Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Группы гомологии и когомологии ограниченной дистрибутивной решетки над одной группой коэффициентов 15
I. Построение и аксиоматика 15
2. Свойства гомологии и когомологий, связанные с компактностью и связностью 35
3. Упорядоченные грзгапы гомологии и когомологий 46
4. Вычисление гомологии и когомологий некоторых классов решеток 62
5. Последовательности Майера-Виеториса 72
ГЛАВА II. Различные группы гомологии и когомолоши.двойственности 87
I. Относительные группы гомологии и когомологий дистрибутивной решетки над парой групп коэффициентов 87
2. Свернутые, слабые и свернутые ординарные группы гомологии и когомологий 96
3. Группы гомологии и когомологий дистрибутивной решетки над парой копредпучков и предпучков соответственно 109
Литература
- Свойства гомологии и когомологий, связанные с компактностью и связностью
- Вычисление гомологии и когомологий некоторых классов решеток
- Свернутые, слабые и свернутые ординарные группы гомологии и когомологий
- Группы гомологии и когомологий дистрибутивной решетки над парой копредпучков и предпучков соответственно
Свойства гомологии и когомологий, связанные с компактностью и связностью
I. Пусть р- топологическое "її-пространство, а С-база открытых множеств пространства , которая замкнута относительно конечных объединений и пересечений и которая содержит
Тогда - дистрибутивная решетка с наименьшим элементом ф и наибольшим элементом . -мерными группами гомологии и когомологий пространства /з . относительно базы 6 над группами коэффициентов G. и G. , соответственно,, назовем определенные в [2S1 группы Hp( jGc) и Нр0-.(х) и обозначим их через Нр№ 6-) и НР(, ; 30. Если оС содержит все открытые множества пространства j , то Н р{Ь &) и Н?С ? Ъ6; G!) являются р-мерными группами гомологии и когомологий Нр ( &) и 4 ) Александрова-Чеха пространства основанные на конечных покрытиях над группой коэффициентов GL и G- , соответственно.
Предлокение 1.2.1. Пусть есть база открытых множеств для компактного пространства р . Если f,U&-i является конечным открытым покрытием j& , то существуют такие открытые множества i% , iikvi , из , что l crU; и ,1/--- Доказательство. Для каждого ос в $ существует элемент 1 (зс) в Ь такой, что W-() =-{Xi для некоторого индек -36 ca I . Семейство #(ЬО І хе } покрывает ; пусть будет конечным подпокрытием fb . Поло жим #i = Ul\X/Kl vcks UiJ , тогда tfx є c , ф. s Ui и
Доказывается следующая Теорема 1.2.2. Если - компактное пространство, - база открытых множеств пространства , которая замкнута относительно конечных объединений и пересечений И . , 6 , то
Доказательство этой теоремы, ввиду предложения І.2.І, опирается на тот факт, что направленное множество конечных покрытий пространства с элементами из является конфинальным подмножеством в множестве всех конечных открытых покрытий пространства р.
База для Т]-пространства называется дизъюнктивной, если выполнено следующее условие. Если еА , где е h и А в о , то имеется элемент Т из , при условии, что ЬеЪ и Л Ъ-Э . Пусть является дизъюнктной базой для П -пространства /о , тогда отобра жение # і f(fe) = \ А є I eAj дает гомеоморфизм j$ с плотным подмножеством компактного Ті-пространстЕа JUKjb) Пара (М-№) 7 $) называется Волмэновской компактификацией р относительно базы . Предполагается, что Ь замкнута относительно конечных объединений и пересечений и є ,
Берна следующая теорема, частный случай которой известен (см. [22], №]). -37 Теорема 1.2.3. Если - дизъюнктивная база топологического Ті -пространства $ и (СМ0О у волмэновская компакти-фикация пространства р относительно базы , то Доказательство. По определению Jk(g)- множество максимальных идеалов ограниченной дистрибутивной решетки \ . Так как 4 дизъюнктивная база топологического Т -пространства , то множество является базой открытых множеств для компактного \-пространства Л1(У0 (см. С Ч ). Поэтому из теоремы 1.2.2 получаем Отображение -— - %«/fi) » определенное соответстви ем А -ЛЛ/ч , где /Ч.Ь является решеточным изомор физмом. Следовательно, имеем изоморфизмы
Вспоминая определение групп гомологии и когомологий HP(2 ,J;GL) и НРС& & ) » 0ТСЮДа получаем теорему 1.2.3.
