Введение к работе
Актуальность темы
Понятие простого объекта, введенное В. И. Арнольдом, оказалось чрезвычайно плодотворным. Это понятие является обобщением понятия устойчивого объекта. Пусть на многообразии X действует группа Ли G. Модальностью точки х є X называется такое наименьшее число т, что достаточно малая окрестность точки х может быть покрыта конечным числом ггг-параметрических семейств орбит действия группы G. Точка х Є X называется простой, если ее модальность равна нулю, т.е. достаточно малая окрестность этой точки пересекается только с конечным числом орбит.
В. И. Арнольд1 классифицировал простые особенности ростков голоморфных функций с точностью до стабильной Д-эквивалентности (две функции называются ^-эквивалентными, если одна превращается в другую при некоторой гладкой замене координат; два ростка функций называются стабильно Д-эквивалентными, если они становятся R-эквивалентными после сложения с невырожденными квадратичными формами от подходящего числа дополнительных переменных). Этот результат часто называют A, D, ^-классификацией. Кроме того В. И. Арнольд обнаружил,2 что эти особенности связаны с обозначаемыми теми же символами простыми алгебрами Ли или группами, порожденными отражениями. До этого результата особенности классифицировались по коразмерности. Однако классификация по модальности, предложенная В. И. Арнольдом, оказалась более плодотворной.
1В. И. Арнольд, Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Ak, Dk, Е/, и лагранжевы особенности. Функц. анализ, том б (1972), вып. 4, стр. 3-25.
гВ. И. Арнольд, Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера. УМН, том 28 (1973), вып. 5, стр. 17-44.
В частности, списки объектов фиксированной (малой) коразмерности в некоторых случаях оказались связанными со списками объектов, возникающих в совершенно других задачах.
Классификации простых особенностей кривых посвящено значительное количество работ. Так, J. W. Bruce и Т. J. Gaffney классифицировали простые особенности неприводимых плоских кривых3. С. G. Gibson и С. A. Hobbs, изучая особенности траекторий, по которым движутся точки твердого тела в трехмерном пространстве, дали классификацию простых особенностей неприводимых кривых в трехмерном комплексном пространстве4. В. И. Арнольд5 классифицировал простые особенности неприводимых кривых в пространстве любого числа измерений с точностью до стабильной право-левой эквивалентности (которая также называется Я-эквивалентностью). В частности, он показал, что простыми являются почти все особенности, ряды Тейлора которых начинаются с членов степени два или три, или имеют вид
xi = t4, х2 = t6, х>2 = 0 (mod t1),
и еще особенности тридцати двух спорадических кривых.
При рассмотрении ростков приводимых кривых, т.е. кривых, состоящих из нескольких компонент, естественным образом возникает понятие мультиростка Стабильно простые особенности мультиростков с точностью до стабильной эквивалентности были классифицированы автором совместно с Р. Р. Садыковым6.
3 J. W. Brace, Т. J. Gaffney, Simple singularities of mappings (С, 0) -4 (С2,0). J. London Math. Soc. (2) 26 (1982), p. 465^474.
*C. G. Gibson, C. A. Hobbs, Simple singularities of space curves. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. v. 113 (1993), No. 2, p. 297-310.
5B. И. Арнольд, Простые особенности кривых. Труды Математического Института им. В. А. Стеклова, том 226 (1999).
вП. А. Колгушкин, Р. Р. Садыков, Классификация простых мультиростков кривых. УМН, том 56 (2001), вып. 6, стр. 153-154.
і *43 Г .Г. 2
о, <: '
5 «**«"'
Допустим, что в рассматриваемом нами (комплексном) пространстве задана какая-то дополнительная структура, например, симплек-тическая или контактная. В качестве левых замен мы будем рассматривать не все ростки невырожденных диффеоморфизмов, а лишь те из них, которые сохраняют эту дополнительную структуру.
Предположим, что наше пространство имеет четную размерность 2п и снабжено симплектической структурой, т.е. в нем задана замкнутая невырожденная 2-форма w. Если в качестве группы левых замен рассмотреть группу локальных симплектоморфизмов нашего пространства, т.е. группу локальных диффеоморфизмов, сохраняющих симллектическую форму и, а группу правых замен оставить без изменений, то получится симплектическая эквивалентность.
Пусть в таком пространстве задан росток кривой, эквивалентный (t2,t2m+1) (особенность Aim) в смысле обычной право-левой эквивалентности (т.е. если рассматривать все локальные диффеоморфизмы). В. И. Арнольд описал орбиты действия группы симплектических замен, на которые распадается ДЬ-орбита этого ростка7.
Теперь предположим, что наше пространство имеет нечетную размерность и на нем задана контактная структура, т.е. распределение гиперплоскостей в касательном расслоении, удовлетворяющее условию "максимальной неинтегрируемости". Если теперь вместо группы левых замен рассмотреть группу, состоящую из ростков контактных диффеоморфизмов, т.е. диффеоморфизмов, сохраняющих контактную структуру, а группу правых замен оставить без изменений, то получится контактная эквивалентность.
Пусть в таком пространстве дан росток кривой, JJL-эквивалентный особенности А2 (полукубическая парабола). В. И. Арнольд описал эту
TV. I. Arnold, First steps of local symplectic algebra. Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications, 1-8, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 194, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1999.
особенность в контактном пространстве в тех случаях, когда она является простой8. А именно, он показал существует ровно пять простых особенностей в контактном пространстве С2"*1, Д-эквивалентных ростку (і2,і3,О,.. .,0). Однако, впоследствии выяснилось, что две из этих пяти нормальных форм контактно эквивалентны, поэтому одну из них можно исключить.
Также В. И. Арнольдом9 был указан росток непростой (с контактной точки зрения) кривой, .RL-эквивалентный Аг, к которому примыкают все остальные особенности, ДЬ-эквивалентные А2.
Цель работы
Основной целью работы является классификация стабильно простых особенностей кривых (как приводимых, так и неприводимых) в комплексных симплектических и контактных пространствах. Также целью работы является развитие методов классификации особенностей в пространствах с дополнительными структурами.
Методы исследования
В работе используются методы теории особенностей (в частности, гомотопический метод) и методы симплектической и контактной геометрии (в частности, теоремы Дарбу-Гивенталя о симплектических и контактных структурах).
Научная новизна
В диссертации получены следующие основные результаты:
8V. I. Arnold, First steps of local contact algebra. Canad. J. Math., v. 15 (1999), no. 6, p. 1123-1134. 'Там же.
Классифицированы стабильно простые особенности неприводимых и приводимых кривых в симплектических комплексных пространствах с точностью до симплектической стабильной эквивалентности.
Классифицированы стабильно простые особенности неприводимых и приводимых кривых в контактных комплексных пространствах с точностью до формальной контактной стабильной эквивалентности.
Существующие методы классификации особенностей кривых модифицированы для применения к более широкому классу кривых.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в задачах теории особенностей дифференцируемых отображений, в симплектической и контактной геометрии и их приложениях. Результаты также могут использоваться в курсах по теории особенностей в Московском государственном университете.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории особенностей под руководством профессора С. М. Гусейн-Заде (мех-мат МГУ, 2001, 2003 годы); на семинаре по теории особенностей под руководством академика РАН В. И. Арнольда (мех-мат МГУ, 2004 год); на XXV Конференции молодых ученых (мех-мат МГУ, 2003 год); на семинаре Института математики Университета Ганновера (Германия, 2003 год); на конференции по теории особенностей Математического Института Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания, 2000).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 82 страницах. Список литературы содержит 16 наименований.