Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Агапов Сергей Вадимович

Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии
<
Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Агапов Сергей Вадимович. Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.04 / Агапов Сергей Вадимович;[Место защиты: ФГБУН Институт математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения Российской академии наук], 2016

Содержание к диссертации

Введение

1 Натуральная механическая система на двумерном то ре 17

1.1 Уравнение на коэффициенты разложения в ряд Фурье потенциала 17

1.2 Основные результаты 22

2 Магнитный геодезический поток на двумерном торе 32

2.1 Геодезические потоки и полугамильтоновы системы 32

2.2 Геодезический поток в магнитном поле 34

3 Субриманов геодезический поток для распределения Гурса 38

3.1 Задача оптимального управления на группе Гурса 38

3.2 Поверхности уровня первых интегралов 41

3.3 Экстремальные траектории 45

Заключение 50

Список литературы

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

В диссертации изучаются интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с натуральной механической системой и магнитным геодезическим потоком на двумерном торе, а также с субримановым распределением Гурса в R.

При исследовании многих задач классической механики возникают системы дифференциальных уравнений, которые в подходящих координатах можно записать в следующем виде

xl = {xl,H}, рі = {рі,Н}, і = 1,...,п. (1)

Здесь Н : Т* Мп -> I — некоторая функция, определенная на кока-сательном расслоении, которая называется функцией Гамильтона (гамильтонианом), Мп — гладкое многообразие, являющееся конфигурационным пространством рассматриваемой динамической системы, а {, } — скобка Пуассона, которая в канонических координатах имеет следующий вид:

Y^ ( dF дН dF дН\

^-^ дхг dpi dpi дхг

і=1 п п

Системы вида (1) называются гамильтоновыми. Функция F : Т* Мп —> R называется первым интегралом гамильтоновой системы (1), если выполнено F = {F, Н} = 0.

Гамильтонова система (1) называется интегрируемой по Лиувил-лю (или вполне интегрируемой), если она обладает полным набором п первых интегралов F\ = Н, F2, , Fn, функционально независимых почти всюду и находящихся попарно в инволюции, то есть {fj, Fj} = 0 для всех i,j = 1,..., п.

Натуральным механическим системам отвечают гамильтоновы системы (1) с гамильтонианом вида

Н = Т(х ,..., xn,pi,... ,рп) + V(x ,...,жп),

где Т — кинетическая энергия (квадратичная форма по импульсам), V — потенциал. Рассмотрим гамильтонову систему на двумерном торе

х = 1^, у = М-, v\ = —%г-, Vi = -1Г-, Н = Р1^Р2 -\- V(x.y), (2)

dp1 ' Я Ор2 ОХ ' 1 ^ Оу ' 1 1

где V — периодическая функция на плоскости R2 с некоторой решеткой периодов Л С К2. Известны следующие случаи наличия дополнительного интеграла (см., например, [):

  1. Если V{x,y) = V(ах + /Зу), где а, Є К, то существует полиномиальный интеграл вида F\ = ар2 — (Зр\.

  2. Если V{x,y) = Vi(a\x + /Зіу) + Viiai'-z + /%у), где а»,/?» Є К — некоторые константы, согласованные с решеткой периодов Л, то существует полиномиальный интеграл вида F + d2)p\ + ^Р\Р2 — (di + d"i)v\ + 2(di — <^2)(Vi + V2), c/j = щ/Pi.

Следуя , полиномиальные интегралы минимальной степени, независимые от интеграла энергии, будем называть неприводимыми. Согласно известной гипотезе, высказанной В.В. Козловым (см. ), максимальная степень неприводимого интеграла гамильтоновой системы (2) не превосходит 2. В полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана.

М.Л. Бялый доказал, что в случае решетки Л = 1?

V{x, у) = V{x + 1, у) = V{x, у + 1),

если у гамильтоновой системы (2) (с гладким V) существует дополнительный интеграл третьей степени по импульсам, то существует интеграл первой степени. В.В. Козлов и Н.В. Денисова обобщили этот результат на произвольную решетку Л.

В также показано, что интеграл четвертой степени сводится к интегралам меньшей степени всегда за исключением, быть может, случая, когда потенциал V имеет вид

V{x, у) = V\{x) + Vi{x + у) + Vs(y) + V±(y — х). (3)

А именно, в не было установлено, может ли гамильтонова система (2) с потенциалом (3) иметь неприводимый интеграл четвертой степени. Исследованию этого случая посвящена глава 1. Разложим Vfc(z), к = 1,..., 4, в ряд Фурье

Vkyz) = у vke ,

n= —00

здесь к,п — индексы (п — не степень) в v^. Из вещественности Vj. следует, что vry, = гід/. Справедлива

Лемма 1 ( [). Если гамильтонова система (2) с периодическим потенциалом (3) имеет полиномиальный по импульсам интеграл четвертой степени, то каждая из функций Vk содержит бесконечно много ненулевых коэффициентов Фурье в своем разложении.

