Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Многообразие ориентированных незамкнутых кривых в евклидовом пространстве 11
1.1. Структура многообразия 15
1.2. Группа движений 22
1.3. Ковариантное дифференцирование 30
1.4. Структура фактормногообразия 32
1.5. Линейная связность 37
Глава 2. Многообразие невырожденных аффинорных полей 46
2.1. Структура группы Ли 46
2.2. Связность Картана 53
Глава 3. Многообразие компактных подмногообразий евклидова пространства 60
3.1. Естественные карты и преобразование координат 66
3.2. Линейная связность 72
3.3 Тензор кривизны 75
3.4. Метрика 79
3.5. Риманова связность 81
3.6. Расслоение гладких тензорных полей 86
3.7. Инфинитезимальная связность 89
3.8. Тензор кривизны на расслоении гладких функций 96
Библиография
Ковариантное дифференцирование
Изучением бесконечномерных дифференцируемых многообразий ученые-математики занимаются уже больше века. За это время были получены значительные результаты в изучении и применении банаховых многообразий ([1], [5], [10], [16] и др.), но работ, посвященных многообразиям Фреше, появилось меньше ([17], [18] и др.). В них приводятся основные определения и теоремы, а также примеры, рассматривающие дифференциально-топологические свойства бесконечномерных многообразий, но мало внимания уделяется построению геометрических структур, а именно, нахождению связностей (линейной и римановой) и тензора кривизны.
Теория связностей, введение метрики, вычисление тензоров кривизны и кручения, построение гладких структур многообразий и расслоений — вот одни из основных вопросов дифференциальной геометрии, которые рассмотрены в данной диссертации. Они представляют интерес для таких областей знания, как вариационное исчисление, теория относительности, механика и гидродинамика.
Цель диссертации — изучение бесконечномерных многообразий банахова типа и типа фреше: построение структуры банахова многообразия на множестве ориентированных незамкнутых кривых в евклидовом пространстве и нахождение объекта плоской линейной связности на этом многообразии; построение связности Картана на группе Ли невырожденных аффинорных полей; изучение линейной связности и ее тензора кри визны па многообразии компактных подмногообразий евклидова пространства и введение римановой связности на этом многообразии; построение структуры векторного расслоения типа Фреше, слоями которого являются все гладкие сечения тензорного расслоения произвольного компактного подмногообразия евклидова пространства, изучение инфинитезимальной связности и ее тензора кривизны на этом расслоении.
Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
1) Методом проектирования линейной связности доказывается, что многообразие плоских ориентированных незамкнутых кривых без точек спрямления, определяемых с точностью до движения, является локально плоским пространством линейной связности.
2) Доказывается, что фактор многообразие невырожденных аффинор-ных полей по действию группы обратимых функций является группой Ли, на которой строится объект связности Картана - линейной связности нулевой кривизны, по ненулевого кручения.
3) На многообразии компактных подмногообразий евклидова пространства строится объект линейной связности и вычисляется ее тензор кривизны.
4) Вводится риманова структура на многообразии компактных подмногообразий евклидова пространства.
5) Строится векторное расслоение Фреше гладких тензорных полей над многообразием компактных подмногообразий евклидова пространства. Находится объект инфинитезимальной связности на этом расслоении и для расслоения гладких функций вычисляется тензор кривизны.
Построение теории абстрактных банаховых многообразий было завершено в работах Бурбаки Н. [1] и Ленга С. [10].
Доказательства большинства известных теорем для конечномерных многообразий можно перенести на многообразия бесконечной размерности.
Вопросы дифференциальной топологии банаховых многообразий изучались многими математиками, при этом менее развит оказался дифференциально-геометрический аспект бесконечномерных многообразий.
Еще сложнее дело обстоит с многообразиями Фреше. В пространстве Фреше не удается построить естественное простое дифференциальное исчисление, как в банаховом пространстве. Например, в пространстве Фреше не выполняется классическая теорема об обратном операторе и, как следствие, неверна теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений [17]. Существенным отличием от теории банаховых пространств является тот факт, что пространство непрерывных линейных отображений из одного пространства Фреше в другое не образует пространство Фреше [17].
