Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Координатизация аффинных ельмслевовых плоскостей
1. Аффинные ельмслевовы плоскости 18
2. Обобщенные тернарные кольца со смежностью 24
3. Частичные тернарные кольца 32
4. //-плоскости и АН-тернары 37
Глава 2. Гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей
1. ЛТУ-морфизмы ЛЯ-плоскостей 52
2. ЛЯ-тернары с улучшенной смежностью 68
3. Гомоморфизмы ЛЯ-плоскостей 83
Глава 3. ЛЯ-плоскости и изотопии ЛЯ-тернаров
1. Изотопии ЛЯ-тернаров и реперные изоморфизмы ЛЯ-плоскостей 95
2. Изоморфные ЛЯ-плоскости и изотопии ЛЯ-тернаров 108
Заключение 113
Литература 115
- Обобщенные тернарные кольца со смежностью
- Частичные тернарные кольца
- ЛЯ-тернары с улучшенной смежностью
- Изоморфные ЛЯ-плоскости и изотопии ЛЯ-тернаров
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке теории 4Я-плоскостей - одного из классов инцидентностных структур.
Элементы множества Р принято называть точками, а элементы множества L — прямыми. Отношение I называют отношением инцидентности.
В настоящее время наиболее изученными классами инцидентностных структур являются проективные и аффинные плоскости, по теории которых имеется обширная литература, в том числе ряд монографий: [14, 36, 46, 58, 63].
Один из новых методов алгебраических описаний инцидентностных структур был предложен в [8, 9, 29, 30]. В этих работах продолжена разработка теории проективных плоскостей с точки зрения алгебраических систем. Такой подход позволил совершенно по иному подойти к известным проблемам теории проективных плоскостей и получить результаты, связывающие алгебраическую теорию таких плоскостей с геометрией, комбинаторикой и теорией чисел. В них решен ряд алгебраических задач и получены результаты о свойствах свободных и близких к ним объектов и гомоморфизмах.
Общая идея исследований, использующих координатизацию проективных и аффинных плоскостей, состоит в том, что в них выявляются и затем анализируются связи между теми или иными свойствами этих плоскостей и алгебраическими свойствами тернаров. В частности, такие связи изучаются при наличии в плоскости тех или иных коллинеаций, конфигурационных свойств, гомоморфизмов, топологий [1, 10, 31, 61, 68]. Большое внимание уделяется также и исследованию зависимостей между тернарными кольцами, координатизирующими изоморфные плоскости [7, 11, 20, 51, 55, 56, 57, 64].
Следует также отметить, что в настоящее время теория тернаров представляет собой вполне самостоятельную область современной алгебры (см. например [46]), развитие которой имеет большое значение в связи с теорией инцидентностных структур.
Наряду с проективными и аффинными плоскостями большое место в теории инцидентностных структур, занимают их различные обобщения, связанные в основном с полным или частичным отказом от аксиомы А\ [1,3, 14, 25, 47, 48, 49, 50].
Начало этих обобщений было положено в работах Ельмслева [43, 44], а затем продолжено В. Клингенбергом в работах [47, 48, 49, 50] о "плоскостях со смежными элементами". В дальнейшем, в работе [54] Г. Люнебург называет эти инцидентностные структуры елъмслевовыми плоскостями.
Ельмслевовы плоскости (///-плоскости и ЛЯ-плоскости) возникают при отказе от требования единственности прямой, инцидентной двум точкам, и единственности точки пересечения двух прямых. Неоднозначно соединимые точки таких инцидентностных структур называются смежными. Известно, что любую проективную (аффинную) плоскость можно расширить до неоднозначной //-плоскости ( //-плоскости). Интересно также отметить, что далеко не все факты, известные для однозначных плоскостей, верны для ельмслевовых. Например, в статье [39] доказано, что не всякую //-плоскость можно дополнить до //-плоскости и поэтому теории произвольных аффинных и проективных ельмслевовых плоскостей имеют независимый характер.