Основной результат первой главы заключается в следующем.

Теорема 1.1 ( ). Пусть vry, быстро убывают с ростом \п\ (как коэффициенты Фурье достаточно гладкой функции). Тогда при условиях леммы 1 имеют место равенства \v\ = |«g |, \vV;\ = \v\.

Теорема 1.1 была получена совместно с Д.Н. Александровым.

Теорема 1.1 была независимо доказана Н.В. Денисовой, В.В. Козловым и Д.В. Трещевым в [. Более того, в [ доказано, что если гамиль-тонова система (2) с периодическим потенциалом (3) обладает первым интегралом 4 степени, то существует интеграл 2 степени, независимый от интеграла энергии.

Вопрос о существовании неприводимого первого интеграла более высокой степени у системы (2) остается открытым. В показано, что если гамильтонова система (2) имеет интеграл пятой степени и потенциал V аналитичен, то существует интеграл первой степени (этот результат доказан для произвольной решетки периодов за исключением одного специального типа).

Отметим, что В.В. Козлов и Д.В. Трещев в [8] доказали, что если гамильтонова система интегрируема и потенциал V является тригонометрическим полиномом, то дополнительный интеграл высокой степени по импульсам сводится к интегралу первой или второй степени.

Глава 2 посвящена изучению магнитного геодезического потока на двумерном торе. Напомним сначала некоторые результаты, которые относятся к геодезическому потоку в отсутствии магнитного поля, а затем сопоставим их с результатами, касающимися геодезического потока в магнитном поле.

По сравнению с натуральными механическими системами, геодезический поток на поверхности является более общим (и намного более сложным) объектом. Геодезический поток задается системой уравнений

і = IF, У = IF, Р\ = -F1, Vi = -тг1, Н = ±gijpiPi, (4)

dpi ' я ор2 ох ' 1 ^ оу ' 1 rJ

где дг-* — тензор, обратный к метрическому тензору дц на поверхности. Связь между натуральными механическими системами и геодезическими потоками дает хорошо известный принцип Мопертюи (см.,

например, [). Вопрос об интегрируемости геодезических потоков по Лиувиллю является очень интересным и сложным.

Напомним теорему В.В. Козлова, которая отражает топологические препятствия к полной интегрируемости.

Теорема 1.2 ( [). Предположим, что на замкнутой ориентируемой поверхности М задана вещественно-аналитическая метрика. Если род поверхности М отличен от 0 или 1 (то есть М не гомеоморфна ни сфере S , ни тору Т ), то система (4) не имеет первого интеграла, аналитического на Т*М и независимого от интеграла энергии.

На двумерном торе существуют два вида римановых метрик, для которых геодезический поток интегрируем. Если метрика имеет вид

ds = A(x)(dx + dy )

или

ds = (Лі(ж) + A2(y))(dx + dy ),

то существует полиномиальный по импульсам первый интеграл степени 1 или 2 (см., например, [).

Неизвестно, существуют ли метрики с неприводимыми полиномиальными интегралами более высоких степеней. Этот вопрос изучался в , [8], [10]. Поиск полиномиального первого интеграла геодезического потока на двумерном торе сводится к вопросу о существовании периодических решений некоторой квазилинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных на метрику и коэффициенты этого интеграла вида

A{U)UX + B{U)Uy = 0. (5)

Оказывается, системы такого вида, отвечающие интегрируемым геодезическим потокам, обладают замечательными свойствами, в частности, они являются полугамильтоновыми (см. - ). Полугамильтонову систему можно записать в виде законов сохранения, то есть существует такая замена переменных UT —> (Oi(U),..., On(U)), что для некоторых F\(U),..., Fn(U) верны следующие соотношения

{Gj{U))x + (Fj(U))y =0, j = 1,..., п.

Более того, в гиперболической области, где все собственные числа Ai,..., А„ матрицы А~1В или В~1А (в областях, где хотя бы одна из

матриц А, В невырождена) вещественны и попарно различны, полуга-мильтонова система обладает инвариантами Римана, то есть существует такая замена переменных

U —>(ri(U),...,rn(U)),

что систему можно записать в виде

(rj)x + Aj{r){rj)y = 0, j = 1, , П.

Перейдем теперь к магнитному геодезическому потоку на двумерном торе, который задается гамильтоновой системой

х3 = [х3, Н}тд, pj = {pj, Н}тд, ,7 = 1,2

в магнитном поле с гамильтонианом Н = T,q%3ViV-i и скобкой Пуассона следующего вида:

г п тп v~^^F dH dF дН 1 о&F дН

{Ь,Н\т„ = у7 ——г + \1{х ,х )—

^—' ох1 дрц дрц ох1 др\ др2

Если {F, Н}тд = 0, то функция F является первым интегралом магнитного геодезического потока. Магнитные геодезические потоки (или, эквивалентно, системы с гироскопическими силами) изучались, например, в [18] - .

