Введение к работе
Актуальность темы. С появлением статей дж.Грея [1,2.3], Бузби а Вана [41.посвященных контактным структурам на многообразиях.началось интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях. На 2г\ +1 - мерном многообразии М контактная структура задается 1 -формой ^,такой.что
1 ЫА1? = >llll)*';.' Л(Л 1 ^ 4 О, Т. Є. 1^*1 з (Лл'т'М, В К8ЯД0Й п
точке многообразия М. Многообразие М,снабженное контактной структурой,называется контактным многообразием.Понятие почти контактных многообразий и почти контактных метрических многообразий введены дж.Греем [2] в 1959 г.
Внимательному анализу подвергались специальные классы почти контактных метрических и контактных многообразий. Одним вэ наиболее интересных и малоизученных классов почти контактных метрических структур являвтся так называемые кваэисасакиевы структуры,т.е. нормальные почти контактные метрические структуры, фундаментальная 2-форма которых замкнута [5].
Теория квазисасакиевих многообразий возникла в исследованиях Блэра. После диссертационной работы \\%Ъ<а г.) в А967 г. опубликована статья С5],заложившая основы этой теории.
Существуют несколько классов*квазисасакиевих многообразий, обусловленных рангом 1-формы "I .При их перечислении первым можно считать класс косимплектнческих многообразий,опрэделяемых условием d*i* 01^7 =0.и последним - сасакиево многообразие,
для которого "і /ч U-nfJ О І гд 1« 2>и >, " - А*1)-
1-форма *| имеет ранг і = 2р,если t<*"t >р 4 0 и 7л<^)1о
а ранг i=*2p+t .если TMchtfV 0 и (*Ц)Р'М =0. Число і называется рангом кнаэисасакиеаой структуры [5І.
Доказано [Ь,6],что: не существует квазисасакиевой структуры четного ранга; найдены условйя.при выполнении которых ква-зисасакиево многообразие локально является.произведением саса-киева многообразия и келарова многообразия; структурный вектор. % является вектором Киллянга; квазисасакиево многообразие постоянной кривизны является с точностьо до гомотетичного преоб-... разовачня структуры сасакиевим либо косимплектическим; квазиса-
- 4 -сакиево многообразие строго положительной кривизны является са-сакиевым.
Одним из наиболее актуальных вопросов контактной и почти контактной геометрии является изучение контактных и почти контактних многообразий.удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей [7].для почти контактного метрического многообразия. было введено понятие 1>-голоморрной секционной кривизны І8І, под которой понимается секционная кривизна площадки )Х,ФХІ, где Ф - аффинор І*.'?.''?! - структуры, а X - произвольный орт. удовлетворяющий условию Ч(Х)= 0. Классификацию полных односвяэ-нше многообразий Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизни произвел Танио [9І. для многообразий Сасаки доказано, что выполнение аксиомы '^голоморфных плоскостей равносильно постоянству их Ф-голоморфной секционной кривизны 110,1 Л.
В.Ф.Кириченко [12.13,141 рассматривал обобщенные почти .. контактные метрические структуры. Доказано,что обобщенные почти сасакиевы многообразия весьма общего вида включающие классические почти сасакиевы многообразия.удовлетворяющие (обобщенной) аксиоме Ф-голоморфных j*i-плоскостей,являются многооб-. разиями Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны или их гиперболическими аналогами. Получена полная классификация таких многообразий.существенно обобщающая и уточняющая найденную Тайно [9І классификацию полных односвязных многооб-. разий Саоаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Получена также полная классификация обобщенных слабо косимп-лектических,обобщенных приближенно сасакяевых и обобщенных почти косимплектических многообразий.удовлетворяющих (обобщенной; аксиоме Ф-голоморфных м -плоскостей І12І.
Из вышесказанного видно.что настоящая работа.в которой изучается кваэисасакиевы многообразия: точечно постоянной Ф^ 1-голоморфной секционной кривизны;удовлетворяющие аксиоме Ф-гс— ломорфных плоскостей} некоторые классы квазисаеакяевых многообразий, удовлетворявших соответствующим тождествам кривизны. является актуальной. . ...
. Методы исследования. В работе ію мере надобности используется метод инвариантного исчисления Кошуля и метод внешних форм Картана*Э.
л - 5 -
Пели Аисоерташонного исследования?
-
Получить структурные уравнения квазисасакиевых многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристоффеля в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной G -структуры.
-
Получить тождества в,терминах структурных тензоров,которым»'» удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля квазисасакиевых многообразий и на их основе выделить и изучить наиболее интересные классы таких 'многообразий. ,
-
Получить необходимые и достаточные условия точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны.
-
Изучить квазисасакйввы многообразия.удовлетворяющие аксиоме Ф-голоморфных плоскостей и исследовать их связь с квазисаеаки-евыми многообразиями точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. ' .,
Новизна результатов. Основные результаты.полученные в диссертации.являются новыми.Выделим важнейшие из asxs
-
Получена структурные уравнения квазисасакиевых структур;вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля,тензора Ричзд на пространстве присоелиненной G -структуры в терминах структурных тензоров.
-
Найдены 4 ключевых тождества,которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля квазисасакиевых многообразий,и с их помощью выделены 3 класса квазисасакиевых многообразий.оказавшихся весьма содержательными с геометрической точки зрения.
-
Изучено строение квазисасакиевых многообразий каждого из выделенных классов.
-
Выделен тензор Ф-голоморфной секционной кривизны квазисасакиевых многообразий и получен критерий точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны таких многообразий.
-
Найден критерий выполнимости аксиомы Ф-голоморфных плоскостей для квазисасакиевых многообразий.Исследована связь этой аксиомы с точечным постоянством Ф-голоморфной секционной кривизны.
Теоретическое и практическое значение.
Работа носит теоретический характер.Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения почти контакт-
ных структур на многообразиях,в соответствующих разделах дифференциальной геометрии,а также при чтении спецкурсов в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по сходной тематике.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на заседании научного Семинара кафедры геометрии Московского педагогического госуларственного университета им. В.И.Ленина (руководитель - доктор физико-математических наук,профессор Кириченко В.Ф.),иа конференции "Некоммутативные структуры в математической физике" в 1993'г. .Тольятти.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти публикациях.Их список приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации, диссертация состоит из введения,трех глав и списка литературы. Она изложена на страницах машинописного текста. Список литературы содержит 41 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.