Так как система всех конулевых множеств нормального пространства у является базой этого пространства и множество всех конечных покрытий р элементами из конулевых множеств ЯВЛЯЕТСЯ кон -38 финальным подмножеством в множестве всех покрытий Со\ (&)(см. [5&1 \ то из теоремы 1.2.3 получаем Следствие 1.2.4. Пусть - система всех конулевых множеств нормального пространства fb . Тогда oUQ) гомеоморфно стоун-чеховской компактификации (см. Счі] ) и следовательно
2. Теперь мы покажем, что группы гомологии и когомологий ограниченной дистрибутивной решетки, определенные при помощи конечных покрытий, изоморфны соответственно группам гомологии и когомологий определенного компактного То- пространства.
Вычисление гомологии и когомологий некоторых классов решеток
Пусть ) конечная плоская дистрибутивная решетка. Элемент і не может накрывать более двух элементов, так как в противном случае содержал бы подрешетку, изоморфную диаграмме (2) и следовательно « оказался неплоским. Если элемент накрывает только один элемент, то в любое покрытие элемента 1 можно вписать покрытие -$lJ , поэтому группа гомологии «6 равна \ Z? когда =о [ О, когда Р о. Пусть элемент 1 накрывает два элемента а и ъ , то имеется КОНеЧНОе МНОЖеСТВО ЭЛеМеНТОВ І Хо,аА, ... , ЭцЗ И . " iwij из , где а0-а и аоуа у- й 0 = 4 и g0 У &! -т- 4w , причем каждый &i несравним с { и каждый %i несравним с й . Причем такими свойствами подмножества \Qo, Оі,.»«, сх н\ и \ %оЛ\. -- Л»$ максимальны. Очевидно, Qvyw\ L . Покрытие Scu,-8w вписано в любое другое покрытие, поэтому Hp( Z.)-H?(Ke 2i) где Ке комплекс, вершинами которого являются элементы 0.г и %w\. Следовательно:
Любая подрешетка , о » имеет те свойства, что и и значит ту же группу гомологии, что и . Конечная \\ -элементная решетка называется разборной, если существует цепь Cd d-.c v if подрешеток такая, что l il (см. ЩЪ] ). Из теоремы I.4.I получаем
Следствие 1.4.2. Конечная дистрибутивная решетка является разборной тогда и только тогда, когда всякая подрешетка о, имеет группу гомологии, равную (I). Элемент ft из решетки Ь называется неразложимым, если из того, что a- fevc следует а & или й=С . Элемент а называется атомом, если а)—О и коатомом, если Q.— 1.
Теорема 1.4.3. Конечная дистрибутивная решетка является булевой тогда и только тогда, когда для каждой подрешетки А , АсЬ » которая порождается тремя неразложимыми элементами имеет нульмерную группу гомологии Ho(k\lL) , не равную Zx
Доказательство. Пусть Е булева решетка, тогда неразложимыми элементами являются его атомы. Если теперь /\у l\c bf произвольная подрешетка, которая порождается тремя атомами, тогда Д, изоморфна диаграмме (2) и поэтому имеет нульмерную группу гомологии Ho(/V Z») следовательно Но С А20 не равна 2 и 21Z , т.е. условие необходимо.