В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных ельмслевовым плоскостям [1, 14, 33].
С момента появления таких инцидентностных структур ставится задача о их координатизации. Так, в работе [50], Клингенберг связывает с каждой прямой проективной ельмслевовой плоскости (//-плоскости) некоторую аффинную ельмслевову плоскость ( //-плоскость). Далее предполагая, что в этой плоскости справедлива малая аффинная теорема Дезарга и аффинная теорема Паппа-Паскаля (используя гильбертово исчисление отрезков [2], §24), он описывает алгебраически такие плоскости с помощью коммутативного //-кольца (гл. 2, § 1). В работе [47] допускается выполнимость в аффинной ельмслевовой плоскости, связанной с некоторой прямой проективной ельмслевовой плоскости, малой и большой теоремы Дезарга и доказывается, что в этом случае такие плоскости можно координатизировать //-кольцом, не обязательно коммутативным. Люнебург в работе [54] координатизирует аффинные ельмслевовы плоскости трансляций. Далее в работе [38] Дрейк описывает координатизацию так называемых "радиальных ельмслевовых плоскостей", с помощью //-модулей. Наконец в 1967 году В.К. Цыганова в работе [15] координатизирует произвольные //-плоскости с помощью //-тернара (в дальнейшем J/Z-тернар), а в 1973 году, используя аналогичный подход, Е.П. Емельченков [6] координатизирует произвольные //-плоскости. Построенная им алгебраическая система была названа ///-тернаром.
Использование //-тернаров и Р//-тернаров дает возможность алгебраического исследования произвольных ельмслевовых плоскостей. Несмотря на наличие, достаточно большого количества, работ посвященных ельмслевовым плоскостям, имеется ряд нерешенных задач, относящихся к их теории [1].
Основное содержание данной диссертации изложено в трех главах. В ней предложен оригинальный подход к координатизации //-плоскостей и проведено исследование отображений л7/-гаюскостей сохраняющих отношения инцидентности и параллельности. Кроме этого, в диссертации, решена задача описания алгебраической связи между л7/-тернарами, координатизи-рующими изоморфные л7/-шюскости.
Обобщенные тернарные кольца со смежностью
Несмотря на то, что //-плоскости стали объектом изучения с середины пятидесятых годов прошлого столетия, некоторое время не удавалось найти их алгебраическое описание. Высказывалось даже предположение о невозможности координатизации произвольных ельмслевовых плоскостей тернарными кольцами, обобщающими тернарные кольца Холла [38]. Однако в 1967 году В.К. Цыгановой [15] удалось решить эту задачу. Построенное в [15] ко-ординатизирующее множество было названо //-тернаром (в дальнейшем АН-тернар). Затем в работе [34] //-тернары получили название битернарных колец.
Один из новых методов алгебраических описаний инцидентностных структур был предложен в [8, 9, 29, 30]. В этих работах продолжена разработка теории проективных плоскостей с точки зрения алгебраических систем. Такой подход позволил совершенно по иному подойти к известным проблемам теории проективных плоскостей и получить результаты, связывающие алгебраическую теорию таких плоскостей с геометрией, комбинаторикой и теорией чисел. В них решен ряд алгебраических задач и получены результаты о свойствах свободных и близких к ним объектов и гомоморфизмах.
Инцидентностная структура Л = Р,Ь; I, Н называется аффинной плоскостью, если на множестве L задано некоторое отношение эквивалентности II, называемое параллельностью и при этом, справедливы следующие аксиомы: А\. Для любых двух различных точек/? и q существует единственная прямая L такая, что/?IX и qlL. А2. Для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямаяL такая, чтоplLnLWM. A3. Если для прямых L и М не существует точки, инцидентной одновременно обеим этим прямым, то L \\М. А4. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой. Наиболее содержательная теория как проективных, так и аффинных плоскостей была развита после их координатизации тернарными кольцами (тернарами), которая была предложена М. Холлом [12, 13, 63]. Тернарным колырм называется тернарная алгебра 7 = T;t , тернарная операция / которой удовлетворяет условию: 71. (Va,b,ceT)(3\x) t(a,b,x)=c. Тернарное кольцо 7 = Т; t, О,1 , где множество Т содержит, по крайней мере, два элемента 0 и 1, называется тернарным кольцом с нулем О и единицей 1 (ОФ 1), если выполняются следующие условия: 72. (\/а,Ь,сєТ) t(0,b,c)=c = t(a,0,c), 73. (Wa,b&T) t(a,l,0)=a&t(l,b,0) = b.
