Дифференционально-геометрические методы интегрирования систем гидродинамического типа Царев, Сергей Петрович

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория ортогональных криволинейных систем координат составляет одну из замечательных страниц классического периода развития дифференциальной геометрии, написанную такими блестящими ее представителями, как Г. Дарбу, Л. Бьянки и др. Ее создание было инициировано иследованиями Г. Ламе по разделению переменных в уравнении A U = О и в дальнейшем дало толчок к изучению более общих координатных систем (системы с сопряженными координатными линиями). Период бурного развития локальной дифференциальной геометрии закончился в первой половине нашего столетия, и интересы специалистов сместились в сторону изучения глобальных свойств, хотя отдельные математические коллективы продолжали исследование локальных вопросов дифференциальной геометрии (достойны упоминания работы

МОСКОВСКОЙ, КазаНСКОЙ, ТОМСКОЙ ШКОЛ, беЛЬГИЙСКОЙ - A.Deitiou-lin, F.Backes, РУМЫНСКОЙ - G.Tzitzeica). МНОГИв ГЛубОКИЄ

результаты, достигнутые в данной области, были практически забыты.

Ситуация изменилась в начале 80-х годов после работ Б.А.Дубровина и С.П.Новикова по гамильтонову формализму систем гидродинамического типа, т. е. систем квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка вида

t.

Благодаря полученной ими геометрической интерпретации коэффициентов 9 J (и) соответствующего гамильтонова оператора

cS-x ' tzj "* *""' ""*

_{№=?(*)<* +±<*fr)u* ,}

(2)

как коэффициентов римановой метрики нулевой кривизны естественно появилась связь с теорией криволинейных систем координат в плоском (возможно, псевдоевклидовом) пространстве. Локальное изучение здесь естественно для гладких решений (1) в силу возможного появления разрывов в решениях с гладкими начальными данными ("ударные волны"), хотя глобальное поведение решений после появления разрывов несомненно, интересно в прикладных задачах и начало изучаться в классических работах по газовой динамике начиная со второй половины прошлого века. Среди физически интересных систем вида (1), обладающих описанным Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым

гамильтоновым оператором (2) с были

известны уравнения Уизема (усредненные уравнения Кортевега-де

Фриза), уравнения Бенни (описывающие распространение длинных волн на мелкой многослойной жидкости). Они обладают свойством диагонализируемости: при подходящем выборе переменных К¹ внедиагональнке коэффициенты матрицы системы (1) обращаются в

0. Как легко показать, при этом также Q (и)~ 0 при < ^J. , т.е. мы имеем диагональную невырожденную (возможно, знаконеопределенную) метрику нулевой кривизны, что, очевидно, эквивалентно заданию ОРТОГОНАЛЬНОЙ криволинейной системы координат в соответствующем плоском пространстве. Выявляющаяся при этом связь с упомянутой выше дифференциально-геометрической теорией таких координат позволила автору проинтегрировать системы уравнений Уизема, Бенни и уравнений идеальной хроматографии и электрофореза. При этом была найдена современная интерпретация старых результатов, которая подчас раскрывает их с неожиданной стороны. Так, оказалось, что некоторые изучавшиеся в 70^х-80^х годах интегрируемые уравнения в частных производных оказались (в других терминах) уже в начале века известными и проинтегрированными! Кроме общеизвестного примера уравнения sine-Gordon упомянем более "свежие": работы Л. Бьянки (соответствуют системе уравнений 3-волнового резонансного взаимодействия) и Г. Цицейки (проинтегрировано уравнение и. - и = е^и - є"²" ).

tt XX

Новую жизнь в теории интегрируемых систем получат работы Л. Эйзенхарта, К. Гишара и др. по теории сопряженных сетей - им соответствуют полугамильтоновы диагональные системы вида (1), т.е. системы, в которых соответствующая диагональная метрика имеет некоторые ненулевые компоненты тензора кривизны (см. ниже точное определение).