Легко показать, что в конечной дистрибутивной решетке Ъ все неразложимые элементы параллельны, т.е. попарно не сравнимы тогда и только тогда, когда В булева. Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что неразложимые элементы параллельны. Действительно, пусть а , & и с три произвольных неразложимых элемента из В Если а Ь с , то подрешет-ка А = о. & с] имеет нульмерную группу гомологии Но(А ,&) равную 2. , что невозможно по условию теоремы; следовательно а Ь .с не имеет места. Если о. . & и с несрав нима с а и -& , то подрешетка, порожденная а , % и с элементами изоморфна диаграмме и его нульмерная группа гомологии Н0(А ,2.) равна 2-i что противоречит условиям теоремы. Таким образом заключаем, что (X , & и с несравнимые элементы. Следовательно, неразложимые элементы являются параллельными. Этим завершается доказательство теоремы.
Пусть %(п") - свободная дистрибутивная решетка ранга п порожденная oct, ОСд,, .. , п элементами, тогда каждый элемент из Ffc,(n) можно записать в виде Vp(/efi "0 . гДе б обозначает множество элементов ось , а р система подмножеств 6 (см. [$] , [ІЗ] ). Элементы aiVflCgV- -voCn и ос,лосг/\- AJC« являются наибольшими и наименьшими элементами решетки Fx (n) "» обозначим их, соответственно, через і и О.
Свернутые, слабые и свернутые ординарные группы гомологии и когомологий
Теория гомологии и когомологий топологических пространств - одна из быстроразвивающихся областей современной топологии, находящая широкие применения во многих областях математики. Различные аспекты этой теории изложены,например, в книгах [2Ї] , [іб] ,[22J .Естественным вопросом этой теории является вопрос построения различных гомологии и когомологий ограниченных дистрибутивных решеток, обобщающих известные различные гомологии и когомологий топологических пространств.Как отмечено в работе Г.С.Чогошвили[зІ] "Несмотря на такую общность, дальнейшая алгебраизация - именно в направлении теории решеток - представляется нам возможной. Это - очередная задача рассматриваемой области топологии". Построенные в диссертации гомологии и когомологий ограниченных дистрибутивных решеток обобщают гомологии и когомологий Александрова-Чеха и Виеториса для топологических пространств, а также гомологии и когомологий булевых алгебр с замыканием,построенные Бунятовым М. [9J , и тесно связаны с гомологичмия для решеток, введенными Рота 1., Кан Д., Петерсон Ф., Уайтхед Ж. J4-9\, Фолкман Дк.[40, Мазер Дж.[47Іи гомологиями и когомологиями дистрибутивных решеток, введенными Ахмедом Халми Мухаммедом Насир Ибрагимом Щ .
Диссертация состоит из введения и двух глав(8 параграфов).
В I главы I определяется категория пар ограниченных дистрибутивных решеток и их решеточных полных {p,ij -гомоморфизмов .Там же приводятся основные определения и сведения,необходимые в дальнейшем для построения в этой категории относительных групп гомологии и когомологий типа Александрова-Чеха и абсолютных групп типа Виеториса, основанных на всех конечных или на всех покрытиях . В теоремах І.І.П и I.I.24 доказывается двойственность построенных групп гомологии и кого-мологий, когда группы коэффициентов двойственны. Изучаются группы типа Александрова-Чеха с точки зрения аксиом типа Стинрода Эйленберга. А именно, гомологии являются контравариантными, а когомологии - ковариантными функторами из категории пар ограниченных дистрибутивных решеток и их решеточных гомоморфизмов в категорию групп (теоремы I.I.I4 и I.I.I5). Аксиома размерности, аналог аксиомы 3 Стинрода-Эйленберга и аксиома точности естественно формулируется и доказывается на этой категории (теоремы I.I.I6, I.I.I8 и I.I.20). Дается определение гомотопности двух решеточных гомоморфизмов пар (определение I.I.2I) и доказывается (теорема I.I.22. Аксиома гомотопии), что они индуцируют равные гомоморфизмы групп гомологии и когомологии.