Следует отметить, что существуют различные обобщения понятий нуля и единицы тернарного кольца, так называемые левые, правые нули и единицы тернарных колец (см. например [7, 25, 68]). Тернарные кольца, у которых О - нуль, а 1 — единица будут обозначаться 77?.
Общая идея исследований, использующих координатизацию проективных и аффинных плоскостей, состоит в том, что в них выявляются и затем анализируются связи между теми или иными свойствами этих плоскостей и алгебраическими свойствами тернаров. В частности, такие связи изучаются при наличии в плоскости тех или иных коллинеаций, конфигурационных свойств, гомоморфизмов, топологий [1, 10, 31, 61, 68]. Большое внимание уделяется также и исследованию зависимостей между тернарными кольцами, координатизирующими изоморфные плоскости [7, 11, 20, 51, 55, 56, 57, 64].
Следует также отметить, что в настоящее время теория тернаров представляет собой вполне самостоятельную область современной алгебры (см. например [46]), развитие которой имеет большое значение в связи с теорией инцидентностных структур. Наряду с проективными и аффинными плоскостями большое место в теории инцидентностных структур, занимают их различные обобщения, связанные в основном с полным или частичным отказом от аксиомы А\ [1,3, 14, 25, 47, 48, 49, 50]. Начало этих обобщений было положено в работах Ельмслева [43, 44], а затем продолжено В. Клингенбергом в работах [47, 48, 49, 50] о "плоскостях со смежными элементами". В дальнейшем, в работе [54] Г. Люнебург называет эти инцидентностные структуры елъмслевовыми плоскостями.
Частичные тернарные кольца
Для дальнейшего необходимо ввести понятие частичного тернарного кольца. Частичные тернарные кольца являются составной частью уШ-терна-ров и необходимы для координатизации произвольных //-плоскостей.
Пусть Т — произвольное множество, содержащее, по крайней мере, два элемента 0 и 1. Тогда условием (Va,beT) t0(a,0,b) = b, (1.3.1) на множестве Тх {0}х Т определяется частичная тернарная операция t0. Из условия (1.3.1), очевидно, вытекают следующие свойства тернарной операции t0: 1) для любых a, be Т уравнение t0(a, 0,x) = b имеет единственное реше ние х0= Ь; 2) {Ча, ЬєГ) (/„(0,0, Ь) = Ъ = t0(a, 0, b)); 3)f„(l,0,0)=0; 4) уравнение t0(x, 0, a) = b имеет решение тогда и только тогда, если а = Ь, причем в этом случае его решением является любой элемент Т; 5) уравнение t0(x, a, b) = t0(x, с, d) может рассматриваться лишь в случае, когда, а = с = 0 и, кроме этого, при b Ф d оно не имеет решений, а при b = d удовлетворяется на множестве Т тождественно; 6) система уравнений t0(a, х,у) = b& t0(c, x,y) = d неразрешима, если b Ф d при любых а и с, а при b=d имеет единственное решение (0, Ь).
