Классификация простых ростков эквивариантных функций Асташов Евгений Александрович

Эквивариантные ростки бирациональных автоморфизмов комплексных пространств

Замечание. Поскольку всякое конечномерное комплексное представление представимо в виде прямой суммы одномерных представлений, из предыдущей теоремы следует, что действие на Сп каждой образующей любой конечной группы G задается диагональной матрицей размера п х п, и эти матрицы удовлетворяют групповым соотношениям (если таковые имеются в группе G). В частности, если G = ZTO, то действие образующей этой группы задается диагональной матрицей, в которой на диагонали стоят корни степени m из единицы.

Замечание. Утверждение теоремы 4 является частным случаем теоремы Бохнера о линеаризации (см. [9], а также [10, теорема 2.2.1]).

Определение 4. Пусть а = (скі,... ,ап) — упорядоченный набор натуральных чисел (весов). Росток д : (Сп,0) — С,0) называется а-квазиоднородным степени г, если для всех t Є С выполнено равенство g(taixi,..., tanxn) = fg(xi,..., хп). Число г называют также а-квазистепенью ростка g и обозначают dega g. Каждый росток голоморфной функции /: (Сп,0) — (С,0) задаётся в окрестности начала координат в Сп некоторым рядом. Условие эквивариантности этого ростка относительно действий группы ZTO на С и С равносильно тому, что квазистепени (с некоторыми весами) всех мономов ростка / дают один и тот же определённый остаток по модулю т. Если образующая а Є ZTO действует на Сп по формуле ( ( Щ\\ [ Щп\ \ а (zi,..., zn) = exp z\}... , exp zn , (2.2) m m то в качестве набора весов можно взять а = (скі,..., ап), где fly mod m, если си ф 0 (mod т), х,- = (2.3) m, если j = 0 (mod m). При таком выборе весов всегда будет не более чем конечное число слагаемых каждой квазистепени. Отметим, однако, что указанный способ выбора весов — не единственный, обладающий таким свойством.

Определение 5. Набор весов а = (скі,... ,ап) Є Nn будем называть допустимым относительно представления (2.2) группы ZTO на Сп, если все мономы, эк-вивариантные относительно представления (2.2) группы ZTO на Сп и некоторого представления этой же группы на С, имеют квазистепени с весами а, которые дают одинаковый остаток по модулю т, причем существует не более чем конечное число слагаемых каждой квазистепени.

В частности, набор (2.3) является допустимым относительно представления (2.2).

Пример. Пусть группа G = Ъ% действует на С2 и на С по формулам: а (х,у) = (тх, ту); а z = TZ, (2.4) где т = ехр(2-7гі/3). Если взять а = (1,2) (набор, построенный по формулам (2.3)), то все мономы, эквивариантные относительно указанных действий, будут иметь а-квазистепени, делящиеся на 3 с остатком 1. Если взять /3 = (2,1), то все мономы, эквивариантные относительно указанных действий, будут иметь /3-квазистепени, делящиеся на 3 с остатком 2. Легко видеть, что мономов каждой а-квазистепени и мономов каждой /3-квазистепени существует не более чем конечное число. Поэтому «и/5- различные наборы весов, допустимые относительно представлений (2.4).

Можно интерпретировать понятие допустимого набора весов геометрически. Для этого каждому моному z ... z n сопоставляется точка (к\,..., кп) Є п п Мономам а-квазистепени d соответствуют точки, лежащие на гиперплоскости, заданной уравнением а\к\ + ... + апкп = d c вектором нормали (скі,..., ап). Набор а является допустимым, если: каждая точка с целочисленными неотрицательными координатами, которая отвечает эквивариантному моному, содержатся в одной из гиперплоскостей с уравнением а\к\ + ... + апкп = d, где d Є N; каждая такая гиперплоскость содержит не более чем конечное число таких точек; в уравнениях этих гиперплоскостей свободные члены сравнимы по модулю т.

