Введение к работе
Актуальность теин. Тема диссертации относится к активно развивающемуся направлению, связанному с изучением бесконечномерных пространств, возникающих в дифференциальной геометрии. Примерами таких пространств служат группы диффеоморфизмов гладких многообразий, пространство векторных полей, пространство римзновых метрик, пространство комплексных и почти компленсных структур, пространство связностей в главном расслоении.
Первой работой по изучению пространств отображений одного конечномерного многообразия в другое и пространств сечений гладкого расслоения является работа J. Eels і ass г. [ie].
. В 1966 г. В.И.Арнольд ввел в рассмотрение группу Я гладких диффеоморфизмов многообразия М, сохраняющих элемент объёма м In], и показал, . что геодезические на группе » представляют собой потоки идеальной несжимаемой жидкости. Эта работа в значительной мере стимулировала изучение групп диффеоморфизмов.
Являясь естественными аналогами функциональных пространств, данные пространства отображений и сечений существенно нелинейны <специфика имеется и в самой природе элементов этих пространств). Поэтому анализ таких пространств потребовал кроме определения топологии, введения локальных карт [і], [19]. Дополнительные сложности возникают в связи с тем, что пространства гладких отображений имеют структуру многообразий Фреше. Выход-был найден Х.Омори в 1970 г. Он определил [20 - 21] на группе диффеоморфизмов, так называемую структуру ilb-
Х.Омори - показал, что ii-н-группы диффеоморфизмов, действующие на многообразии И транзитивно и примитивно могут быть только следующими: вся группа 2)
диффеоморфизмов. Группы из перечисленного списка принято называть классическими группами диффеоморфизмов. Они заслуживают всестороннего изучения.
Развивая идеи В.И.Арнольда, Д.Эбин и Дж.Марсден в работе [а] провели основательное изучение группы 25 и её связи с гидромеханикой. Ими была определена риманова связность на группах Я и 2> и доказано, что геодезические на 2>р существуют на малом промежутке времени и представляют собой потоки идеальной несжимаемой жидкости.
Одновременно с развитием теории групп диффеоморфизмов шло изучение других бесконечномерных многообразий, а именно -пространств сечений расслоённых пространств [і]. Из лих наиболее интересными с геометрической точки зрения являются пространство Ж всех римановых метрик на И и пространство зі почти комплексных структур на if.
Первой значительной работой, посвященной изучению пространства Ж римановых метрик на компактном многообразии. U является работа Д.Эбина [і5]. В ней получены результаты, лежащие в основе изучения пространства Ж и действия на Ж
ГРУППЫ ДИффеОМОрфИЗМОВ.. В 1986 Г.D.Freed И D. Groisser НЭШЛИ .
[17] выражение тензора кривизны на Л и вид геодезических на Ж.
Предлагаемая диссертационная работа посвящена изучению геометрии групп диффеоморфизмов и ассоциированных. метрик «метрик, согласованных с дополнительно заданной симплектической или контактной структурой на многообразии М>,
Актуальность темы объясняется как гидродинамическими приложениями групп диффеоморфизмов, так.и их большой ролью в геометрии и физике. Важное значение групп диффеоморфизмов в дифференциальной геометрии обусловлено тем, что они естественным образом действуют на тензорных полях в виде замен переменных и в частности, они действуют на пространствах римановых метрик и почти комплексных структур. При этом фактор-пространство Ж/% представляет собой множество классов изометричных многообразий. Поэтому изучение пространства Ж и фактор-пространства Ж/2) является важной задачей ..римановой геометрии..Столь же актуальным является изучение пространств метрик на U с дополнительной структурой «например, симплектической или контактной». В этом случае класс метрик
сужается до пространства &Ж ассоциированных метрик а сответствувдее фактор-пространство &Л/Ъш служит естественным с дифференциально-геометрической точки зрения многомерным аналогом пространства Тейхмюллера.
Цель работы состоит в получении результатов многомерной гидродинамики с использованием групп диффеоморфизмов, в изучении аналогов уравнений гидромеханики, полученных как уравнения Эйлера на алгебрах гамильтоновых и контактных векторных полей, в получении результатов по геометрии классических групп диффеоморфизмов, в изучении их действия на пространствах ассоциированных метрик и построении дифференциально-геометрической теории пространств ассоциированных метрик на компактном многообразии.
