Введение к работе
Актуальность темы. В рнмановой геометрии важное место занимают исследования по геометрии открытых многообразий неотрицательной кривизны. Начатые работами Кон-Фоссена (1935 г.), эти исследования стали одним из наиболее актуальных направлений римановой геометрии "в целом" после знаменитой работы Нигера и Громола (1972 г.), в которой кроме известной структурной теоремы (soul-конструкции), описывающей топологическое строение рассматриваемых многообразий, была выдвинута гипотеза о геометрическом строении открытых римановых многообразий неотрицательной кривизны (гипотеза Нигера—Громола). Значительным вкладом в изучение геометрического строения открытых многообразий, являются работы В.А.Топоногова (в частности, теорема о расщеплении открытого многообразия, содержащего прямую линию, в прямое произведение), а также В.А.Шарафутдшюва (в особенности, построение метрической ретракции, являющейся эффективным инструментом исследования геометрии открытых многообразий неотрицательной кривизны). Многочисленные работы разных авторов последних лет были так или иначе связаны с попытками доказательства гипотезы Нигера— Громола (или несколько более общей гипотезы В.А.Топоногова), а также с нахождением условий, при которых открытое многообразий неотрицательной кривизны несет дополнительную геометрическую пли топологическую структуру, например, разлагается в прямое произведение.
Цель работы состоит в построении основ теории метрического строения открытых римановых многообразий неотрицательной секционной кривизны, а также в установлении и изучении связи их топологического строения (свойств оператора голономии, а также топологии идеальных границ) с метрическими свойствами.
Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
1). Доказательство инфинитезимального аналога гипотезы Нигера— Громола (Теорема 2), утверждающего вырожденность смешанных кривизн гладкого открытого многообразия неотрицательной секционной кривизны.
2). Доказательство гипотезы Нигера—Громола для аналитических многообразий (Теорема 1).
3). Теорема о прямом произведении (Теорема А), утверждающая,.что
из тривиальности оператора голономии нормального расслоения души следует распадение всего многообразия в прямое произведение.
4). Доказательство тривиальности оператора голономии в случае, когда обращаются в ноль кривизны в направлениях, нормальных к душе (Теорема С).
5). Доказательство тривиальности оператора голономии в случае, когда секционная кривизна имеет более высокий порядок стремления к нулю при приближении к душе многообразия, чем квадрат расстояния (Теорема D).
Два последних результата получаются с помощью предложенной в работе геометрической "Призм"-конструкщш, связывающей свойства оператора голономии в векторном расслоении с неотрицательной кривизной с поведением некоторых секционных кривизн.
6). Установлен топологический аналог известного в теории открытых многообразий метрического феномена пробела. Показано, что односвяз-ное открытое многообразий неотрицательной кривизны диффеоморфно евклидову пространству, если его кривизна на бесконечности стремится к нулю (Теорема Е о топологическом пробеле).
7). Исследованы общие свойства идеальных границ открытых многообразий неотрицательной кривизны, а также установлены некоторые зависимости между геометрией открытого многообразия и топологией его идеальных границ (Теоремы 3.10, 4.5, 5.1).
Все перечисленные результаты являются новыми.
Методика исследования основана на оригинальных геометрических конструкциях и аналитических оценках функций расстояния, основанных на формулах первой и второй вариаций функционала длины.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в римановой геометрии "в целом", а также при изучении геометрии и топологии открытых многообразий.
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на Всесоюзных конференциях по римановой геометрии (Новосибирск 1982 г. и 1987 г., Москва, МГУ 1985 г., Кишинев 1988 г.), Сибирских школах по алгебре и анализу (Кемерово 1987 г., Томск 1988 г.), конференции по геометрии памяти Лобачевского (С- Петербург 1992 г.), конференции по римановой геометрии в целом (Обервольфах, ФРГ 1989 г.), а также на геометрических семинарах Кураптовского института, Колумбийского университета, (Нью-Йорк, США), Нью-Йоркского универси-
тета (Стони Брук, США), Мерилендского университета (Колледж Парк, США), Университета Северной Каролины (Чейпел Хилл, США), Дьюк университета (США), Университета Пепнсильвании (Филадельфия, США) во время поездки по США в 1991 году, а также в 1993 году во время геометрической конференции по теоремам сравнения в Исследовательском Институте Математических Наук (Беркли, США).
Публикации. Содержание диссертации полно отражено в 24 статьях автора, опубликованных в журналах "Доклады АН СССР", "Сибирский математический журнал", "Труды Института математики СО РАН", "Украинский геометрический сборник", "Siberian Advances in Mathematics", а также в сборниках тезисов докладов Всесоюзных и Международных конференций, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Вторая глава состоит их двух частей, а также приложения. В списке цитированной литературы 51 наименование. Объем диссертации — 210 страниц.
Прежде чем перейти к изложению содержания работы, охарактеризуем кратко распределение материала по главам.
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель и дается обзор результатов диссертации.
В первой главе доказывается сильная вырожденность тензора кривизны таких многообразий (Теорема 2), из которой следует' справедливость известной гипотезы Чигера — Громола для вещественно аналитических многообразий (Теорема 1).
Во второй главе вводится геометрическая конструкция с призмой, с помощью которой и с использованием результатов первой главы, мы получаем теоремы о прямом произведении (Теорема А), теоремы о зависимости оператора голономии нормального расслоения души многообразия от асимптотики его тензора кривизны вблизи души (Теоремы С и D), а также (во второй части этой главы) теорему о топологическом пробеле (Теорема Е), утверждающую топологическую тривиальность многообразия при условии стремления его кривизн к нулю на бесконечности.
В приложении ко второй главе приводится построение метрики неотрицательной секционной кривизны на двумерной сфере, дается геометрическое доказательство теоремы О'Нейлао неубывании кривизны при
римамовых субмерсиях, а также вычисляется тензор кривизны построенной метрики. Приведенные вычисления подтверждают также, что условия теорем, доказанных во второй главе являются точными.
В последней главе рассматриваются идеальные границы открытых многообразий неотрицательной кривизны, изучаются их общие свойства, а также некоторые зависимости между геометрией всего многообразия и топологией его идеальных границ.
В конце работы, в качестве приложения, приводится обзор статей по открытым многообразиям, появившимся до 1992 года.
Дадим более побробное описание упомянутых результатов по главам.