Поэтому, учитывая аксиомы тернарного кольца TR, алгебра Т; t0,0,1 называется тривиальным частичным тернарным кольцом с нулем 0 и левой единицей 1, и обозначается TR0. Понятно, что если TR = Т; t, 0,1 — обычное тернарное кольцо, то сужение тернарной операции t на множество Гх{0}хТ будет некоторой частичной тернарной операцией 4, а алгебра Т; 4,0,1 — тривиальным частичным тернарным кольцом. Введем некоторое обобщение понятия кольца TR0. Рассмотрим множество Т, содержащее, по крайней мере, два элемента 0 и 1 (0 1) на котором задано отношение эквивалентности . Предположим, что ТІ фактор-множество множества Т по отношению -,1)= [0] , a t0 — частичная тернарная операция, заданная на множестве ТхЮхТ удовлетворяющая условию: (Уа, сє Т) (Vb = ) t0(a, b,c)=d = c d. (1.3.2) Определение 1.3.1. Пусть t0 - частичная тернарная операция, определенная на множестве Tx!DxT и удовлетворяющая (1.3.2). Тогда если операция t0 удовлетворяет условиям: 710. (Va, сє Т) (УЬє ) (3! х) ф, Ь,х) = с, Т20. (Va, се Т) Q/be ) ф,Ь,с) = с = t0(a, 0, с), 730.(У/ є \{0})(з!1єГ) ф,Ь,0) = Ь, то частичная тернарная алгебра Т; t0, О, 1, называется обобщенным частичным тернарным кольцом (в обозначении GTR0). Пусть t0 - частичная операция GTR0. Тогда условиями, аналогичными (1.2.1) — (1.2.7), можно определить операции t 0(a, b, с), t(a, b, с), fQ{a, b, с), tl0 (a, b;c,d), С (a, b; c, d), fQ {a, b;c,d)n пару { С , ? }.
Замечание 1.3.1. Из Тї0 вытекает, что для любой частичной тернарной операции /о, определенной на множестве ТхОхТи удовлетворяющей условию (1.3.2), операция (а,Ь,с) (см. (1.2.1)) также будет частичной тернарной операцией, определенной на этом множестве. Из (1.3.2) следует, что отношение - будет конгруэнцией операций t0 и tr0(a, b, с). Условие (1.2.11) в любом GTR0 не имеет смысла, так как be Т , а условие (1.2.12) выполняется автоматически ввиду (1.3.2) и того, что любые два элемента из множества Т смежны друг другу.
Из определения 1.3.1, с учетом замечания 1.3.1, следует, что фактор-алгебра 7У ; to , определенная на структуре произвольного GTR0, с частичной тернарной операцией to- заданной условием (1.2.8), является тривиальным частичным тернарным кольцом TR0. В дальнейшем это кольцо называется каноническим гомоморфным образом кольца GTR0. Понятно также и то, что если отношение кольца GTR0 является отношением равенства, то это кольцо будет некоторым частичным тернарным кольцом TR0.
Используя терминологию TR, элемент 0 называется нулевым элементом GTRo, а 1 - левой единицей этого кольца. Определение 1.3.2. Если тернарная операция t0 некоторого GTR0 удовлетворяет условиям: ТН10. (yb,dGT(b dj)(Va,ce )(xy=tl0(a,b;с,сі)= ((Зх2(х2Ф JC,))jci=/J(a,b;с,d))), ТН20. (yb, d =T{b d)) ya, CE.T)(3\(x,y))\{a+c {x=tf{a, b; с, d) &y=f0s(a, b; с, d))), то такое GTR0 называется обобщенным частичным тернарным колырм со смежностью и обозначается GHTR0. По поводу введенных аксиом ТН10 и ТН20 можно дать некоторые пояснения. Условие ТЙГІо сформулировано в форме, соответствующей ТН1. Действительно, так как в данном случае всегда а-с, то, согласно ТН1, уравнение U{x, а, Ь) = /0(х, с, d) не может быть разрешимо однозначно, а, следовательно, если оно разрешимо, то неоднозначно, что и отражено в ТН10. В ТН10 и ТН20 требование b d фигурирует в соответствии с (1.3.2). Определение 1.3.3. Если операция t0 удовлетворяет условию: ( я, 6, & (а2,а3)Ф(Ь2,Ь3)&а1 і10(а2,а3;Ь2,Ь,)) = bi=t 0(a2,a3;b2,b3), (1.3.3) то такое частичное тернарное кольцо GHTR0 называется однородным. Ниже доказываются некоторые свойства GHTR0. Предложение 1.3.1. В любом GHTR0 элементы 0 и 1 несмежны.