Связность Картана
Наука развивается по пути обобщения. Термин "многообразие" возник как обобщение понятия "поверхность". Сначала изучались конечномерные многообразия, затем бесконечномерные многообразия банахова типа. Но все разнообразие многообразий нельзя охватить банаховым случаем, где топология модельного пространства задается одной нормой. Обобщением этого случая послужил переход к многообразиям с модельными пространствами, топология которых определяется счетным семейством полунорм (нескольких норм). Так появились многообразия Фреше. Здесь следует отметить важную задачу, которой занимались Илле Дж., Ленг С, Eliasson Н. I. и другие — это построение структуры многообразия на множестве всех гладких отображений из компактного многообразия в многообразие с гладким разбиением единицы.
В самом начале моей работы над диссертацией рассматривалось множество компактных подмногообразий произвольного риманова многообразия, но из-за возникших трудностей вычислительного характера в дифференциальном исчислении пришлось ограничиться случаем множества компактных подмногообразий евклидова пространства. Это множество можно наделить структурой многообразия Фреше. На нем определяется естественным образом линейная связность, для нее находится объект связности и тензор кривизны. А также это многообразие Фреше снабжается римановой связностью, но вычислить тензор кривизны для нее не удастся.
В этой главе также рассматривается векторное расслоение Фреше гладких тензорных полей. На этом расслоении естественным образом определяется инфинитезимальная связность, а затем вычисляется объект этой связности с тензором кривизны.
Содержание этой главы опирается на работу Hamilton R. S. "The inverse function theorem of Nash and Moser"[17]. Hamilton изучил расслоение Фреше гладких функций над компактными подмногообразиями произвольного риманова многообразия М ( [17], пример 4.5.5). Им найдена инфинитезимальная связность на расслоении функций, а также тензор кривизны, причем кривизна эта не равна 0, даже когда риманово многообразие М плоское.
Цель данной главы состоит в обобщении этого примера на случай расслоения гладких тензорных полей.
Вторая производная D2P : U X F X F — G определяется как частная производная от DP по первому аргументу. DkP определяется по индукции. Если DP — отображение класса Ck_1 (к Є N), то отображение Р будет класса Ск. Говорят, что отображение Р гладко класса
Определение 3.3 [17]). Многообразием Фреше называется хаусдор-фово топологическое пространство с атласом карт, значения которых лежат в пространствах Фреше, а преобразование координат является гладким отображением между пространствами Фреше.
Определение 3.4 ([14]). Пусть В - многообразие Фреше класса С, со — (t/o, 0Oi о) с = {U,4 iF) — две карты в произвольной точке N Є В. Пусть Ф = фо Ф"1 — преобразование координат, порожденное этими картами. Рассмотрим в точке N Є В множество пар (с, Г), где с— карта в точке N,V:FxF-$F — билинейное непрерывное отображение. Говорят, что две пары (с, Г) и (со, Го) эквивалентны друг другу, если %№ о Г = Го о фФф{м) х БФфф)) + 02Фф(Ю. Класс эквивалентных пар (с, Г) в точке N называют объектом линейной связности в N многообразия В.
Определение 3.5 ([14]). Линейной связностью на многообразии Фреше называется гладкое отображение, ставящее в соответствие каждой точке многообразия объект линейной связности в этой точке.
Линейная связность
Определим поле объектов линейной связности на В, задавая билинейный оператор связности в произвольной точке N Є В в естествешюй карте сдг — (t/jv, Длг,Г(7Глг)) отображением Тогда по общему закону преобразования линейной связности оператор Г должен удовлетворять соотношению
Вейнгартена ([8], с. 23), где А(Х±,.) — линейное преобразование в TL, соответствующее второй основной форме Ях на L , Vх (VT) линейная связность в нормальном (касательном) расслоении ([8], с. 22, 23). Здесь первые слагаемые во всех разложениях принадлежат TL, а вторые — Zr1. Окончательно получаем Построенное поле объектов Г, определяемое по формуле (5), является отображением класса С1 и, следовательно, представляет собой линейную связность на В.
В следующем параграфе в ходе вычисления тензора кривизны будет доказано данное утверждение.