Тем самым развиваемая в диссертации геометрическая теория интегрируемых систем типа (1) (как и некоторых других видов систем) делает актуальными как классические области

локальной дифференциальной геометрии, так и находит непосредственное применение в современной теорий интегрируемых систем уравнений с частными производными.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение свойств интегрируемости систем гидродинамического типа. Исследование связи теории криволинейных ортогональных и сопряженных систем координат и теории диагонализируемых и недиагонализируемых интегрируемых систем гидродинамического типа.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ использует идеи и конструкции классической дифференциальной геометрии и современной теории интегрируемых систем уравнений в частных производных.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. В работе получены следующие основные результаты:

1. На основе геометрического гамильтонова формализма Б.А.Дубровина и С.П.Новикова построена теория интегрируемых диагональных гамильтоновых и полугамильтоновых систем гидродинамического типа (1).

2. Для соответствующих физически интересным. примерам систем (1) криволинейным ортогональным системам координат Егоровского типа найдено семейство преобразования Комбескюра, позволяющее с помощью найденной автором обобщенной формулы годографа строить решения соответствующих физических систем

(уравнений Уизвмя, уравнений Кении). Доказана полнота

найденного семейства.

3) Доказана инвариантость гамильтонова формализма
гидродинамического типа . при допустимых линейных заменах
независимых переменных (пространственной и временной

переменной), построена гамильтонова структура стационарных уравнений идеальной гидродинамики.

4) Даны приложения классической теории ортогональных и сопряженных систем координат к построению новых интегрируемых (недиагонализируемых) систем типа (1).

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и обоснованы строгими математическими доказательствами. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут найти приложения в теории криволинейных систем координат, теории интегрируемых, систем.

АПРОБАЩИ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на геометрических семинарах МГУ и МИРАН, на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского Математического общества (1990, 1993 гг.), различных международных, всесоюзных и всероссийских конференциях по геометрии и математической физике (конференции "Современный групповой анализ", Баку, 1988 г., Красноярск, 1989 г., Уфа,

1990 Г. ; NATO ARW "Singular Limits and Dispersive Waves", Lyon, France, 8-12 July, 1991, NATO ARW "Applications of analytic and geometric methods to nonlinear differential equations", 14-19 July 1992, Exeter, UK). По результатам

диссертации прочитаны курсы лекций в Высшей Нормальной Школе г. Лион (Франция, 1991), в университете Билькент (Турция, 1992).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[15], список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трех глав,, заключения, приложений и списка литературы. Общий объем диссертации^ 0 ^ стр., библиография содержит {SB 'наименований.

Во ВВЕДЕНИИ дан краткий обзор работ по теме диссертации^ излагаются основные результаты диссертации и ее структура.

В ГЛАВЕ 1 строится геометрическая теория интегрирования диагональных систем вида (1), называемых впоследствии одномерными диагональными системами гидродинамического типа. Как показали Б.А.Дубровин и С.П.Новиков¹, оператор (2) с

dUA-l^J 1^0 гамильтонов, если и только если

а) 1 ^'^--9 I для коэффициентов Кристоффеля
симметричной связности, согласованной с 4fcj ^^u)j~ iP^^Jj

б) тензор кривизны K,'_f^ метрики Чл(ь) тождественно

обращается в 0.

Тем самым система (1) с гамильтонианом гидродинамического

типа Н- J ^i( ^ц 'V; }& (y/Jcf-x имеет матрицу

-^удем-называтъ-^акие-матрицы-рамильтоновыми^

'Дубровин Б. А., Новиков СП. // ДАН СССР, 1983, Т. 270, №4. 781-785.

лемма l.l..

Для того, чтобы матрица if- (и) была гамильтоновой, необходимо и достаточно существование невырожденной. метрики нулевой кривизны Я, :(н)', такой,, что

к б) 7- V * г: У,- У- _t- , где ^⁷ - ковариантное

дифференцирование, порожденное метрикой ^ії

Как легко видеть, из пункта а) леммы в случае диагональной гамильтоновой системы

(т.е. (1) с '^у - if- f«Aj j ^ * ^-. при / -^/ )

вытекает диагональность метрики. ,(Всюду в дальнейшем по повторяющимся индексам суммирование не производится, если не оговорено противное!). Пункт б) влечет

V; - V ,

(4)

' =V * ^ (5)

для любой диагональной гамильтоновой системы (3).

