37), (3.37а) (большая система) определяет псевдоконгруэнции (АіАз) и (Ui-Вз), находящиеся в отношении проективного изгибания 1-го порядка. Возьмем одно решение системы (3.28)-(3.31) и одно из решений системы (3.33), (3.37), (3.37а;). Внесем эти решения в большую систему.
Тогда все уравнения большой системы, кроме уравнений (3.35), (3.36), обратятся в тождества. Система (3.36) содержит q = 4 искомые формы Легко показать, что замкнутая система уравнений (3.35), (3.36) находится в инволюции с характерами si = 2, S2 = 2. Таким образом, справедлива Теорема 3.3. Любая псевдоконгруэнция наложима проективным изгибанием 1-го порядка с произволом двух функций двух аргументов на псевдоконгруэнцию любой конфигурации F. Для дальнейшего исследования необходимо иметь замкнутую систему системы уравнений (3.33а)-(3.35). Дифференцируя внешним образом эти уравнения, получим уравнения (3.36) и уравнения 3.4. ИЗГИБАНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА ПСЕВДОКОНГРУЭНЦИИ КОНФИГУРАЦИИ F Для изучения изгибания 2-го порядка псевдоконгруэнции прямых (АіАз) нужно к системе, определяющей изгибание 1-го порядка, присоединить уравнения, вытекающие из равенства Из уравнений (3.36), (3.38) и (3.40) следуют уравнения Пфаффа, которые мы запишем в порядке, удобном для исследования. Отсюда в силу уравнений (3.42) следует Без ограничения общности можно считать, что и, следовательно, получим систему уравнений Заметим, что если рассматриваемую систему, определяющую изгибание 2-го порядка псевдоконгруэнции прямых, замкнуть, то получим систему, не находящуюся в инволюции. Поэтому сделаем частичное продолжение системы. Из четырех квадратичных уравнений (3.30) рассмотрим два: Раскрывая эти уравнения по лемме Картана, получим соответствующие уравнения (2.25), их внешние дифференциалы (2.27), а из обозначений (2.28) следует, что функции /3 , (3\ приводятся к нулю. Таким образом, Тогда уравнения (3.44) примут вид внешним образом уравнения (3.41), (3.47), получим где теперь Заметим, что вторичные формы ш\ и ш\ стали главными за счет канонизации репера, т.е. частичное продолжение корректно. Внешним дифференцированием уравнений (3.48) находим Последнее уравнение преобразовано при помощи двух предшествующих уравнений. Наконец, внешнее дифференцирование уравнений (3.45) приводит к уравнениям Замкнутая система уравнений (3.28), (3.29), (3.33)-(3.35), (3.41), (3.43), (3.45)-(3.48); (3.30), (3.31), (3.49)-(3.52) содержит q = 25 искомых форм: Напомним, что среди уравнений (3.30) осталось только два уравнения при г = 2. Применяя к уравнениям (3.30), (3.49) лемму Картана, получим
