Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к исследованию нелинейных уравнений, обладающих представлением Лакса (2) или каким-нибудь его обобщением, объясняется возможностью применения к ним метода обратной задачи рассеяния. Этот метод, возникший в известной работе Гарднера, Грина, Крускала и Мири fl2j, позволяет детально исследовать задачу Кошл для таких нелинейных уравнений, сводя ее к некоторой спектральной задаче (задаче рассеяния) для оператора L .
Другой особенность» интегрируемых нелинейных уравнении, связанной с существованием представлений типа Лакса, является наличие большого числа решений этих уравнений, даваекгах явными Формулами в элементарных и специальных функциях. Пространственно локализованные решения такого вида: солитонн, кинки, бризеры и т.д. находят применение в приложениях (в гидродинамике, нелинейной ОПТИКО, 'Т'ЙЗИКе
плазмы и др.) при описании различных волновых процессов в бездисси-патишшх нелинейных средах. Одиночный оолитон уравнения КдФ
и = -
а
Xdi* ±a(x-x0~at)
ik)
и простейшее периодическое решение этого уравнения - кнойдальная волна С 3 J
а І.5)
были известны задолго до появления метода обратной задачи рассеяния» Здесь (у(х) функция Вейерштрасса, удовлетворяющая обыкновенному дифференциальному уравнению
U»/-4 *>'-«,*»-«,
Л - солитоннне решения уравнения КцФ било построено Хиротой /"її .7« а в рамках метода обратной задачи рассеяния оно получено Вадати и ТодоП, Это решение дается формулой
где б - квадратная /1* л-матрица со следующими компонентами
л expiZjK.x-Sfu-i)
g » I + г l^-rr11— с - . (7;
Рациональные решения уравнения Ццф задаются некоторыми специального вида полиномами
/f 2
ІЗ -
Метод алгебро-геометричелного или нонечнозонного интегрирования, возникший в работах Новикова, Дубровина, Чатізеева и іітсо и розвішавшийся впоследствии так ко л работах Чередника, Кричепера и др. С 6 - 10.7, значительно расширяя список явных решений интегрируемых нелинейных уравнений, дополнив его периодически.'. и кваэипе-рнодическими конечнозоннши решениями этих уравнений. ГСон'ечнопошше решения уравнения 1<ДФ выражаются через тэта-функции гиперэллиптичес-ких римановых поверхностей и имеют вид
*с ос *
и параметризуются уже тэта-функциями произвольных ричаиопих поверхностей. Кноидзльная волна (5) входит в число конечнозонпнх решений уравнения КцФ (9) и отвечает эллиптическому случаю, когда род рима-новай поверхности 0=1.
Цель работы. Цель настоящей работы состоит в исследовании одной системы двух нелинейных уравнений, расширяющей хорошо известное уравнение Кортевега-де Фриза ; в нахождении некоторых точных решений этой системи ; в исследовании возможности применения метода Хироты к рассматриваемой системе и построения о помощью метода Хироты специальных солитоиных решений.
Научная новизна^. 8 работе получены точные реяеняя рассматриваемой системы, расширяющие известные формулы (4) :і (5) . Выведены уравнения эволюции данных рассеяния связанных с оператором четвертого порядка, которые обобщают классические уравнения Грина, Гардаора, Крискала и Миуры, получешше для уравнения [{ортевога-де Фриза.
Построено счетное множество первых интегралов для рассматриваемой системы. Исследована рассматриваемая система и построено общее решение в виде рядов Лорана, содержащие 6 произвольных функций -
- б -
максимальное возможное число. Выведены рекуррентные формулы, последовательно определяющее нее коэффициенты рядов Лорана через эти п рои з вол ы wo функции,
Доказано, одо метод Хироты но позволяет найти ,//"-солнтонныс решения для Jf> 2, т.е. методом Хироти можно получить только одно-солитонше решение, которое имеет профиль решения ('4} и двухсолитон-ное решение, имеющее специальный вид.
Практическая и теоретическая ценность работы
Работа носит теоретический характер, гезультаты, полученные в диссертации, являются естественным дополнением известных ([актов теории уравнения Картевега-де Фриза и поэтому представляют теоретическую ценность с точки зрения теории интегрируемых нелинейных уравне-
je ний. Построение точных решений систем нелинейных уравнений имеет важно
теоретическое значение ; свойство этих уравнений могут моделировать некоторые виды динамики волн в плазме.
Апробация работа. Оснотше результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции по теории нелинейных уравнений в ЛОМИ (руководитель акад. Ладькенская 0. A., 1991 г.), на научном семинаре кафедры ди№срснциалънон геометрии ЭТУ (руководитель проф. Фоменко А.Т.). ,|зультаты диссертации докладывались на семинарах в МЯАН.
Публикации. По теме диссертации опубликозапн две печаттю работы, список которых пригодится в конце автореферата.
Структура днсесртаціїи. Диссертация состоит из введения и четырех глав и изложена на 79 машинописних страницах. Список литературе включает 50 нанлонований.