Определение. Диагональная система вида (3) называется полугамильтоновой, если ее коэффициенты z (ц) различны в некоторой области параметров U.^K и при' И> удовлетворяют

(5). Для ^п і 3. всякая гиперболическая система (1) будет считаться полугамильтоновой по определению.

Как доказывается в главе 1 (Теорема 1.1), любая полугамильтонова система обладает бесконечным числом законов

сохранения в инволюции

(их плотности удовлетворяют совместной системе

тлеющей произвол в решении в П- функций одного переменного) и бесконечным числом комутирующих потоков того же вида

с коэффициентами г<Г. (и) , удовлетворяюшими

Ъ «Г, = Г^ (и)(ъГ.-ЧУ_к) , ГФЬ. ₍₈)

Определение. Будем называть линейное инволютивное семейство гидродинамических интегралов полным в точке \^и\ ("х)\ фазового пространства, если для любой вариации о и ¹ С*) ,

такой, что I Г= f > Я' Н«. Ы) *«^С W <(* = ^

для каждого интеграла .L данного семейства, существует один

из них - ./ (с плотностью ( (и) ) - такой, что ^й к (*)

является вектором гамильтонова потока, порожденного 1 _f в точке w₀' CxJjT-e.

d'-f ^y^

Для конечномерных гамильтоновых систем в с( h,- -мерном фазовом пространстве это определение эквивалентно наличию П-интегралов в инволюции (полнота по Лиувиллю).

Теорема 1.3.

Линейное семейство гидродинамических интегралов диагональной гамильтоновой системы (с попарно различными тУ- (и) л невырожденной метрикой) найденное в Теореме 1.1, полно в точках I С(^к_д Сх)г, таких, что для всякого с ~ ^ - _, ^

а) функция и^(-х) принимает любое значение не более чем
дважды (на периоде т, если рассматривается пространство
периодических функций) и

б) если (иІ)^, (\) - О , то (иУ_к/ъ)*0-

Аналогичный результат верен для полугамильтоновых систем (Теорема 1.2).

Внешне неожиданный факт состоит в том, что формулы (6), (8) догут быть найдены ( в несколько других обозначениях) в Ш1гв Г.Дарбу². Уравнениям (6) удовлетворяют плоские координаты зоответствующей ортогональной системы координат (но не только они). Соответствующий симметрпям (7) геометрический :0ъект представляет собой пару ортогональных систем координат з одном и том же плоском пространстве JK с касательными к <оординатным линиям, параллельными в соответствующих точках. Іодобньїе пары координатных систем называются связанными

" G.Darboux, Leqons sur les systemes orthogonaux et les roordonnees curvilignes, Paris (1910).

преобразованием Комбескюра.

Далее, любое решение, W

полугамильтоновой

системы может быть получено в окрестности точки общего

положйения как решение системы

чГ_с (и) = 1\- (ц) -tf-X, <'=/,.. -_} П,

где ~ и X параметры (Теорема 1.4). Тем самым задача интегрирования диагональной (полу)гамильтоновой системы соответствует задаче нахождения полного набора преобразований Комбескюра для данной ортогональной системы координат. Эта задача изучалась в книге Г.Дарбу, однако ее полное решение возможно лишь при дополнительных предположениях, которые выполнены для упомянутых выше физических примеров. Именно, как доказано в Теоремах 1.5, 1.6 ( 1.2), 1.8 - 1.9 ( 1.3), если изучаемая диагональная гамильтонова система инвариантна относительно преобразований Галилея и ее коэффициенты однородны (естественное предположение для физических систем), мы можем явно найти все преобразования Комбескюра для соответствующей ей ортогональной сисеме координат, т.е. симметрии и- решения системы. Соответствующий специальный класс диагональных плоских метрик характеризуется соотношениями Я' #fct ~ ^ Ь'^{{ (и}) > ⁹< " Ъ/9и^ ¹¹ ^ Ясс -Р/ Ч~* ~ У-г -/--: ^ ^V . Он также изучался г.Дароу под именем ".горовских систем координат". Шгизучешш посвящена магистерская диссертация Д.Ф.Егорова "Об одном классе ортогональных систем" (1901)³. Построение полного ³ см. Егоров Д. Ф. Работы по дифференциальной геометрии. М. : Наука, 1970.