Магнитный геодезический поток на двумерном торе, вероятно, вообще не допускает неприводимого первого интеграла степени выше 1 на всех уровнях энергии. Пример интегрируемого геодезического потока с дополнительным интегралом первой степени по импульсам можно найти в .

Существование дополнительного первого интеграла магнитного геодезического потока на двумерном торе (в конформных координатах) на фиксированном уровне энергии эквивалентно существованию периодических решений квазилинейной системы дифференциальных уравнений вида (5), которая, как было доказано М. Бялым и А.Е. Мироновым в [, также является полугамильтоновой.

Напомним, что для полугамильтоновой системы выполняются следующие соотношения на собственные значения ( , ):

О у A fc О у /Л fc / - / I

огг = ог , г ф j ф к ф г.

1 Лі — Afc " Xj — Afc

Это означает, что существует такая диагональная метрика

ds = Н1 {r)dr^ + . .. + Hn(r)drn,

что её символы Кристоффеля удовлетворяют следующим соотношениям:

1 ы =, г ф к.

Aj Л],

Диагональная метрика называется егоровской, если её коэффициенты вращения /Зы симметричны:

Pkl = Рік, Pkl =77 , & ф I,

Нк

или, эквивалентно, существует такая функция а(г), что дГка(г) = Н%(г). Здесь Ні — коэффициенты Ламе этой метрики, Hf = да. Следуя , соответствующие полугамильтоновы системы мы будем называть его-ровскими.

Основной результат главы 2 заключается в следующем. Предположим, что магнитный геодезический поток на двумерном торе имеет дополнительный первый интеграл произвольной степени N на фиксированном уровне энергии Н = tj. Это эквивалентно наличию периодических решений полугамильтоновой системы вида (5) с некоторыми матрицами А, В ( , см. также главу 2). Тогда верна следующая теорема.

Теорема 2.1 ( ). Система (5) является егоровской для любого N.

Глава 3 посвящена изучению субриманова геодезического потока для распределения Гурса в R. Распределение Гурса двумерных плоскостей в R (см., например, [) задается векторными полями

fi(q) = (1, 0, — Ж2, , — жп_і), /2(9) ^ (0,1,0,..., 0),

где q = (жі, Ж2,..., ж„) Є К". В силу теоремы Рашевского — Чоу [ любые две точки qo,qi К можно соединить кусочно-гладкой траекторией системы

q = uifi(q) + «2/2(9)1 и Є R , (6)

при этом \q\ = \/и\ + и\.

По теореме Филиппова любые две точки

траекторией, на которой достигается минимум следующего функционала

I = / \q\ dt, (7)

о

где (/(0) = (/о, я(Т) = q\. Такие траектории называются оптимальными. Легко показать, что задача минимизации функционала (7) эквивалентна задаче минимизации функционала

fTu\ + ul 7

J = at. (8)

o 2

Для исследования нормальных оптимальных траекторий в задаче (6), (8) удобно воспользоваться принципом максимума Понтрягина . Согласно этому принципу, оптимальные траектории системы (6) описываются гамильтоновой системой

дН . дН

Хі =—, pi = —, г = I, ..., п, (9)

Opi OXi

где гамильтониан

H{p,q,u) = (р, мі/і + U2J2) (10)

максимизирован по управлению:

H(p(t), q(t), u(t)) = max H(p(t), q(t), u).

иЄК2

Принцип максимума Понтрягина не дает описания анормальных траекторий, но в данной работе мы не будем их исследовать.

Гамильтонова система (9) с гамильтонианом (10) задает субриманов геодезический поток для распределения Гурса. Известно, что он вполне интегрируем (см., например, [).

Теорема 3.1 ( ). Гамильтонова система (9), отвечающая задаче (6), (8), обладает следующими первыми интегралами:

F\ = Н = —((pi — Х2Р3 — ... — xn-ipn) + р2), 2

2 „п-2
^2 = Р2 — t^Xi — -Г4—; ... — Ьп

2! (n — 2)!

2 „n-3

^3 = P3 — Г4Х1 — r^— ... — bn ,

2! [n — 3)1

^n-2 = Pn-2 — Гп-іХі — tn, rn-l = Pn-1 — tnX\, rn=Pn-

2!

Интегралы Fi, і = l,...,n, почти всюду функционально независимы и находятся в инволюции:

{ffcj fj} = t; ^ ^ n— = 0.

г=1

oxi dpi dpi oxi

Следующая теорема дает представление о том, как устроены поверхности уровня первых интегралов, приведенных в теореме 3.1. Введем отображение

: R п —> Rn, ip(x,p) = (Fi(x,p),..., Fn(x,p)).