Доказательство. Система уравнений t0(l,x,y) = 0 & t0(0,x,y) = 0, в силу 720 и 730, имеет единственное решение х=у=0. Тогда из ТН20 следует, что 0 1. Из предложения 1.3.1, с учетом ТН2о, вытекает справедливость следующего утверждения. Следствие 1.3.1. Нулевой элемент любого GHTRo определяется однозначно. Теорема 1.3.1. В любом GHTR0 имеют место следующие свойства: 1) при b d значения пары операций (а, Ь; с, d), t(a, b; с, d) не определены. Если а-с, b d и х, = t"s(a, b;c,d) & yt = trQs{a, b; с, d), то найдется, по крайней мере, еще одна пара (х2, у2) Ф (хь у і) такая, что х2 = С (а, Ъ; с, d) & у2 = f0s{a, b; с, d), причем х, х2, Ух у2; 2) значение операции t(a, b, с) определено однозначно тогда и только тогда, когдаа 0иЬ с. Всегда /(а,Ь,с)єЮ.
Доказательство. 1) Если (аь Ь,) и {а2, Ь2) две различные пары элементов из множества Т, то системы b=t(a„x,y) и а, — и(Ь„х,у), (/ = 1,2) одновременно не могут иметь решений. Действительно, если предположить, что Ь, = а„х0,у0) и a,=t0(b„Xo,yo), (/ = 1,2) - верные равенства, то bx = t(aX9x y & я, = /о( і, о,Уо) и b2 = t(a2,x0,y0) & а2 = Ъ(Ь2,х0,Уо) - также верные равенства. Отсюда пары (аь bi) и (а2, b2) решения системыy=t(x,x0,y0) & x = t0(y,x0,y0). Однако ввиду АК1, эта система может иметь только одно решение. Поэтому ах—а2 и bi=b2.
ЛЯ-тернары с улучшенной смежностью
Эти конгруэнции определяют на множестве Т некоторое отношение эквивалентности я, которое является подмножеством отношения смежности . Такие отношения называются улучшенной смежностью [32, 37]. Рассмотрим невырожденный ,4і/-морфизм ip GHTR T== T;t,0,l, в GHTRTf= T ;t,0,l, . Определение 2.2.1. Отношение л, заданное условием (Уа,ЬєТ) {алЪ = ср(а)=ф)) (2.2.1) называется отношением конгруэнции GHTR 7 , индуцированным 4//-морфиз мом ср (в обозначении я(ф)). Укажем некоторые простейшие свойства отношений конгруэнции л((р). Предложение 2.2.1. Для произвольного отношения конгруэнции 7т{ф) GHTR 7 справедливо включение л( р) с . Справедливость предложения 2.2.1 фактически была установлена при доказательстве теоремы 2.1.4. Учитывая предложение 2.2.1, в дальнейшем, вместо записи алЬ, будем писать а я( Ъ. Теорема 2.2.1. Разбиение множества Г некоторого GHTR Т, определяемое отношением конгруэнции тс( ), однозначно задается любым своим элементом. Доказательство. Пусть [а]л — произвольный класс фактор-множества Т/л( р) с представителем а. Как доказано в теореме 1.2.4, алгебры Т; + и Tf; + являются лупами с нейтралом 0. Рассмотрим эти лупы. Используя определение операции "+" и предложение 2.1.6, имеем, что с= a+b = t{\,a,b). Поэтому: (р\с) = (р(а + Ъ)=(р(1{\,аМ=Кч {1) ч№ образом ip{a + b) = р(с) = (р(а) + (р(Ь), а это означает, что 477-морфизм ip является гомоморфизмом лупы Т; + в лупу Tf; + .