Отсюда следует, в частности, что такая гиперплоскость не должна быть параллельна ни одной из координатных осей, поэтому в допустимом наборе для все і = 1,..., п выполняется условие OLi ф 0. 2.3 Эквивариантные ростки бирациональных автоморфизмов комплексных пространств Пусть группа G = ZTO действует на Сп и на С по формулам (2.2). Каждый росток эквивариантного автоморфизма (Сп,0) — (Сп,0) задаётся с помощью п рядов вида (ij{k)Z , (2.5) J(fc)GZ0 где J k = lj\ ,..., jn ) — мультииндекс суммирования, (ij(k) Є С — коэффициен j{k) j[k) Лк) v n .(к) _, ты, z\,..., zn — новые переменные, z = zl ... zJnn , причём если 2- s=l3s Qk (mod m), то (ij(k) = 0 (условие эквивариантности автоморфизма), а матрица коэффициентов линейных частей этих рядов — невырожденная. Нас будет интересовать действие такого ростка на струи ростков эквивариантных функций. Под струёй в этом случае понимается сумма всех мономов ограниченной квазистепени (в смысле выбранного допустимого набора весов). Лемма 1 (о действии эквивариантного автоморфизма на ненулевую струю экви-вариантного ростка минимальной квазистепени). Пусть ср : (Сп,0) — (Сп,0) — росток бирационального автоморфизма, эквивариантный относительно действия (2.2) группы Ът наСп и заданный формулами (2.5). Пусть /: (Сп,0) — (С,0) — росток аналитической функции, эквивариантный относительно действия (2.2) группы Ът на Сп и некоторого действия этой же группы на С. Пусть а = («і,..., ап) — набор весов, допустимый относительно представления (2.2). Пусть г — наименьшее натуральное число, для которого г-струя ростка f в смысле выбранного набора весов — ненулевая. Тогда г-струя ростка f о ср в смысле выбранных весов зависит только от тех членов рядов (2.5), показатели степеней которых удовлетворяют условию

Метод полных трансверсалей

Если росток / содержит мономы z7, x2z и y3z и не содержит мономов rryz, y2z и yz4, то по теореме о конечной определенности он с помощью эквивариантной замены переменных приводится к виду z7 + x2z + y3z и является эквивариантно простым.

Если росток / содержит мономы z7 и x2z и не содержит монома y z, то он не является эквивариантно простым. Это следует из того, что классификация форм (6, 3, 2)-квазистепени 14 в силу леммы 2 содержит модули.

Если росток / не содержит мономов степени 1 по переменной z, кроме монома x2z} то он не является эквивариантно простым: в этом случае к нему примыкают все ростки вида x2z + ykz + z4, к 2.

Если 7-струя (в смысле (3,3,1)-квазистепени) эквивариантно простого ростка / содержит только моном z7, то росток должен содержать какие-то из мономов x z, x2yz, xy2z, у3. Это следует из того, что в силу леммы 2 классификация форм (3, 3, 2)-квазистепени 14 содержит модули. Более того, если f(x,y,z) = д(х, у) z + h(x, у, z) z4, то росток д(х, у) должен быть простым как росток функции двух переменных (это доказывается так же, как аналогичное утверждение выше для ростка с 4-струей zA). Поэтому, как следует из классификации простых особенностей, росток д(х,у) может иметь один из типов Dk, EQ, 7, Eg. В последних трёх случаях к ростку / будут примыкать ростки (6,3, 2)-квазистепени 14, классификация которых, как уже было отмечено, содержит модули; значит, в этих случаях росток / не будет эквивариантно простым. То же самое относится к случаям ростков Dk, к 5. В случае ростка D4, который можно привести к виду Xі + у3, росток / по теореме о конечной определенности приводится к виду (ж3 + у3) z + z7 и является эквивариантно простым.

Наконец, рассмотрим случай, когда 7-струя (в смысле (3,3,1)-квазистепени) эквивариантного ростка / содержит только моном xzA. В этом случае к ростку / примыкают все ростки вида axzA + byzA + Q%{x)y)z) где а, Ь Є С, а Q3 кубическая форма. По лемме 2 классификация таких ростков (то есть ростков (3, 3, 2)-квазистепени 11) содержит модули, и в этом случае росток / не является эквивариантно простым.

Этот случай разбирается аналогично предыдущему. Все эквивариантно простые ростки в случае (1.13) получаются умножением соответствующих эквивариантно простых ростков для случая (1.12) на z. Исключение составляет росток z2 (он получается умножением на z ростка z, который в случае (1.12) является эквива-риантным, но не эквивариантно простым, поскольку не имеет критической точки в нуле). Этот росток является эквивариантно простым. В самом деле, всякий примыкающий к нему эквивариантный росток имеет вид z2{\ + єд(х,у, z)), где д(х, у, z) — инвариантный росток, є Є С . С помощью эквивариантной замены переменных х = х,у = y,z = Z\J\ + єд(х,у, z) такой росток приводится к виду z2. Отсюда следует, что он является эквивариантно простым. Остальные нормальные формы эквивариантно простых ростков получаются так же, как в случае (1.12).