набора преобразований Комбескюра для соответствующих уравнениям Уизема и Бенни Егоровских систем координат приводится в 1.2, 1.3. Показано наличие третьей локальной гамильтоновой структуры редукций Захарова уравнений Бенни как следствие ее однородности (Теорема 1.11, 1.3). Завершается первая глава построением дополнительных к полному набору гидродинамических интегралов высших интегралов и симметрии, включающих производные и _т ы'_хх _,...₇ для уравнений Бенни и Уизема.

ВТОРАЯ ГЛАВА диссертации посвящена изучению свойств гамильтоновости и диагональное при различных преобразованиях множества независимых переменных. В первом параграфе изучаются преобразования гамильтоновых структур гидродинамического типа при замене местами пространственной и временной переменной ОС и t . В простейшем случае исходной системы (1) с оператором (2) верна

Лемма 2.1 . Пусть Vjfa)-" ^п- обратимая гамильтонова

матрица, где V - связность нулевой кривизны, индуцированная

невырожденной метрикой , Av . Тогда обратная к if- (и)

матрица также гамильтонова: (ії~у,- - ^ ^J *^х .где

V - связность нулевой кривизны, индуцированная метрикой

^t'- - ^^r, ffbt J . а гамильтониан 4 (^UJ является

преобразованием Лежандра исходного гамильтониана

рассматриваемого в плоских относительно $_с- координатах.

Ь качестве следствия пилу чаем

Теорему 2,1 . При любых допустимых заменах (~t_} ъ.) —?> __-, fcft-f tfx. . С t ~* d*"*-) независимых переменных гамильтонова система гидродинамического типа (1) (с невырожденной метрикой) перейдет в гамильтонову систему того же типа.

Замена считается допустимой, если после нее получа
ющуюся систему можно разрешить относительно производных U'.
Однако интересные для приложений случаи не всегда
удовлетворяют предположению в (2). Тем

не менее, как доказывается в Теореме 2.2, гамильтоновость сохраняется при любой допустимой замене в ЛЮБОЙ гамильтоновой

эволюционной системе U = F (У; У у j ) , обладающей

импульсом - функционалом 1 ~ V Pi Uj ) <* ^

порождающем относительно исходной гамильтоновой структуры

поток и^с - и ^ -Но возникающие при этом гамильтоновы

структуры могут быть нелокальными. В данном парграфе разбираются интересные с точки зрения приложений примеры, для которых можно найти локальную гамильтонову структуру после замены Эс <г-> ~t . Таковы уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости

ч_х +1^ — О записанные в виде "эволюционной по "Х- " системы

ц_х ~ - a^ О)

(результат верен и для Оаротропной сжимаемой жидкости) и уравнение КдФ ц - ^ци^ — Ux-^-x ^{в вцде}

.^ - ^ (10)

Для последней системы найдены две локальные неоднородные гамильтоновы структуры гидродинамического типа, соответст-

вующие операторам Захарова-Гарднера Д - —-.— и Магри

'о U-x:

4 - - ^ v d <)с/

(2") /tV? ^ ^7>Г ⁺ ,/ ^ Д^ля стационарных

случаев систем (9) h (10) ( т.е. при t< - г^г - if - p_t =. ) также получаем гамильтоновы структуры, при этом для стационарных уравнений КдФ можно построить бесконечное их число (они соответствуют нелокальным гамильтоновым структурам исходного уравнения КдФ).

Во втором параграфе главы 2 классифицированы диагонэли-зируемые случаи усредненных обобщенных уравнений КдФ

ц - ((ц)У-х - ^сУхху ^ПР^!І произвольной функции (и) Процедура однофазного усреднения⁴ применима к этому уравнению и дает систему вида (1) с тремя уравнениями. Ее гамильто-новость была доказана Б.b Дубровиным и С.П.Новиковым¹.

⁴ G.B.Whitham Nonlinear dispersive waves // Proc. Royal Soc. London, 1965, V. A139, p. 283-291.