Методика исследований. При выполнении работы использовались дифференциально-геометрические методы.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, шляются новыми. В первой главе работы изучаются классические группы диффеоморфизмов. Показано, что группа 0 является подходящим конфигурационным пространством для гидромеханики идеальной баротропной жидкости. Найдена серия законов сохранения и получена.формула секционных кривизн одной слабой римановой структуры на Я, возникающей при механической интерпретации группы 2).
Аналогичные результаты установлены для группы 2> . Особо рассмотрен случай трехмерного многообразия й3. Показано, что группа 2 <1Ґ> имеет биинвариантную квадратичную форму и исследованы её свойства.
Для группы S точных симплектических диффеоморфизмов построена биинвариантная слабая риманова структура. Найдено уравнение Эйлера на алгебре Ж гамильтоновых векторных полей, получена серия законов сохранения, дано описание геодезических правоинвариантной римановой структуры на . Получена формула секционных кривизн группы S, которая затем применяется для вычисления секционных кривизн группы симплектических
диффес.уорфизмов тора TZq и сферы S2.
Аналогичные результаты установлены для группы 2)9 точных контактных диффеоморфизмов.
В конце главы показано, что группа 2> диффеоморфизмов,
- sr-
сохраняющих элемент объёма м и ненулевое векторное поле X является iLH-групшй Ли.
Во второй главе изучаются пространства римановых метрик и почти комплексных структур.
На пространстве Л римановых структур на многообразии U определён, ряд новых слабых римановых структур, для них установлены формулы ковариантной производной, тензора кривизны, секционной кривизны, геодезических.
Затем изучаются пространство &ш ассоциированных почти комплексных структур и пространство &Ж ассоциированных метрик. Данные пространства обладают тремя важными преимуществами: і > они "меньше" пространства А всех римановых метрик и пространства ' sf всех почти комплексных структур, соответственно, и допускают хорошее описание; 2) использование почти комплексных структур и их большая гибкость по сравнению с комплексными структурами, дает возможность применения при исследованиях дифференциально - геометрических методов; 3> имеется естественное соответствие мевду ассоциированными метриками и почти комплексными структурами.
Получена серия ортогональных ортогональных разложений типа разложений Берже - Эбина пространства S2 симметричных 2-форм и пространства S2A. антиэрмитовых симметричных 2-форм.
Найдены формулы секционных кривизн пространства э$Ж и фактор-пространства s&K/S. Полученные результаты применяются для конкретного вычисления секционной кривизны пространств &М и &&/3 в случае, когда многообразие И является двумерной сферой Sz, либо тором 2*.
Аналогичные факты установлены для группы Ъ% точных контактных диффеоморфизмов.
В конце "главы показано, что аналогом свойства зйнштейновости в случае ассоциированных метрик на симплектическом многообразии является свойство эрмиговости тензора Риччи и постоянства скалярной кривизны.
Отметим, что пространствам ассоциированных метрик посвящено лишь несколько работ Д.Блэра <см. например [із-і4]>, где показано, что критические ассоциированные метрики имеют эрмитов тензор Риччи.
Практическая значимость. Работа носит теоретический
-Є-
характер. Ее результаты могут служить основой для дальнейшего изучения групп диффеоморфизмов и пространств метрик, как в дифференциальной геометрии так и в смежных областях математики. Отдельные параграфы могут быть использованы для разработки и чтения спецкурсов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах: кафедры математического анализа КемГУ, кафедры геометрии и топологии НГУ, кафедры геометрии Казанского университета, кафедры высшей геометрии и топологии МГУ, кафедры дифференциальной геометрии и приложений МТУ, топологическом семинаре МГУ, отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН; на Всесоюзной Школе по теории функций, посвященной юо-летию со дня рождения академика Н.Н.Лузина; на Всесоюзных Школах "Оптимальное управление. Геометрия и анализ", г. Кемерово, в ювб, 1988, 1990 годах; на "Понтрягинских чтениях ", г. Воронеж, 1ээз г. и 1994 г.; на международной конференции "Лобачевский и современная геометрия", г. Казань, 1992 г-, на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике, посвященной памяти лауреата Нобелевской премии Л.В.Канторовича, 1994 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 статьях и 4 тезисах.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из і7і наименования. Объем работы -3U страниц.