Теорема 3.2 ( [). Если С Є Rnрегулярное значение отображения <р, то у-'(С) гомеоморфно либо двум экземплярам R, либо si непересекающимся цилиндрам S1 х Rn_1, где 0 < si < п — 2.

Если С — критическое значение <р, то у-1 (С) гомеоморфно либо R, либо объединению Гі U ... U Г15, к < п — 2. Здесь Tj гомеоморфны либо Rn_1, либо Rn_1 х 7, где 7 окружность или замкнутая кривая с s самопересечениями.

Основной результат главы 3 заключается в следующем.

Теорема 3.3 ( ). Среди решений системы (9) найдутся такие, что их проекции на плоскость Ох\хч образуют замкнутые кривые, симметричные относительно оси Ох\.

В [ показано, что решения системы (9) (экстремальные траектории) при п = А (случай распределения Энгеля) находятся в терминах эллиптических функций. Кроме того, в [ показано, что существуют такие экстремальные траектории, что их проекции на плоскость Охухч являются замкнутыми кривыми либо без самопересечений, либо с одним самопересечением. В показано, что в общем случае экстремальные траектории распределения Гурса выражаются через гиперэллиптические интегралы.

Целью диссертации является изучение свойств интегрируемых га-мильтоновых систем.

В работе получены следующие основные результаты.

1) Исследована натуральная механическая система на двумерном
торе с гамильтонианом

pi + Т~>2

п = Ь Vlx, у)

и потенциалом

V{x, у) = V\{x) + V^(x + у) + Vs(y) + V±(y — х).

Найдены необходимые условия на потенциал, при которых она обладает неприводимым первым интегралом 4 степени (в неразделимом соавторстве с Д.Н. Александровым).

  1. Доказано, что полугамильтонова система дифференциальных уравнений, отвечающая наличию у магнитного геодезического потока на двумерном торе на фиксированном уровне энергии (в конформных координатах) дополнительного полиномиального первого интеграла произвольной степени, является системой егоровского типа.

  2. Выписаны первые интегралы субриманова геодезического потока для распределение Гурса в R и построены поверхности уровня первых интегралов. Приведены примеры нормальных траекторий, которые отвечают движению вдоль "запрещенных" направлений.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем исследовании интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика И. А. Тайманова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2014, 2015, 2016); семинаре «Интегрируемые системы» под руководством д.ф.– м.н. А. Е. Миронова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре лаборатории геометрической теории управления под руководством д.ф.–м.н., профессора А. А. Аграчева (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре «Семинар отдела анализа и геометрии» под руководством академика Ю.Г. Решетняка (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2016).

Результаты диссертации были представлены на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический про-

гресс» (Новосибирск, 2011, 2013); 44-ой Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013); Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах» (Новосибирск, 2013); Международной молодежной конференции «Геометрия и управление» (Москва, 2014); Международной школе-конференции «Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах» (Артыбаш, 2014); Международной научной конференции «Наука будущего» (Санкт-Петербург, 2014); Школе - конференции «2-ая Зимняя геометрическая школа» (Переславль-Залесский, 2015); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске - 2015» (Новосибирск, 2015); Международной конференции «Метрические структуры и управляемые системы» (Новосибирск, 2015); Международной конференции «Динамика в Сибири» (Новосибирск, 2016); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске - 2016» (Новосибирск, 2016).

Публикации. Полученные результаты опубликованы в 6 научных изданиях — , 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [ — [, 3 — в тезисах докладов и материалах конференций — [. Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Результаты глав 2, 3 получены получены автором самостоятельно. Результаты главы 1 были получены совместно с Д.Н. Александровым. Вклад авторов в совместную работу равноправен и неделим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы насчитывает 38 наименований. Общий объем диссертации составляет 58 страниц.

Основные результаты

Лемма 1 ([1 ]). Если гамильтонова система (11) с периодическим потенциалом (12) имеет полиномиальный по импульсам интеграл четвертой степени, то каждая из функций Vi содержит бесконечно много ненулевых коэффициентов Фурье в своем разложении.

Пусть т Ф п, т Ф — п, т Ф 0 и п Ф 0. Иначе уравнение (13) вырождается, и эти случаи были разобраны в доказательстве предыдущей леммы. Поделим уравнение (13) на тп{т — п){т + п). Получим Для доказательства леммы 1 нам понадобится следующая лемма. Лемма 3. Если функция V\ тождественно равна нулю, то интеграл F сводится к интегралам меньшей степени.