Теорема 2. 4. Среди гамильтоновых систем гидродинамического типа,

полученных усреднением уравнения U ~ j[ ^) Ч_х- ^х^х

с произвольной достаточно гладкой функцией диагонализируемы лишь системы, соответствующие случаю ґ~ - ри*і-рЦ-(-Ч. ( />,,*? -константы, p^J^ $^л ^ О ). Ввиду се р ь езных вычислительных трудностей при доказательстве теоремы использовалась система аналитических

ВЫЧИСЛеНИЙ REDUCE.

Аналогично в том же параграфе находятся диагонализируемые случаи уравнений хроматографии

где V_c - скорость движения газа-носителя, U ^l= и¹ faij

- концентрация t -й компоненты смеси в газе-носителе, йЧ¹;)- концентрация сорбированной 6-й компоненты ("изотерма сорбции"). Кроме классической изотермы Ленгмюра

a¹'fa) -

выделены следующие физически интересные классы изотерм: 1. Изотерма Ленгмюра с учетом диссоциации

,0*%

a^Lfa)-=

/+ ±L (Г_Р «У

_4^ї

2. Экспоненциальная изотерма:

4* Ж: о/е'хр (Г_?и<>)

изотерма

а*(«) -

Г,и'

и степенная изотерма (многокомпонентное обобщение степенной изотермы Фрумкина О. Си) — Г U ^ )'

'/7 /Г w^

( о/ 6 >? /р ~ произвольные постоянные ).

У? /г ' Полугамильтоновость полученных диагональных систем вытекает

из следующего результата:

Утверждение 2. 1.

Диагональная система уравнений гидродинамического типа (3), обладающая At- линейно независимыми законами сохранения гидродинамического типа, является полугамильтоновой.

Третий параграф посвящен изучению конечнопараметрических редукций квазилинейных систем с бесконечным числом уравнений на примере "уравнений моментов"

(эквивалентных полной системе уравнений Бенни). Показана полугамильтоновость и диагонализируемость получающихся

редукций.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ изучаются некоторые недиагонализируемые интегрируемые системы вида (1). Они естественно возникают в геометрической теории криволинейных ортогональных и .сопряженных систем координат.

Как показывается в 5.1, егоровские ортогональные системы координат б ці. могут быть описаны через решения системы

if/. \-~'*і#(ітє»і^л<ґ>) -t*>>zf»* J J If/*

С їли і?

относящейся к типу (І), но не являющейся диагонализируемой: ее собственные векторы (подходящим образом нормированные) образуют алгебру Ли so(3), а собственные числа постоянны и равны +1, О, -1. Система (И) оказывается связанной нелокальным преобразованием с (неоднородной) системой - чисто мнимой редукцией системы 3-волнового взаимодействия

I wj+c,u*= ^.u^tu^l_} ie_tc_{-i4*s.i. _С12)

Как известно³, система (12) обладает бесконечным набором

законов сохранения, которые согут быть преобразованы в высшие

законы сохранения системы (11), тем . самым (И)

интегрир.уема. Следует отметить, что фактически (12) изучалась

еще в 1915 году в работах Л. Бьянки⁶, которым было построено

^Теория солитонов: метод обратной задачи. М. : Наука, 1980. L.Bianchi, Opere, v.3:. Sisteme tripli ortogonali, (1955)

(геометрическими методами) преобразование Беклунда для нее,

перёоткрытое' в' современных раоотах в рамках теории солитонов.

Для описания произвольных (не обязательно егоровских)

ортогональных систем координат в Д в 3.1 построена (2+1)-мерная однородная система (гидродинамического типа). Известные результаты теории ортогональных координат дают для нее богатый набор преобразований и широкий класс решений.

В 3.2 аналогичный результат получен для сопряженных

систем координат в as ,

Определение Криволинейная система координат

называется системой с сопряженными координатными линиями (или, кратко, сопряженной системой), если на каждой

координатной поверхности j и¹ - Q₀ - с&ьл t J- касательные

направления координатных кривых-^/--^1^(^ -^cojпересечения с другими координатными поверхностями в их общей точке

j^u ~%, ^и ~ ъ,; и = <"₀| сопряжены относительно второй

квадратичной формы поверхности { U ' - ^о J .

Как показывается в Главе 1, сопряженным системам координат в

IR соответствуют ПОЛУГАМШЬТОНОВЫ диагональные системы (3), так же как ортогональным системам координат соотвествтуют гамильтоновы диагональные системы.