Зафиксируем элемент а є Т и для каждого Ь из [а]л рассмотрим уравнение х + а — Ь. Пусть для элемента Ъ корнем этого уравнения является х0. Тогда p(x0) + p(a) = (p(b), а, следовательно, так как (p(a)—(p(b), то (р(хо) = 0. Отсюда, с учетом предложения 2.1.6, имеем, что р(х0) = О = (0), и поэтому х0 є [0] (V). Обратно, пусть х0 є [0] ) и х0 + а = Ь. Тогда ip(b) = р(-г0 + а) = (х0) + ( з) = /?(а). Таким образом, р(а)= р(Ь), а значит & є [dj y В лупе Г; + для любых а,ЬєТ уравнениех + a-b однозначно разрешимо и при фиксированном а, различным b соответствуют различные корни этого уравнения. Поэтому для фиксированного элемента а между множеством решений уравнения х + а = Ь, составляющим класс [0]Я( ), и элементами класса [я] ) существует биективное соответствие. Кроме этого, класс [а]л ) однозначно определяется любым своим представителем и классом [0] (V).
В ходе доказательства теоремы 2.2.1 установлена справедливость следующих утверждений. Следствие 2.2.1. Мощности любых двух классов [а]п и [Ь] ) фактор-множества ТІж(ір) одинаковы. Следствие 2.2.2. Элементы а,Ь =Тнекоторого GHTR в том и только в том случае принадлежат одному классу фактор-множества Т/л( р), когда корень уравнения х+а — Ь принадлежит классу [0] ). Рассуждениями аналогичными тем, которые были проведены при доказательстве теоремы 2.2.1, можно установить справедливость следующего утверждения. Следствие 2.2.3. Элементы a, b єТнекоторого GHTR в том и только в том случае принадлежат одному классу фактор-множества 7Узг( р), когда корни каждого из уравнений: а+х=Ь, х а = Ь иа х=Ь принадлежат классу [0] ). Следствие 2.2.4. Пусть л( р) - отношение конгруэнции некоторого GHTR 7 и пусть множество Т 1п{ц ) = [0]п(іру Тогда алгебра Ю/п( р); + - подлупа лупы Т)\+ . Доказательство. Пусть a ,,d2 є2)/ті(ф), тогда р( )= (p(d2)= (р(0)=0, и и поэтому (р{ dx+d2)- (f(dx) + (p(d2 ) = 0 = (0), откуда ( dx + d2) є !D/n( p). Предложение 2.2.2. Пусть дано некоторое GHTR 7 = T;t,0,\, и пусть а,ЬєТиа + 0. Тогда элементы а и Ъ принадлежат одному классу фактор-множества Г/7г(ф), в том и только в том случае, если корень уравнения х-а=Ь принадлежит классу [1]Л(Ф). Доказательство. Пусть а О их0-а = Ь — верное равенство. Учитывая определение операции "", имеем Ъ = х0- а = t(x0, а, 0). Отсюда следует, что (рф) = р(х у- а) = p(t(x0, a, 0)) = t( p(x0\ (рф), (р(0)) = t((p(x0), (рф), 0) = р(х0) (рф). Итак, (р(хо) (рф) = (рф) и, в силу предложения 2.1.3, (рф) + (р(0) отсюда следует, что (рф) 0. Таким образом, если х0є [1]Я(Ф), то (р(х0) = 1 и поэтому р(а)=(рф). Обратно, пусть (рф) = (рф). Тогда tp(x0) (рф) = (рф) = 1 (рф), а, значит, согласно теореме 1.2.4, (р(х0)=1. Таким образом, х0є [1]П(Ф)- Аналогично устанавливается справедливость следующего утверждения. Предложение 2.2.3. Если а 0, то элемент Ъ принадлежит классу МЯ(Ф) тогда и только тогда, когда корень уравнения а-х = Ь принадлежит классу [1]я(Ф). Предложение 2.2.4. Множество (л (ф)} отношений конгруэнции 7г(ф) GHTR 7 линейно упорядочено по включению тогда и только тогда, когда для любых inj (i j) [0]го(ф)с[0]лХф)или [0]го(ф)с[0]да(ф).. Доказательство. Предположим, что множество (л ф)} — представляет собой совокупность отношений конгруэнции GHTR 7 и для любых / и у (/V j) имеем, что [0]ЯІ(Ф)С[0]ЕХФ). Тогда для любого b є [яг]лі(ф), используя следствие 2.2.2, имеем, что корень уравнения х + а — Ъ принадлежит [0]л,(ф), а значит и [0]д,(ф). Откуда, в силу того же следствия, Ъ є [а]лМ, а поэтому [а]го(ф) с [я]щ(ф). Справедливость обратного утверждения очевидна.
