Дополнения к дискриминантам гладких отображений Васильев, Виктор Анатольевич

Введение к работе

Актуальность тема. Дискриминант - это подмножество функционального пространства, состоящее из функций (или отображений), ~шё~ОДих особенностп некоторого фиксированного типа. Многие важные математические объекты могут быть оггасанн как пространства дополнений .к (подходящим образом определенным) дискриминантам. Таковы, в частности:

пространства полиномов без кратних корней, активно используемые в теории алгебраических функций¹^ и в теории сложности вычислений²'; топология этих пространств изучалась в работах В.И.Арнольда, Д.Б.Фукса, Г.Сагала, Э.Коэна, Ф.ВайнотеЙна и других;

пространства морсовских и обобщениях морсовских функций на многообразиях, играющие ключевую роль в гладкой топологии а изучавшиеся в работах С.Смейлз, Я.Серфа, .К.Игусы, В.В.Шарко, В.И.Арнольда;

дополнения к бифуркационным диаграммам особенностей голоморфных функции ''*'; такие дополнения встречаются во многих задачах физики и теории дафферэнщиалънцх уравнений в частных производных как области регулярности ветвящихся функций, заданных ян-

1. Арнольд В.И. Топологические инварианты алгебраических функций. П // функц. анализ и его пршг. - 1970. -.4:2. - С.1-9.

2. Snole 3. On the topology of algorithms.!^ J. Complexity.-1937. - 3:2. - P. 81-89.

' 3) Арнольд В.И., Варченко A.H., Гусейн-Заде СМ. Особенности дифференцируемых отобраяений.І. - М.: Дауна, 1982. - 340 с; П. - М.: Наука, 1984. - 334 с. 4) Арнольд В.И., Васильев В.А., Горюнов В.В., Ляшко О.В. Особенности. Г,П. / Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. математика:, фундаментальные направления. Том 6. -1988. -М.: ' ВИНИТИ. -256 с. + Той 39. - 1989. -М.: ВИНИТИ. -256 с.

4 їегральЕїлаї преобразованиями, изучашашсея И.Г.Петровский, Е.Лерс,

М.Ф.Атьзй, Р.Боїтом, Л.Гордангш, Л.Хермандером, В.П.Ыасловда,

&.аыоа ш ыногиш другими, см. сноски 3)-6);

- петлевые пространства Si (Й \Q)_t m гоыотошнескЕ

вквивалентшз пространствам і$2о , изучавшаяся Да.Адашсід,

Э.Дайероы и Р.Лашофом, Р.Шлгрзмоы, Да.Мшшорои, Г.Сигалом, Дд.

Нэеи, .Коэнои, В.Снэйтоы п другими⁷'"*'.

Деяь работы - исследование топологических к геометрзческих сзоіїстз дополнений к дискриминантам и их прилозенае к теории олоаности вычислений, теории алгебраических функций и гиперболическим уравнения:! в частных производных.

Ооновшв результата работы - следующие.

I. Теорема гида Сыейла - Хирда для пространен» гладких отоб-рааекай без слоишх особенностей: для любого ксмаактяого многообразия И и лхбого класса 01 особенностей охобрааевлй И ~*" $? такого, что множество отображений с особенностями' класса 01

5) Атья М.Ф., Ботт Р., Гординг Л. Лакуны для гиперболических дз|>-
феревдиальных операторов с постоянными коэффициентами. 1,й//
Успехи мат. наук. -1971. -26:2. -С.25-100 и IS84. -39:3. -

С.171-224.

6. Фам S. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау. - М.: Мир, 1970.

7. Cohaa 2.К., ЪеЛа. T.J., May J.P. The homology of iterated loop spaces// beet. Motes Math. -1976. - V. 533. - 390 p.

8. Ддамс Да. Бесконечнохратнне пространства петель. -М.: Мир,

І9Б2. - 200 с.

'9) Segal G.B. Coniiguxation-epaoso and Iterated loop-opacoo // Затеи*. Math. - 1973. - 21:3. - P. 213-221.

5 имеет коразмерность -5 2, стандартное влоаение пространства отображений без особенностей класса 01 в соответствующее пространство допустимых сечений струйного расслоения индуцирует изоморфизм колец когомологий; более того, это влоне-шіе является слабой гомотопической эквивалентностью, если коразмерность множества отображений с запрещенными особенностями {Olj не меньше трех.

2. Вычисление стабильных колец когомологий дополнений к дис
криминантам (бифуркационным диаграммам нулей) особенностей голо
морфных функций з Є . (Стабильный класс когомологий дополнений
к дискриминантам - это набор таїиїх классов когомологий, заданных
для всех деформаций всех особенностей голоморфных функций в С

и переходящих друг в друга при вложениях дополнений к дискриминантам разных особенностей, определенных примыканиями этих особенностей, си. рис. Ї на стр. 29). Мы доказываем, что при любом

л кольцо стабильных когомологий дополнений к дискриминантам функций в С естественно изоморфно кольцу когомологий пространства 2п -нтатных петель 2п*1 -мерной сферы.

3. Положительное решение для почти всех строго гиперболических операторов с достоянными коэффициентами проблемі Атии -Ботта - Гординга ' об эквивалентности локальной регулярности фундаментального решения <"резкости") и локального топологического условия Петровского.