Мономы ростков /: (С3,0) — (С,0), эквивариантных относительно представлений (1.11)ош, имеют (3,1,1)-квазистепени, делящиеся на 3 с остатком 1. Мономы (3,1,1)-квазистепени 1 — это только мономы у и z, которые не могут входить в росток с особенностью в начале координат. Поэтому все мономы эквивариантно простого ростка имеют квазистепени не ниже 4. 4-струя эквивариантно простого ростка (в смысле (3,1,1)-квазистепени) имеет вид аху + bxz + /4(2/, z), где fiiy z) — форма степени 4. С помощью линейных эквивариантных замен переменных в плоскости (у, z) можно привести эту 4-струю к аналогичному виду с 6 = 0. Предположим сначала, что а ф 0, тогда с помощью масштабирования перемен ных можно получить а = 1. Тогда 4-струя ростка / будет иметь вид J4f(x, y,z) = ху + у д(у, z) + cz , где д — росток, инвариантный относительно первого из представлений (1.11)ош. С помощью эквивариантной замены переменной х = х + д(у, z) можно привести 4-струю ростка к виду ху + czA. Если с 0, то с помощью масштабирование переменных можно получить с = 1, и по теореме о конечной определенности росток будет эквивалентен своей 4-струе. Если же с = 0, то 4-струя ростка / не является достаточной. Тогда его 7-струя будет иметь вид jV/(#, у, z) = ху + у д(у, z) + dz . Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что либо 7-струя ростка приводится к виду ху + z1 и является достаточной, либо 7-струя недостаточна, и необходимо рассматривать 10-струю, и так далее. Продолжая по индукции, докажем, что росток приводится к одному из видов ху + z?ik+l (к 1).

Если же на первом шаге классификации а = Ъ = 0, то есть 4-струя ростка / не содержит членов, зависящих от ж, то росток — не эквивариантно простой. Это следует из того, что классификация форм степени 4 от двух переменных содержит модули, а замена переменной х в этом случае не будет влиять на 4-струю. Значит, уже классификация 4-струй ростков, не содержащих мономов ху и xz, содержит модули, поэтому все такие ростки не являются эквивариантно простыми. В частности, если 4-струя ростка (в смысле (3,1,1)-квазистепени) — нулевая, то росток не является эквивариантно простым в силу леммы 2

Случай (1.8)

Случай скалярного действия группы Ът (т 3) на Сп Следующий результат обобщает результаты теоремы 2 (случай (1.9)) и теоремы 3 (случай (1.18)). Теорема 7. Пусть действие группы Ът (т 3) на Сп (п 2) и на С задано формулами о (z\,..., zn) = (TZ\, ... ,rzn); a z = r z, (6.1) где а Є ZTO — образующая, r = exp(2-7ri/m). Пусть f: (Cn,0) — (C,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.1). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из ростков z + + z2 + ... + zn (к Є Z o)- (6.2)

Доказательство. Доказательство теоремы 8 проводится по аналогии с доказательством теоремы 3 для случая (1.18). В окрестности начала координат росток / с помощью эквивариантной замены координат х = x(zi,..., zn), у = y(zi,..., zn) приводится к виду f(x,y) = tp(x) + Q{y), где Q — невырожденная квадратичная форма, dim{y} = rk( i2/o) = p, dimjrr} = n — p (это утверждение доказывается аналогично лемме 14). При этом имеет место неравенство р п — 1. В самом деле, если р п — 1, то р — эквивариантный росток функции двух или более переменных с нулевой {га + 1)-струей. Но классификация форм степени 5 и выше от двух и более переменных содержит модули, поэтому росток / в этом случае не будет эквивариантно простым.

Если в выбранных выше обозначениях р = п, то / представляет собой невырожденную квадратичную форму от трех переменных, которую с помощью линейных замен координат можно диагонализировать, то есть привести к виду (6.2), где к = 0.