Отметим, что У?, Уз, V4 не могут быть константами, так как в противном случае интеграл F сводится к интегралам меньшей степени. Рассмотрим сначала случай, когда Уз содержит бесконечное число ненулевых слагаемых в разложении Фурье. Фиксируем п 0 такое, что и% ф 0, тогда 3 3 ип2 В силу того, что Уз содержит бесконечное число слагаемых в раз-ложении Фурье, существует т такое, что и п ф 0. Если \\r\ 1, то при т 0 среди коэффициентов \и\ содержится расходящаяся геометрическая прогрессия, следовательно, ряд для Уз расходит-ся. Аналогично, если - 1, то при т 0 среди коэффициентов \и\ содержится расходящаяся геометрическая прогрессия. Если

Покажем, что и V2, и V должны содержать бесконечно много ненулевых слагаемых в разложениях. Отметим, что V и V не могут одновременно содержать конечное число слагаемых в разложениях, иначе по теореме Козлова-Трещева [8] интеграл F сводится к интегралу меньшей степени. Если V±(z) = n=-OQv !le27rmz, а V z) = n=-iv2e2 Kmz, то существует достаточно большое п такое, что ІІ2 = О, а uvA ф 0, откуда следует, что v+n = 0 для всех т, то есть Уз = О, что невозможно. Второй случай, когда V±(z) = n=-iv l 1 Kmz, а V2(z) = n=_00V2e2nmz, рассматривается аналогично. Таким образом предположим, что V2 и V4 содержат бесконечное число ненулевых слагаемых в разложениях Фурье. Фиксируем т — п = s так, чтобы м ф 0. Тогда в силу того, что Уз содержит конечное число слагаемых в разложении (22), существует щ 0 такое, что для любого п щ и+п = 0. Следовательно, Щ = 0 при всех п щ. Получаем противоречие.

Лемма 3 доказана. Таким образом, мы можем считать, что V\ не равняется тождественно нулю. Докажем лемму 1. Предположим, что У имеет конечное число слагаемых в разложении в ряд Фурье, т.е. к V2(z) = У, vie ,п2тгіпг С п=—к Случай, когда V имеет конечное число слагаемых, аналогичен этому; случай, когда либо Vi, либо Уз имеют конечное число слагаемых, также сводится к этому случаю, если в плоскости ж, у сделать пово-рот на угол j.

Пусть для начала V содержит бесконечно много ненулевых слагаемых в разложении в ряд Фурье. Случай конечного их числа разобран ниже.

Зафиксируем т + п 0 так, чтобы и+п ф 0. В силу того, что V2 содержит конечное число ненулевых слагаемых в разложении Фурье, а V4 — бесконечное, существует достаточно большое т такое, что и Ф 0, а и = и 2 = 0. Тогда (22) принимает вид т+п WJ л = и л Среди коэффициентов и\ содержится расходящаяся геометрическая т+п Un прогрессия со знаменателем q = т+п. U-i Если ит+п 1, то при положительных п ряд V±(z) = n oo v2e27rmz сходится, а при отрицательных расходится. Наоборот, если т+п\ и3 1, то при положительных п ряд расходится, а при отрицательных сходится. Следовательно, V может содержать только конечное число сла 26 гаемых / v4e V±(z) = у j n=—l По теореме Козлова-Трещёва либо Vi, либо Уз, либо и Vi, и Уз содержат бесконечно много ненулевых слагаемых в разложении. Рассмотрим случай, когда Уз содержит бесконечное число слагаемых + 00 ;п lixinz v:ie Vz(z) = У j п=—00 Случай, когда V\ содержит бесконечное число слагаемых, аналогичен этому. Выберем такое п, что щп ф 0. Далее, возьмем достаточно большое т такое, что и+п ф 0, и = и = 0. Тогда (21) эквивалентно „.т+п „.т—п 2 (Хо —— —(Хо Мы получили, что среди коэффициентов и+п имеется геометрическая прогрессия, что невозможно (см. выше).

Геодезический поток в магнитном поле

Покажем, что и V2, и V должны содержать бесконечно много ненулевых слагаемых в разложениях. Отметим, что V и V не могут одновременно содержать конечное число слагаемых в разложениях, иначе по теореме Козлова-Трещева [8] интеграл F сводится к интегралу меньшей степени. Если V±(z) = n=-OQv !le27rmz, а V z) = n=-iv2e2 Kmz, то существует достаточно большое п такое, что ІІ2 = О, а uvA ф 0, откуда следует, что v+n = 0 для всех т, то есть Уз = О, что невозможно. Второй случай, когда V±(z) = n=-iv l 1 Kmz, а V2(z) = n=_00V2e2nmz, рассматривается аналогично. Таким образом предположим, что V2 и V4 содержат бесконечное число ненулевых слагаемых в разложениях Фурье. Фиксируем т — п = s так, чтобы м ф 0. Тогда в силу того, что Уз содержит конечное число слагаемых в разложении (22), существует щ 0 такое, что для любого п щ и+п = 0. Следовательно, Щ = 0 при всех п щ. Получаем противоречие. Лемма 3 доказана. Таким образом, мы можем считать, что V\ не равняется тождественно нулю. Докажем лемму 1. Предположим, что У имеет конечное число слагаемых в разложении в ряд Фурье, т.е. Случай, когда V имеет конечное число слагаемых, аналогичен этому; случай, когда либо Vi, либо Уз имеют конечное число слагаемых, также сводится к этому случаю, если в плоскости ж, у сделать пово-рот на угол j.