4. Полный список локальных лакун ("областей регулярности фундаментального решения) вблизи всех простых особенностей волновых фронтов гиперболических операторов (го есть вблизи особенностей классов n_k,D_k, c_k , cm.'"*'*'), в частности - вблизи всех особенностей волновых фронтов типичных гиперболических операторов в IR при р. і 7.

5. Асимптотически точная оценка минимального числа ветвлений (операторов I F 5 алгоритмов приближенного вычисления корней полиномов степени d от одной комплексной переменной: ВТО число легшт в промежутке [с/- tou.d, СІ'і].

5.' Точные по порядку оценки числа ветвлений алгоритмов, вычисляющих корни систем полиношальншс уравнений от нескольких комплексных переменных: для большинства естественных пространств систем эти оценки - как верхние, гак и низшие, - асимптотически (по степени уравнений) пропорциональны размерности этих пространств, си. теорема 5-8 няне.

Научная новизна. Все основные результаты 1-5' являются повніш. Ранее бшш известны соответственно лишь следующие результаты (строго более слабые в случаях 2, 3, А, 5).

1. В случае, когда n=i и запрещенный класс состоит из особенностей функций Н '-*-//? "сложнее й_й ", была доказана гп-связность вложения пространства допустимых функций в пространство допустимых сечений струйного расслоения* **'.

2. В простейшем случае голоморфных функций от одной переменной наша формула для стабильных когомологий дополнений к дискриминантам превращается в формулу Мэя-Сигала для когомологий стабильной группы кос:

3. Атьей, Bottom и Гордашгом⁵^ была доказана импликация (локальное условие Петровского) ==$ резкость. Обратная импликация доказана ими для неособых точек волновых фронтов ' и Д.Гор-

Ю) Iguea К. Higher eingularltlea of saooth fimctiona are una«-ceeeary // A»n. of. Hath. - 1984-. 119-.1. - Ї. 1-58.

II) Сеті J. Suppression d«» singularites do codimonoion plus grande quo 1 dans lea families de fonctions differentlablee reelee// Sem. Bourb&ki. - 1983/84. - Ho. 627. - 15 p.

7 донгом^) - для простейших особенностей фронтов - типов й-и Д₃.

4. Случай неособых точек фронта был разобран А.U,Давыдовой ',
В.А.Боровиковым¹⁴', й.Лере¹⁵', случай особенностей f\ А, -

TON * '

Л.Гордингом¹"''.

5. Ранее была известна лишь более слабая нижняя оценка Смайла
Z(d) ? (ioQ_z с/) (см. сноску 2) на стр.3).

Методы исследований относятся к теории особенностей гладких функций, гомологической алгебре, теории Пикара - Ісфшеца, вещественной алгебраической геометрии. Основной новый метод - спектральная последовательность, различные варианты которой сходятся к когомологиям всех пространств, участвующих в формулировках основных результатов I, 2 (а также многих других пространств).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты п метода могут быть использованы (и узе используются) в теории особенностей гладких отображений⁴', интегральной геометрии⁴'»¹"', дифференциальной топологии и теории

12. Гординг Л. Резкие фронты парных осциллирующих интегралов^ Успехи матем. наук. - 1983. - 38:6. - G. 85-95.

13. Давыдова A.M. Достаточное условие отсутствия лакуны для дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа: канд. дисо. - М., МГУ, 1945. - 43 с.

14. Боровиков В.А. Фундаментальные решения линейных уравнений в частных производных с постоянными,коэффициентами/ Тр. Моск. матем. общества. - 1959. - Т.8. - С.199-257.

15. Лзре Ж. Обобщенное преобразование Лапласа. - М.:Мпр, 1969. -168 с.

16. Arnol'4 V.I., Vasil'eT V.A. Ueirton'e Егіяоіріа read 300 уваги later//tfoticea Aaer. Math. Soc. - 1989. -36:9. - P.114S-1154.

узлов*⁷*, теории сложности вычислений-¹-⁸', теории дифференциаль-

19)

та. уравнений в частных производных¹-".

Апробация и публикации. Результати работы докладывалась на заседании Московского Математического общества (1987), на конференции "Единство и разнообразие математических наук" (г. Беркли, США, 1930), на Колледже по теории особенностей (г.Триест,Италия, 1991/, на конференции по дифференциальным уравнениям и смежным вопросагл (Москва, І99І), на совместных заседаниях семината htj. И.Г.Петровского и ШО (1986), на семинаре (ЛГУ по теории особенностей (руководитель - В.И.Арнольд, 1985, 88 и 89), семинаре ш. И.Г.Петровского (1983), на Ш Всесоюзной школе по теории одерато-ров в функциональных пространствах (Куйбышев, 1988), в математическом лектории для студентов Ж) (1989), на семинаре отдела топологии ЛОМИ (руководитель - О.Я.Виро, 1989), на семинаре иы.К.И. Бабенка в ИШ АН СССР (1989), на семинаре кафедры алгебры и анализа Будапештского университета гол. Э.Лоранда (руководитель -Д.Лемлерг, 1988), семинарах МГУ (руководители - А.Н.Варченко, Д.Б.Фукс, А.Г.Хованский, 1984, 85, 88, 89), на Ш Воронежской зимней математической школе (1989).

Результаты диссертации изложены в печатных работах [1] - [Гб] (см. список на стр. 27 - 28 ).

Структура д объем. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 140 наименований, содеркит 41 рисунок и 4 таблицы, общий объем - 300 страниц.