Из предложения 2.2.1 следует, что любые два элемента, принадлежащие одному классу фактор-множества 77тг(ф), смежны и поэтому элементы двух различных классов из 77тг(ф) либо смежны, либо попарно несмежны друг другу. Учитывая это, дадим следующее определение. Определение 2.2.2. Пусть [а]Л(ф),[]Я(Ф)ЄТ/к(ф). Тогда элемент [а]л(ф) фактор-множества 7Уя(ф) называется смежным элементу [&]л(ф) (в обозначении ИЯ(Ф) [Ь]п((?)), если найдутся такие элементы а є [а]Л(Ф) и Ьхє [Ь\ж ), что d b\
Изоморфные ЛЯ-плоскости и изотопии ЛЯ-тернаров
Использование со0-со9 изотопии, как будет показано в теореме 3.2.1, позволяет решить задачу определения необходимых и достаточных алгебраических условий, возникающих между . //-тернарами, координатизирующими изоморфные //-плоскости. Определение 3.2.1. уШ-тернар і/называется связанным с АН-тернаром Н цепочкой со,, OJJ,..., а)і, cok изотопии, если существуют //-тернары Hh Hj,..., Hi такие, что НсОіНи Н,coyHj,..., HicokH . Очевидно, что любые АН-тершры, связанные цепочкой со изотопии, координатизируют изоморфные //-плоскости. Теорема 3.2.1. Для того чтобы //-тернары Н и Н координатизирова-ли изоморфные //-плоскости необходимо и достаточно, чтобы их можно было связать цепочкой не более чем из четырех со изотопии вида со0—соч. Доказательство. 1) Необходимость. Предположим, что //-плоскость Н= Р, L; I, II, изоморфна ЛЯ-плоскости H = P ,L ; I, II, , а АН тернары Н и Н построены над реперами R(p0,рир2) и R\p Q, р\, р 2) этих 108 плоскостей, соответственно. Тогда, если изоморфизм/: Н- Н удовлетворяет условию какой-либо из теорем 3.1.1 -3.1.10, то АН-теръары Н и Н связаны цепочкой из одной со изотопии. Предположим, что отображение/не удовлетворяет условию ни одной из теорем - 3.1.10. Пусть j(p0) = q0,j(px) = qx,flp2) = q2, a q0qx =ХХ и q0q2 = F„ Тогда возможны следующие случаи: 1) Пп + ДА", тогда, согласно предложению 1.1.3, Yx ПХ = г0 (рис.46). Учитывая предложение 1.1.13, выберем точки гх IX , г21 Yx такие, что г0 гх и i o + Гг. Тогда очевидно, что тройка точек у у (/ „, гх, г2) образует некоторый репер Я-плос- г?У __\—-— X кости J V. Над невырожденными тройками точек (q0, q\, q2) и (r0, г,, г2) построим АН-тер- rq q Y " Хх нары Нх и /Тг, соответственно. Тогда имеем, что Нсо0Нх, Нхсо4Н2, Н2со5Нг или Н2со9Нг. Таким образом, АН-тернары Ни 1/г оказываются связанными либо цепочкой со0 со4 — со5, либо цепочкой со0 со4 — ОА ИЗОТОПИИ. 2) /Ту, П\ , тогда рассмотрим прямую X, = ё (рис.47). Учитывая следствие 1.1.4, имеем, что Х2 +Х и Х2 Ґ, а, согласно следствию 1.1.2 и предложе- до НИЮ 1.1.5, Пух + Пхг Пусть Yx Г\Х2 = г о, гх IХ2, г г I Г, такие, 1f0 т „ Рис. 47 ЧТО Г0 - Г, И / о - Г2 И ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО S IА2 и Ф Ро. Рассмотрим //-тернары Нх, Н2 и ДГ3з построенные над невырожденными тройками точек (q0, qx, q2), (r0,rx, r2) и (/ o, s, / ) соответственно. Тогда имеем Нсо0Нь Hxco4H2, Н2со9Нъ, и Н3со4Н . Отсюда получаем, что в рассматриваемом случае АН-тернары Н и Нг можно связать цепочкой со0—со4 — со9—о)4 изотопии.