Пусть для начала V содержит бесконечно много ненулевых слагаемых в разложении в ряд Фурье. Случай конечного их числа разобран ниже.

Зафиксируем т + п 0 так, чтобы и+п ф 0. В силу того, что V2 содержит конечное число ненулевых слагаемых в разложении Фурье, а V4 — бесконечное, существует достаточно большое т такое, что и Ф 0, а и = и 2 = 0. Тогда (22) принимает вид Среди коэффициентов и\ содержится расходящаяся геометрическая т+п Un прогрессия со знаменателем q = т+п. Если ит+п 1, то при положительных п ряд V±(z) = n oo v2e27rmz сходится, а при отрицательных расходится. Наоборот, если т+п\ и3 1, то при положительных п ряд расходится, а при отрицательных сходится. Следовательно, V может содержать только конечное число сла 26 гаемых

По теореме Козлова-Трещёва либо Vi, либо Уз, либо и Vi, и Уз содержат бесконечно много ненулевых слагаемых в разложении. Рассмотрим случай, когда Уз содержит бесконечное число слагаемых Случай, когда V\ содержит бесконечное число слагаемых, аналогичен этому. Выберем такое п, что щп ф 0. Далее, возьмем достаточно большое т такое, что и+п ф 0, и = и = 0. Тогда (21) эквивалентно (Хо —— —(Хо Мы получили, что среди коэффициентов и+п имеется геометрическая прогрессия, что невозможно (см. выше). Лемма 1 доказана. Перейдем к основному утверждению главы 1. Справедлива следующая Теорема 1.1 ([1 ]). Пусть v быстро убывают с ростом \п\ (как коэффициенты Фурье достаточно гладкой функции). Тогда при условиях леммы 1 имеют место равенства t f = г з, 1 2 I = \VA\ Докажем теорему 1.1. Случаи, когда п = ±ш, а также когда одно из этих двух чисел равно нулю, как уже было показано выше, ведут к следующим равенствам: которые, очевидно, удовлетворяют условиям теоремы 1.1. Вновь рассмотрим уравнение (21). Подставим в него вместо (т, п) следующие значения: (т, п), (—т,п), (п,т), (—п, т).

Фиксируем т. Тогда по лемме 1 найдется последовательность щ, П2,..., ns,... такая, что qi(m, ns) Ф 0. Левая часть последнего равенства остается постоянной, а правая стремится к нулю при s — +00, так как г и У стремятся к нулю. Следовательно, для всех m. Аналогично систему (23) можно записать в виде 2( 5 ) = 0, для всех m. Теорема 1.1 доказана. Отметим, что в сингулярном случае гамильтонова система (2) с потенциалом (3) может иметь несводимый интеграл четвертой степени. Пусть, например,

Условие F = {F, Н} = 0 эквивалентно квазилинейной системе дифференциальных уравнений в частных производных Ut + A(U)UX = 0 (24) на коэффициенты F с некоторой матрицей А. Здесь U = ( 2о, п-і)Т-, ап-\ = д, ап = 1. Система (24) является полугамильтоновой (см. [11]). В [15] изучался вопрос существования дополнительного первого интеграла геодезического потока на двумерном торе, полиномиального по импульсам, произвольной степени в изотермических координатах, ds2 = Л(ж, у)(dx2 + dy2). Существование первого интеграла вида

F = йор + а\Рі Р2 + апР21 ак = ak(%,у), с учетом теоремы Колокольцова (см. [10]) 0"п—\ С-2 г Сіп—3 0"п—Ь "Т 5 (здесь Сі, С2 — некоторые константы), ведет к квазилинейной системе дифференциальных уравнений в частных производных вида A(U)UX + B(U)Uy = 0, (25) где U = ( 2о, 0"п-2і Л)т. Система (25) также является полугамильтоновой (в тех областях, где А или В невырождена) (см. [15]). Согласно теореме М.В. Павлова и СП. Царева (см. [17]), если система нераспадающаяся (driXk ф 0, і Ф к), то её егоровость эквивалентна наличию у нее двух законов сохранения специального вида:

Задача оптимального управления на группе Гурса

Далее предположим, что найдется такое /с, 3 к п, что С/; т 0. В этом случае пересечение двух цилиндров, заданных в R3 уравнениями (39) и (40), состоит из замкнутых кривых, симметричных относительно плоскости ОР2Ж1, и точек их касания.