Сопряженные системы координат в /К могут быть описаны с помощью однородной (2+1)-мерной системы гидродинамического типа (с 6 уравнениями). Матрицы системы, как и в случае

ортогональных координат, коммутируют, недиагонализируемы, их собственные числа постоянны,- а собственные векторы образуют алгебру Ли. Геометрическая теория сопряженных систем также дает для этой системы богатый набор преобразований и широкий класс решений.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ дан анализ ближайших перспектив развития геометрической теории интегрируемых систем гидродинамического типа и их места в дифференциальной геометрии, теории интегрируемых систем и математической физике.

В ПРИЛОЖЕНИЯХ приведены тексты программ на языке reduce и промежуточные результаты, необходимые для доказательства Теоремы 2.4 Главы 2.

Актуальность темы.

Диссертация посвящена дальнейшем/ исследованию ряда теорш, изучаемых ранее с различных точек зрения. А именно, геодезическим и различным обобщением геодезических отображений (ГО) d частности, почти геодезическим отображениям (ПГО), голоморфно проективным отображениям (ГПО) римановых и келеровых пространств.

В настоящее время теория геодезических отображений и различные его обобщения являются важным разделом современной дифференциальной геометрии, богатыми Фундаментальными результата ш, имеют логически обоснованную, стройную и далеко продвинутую теорию, имеющую приложения в различных областях математики, механики и теоретической физики.

Существенный вклад в изучения общих закономерностей теории ГО римановых пространств и различных его обобщений внесли многие зарубежные авторы: Т. Леви-Чви^а , Т. Томас , Г. Вейль", А.З. Петров⁴, Н.С. Синюков⁵, И. Ыикеш⁶ (для ГО).

Отметим, что теория ГО римановых и аЛФинно-снязных пространств, а также ее обобщения, представляют собою безусловный интерес с прикладной точки зрения. Тан как, ГО двух римановых пространств в общей теории относительности представляют собою математическое описание того случая, когда два различных поля тяготения обладают тем свойством, что траектория движения элементарных частиц и пути распространения света в них допускают установленное взаимно однозначное соответствие.

с/сгг^/П^лІс'.'- J^!^.(/i.У&{, /&, S-eZ.gJl. /О. -!ЛГ- 3-Я?

Л&,_:-"'

4. Петров А.З."Новые метода в общей теории относительности' //М., Наука, 1966. _#/

5. Синюков Н.С."Геодезические отображения римановых пространств'' /УМ., Наука, 1979.

/ Следующие авторы: Онуки Т. и Тасиро Я. , Сакагучи Т. ,

Микеш И. (для голоморфно-проективных отображений почти комплексных многообразий и келеровых пространств), Микеш И. и Березовский B.E.^U (для почти геодезических отображений аЛфин-но-связных и римановых пространств), Курбатова И.Н. (HP -отображения п -пространств).

Последнее время опубликованы многие работы, которые обобщают голоморфно-проективные отображения келеровых пространств, а также специальных типов почти геодезических отображении пространств аффинной связности без кручения и с кручением. Однако в этом направлении общие проблемы в основном можно считать решенным, благодаря, пре^-е всего, фундаментальным рабатам Микеша И. и Синюкова Н.С.* , Микеша И. . . '

9) Микеш И. "О голоморфно-проективных отображениях келеровых пространстя^'кр.геом. сб. Харьков. 1950, вып.23, стр.90-98.

10. Курбатова И.Н. "HP-отображения Н-пространств'^кр.геом.сб.
1984, вып.. 27, стр. 7а-&. .

гл*с/

0<еаf *У/<не - connate* ^> &c. а/& G**etc*c* te*/*>? j*»*^ -

^«ї{-**г, А*А*яи*. лл-.е*< &.**.«*. 'ямМ'~<*

12.

^⁷/%«/

АІикеш К., Синюков H.G. "0 квазипланарных отображениях прост
ранств а^^инной свчзности'^Мзв. ВУЗов Математика '"< І., 1983.
стр. 55-61. .

