Введение к работе
Актуальность темы.
Быстрое развитие многомерной дифференциальной геометрии в двадцатом веке было тесно связано с ее приложениями к теоретической физике. Многочисленные попытки построения единой теории гравитационного и электромагнитного поля, для которой риманова геометрия являлась недостаточной, привели к развитию геометрии аффинной, а затем проективпой связности.
Большое внимание уделяется приложениям многомерной дифференциальной геометрии к другим областям математики, в первую очередь к анализу, в особенности к вариационному исчислению и теории дифференциальных уравнений. При этом появляется необходимость в построении новых, более общих теорий, а именно, теории расслоенных многообразий и теории геометрических объектов ( структур) высших порядков. Исследование таких структур началось в середине ЗО-х годов этого столетия.
Понятие связности, возникшее у Леви-Чивита как параллельное перенесение касательных векторов многообразия нашло продолжение в работах Э. Картата [10], [11], [16], Ш. Эрисмана [17], но уже в более обобщенных многообразиях, которые обладают особой расслоенной структурой. Задачу определения связности в векторных расслоениях различными эквивалентными способами, рассматривал Шмид [18].
Номидзу [15], в случае общего однородного расслоения, связность вводил как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Другие способы определения связности указываются в более ранних работах В.В. Вагнера [2] и Г.Ф. Лаптева [12].
Вебленом и Уайтхедом [3] введены понятия составного многообразия, как множества локальных пространств, ассоциированных с точками базисного пространства и понятия связпости, в этом многообразии, как задание отображений локальных пространств вдоль кривых базисного пространства. Теория составного многообразия была развита в работах В.В. Вагнера
Инвариантное определение связности дает Г.Ф.Лаптев [11].Он ограничивается рассмотрением линейных связностеи, определяя их как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющих определенным условиям.
Исследование связностеи в однородных расслоениях продолжены Ю.Г.Лумисте [13], [14]. Связность (вообще говоря, нелинейная) в однородном расслоении вводится как отображение множества путей в
4 базе в множество диффеоморфизмов слоя на слой, удовлетворяющих определенным условиям. Доказывается, что она порождает некоторые связности, называемые ассоциированными с ней.
Дальнейшим исследованием нелинейных связностей аппаратом, разработанным Г.Ф.Лаптевым, занимался Л.Е. Евтушик [4] - [9]. В этих работах сформулировано строгое определение нелинейной связности, доказано ее глобальное существование в главных расслоенных пространствах и существование нелинейной связности в расслоении реперов, инвариантно определяемое системой обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка.
Данная работа посвящена изучению сплетения структур оператора базисного дифференцирования, стабильной нелинейной связности и системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Изучение нелинейной связности во многих случаях приводит к задаче инвариантного присоединения к связности различных геометрических объектов и структур. При этом процесс получения инвариантов и инвариантных объектов значительно ускоряется при помощи канонизации репера.
Одной из таких геометрических структур является оператор базисного дифференцирования, связанный с системой обыкновенных дифференциальных уравнений приводимого типа, с помощью которого описывается геометрия системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В ходе изучения геометрии этих структур выяснены условия их сплетения.
Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности темы исследования .
Методы исследования.
Основным аналитическим аппаратом исследования является инвариантный метод дифференциальных продолжений и охватов, сопровождаемый поэтапной канонизацией главного расслоения реперов высших порядков. Исследование опирается также на понятия и методы современной теории связностей в главных и ассоциированных с главным расслоенных пространствах, на дифференциально-алгебраический аппарат структурных форм и структурных уравнений расслоенных пространств.
Цели диссертационного исследования.
Цель работы заключается в том, чтобы изучить геометрию оператора базисного дифференцирования, стабильной нелинейной связности над пространством скоростей Тр (Xп), поэтому возникает необходимость в исследовании канонических, тождественных по базе отображений (охватов), которые связывают изучаемые структуры.
Выявить условия сплетения структур: стабильной нелинейной связности, оператора базисного дифференцирования и приводимых дифференциальных структур в каноническом репере.
Исследовать существование линейной присоединенной, порожденной нелинейной связностью ур .
Новизна результатов.
Основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. Выделим важные из них:
-
Изучена геометрия структур стабильной нелинейной связности, оператора базисного дифференцирования.
-
Доказано существование охватов
срГ. Jv(Tp(Xn),Tp"(Xn)) ->^Т(Х„),
W : Jv(Tp(Xn),Tp+1(Xn)) ->J (Х„, Тр(Хп)),
<р2: J (Хп , Тр(Хп)) -> Т(Тр(Х„)).
-
В каноническом репере для изучаемых структур оператора базисного дифференцирования и стабильной нелинейной связпости в получены новые формы, доказано, что оіш являются главными на этом расслоении.
-
Найдено каноническое представление морфизма стабильной связности на структуру оператора базисного дифференцирования.
-
Доказано существование линейной присоединенной связности, порожденной нелинейной связностью ур для Нр (X\) . Найдены структурные уравнения этой связности и получены формы кривизны этой связности для р=2.
Теоретическое и практическое значение.
Работа носит теоретический характер и имеет теоретическое значение, как новый опыт в исследовании приложеігаи нелинейных связностей высших порядков и может быть использована как бескоординатный метод описания некоторых структур математического анализа, в частности, систем обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка.
Также материалы диссертации могут быть использованы при чтении специальных курсов для студентов математических специальностей, где ведутся исследования по близкой тематике.
Апробация работы результатов исследования.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались
на научном семинаре кафедры математического анализа МГУ им. М.В.
Ломоносова, на геометрическом семинаре Пензенского
государственного педагогического университета.
Структура и объем диссертации.