В регулярном случае, когда в пересечении цилиндров лежат si непересекающихся кривых, гомеоморфных окружностям, где 1 si п — 2, поверхности уровня устроены как объединение цилиндров S1 х Rn_1. На рис. 1 изображены цилиндры, заданные уравнениями (39), (40), которые пересекаются по двум окружностям, то есть поверхности уровня первых интегралов в этом случае устроены как объединение двух экземпляров S1 х Rn_1.

Критические уровни первых интегралов отвечают точкам касания цилиндров, их число не превосходит п — 3; в этом случае поверхности устроены как объединение Гі U ... U Ts, 1 s п — 2, где Tj гомеоморфны либо Rn_1 (этот случай отвечает изолированной точке касания цилиндров), либо Rn_1 х 7, где 7 либо окружность, либо замкнутая кривая с S2 самопересечениями, 1 S2 п — 3. На рис. 2 изображены два цилиндра, которые касаются в изолированной точке К и пересекаются по двум соприкасающимся в точке L окружностям, то есть поверхности уровня в этом случае устроены как Rn_1 U (Rn_1 х 7), где 7 – замкнутая кривая с одним самопере 45 сечением. Теорема 3.2 доказана.

Пересечение цилиндров, отве- Рис. 2: Пересечение цилиндров, отве чающее регулярному значению инте- чающее критическому значению инте гралов гралов Система (36) допускает траектории, для которых Xi(t), X2{t) — периодические функции, а их проекции на плоскость Ох\Х2 — замкнутые кривые. Теорема 3.3 ([3 ]). Среди решений системы (36) найдутся такие, что их проекции на плоскость Ох\Х2 образуют замкнутые кривые, симметричные относительно оси Ох\. Докажем теорему 3.3. Нас интересуют такие траектории, для которых Xi(t), X2(t) — периодические функции. Если X\{t) — периоди 46 ческая функция (см. ниже), то из уравнений х\ = Pi, Р2 = 62 + С3Ж1 + ... + Сп (п — 2)! следует, что Pi(t) и P2{t) также являются периодическими. С учетом тогда уравнения (41), (42) примут вид:

Пусть ОІІ — вещественные корни уравнения Qn-2{xi) = 0, а (3j — вещественные корни уравнения f(xi) = 0, г = 1,..., &, j = 1,... , /. Заметим, что lim f(xi) = —00. Х\—т ±00 С другой стороны, /(CKJ) = 2Сі 0, і = 1,..., к. Поэтому каждый корень ОІІ расположен внутри некоторого отрезка [f3j, (3j+i], на котором f(xi) 0 (см. Рис. 3). Рис. 3: Пример взаимного располо- Рис 4: Проекция траектории, отвеча-жения корней уравнений f(Xl) = ющей случаю, показанному на Рис. 3, U, 16п-2\%1) — U на плоскость ОжіЖг Любому такому отрезку [/3j, /3j+i] отвечают периодические решения X\(t) с некоторым периодом т. Предположим, что Жі(0) = /3j. Тогда жі() = Pj+i, х\{т) = жі(0) = /3j. В силу (43) имеем

Таким образом, X2(t) — периодическая функция тогда и только тогда, когда следующий интеграл обращается в ноль: Выберем константы Сі,..., Cn так, чтобы полином Qn-2{%i) имел вид Qn-2{x\) = Х\(х\ — а{)... (х\ — а],). Тогда последнее равенство автоматически выполнено. Положим X2{x\)\x1=i3j = 0. Тогда траектория будет симметричной относительно оси Ох\ в плоскости Ох\Х2-Теорема 3.3 доказана.

В заключении приведем примеры траекторий, отвечающих различным значениям констант Cj, чьи проекции на плоскость Ох\Х2 образуют замкнутые симметричные кривые с различным числом самопересечений (см. Рис. 5 — 8). Они были получены численным интегрированием уравнения (44).

В диссертации изучаются интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с натуральной механической системой и магнитным геодезическим потоком на двумерном торе, а также с субримановым распределением Гурса в Rn. В работе получены следующие основные результаты. 1) Исследована натуральная механическая система на двумерном торе с гамильтонианом p21 +p22 H= +V(x,y) и потенциалом V (x,y) = V1(x) + V2(x + y) + V3(y) + V4(y - x). Найдены необходимые условия на потенциал, при которых она обладает неприводимым первым интегралом 4 степени (в неразделимом соавторстве с Д.Н. Александровым). 2) Доказано, что квазилинейная система дифференциальных урав нений, отвечающая наличию у магнитного геодезического потока на двумерном торе на фиксированном уровне энергии (в конформных координатах) дополнительного полиномиального первого интеграла, является егоровской системой. 3) Исследовано распределение Гурса в Rn. Выписаны первые интегралы субриманова геодезического потока для этого распределения, построены их поверхности уровня. Найдены примеры траекторий, отвечающих движению вдоль "запрещенных" направлений. Результаты этой работы могут быть использованы при изучении интегрируемых гамильтоновых систем.