Достаточность. Предположим, что //-тернары НиНг можно связать цепочкой не более чем из четырех со изотопии вида со0 — юд. Тогда АН-плоскости Яи Л будут изоморфны на основании теорем 3.1.1 — 3.1.10 и того, что отношение изоморфизма //-плоскостей транзитивно. Учитывая, что, если Н = НГ, то при решении поставленной задачи отпадает необходимость в использовании изотопии со0, приходим к справедливости следующего утверждения. Следствие 3.2.1. Любые два АН-търтсра //-плоскости 7f можно связать цепочкой, состоящей не более чем из трех СО0 — С09 изотопии. В связи с теоремой 3.2.1, естественно возникает вопрос о возможности решения задачи, поставленной в начале главы, без применения понятия цепочки изотопии. Оказывается, что, после некоторого расширения списка указанных выше аьизотопий, эта задача может быть решена и в такой постановке.
Данная работа выполнена в 2008 году и основана на значительно переработанных и дополненных новыми результатами статьях [17,21,24]. При получении и обосновании геометрических результатов диссертации в основном используется координатизация //-плоскостей //-тернарами.
Диссертация носит теоретический характер в области геометрии инцидентностных структур с приложениями в общей алгебре. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Предложенный в диссертации подход к координатизации Я-плоскостей с помощью обобщенных тернарных колец GHTR и GHTR0 может быть реализован и для ельмслевовых проективных плоскостей относительно /WepHapoB, введенных в [6], а OJ-ИЗОТОПИИ, рассмотренные в данной диссертации, могут быть подвергнуты дальнейшему исследованию, как в алгебраическом, так и в \ геометрическом направлениях.
Результаты, приведенные в диссертации, неоднократно докладывались на научных семинарах СГПИ им. К. Маркса, руководимых профессором Б.И. Аргуновым; научном семинаре кафедры алгебры и геометрии СОГУ; международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2008 г.); научной конференции молодых ученых СГПИ, посвященной 60-летию Великой Октябрьской социалистической революции; на XIV и XV научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук УДН им. П. Лумумбы, а также на III, IV и V научных конференциях молодых ученых и специалистов факультета физико-математических и естественных наук этого университета.
Основное содержание данной диссертации опубликовано в статьях [16, 17, 19, 21 - 24, 26 - 28], а также представлено в монографии [14] (стр. 269 -273) и обзоре [1] (стр. 27, 28). Кроме этого, автором опубликован ряд статей [3, 4, 18, 20, 25], не вошедших в диссертацию, но посвященных сходным вопросам относительно некоторых классов инцидентностных структур, отличных от //-плоскостей.
Автор глубоко благодарен научному руководителю, доктору физико-математических наук И.А. Хубежты за постоянную поддержку и внимание, оказанное при выполнении данной работы.