-s-

Теория почти геодезических, отображений а-ТхІчінно-свпзньи и ри-мановых пространств, а также А* -пленарные отображения является широким и в то же время геометрически естественным обобщением теории геодезических отображений. Она охватывает:

1. теории /?>*.» - проективных пространств Каган В.Ф. , Широков П.А.¹⁵.

2. теорию голоморфно-проективных отображений эллиптических и гиперболических келеровых пространств, конциркулярную геометрию Ян о К. .

3. теорию аналитически пленарных отображений почти комплексных многообразий Исихара С". , Тасиро Я .

4. теорию пространств, допускающих сходящиеся (Широков П.А.1 и геодезические (Шапиро Я.Л.¹⁹) векторные поли.

51 теорию квазигеодезических отображений Петров А.З. . Причем квазигеодезичеекие отображения определены с физической точки зрения, т.к. Петров А.З. приш,ел такому отображению исследуя проблему моделирование путей пробных ї'ел е поле гравитации. До недавного времени оетавал.сь открытом изучение геодезических и обобщенно геодезических отображений (в частности ГПО) римано-вых пространств второго порядка. Подобными вопросами занимался

14. Каган В.1. "Субпроективные пространства'/ЯЛ.Физматгиэ, J.96I.

220 с. ,

15. Широков П.А. "Избранные работы по геометрии^Казань, Изд.
Казанок, ун-та,' 1966.

*&#& тЇАїїег. ya&itjsf *'/t &sr aS&e-pfs c*"^f>Sjf /*»*л&ьъ/

с&і Ль а* */№>**>/ соърр&г \&,«<:ег.' /Ь&ібҐ.іР?

19. Шапиро Я.Л. "Геогэзические поля направления ч проективные системы цутей" даатеы.сб. 1955, 36. стр. 125-148.

20. Петшв А.З. "Моделирование Физических полей" В^б."Гравитация и теория относительностй'^Назань, Казансн.ун-т, 1968, вып. 4-5, .

-в-

' 21 "

С.М.Покась . В связи с этим в совместной работе Микеша И. и

Эсенова К.Р. было дано другоеопределение риманового пространства второго порядка. Этот подход позволило изучить геодезическое отображение в римановом пространстве второго'~порядка. При этом впервые использованы новые формы основных уравнений теории ГО римановых и ГГО келеровых пространств. Отметим, что работа Микеша И. и Покася СМ. посвящена изучению специальных преобразований в римановом пространстве второго порядка. Как уже было отмечено, выше НГО римановых пространств, а также ее обобщения представляют безусловный интерес с прикладной точки зрения. Естественно, что дальнейшее исследование геодезических и обобщенно-геодезических отображений является актуальной задачей. Цель работы.

1. Исследование свойств обобщенно эквидистантных келеровых эллиптического и гиперболического типа пространств.

2. Нахождение метрики келеровых -пространств, допускающих голоморфно-проективные отображения на эквидистантные основного типа келеровых пространства,

3. Изучить голоморфно-проективные отображения келеровых пространств с сохранением ft- - ортогональной системы гиперповерхностей.

4. Исследовать - пленарные отображения специальных пространств.

5. Изучить свойства некоторых риь'ановых пространств втори--го порядка. Построить примеры таких пространств.

6. Изучить геодезические и годомор^йо-проективные. отображения римановых и келеровых пространств второго порядка. .

21. Покась СМ. "Об индуциированных отображениях ассоциирован
ных римановых пространств второго порядка'/уВосьмая всесоюзн.
научная конференция тоуг.пвп.прпбпямям гром. Тпаиеи-яокл-

стрт-12С-0дёсса 1. *--- - -- «гя

22. Микеш И., Эсенов К.Р. "О пространствах второго порядка"
/ЛЛсслед. по топологии и геометрии. Сб.научн.трудов, стр.52-60.

Бишкек. 1991.

23. Микеш И., Покась СМ. "Группы Ли преобразований второго по-

ядка в ассоциированных пространствах^гукопись деп. в ШИГИ № 4988-81. 21 стр.

-^-

Метод исследований.

Исследование ведется в тензорной форме, локально, в классе вещественных, достаточно гладких (в общем случае аналитических) функций.