Экстремальные траектории

Если геодезический поток интегрируем по Лиувиллю, то на торе можно ввести глобальные полугеодезические координаты (t,x) ([11]), такие, что о 2/ 2 72 тт 1 ҐРі 2 А as = д U, x)dt + ах , Н = - I — + р2 2 ?2 Первый интеграл имеет вид г = —Юі Н гРі »2 + . . . i ап-2 2 п-2 , ап-1 п-\ п U -\ 7 PiPo Н _Pl 2 + anV li ак = ak[t,X). Т 9 Условие F = {F, Н} = 0 эквивалентно квазилинейной системе дифференциальных уравнений в частных производных Ut + A(U)UX = 0 (24) на коэффициенты F с некоторой матрицей А. Здесь U = ( 2о, , п-і)Т-, ап-\ = д, ап = 1. Система (24) является полугамильтоновой (см. [11]).

В [15] изучался вопрос существования дополнительного первого интеграла геодезического потока на двумерном торе, полиномиального по импульсам, произвольной степени в изотермических координатах, ds2 = Л(ж, у)(dx2 + dy2). Существование первого интеграла вида

F = йор + а\Рі Р2 + ... + апР21 ак = ak(%,у), с учетом теоремы Колокольцова (см. [10]) 0"п—\ С-2 г Сіп—3 0"п—Ь "Т5 (здесь Сі, С2 — некоторые константы), ведет к квазилинейной системе дифференциальных уравнений в частных производных вида A(U)UX + B(U)Uy = 0, (25) где U = 0"п-2і Л)т. Система (25) также является полугамильтоновой (в тех областях, где А или В невырождена) (см. [15]).

Согласно теореме М.В. Павлова и СП. Царева (см. [17]), если система нераспадающаяся (driXk ф 0, і Ф к), то её егоровость эквивалентна наличию у нее двух законов сохранения специального вида: Fx + Gy = 0, Fy + Hx = О. В [15] эти законы найдены в явном виде для системы (25). 2.2 Геодезический поток в магнитном поле Рассмотрим гамильтонову систему х3 = {х?, Н}тд, pj = {pj, Н}тд, j = 1,2 (26) на двумерном торе в магнитном поле с гамильтонианом Н = \gtJPiPj и скобкой Пуассона следующего вида: т ттл V ( г П Г П \ ҐЛҐ 1 2\ / UP ОН Ot ОН \ {r}n\mq = у т — т;—тг + (ж ,ж ) т;—т; т;—т;— —f ох1 dpi opiox1 0p10p2 OP2OP1 Известен лишь один пример магнитного геодезического потока на двумерном торе, интегрируемого на всех уровнях энергии с ненулевым магнитным полем (см., например, [19]). Пример. Пусть метрика имеет вид ds = A(y)(dx +dy), магнитное поле w = —u (y)dx Л dy. Тогда существует линейный по импульсам первый интеграл F = р\ + и(у). Перейдем к исследованию вопроса об интегрируемости геодезического потока в магнитном поле на фиксированном уровне энергии. Выберем конформные координаты (ж, у), в которых ds2 = Л(ж, y){dx2+ dy2\ Н = Pl0 F2. Зафиксируем уровень энергии Н = . Тогда можно параметризовать импульсы следующим образом: Р\ = V Л COS (/?, Р2 = V Л Sin if. Уравнения (26) примут вид cos р . sin ср . Ay Ах . Q х =—-=, у = —-=, ф = -i=cos(p -i=sm(p— л/Л л/Л 2Л\/Л 2Л\/Л Л Следуя [22], будем искать первый интеграл F в виде k=N F(x,y,ip)= 2_, ак(х,у)егір. (27) k=-N Здесь ak = Uk + ivk-, (і-к = Сік- Условие F = 0 эквивалентно следующему уравнению ( Av Ах Q \ — cos р sin ip — = 0. (28) 2Л 2Л л/Л Подставим (27) в (28) и приравняем к нулю коэффициенты при егк(р. Мы получим Ку і(к — 1 W-i + і(к + 1 W+i Лж г(& — 1 W_i — і(& + 1 W+i 2Л 2 2Л 2г -\ 1 1= = 0, (29) 2 2г л/Л где А; = 0,..., ЛГ + 1, а/; = 0 при к N. После исключения магнитного поля Q (см. ниже) получаем квазилинейную систему дифференциальных уравнений на aj вида A(U)UX + B(U)Uy = 0, (30) где U = (Л,щ,...,un-i,vi,..., vn-\)T. Мы не будем её выписывать явно ввиду громоздкости. В [22] показано, что она является полуга-мильтоновой для любого N. Там же доказано, что в случае N = 2,3 система (30) является егоровской. Мы обобщили этот результат на случай произвольного N. Справедлива