Если же р = п — 1, рассмотрим эквивариантную функцию одной переменной р. Если производные всех порядков функции ср в нуле равны 0, то росток / — не простой (к его орбите примыкают все орбиты вида х? к+2 + Q{y)). Если же (/?W(0) = 0 при 0 і ЗА; + 1, но р к+2 (0) Ф 0 (к Є N), то росток / приводится к виду (6.2) с тем же к. Каждый из ростков (6.2) сам является эквивариантно простым: его малая окрестность в пространстве r-струй эквивариантных ростков при г ЗА; + 2 пересекает лишь конечное число орбит (это орбиты ростков вида zl + + zf + ... + z2, 0 / к). Замечание. Утверждение теоремы 8 останется верным, если в формулах (6.1) /2-7гі\ Ґ2ттік\ всюду заменить ехр на ехр , где НОД(А;,т) = 1: такое изменение m m представлений группы соответствует выбору другой образующей в группе ZTO.

Следующий результат обобщает результаты теоремы 2 (случаи (1.6), (1.7)). Теорема 8. Пусть действие группы Ът (т 3) на С2 и на С задано формулами (ж, у) = (ж, ту)] а z = Trz, (6.3) где (т Є Z3 — образующая, т = exp(2-7ri/m), г Є {1,... ,т — 1}. Пусть /: (С2,0) — (С,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.3). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков: уг (только при г 2); хуг] х Уг + ym+r (k 2); хЗуг+у2т+г. xkyr + xym+r (fc 3); х уг + у +г (к 3).

Доказательство. Сравним множества эквивариантных мономов в случае действий (1.5)оп и в случае действий (6.3). В первом случае эквивариантный моном может иметь любую степень по переменной х и степень, делящуюся на 3 с остатком 1, по переменной у. Во втором случае эквивариантный моном может иметь любую степень по переменной х и степень, делящуюся на т с остатком г, по переменной у. Отсюда следует, что между множествами эквивариантных мономов, соответствующих этим двум случаям, существует биекция Vm r . X у I г x у Биекция ЬтіГ продолжается на множество эквивариантных функций и их ростков в начале координат, а также не множество эквивариантных бирациональных автоморфизмов пространства Сп и их ростков в начале координат. Очевидно. что эта биекция сохраняет отношение примыкания орбит ростков (см. определение 3) в пространствах струй любой длины. Поэтому при г = 1 под действием отображения 6ТО;Г множество эквивариантно простых ростков в случае действий (1.5)он переходит в множество эквивариантно простых ростков в случае действий (6.3) совпадают. Отличие случая г 1 только в том, что в случае действий (6.3) эквивариантно простым оказывается также росток уг (его прообраз у при отображении 6ТО;Г не является эквивариантно простым, поскольку не имеет критической точки в начале координат). Следующий результат обобщает результаты теоремы 3 (случаи (1.12), (1.13)). Теорема 9. Пусть действие группы Ът (т 3) на С3 и на С задано формулами а (x,y,z) = (x,y,rz); a-w = rrw (6.4) где о" Є Z3 — образующая, т = exp(2-7ri/m), г Є {1,... ,т — 1}. Пусть /: (С2,0) — (С,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.3). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков: zr (только при г 2); xzr] F1(x,y)-zr + zm+r] (х2 +y2,)-zr + z2m+r] (x3 +y2,)-zr + z2m+r] (x + у ) zr + z m+r (k 3), где F\ — любой (неэквивариантно) простой росток функции двух переменных типов Ak Dk-jEk (см. формулы (1.1)).

Случай (1.17)

в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.1). Росток f является Случай скалярного действия группы Ът (т 3) на Сп Следующий результат обобщает результаты теоремы 2 (случай (1.9)) и теоремы 3 (случай (1.18)). Теорема 7. Пусть действие группы Ът (т 3) на Сп (п 2) и на С задано формулами о (z\,..., zn) = (TZ\, ... ,rzn); a z = r z, (6.1) где а Є ZTO — образующая, r = exp(2-7ri/m). Пусть f: (Cn,0) — (C,0) — росток с особенностью эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из ростков z + + z2 + ... + zn (к Є Z o)- (6.2)

Доказательство. Доказательство теоремы 8 проводится по аналогии с доказательством теоремы 3 для случая (1.18). В окрестности начала координат росток / с помощью эквивариантной замены координат х = x(zi,..., zn), у = y(zi,..., zn) приводится к виду f(x,y) = tp(x) + Q{y), где Q — невырожденная квадратичная форма, dim{y} = rk( i2/o) = p, dimjrr} = n — p (это утверждение доказывается аналогично лемме 14). При этом имеет место неравенство р п — 1. В самом деле, если р п — 1, то р — эквивариантный росток функции двух или более переменных с нулевой {га + 1)-струей. Но классификация форм степени 5 и выше от двух и более переменных содержит модули, поэтому росток / в этом случае не будет эквивариантно простым.