Научная новизна. і

1. В работе установлено, что обобщенно-эквидистантные прост- !
ранства эллиптического или гиперболического типа допускают нетри-
виальные голоморфно-проективные отображения. Изучены некоторые

их свойства. Построены примеры этих пространств.

2. Найдены в явном виде метрики келеровых пространств, допускающих нетривиальные голоморфно-проективные отображения на эквидистантные основного типа.келеровы пространства.

3. Рассмотрены голоморфно-проективные отображения келеровых пространств с сохранением 'К -ортогональной системы гиперповерх/ ностей. ' /

4. Найден тензорный признак некоторого класса fZ -^ - ; проективных пространств. ,

5. Изучены векторные шля ч аффинно-связных и римановых пространствах, уравнения которых инвариантны относительно обобщенно-геодезических отображений. Относительно таких отображений найдена взаимосвязь тензоров Бейля. ' '

6. Введено понятие келерова пространства второго порядка. Исследованы некоторые их свойства. Построены примеры.

7. Найдены новые закономерности для римановых пространств второго порядка. В частности", выделено новые условия, характеризующее риманово пространство второго порядка,

8. Исследованы геодезические и голоморфно-проективные отображения соответственно, в римановых и келеровых пространствах второго порядка.

Практическая и теоретическая ценность работы.

Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, являются естественным дополнением известных фактов теории геодезических и обобщенно геодезических отображений специальных римановых пространств а также ассоциированных пространств. Поэтому полученные результаты представляют теоретическую ценность с точки зрения современной диФФерен циальной геометрии. В то же время они могут быть использованы в теории относительное*' ти, теоретической механике и математической физике.

—я

Апробация результатов работы:

Основыне результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международном научном конференции "Лобачевский и современная, геометрия" (Казань 1992 г.), на Всесоюзном IX геометрическом конференции (Кишинев, 1988 г.), на'научном семинаре кафедры геометрии и топологии Одесского госуниверситета, на научном семинаре кафедры алгебры и геометрии(руководитель проФ. Борубаев А.А.), на конференциях молодых ученых ОГУ (19В5г.), на конференциях математиков и механиков (Фрунзе 1987г.), Республиканская научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения (Фрунзе 1989 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Кыргосуниверситета С1986-1992 гг.), Республиканская научно-методическая ^конференция (Одесса 1992г.), Научная конференция 60-летиго образования Кыргосуниверситета (Бишкек 1993г.).

Публикации. '

Основные результаты диссертации опубликованы в^работах I -II. В совместных работах 8 и 10 . Соавтору И.Микешу принадлежит постановка и общие идеи работы.

Структура и сбьем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав (разделенных на 9 параграфов и списка использованной литературы, включающего 69 наименования. Полный обьем диссертации страницы машинописного текста. В каждом параграфе ведется самостоятельная нумерация Формул, лемм и теорем. При ссылках на них в другом параграфе перед номером Формулы, леммы или теоремы ставится номер параграфа, которому она принадлежит.

Похожие диссертации на Дифференционально-геометрические методы интегрирования систем гидродинамического типа

Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-ЯхьиСлавина, Нина Сергеевна

Инварианты типа периода для одномерных динамических системДемин, Александр Иванович

Геометрические методы в получении и решении уравнений типа Монжа-Ампера на компактных и некомпактных многообразияхКокарев, Виктор Николаевич

Сопряженно-нормальные матрицы и методы конгруэнтного типа для систем линейных алгебраических уравненийМоджтаба Гасеми Камалванд

Метод оценок при исследовании устойчивости систем типа нелинейный многометрии осциллятор Касьяненко Татьяна Геннадьевна

Функциональные методы в неравновесной статистической физике системы гидродинамического типаКолоколов, Игорь Валентинович

Разработка инженерных методов оценки вибрационной надежности сложных механических систем типа ЛА на ранних стадиях проектированияРусол, Андрей Владимирович

Численные методы решения различных задач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа Эль-Намури Ахмед Реда Мустафа

Применение метода моментов для исследования свойств решений систем уравнений газодинамического типаРозанова, Ольга Сергеевна

Новые типы поляризующих и отклоняющих электромагнитных систем и их оптимизация методами математического моделирования для экспериментов по поиску эффектов нарушения Т-инвариантности в молекулахРябов, Владимир Львович