В 2 главы I для топологического Тх пространства и для его некоторой базы открытых множеств Ь , которая замкнута относительно конечных объединений и пересечений и которая содержит А и 0 , определена группа гомологии и когомологии НР О, ;(х) и Hp(j5, Gl) пространства & от носительно базы &t над группами коэффициентов G. и G. со ответственно. Когда & содержит все открытые множества Jb , то эти группы совпадают с группами гомологии и когомологии Александрова-Чеха пространства J5 над группами коэффициентов G. и G! соответственно. Теорема 1.2.2 утверждает, что если Р - компактное пространство, то группы Hp03 bC;CL) и V\p(.Jb ;G!,) не зависят от выбора из fb , а за висят только от пространства у5 . Одним из основных результатов в 2 являются теоремы 1.2.3 и 1.2.13.
Группы гомологии и когомологий дистрибутивной решетки над парой копредпучков и предпучков соответственно
В 2 главы I для топологического Тх пространства и для его некоторой базы открытых множеств Ь , которая замкнута относительно конечных объединений и пересечений и которая содержит А и 0 , определена группа гомологии и когомологии НР О, ;(х) и Hp(j5, Gl) пространства & от носительно базы &t над группами коэффициентов G. и G. со ответственно. Когда & содержит все открытые множества Jb , то эти группы совпадают с группами гомологии и когомологии Александрова-Чеха пространства J5 над группами коэффициентов G. и G! соответственно. Теорема 1.2.2 утверждает, что если Р - компактное пространство, то группы Hp03 bC;CL) и V\p(.Jb ;G!,) не зависят от выбора из fb , а за висят только от пространства у5 . Одним из основных результатов в 2 являются теоремы 1.2.3 и 1.2.13. Теорема 1.2.3 утверждает изоморфность групп гомологии (групп когомологии) топологического Ті пространства В относительно дизъюнктивной базы с группами гомологий Александрова-Чеха н»ШО);( ) (соответственно с группами когомологий Вол-меновская компактификация пространства 3 относительно базы
Частными случаями этой теоремы являются известные утверждения из [163 и LZ2] . Доказано, что гомологии и когомологий ограниченной дистрибутивной решетки сводятся к гомоло-гиям и когомологиям пространства его простых идеалов (теорема 1.2.5). Вводится понятие связности ограниченной дистрибутивной решетки и устанавливается его связь с разложениями в прямую сумму групп гомологии и когомологий (теорема 1.2.13).
Рота Ж.С, Кан Д., Петерсон Ф. и Уаитхед Ж. построили теорию гомологии конечных решеток. Это построение дается в терминах выбора. "Кросс-Ката" для данной решетки. Определив Эйлерову характеристику Е для конечного ограниченного частично-упо-рядоченного множества Р при помощи функции Мебиуса (другие определения Эйлеровой характеристики в классе дистрибутивных решеток, связанные вышеупомянутым определением в случае конечной дистрибутивной решетки дали ХадЕИгер Н. в [423 и Кли в [4S] ) и определив Эйлерову характеристику Е(С) для "Кросс-Ката"
С из конечной решетки 6 как знакопеременную сумму рангов групп гомологии Не (С) , Рота Ж. С. в [ 91 показал, что Эйлерова характеристика Е(С) , определенная при помощи групп гомологии для произвольного С из равна Эйлеровой характеристике Е для решетки . Тоже самое Мазер Дж. доказывает в [Ц7] другим методом. Фолкман Дж. в \Чб\ дал доказательство инвариантности гомологии решетки. Он доказывает, что группы гомологии любого "Кросс-Ката" С из данной ограниченной решетки ) те же самые, что и группы гомологии комплекса, вершинами которого являются элементы решетки, отличные от 0 и I, и симплексами являются линейно упорядоченные подмно -6 жества. вершин. Его доказательство справедливо как для конеч ных, так и для бесконечных решеток. Чтобы показать связь групп гомологии, построенных в I главы I с этими группами гомологии мы в 3 главы I строим упорядоченные группы гомологии и кого мологий ограниченных дистрибутивных решеток. Построение этих групп основывается на мультипликативных покрытиях. По поводу этого построения отметим следующее. Пусть муль типликативные покрытия ограниченной дистрибутивной решетки Ь такие, что В ситуации I индуцированные отоб ражения ( (и % ) были определены неоднозначно и потому были симплициально близкими.