Сначала рассмотрим производную D(XT о т/v о s)s(Z). Напомним, что Хт о гдг о s является касательной составляющей векторного поля X 6 Г(7Глг) на пространство TL. Тогда векторное поле Хт о гдг о s можно разложить по векторам базиса ( = %г в карте с = (QN N,Rn) такой, что метрический тензор на подмногообразии L евклидова пространства Е со скалярным произведением , . Теперь найдем производную :
Это есть проекция векторного поля X о 7гдг о г 1 на нормальные пространства многообразия L. В дальнейшем будем использовать обозначение ВФВ{Х) = Xх. Тогда метрический тензор примет вид
Выберем карту на многообразии L такую, что координатное отображение имеет вид: х, = Отсюда j} rjv о s о , поскольку гдг о s : N -ї L — диффеоморфизм многообразий и Тогда, если 5 метрический тензор многообразия L, то А поскольку это верно для любой карты с на многообразии N и соответ ствующей карты d на L, то
Линейная связность Г6", порожденная метрикой G на многообразии В, ищется из уравнения :
Найдем объект линейной связности Г в естественной карте в произвольной точке N Є В. Чтобы найти производную Фреше сначала рассмотрим, как зависит от s первое слагаемое. Используя разложение где - касательная составляющая, Xі- Є Lx - нормальная составляющая, запишем атуральный базис на N в карте с. Тогда д{Т T(rjvs)(.)(ei) (г = 1,п) будут задавать натуральный базис, определяемый картой d на L. На д(Г нужно смотреть как на касательные векторные поля на L, по зависящие от точек многообразия N. А так как T(TJV)5(.) = id , то д г = Ts (ei) — d{S Воспользуемся разложением на сумму векторных полей (нормального и касательного ) где Vі - ковариантная производная на нормальном расслоении N-1, A(Z,.)— линейный оператор, соответствующий второй основной форме Н1 на iV, причем для оператора А выполняется условие
Левая часть формулы не зависит от выбора карты с на N, от натурального репера {ЄІ}І=Ї и репера {ha}a=i,m-n в области определения QN карты с, а, следовательно, и правая часть не зависит от выбора базисов. По закону преобразования линейной связности имеем
Расслоение гладких тензорных полей
В силу неоднозначного понимания термина "кривая" подробно рассматриваются все ограничения, накладываемые на этот объект.
Но под словом "кривая" в геометрии часто понимают подмножество , определяемое с точностью до движения, т.е. без учета ее расположения в пространстве. Множество так понимаемых кривых является фактормножеством при действии группы движений. На этом фактормножестве есть такая глобальная карта, что для любого класса эквивалентности [] его "координатой" являются функции кривизны и кручения (при п = 3) произвольного представителя этого класса.
Доказывается, что множество незамкнутых кривых фиксированной длины, параметризованных натуральным параметром и имеющих ненулевое кручение (случай трехмерного пространства R3) или ненулевую кривизну (случай двумерного пространства R2), можно наделить структурой банахова многообразия.
На этом многообразии естественным образом определяется нормализация, задающая линейную связность. Причем эта связность оказывается тривиальной и инвариантной относительно действия группы движений, а поэтому появляется возможность с ее помощью определить связность на фактормногообразии. Но вычислить объект этой связности удается толь ко в случае плоских кривых. Компоненты спроектированной связности на фактор многообразии при этом оказываются равными нулю. Отсюда вывод ( утверждение 1.10. в диссертации):
Многообразие классов плоских ориентированных незалікнутьіх, заданных натуральным параметром, кривых без точек спрямления, определяемых с точностью до движения, является локально плоским пространством линейной связности.
Во второй главе рассматривается множество невырожденных тензорных полей валентности (1,1) конечного класса гладкости на компактном многообразии. На этом множестве действует группа функций, не обращающихся в ноль ни в одной точке. Фактор многообразие по этому отношению эквивалентности образует группу Ли. На этой группе Ли можно определить связность нулевой кривизны — связность Картана. Вывод ( утверждение 2.5.):
Фактормпогообразие невырожденных аффииорных полей является группой Ли и, следовательно, пространством линейной связности, допускающим абсолютный параллелизм.
В третьей главе рассматривается многообразие компактных подмногообразий евклидова пространства. На этом многообразии вводится линейная связность. Находится объект этой связности в произвольной точке относительно естественной карты. Из полученной формулы видно, что объект линейной связности зависит от ковариантного дифференцирования и второй основной формы в нормальном расслоении фиксированного компактного подмногообразия евклидова пространства. Но несмотря на сложный вид объекта связности, удается вычислить ее тензор кривизны.
Кроме этого, многообразие компактных подмногообразий можно наделить структурой риманова пространства. Риманова связность имеет еще более сложный вид.
Далее, беря многообразие компактных подмногообразий за базу и в качестве слоя пространство Фреше всех гладких сечений тензорного расслоения произвольного компактного подмногообразия, получаем векторное расслоение типа Фреше, На этом расслоении гладких тензорных полей строится инфинитезимальная связность и находится объект этой связности. Тензор кривизны удается вычислить только в случае расслоения гладких функций, но в произвольной точке в отличии от [17], где тензор кривизны вычислен в пуле.