Если в выбранных выше обозначениях р = п, то / представляет собой невырожденную квадратичную форму от трех переменных, которую с помощью линейных замен координат можно диагонализировать, то есть привести к виду (6.2), где к = 0. Если же р = п — 1, рассмотрим эквивариантную функцию одной переменной р. Если производные всех порядков функции ср в нуле равны 0, то росток / — не простой (к его орбите примыкают все орбиты вида х? к+2 + Q{y)). Если же (/?W(0) = 0 при 0 і ЗА; + 1, но р к+2 (0) Ф 0 (к Є N), то росток / приводится к виду (6.2) с тем же к. Каждый из ростков (6.2) сам является эквивариантно простым: его малая окрестность в пространстве r-струй эквивариантных ростков при г ЗА; + 2 пересекает лишь конечное число орбит (это орбиты ростков вида zl + + zf + ... + z2, 0 / к). Замечание. Утверждение теоремы 8 останется верным, если в формулах (6.1) /2-7гі\ Ґ2ттік\ всюду заменить ехр на ехр , где НОД(А;,т) = 1: такое изменение m m представлений группы соответствует выбору другой образующей в группе ZTO.

Следующий результат обобщает результаты теоремы 2 (случаи (1.6), (1.7)). Теорема 8. Пусть действие группы Ът (т 3) на С2 и на С задано формулами (ж, у) = (ж, ту)] а z = Trz, (6.3) где (т Є Z3 — образующая, т = exp(2-7ri/m), г Є {1,... ,т — 1}. Пусть /: (С2,0) — (С,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.3). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков: уг (только при г 2); хуг] х Уг + ym+r (k 2); хЗуг+у2т+г. xkyr + xym+r (fc 3); х уг + у +г (к 3).

Доказательство. Сравним множества эквивариантных мономов в случае действий (1.5)оп и в случае действий (6.3). В первом случае эквивариантный моном может иметь любую степень по переменной х и степень, делящуюся на 3 с остатком 1, по переменной у. Во втором случае эквивариантный моном может иметь любую степень по переменной х и степень, делящуюся на т с остатком г, по переменной у. Отсюда следует, что между множествами эквивариантных мономов, соответствующих этим двум случаям, существует биекция Vm r . X у I г x у Биекция ЬтіГ продолжается на множество эквивариантных функций и их ростков в начале координат, а также не множество эквивариантных бирациональных автоморфизмов пространства Сп и их ростков в начале координат. Очевидно. что эта биекция сохраняет отношение примыкания орбит ростков (см. определение 3) в пространствах струй любой длины. Поэтому при г = 1 под действием отображения 6ТО;Г множество эквивариантно простых ростков в случае действий (1.5)он переходит в множество эквивариантно простых ростков в случае действий (6.3) совпадают. Отличие случая г 1 только в том, что в случае действий (6.3) эквивариантно простым оказывается также росток уг (его прообраз у при отображении 6ТО;Г не является эквивариантно простым, поскольку не имеет критической точки в начале координат). Следующий результат обобщает результаты теоремы 3 (случаи (1.12), (1.13)). Теорема 9. Пусть действие группы Ът (т 3) на С3 и на С задано формулами а (x,y,z) = (x,y,rz); a-w = rrw (6.4) где о" Є Z3 — образующая, т = exp(2-7ri/m), г Є {1,... ,т — 1}. Пусть /: (С2,0) — (С,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.3). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков: zr (только при г 2); xzr] F1(x,y)-zr + zm+r] (х2 +y2,)-zr + z2m+r] (x3 +y2,)-zr + z2m+r] (x + у ) zr + z m+r (k 3), где F\ — любой (неэквивариантно) простой росток функции двух переменных типов Ak Dk-jEk (см. формулы (1.1)).