Коммутирующие дифференциальные операторы и гамильтоново минимальные лагранжевы поверхности Сапарбаева Баян Талгатовна

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Диссертация посвящена изучению коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов ранга два и алгебро-геометрических операторов Шрёдингера, связанных с гамильтоново минимальными лагранжевыми поверхностями в СР².

Напомним некоторые основные результаты теории коммутирующих дифференциальных операторов. В 1905 году Шуром [ была доказана следующая лемма.

Лемма. Пусть L_n, L_m и L^ — дифференциальные операторы порядков п, т и к соответственно (п > 1). Если L_nL_m = L_mL_n и L_nLi~ = Li~L_n, то L_mLk = Li~L_m.

Позже в 1923 году Бурхналл и Чаунди в получили следующий важный результат.

Лемма. Если L_nL_m = Ь_тЬ_ГИ то существует ненулевой полином R(z,w), такой что R[L_n,L_m) = 0.

Полином R(z,w) определяет спектральную кривую Г = {(z, w) : R(z, w) = 0} С С . Если ф — совместная собственная функция операторов Ь_п и Ь_т

Ь_пф = гф, Ь_тф = тф,

то точка с координатами (z,w) принадлежит спектральной кривой Г. Рангом пары L_n, L_m называется размерность пространства совместных собственных функций

/ = діт{ф : Ь_пф = гф, Ь_тф = гиф},

где (z,w) — точка общего положения на Г.

Если коммутирующие операторы имеют ранг один, то их совместные собственные функции (функции Бейкера-Ахиезера) и коэффициенты операторов выражаются явно через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой с помощью конструкции Кричевера [. В

случае ранга / > 1, Кричевером показано, что нахождение функции Бейкера-Ахиезера сводится к решению интегрального уравнения, точное решение которого получить не удается.

Кричевер и Новиков [ предложили метод деформации параметров Тюрина для нахождения коммутирующих операторов ранга больше 1, который не нуждается в нахождении функции Бейкера-Ахиезера. C помощью этого метода в найдены операторы ранга два отвечающие эллиптическим спектральным кривым. При этом оператор порядка 4 имеет вид

Lrn = (д_х + Уі(ж)) + V2(x)d_x + d_xV2(x) + Vs(x),

где

Т Г / , ^ЖЖ ^ЖЖЖ
КЦЖ) = — —г + —г-

4с_х Ас_х 2с_х +2 ((70 + с) — С(2с) — С(7о ^{— с}))^сж +с_х(2р(2с) — р(7о + с) — р(7о ^{— с}) ^— (С(7о + с) — С(2с) — С(7о ~~ ^с)) )j V^(x) = с_ж(р(7о ^— с(ж)) — р(7о + с(ж))), Уз(ж) = —(р(7о ^— с(ж)) + р(7о + с(ж))),

p(z),(z) — функции Вейерштрасса, с{х) — произвольная функция, 70 — постоянная. Оператор Lkn коммутирует с оператором Lkn порядка 6. Эти операторы (операторы Кричевера-Новикова) удовлетворяют тождеству

L_KN = 4L_KN + gi^KN + 9з, <72і<7зЄС.

Примечательно, что операторы Кричевера-Новикова могут иметь полиномиальные коэффициенты. Первые примеры таких операторов были найдены Диксмье

Lo = (д_х — х — а) — 2х,

Lo = (д_х — х — а) — — (х(д_х — х — а) + (д_х — х — а) ж),

при этом L²_D = L³_D + а. Гриневич выделил среди операторов Кричевера-Новикова операторы с рациональными коэффициентами.

Отметим, что операторы ранга три в случае эллиптических спектральных кривых были найдены Моховым . Было бы интересно найти среди этих операторов операторы с полиномиальными коэффициентами.

Двумерный оператор Шрёдингера

L = d_zdz + v(z, z)dz + u(z, z)

называется конечнозонным на одном уровне энергии, если блоховские функции (совместные собственные функции L и операторов трансляций — операторов сдвига на периоды) оператора L на одном уровне энергии параметризуются римановой поверхностью Г конечного рода. Конеч-нозонные на одном уровне энергии двумерные операторы Шрёдингера введены Дубровиным, Кричевером и Новиковым . Такие операторы восстанавливаются по спектральным данным {Г, q2,j}, где Г — ри-манова поверхность, д, д — род Г. Блоховская функция (двухточечная функция Бейкера-Ахиезера) имеет вид

( ^ ^ Л

Z I ill + Z &2

/ + U2Z + jly-r) + W jUiW)

фіг, z, P) = exp z \l\ + z ІІ2 „, _r/ .

6{j{P) -\- W)6{Uiz -\- U2Z + W)'

где 9 — тэта-функция многообразия Якоби спектральной кривой Г, 0.^ — нормированный мероморфный дифференциал с полюсом второго порядка в f(P) — отображение Абеля, C/j, Vi,W — некоторые векторы, определяемые спектральными данными, Q — фиксированная точка на Г (см. в ). При этом

d Q{U\z + U2Z + V\ + W)

v{z,z) = — — In ,

oz 6{u\z -\- U2Z + V2 + W)

(1)

d²
uiz, z) = mOiUiz -\- U2Z -\- W).

ozoz

Напомним, что в общем случае потенциал конечнозонного одномерного оператора Шрёдингера

д² — тг^т + и[х)

выражается через тэта-функцию спектральной кривой (см. )
и{х) = —2д_х ln9(xUi + С/2) + const, C/i, С/2 Є С⁹.

В то же время существуют конечнозонные операторы с потенциалами, выраженными через р-функцию Вейерштрасса, например, оператор

Ламе

д —^тг + gig + чРІ^х)

ox/ или оператор Трейбича-Вердне

д² тг-^

ах/ *-^

i=0

где uii — полупериод.

Двумерный оператор Шрёдингера возникает во многих задачах дифференциальной геометрии. В частности к этому классу задач относится построение минимальных и гамильтоново минимальных лагран-жевых поверхностей в СР².

Подмногообразие М С СР (погруженное или вложенное), diniR М = п, называется лагранжевым, если ограничение формы Фубини-Штуди на М равно нулю. Подмногообразие М называется гамильтоново минимальным (//-минимальным), если вариации обьемы М вдоль всех гамильтоновых полей равны 0. В были построены первые примеры ^-минимальных лагранжевых подмногообразий в СР (отличных от минимальных). С другой стороны, в [12] было показано, что с каждой лагранжевой поверхностью в СР² связан естественным образом двумерный оператор Шрёдингера.

Будем задавать конформное лагранжево погружение области Q С R² в СР² через композицию г : 1 —> S⁵ С С³ и проекцию расслоения Хопфа !Н : S⁵ —$ СР², где г = (т*і,Г2,гз), г і — комплекснозначная функция. Имеет место лемма (см. [12]).

Лемма. Компоненты rj вектор-функции г удовлетворяют уравнению Шрёдингера

Lrj = d_xr-j + д r-j + i(/3_xd_xrj + /3_yd_yrj) + Ae^vrj = 0,

где 2e^v idx²-\-dy²) — индуцированная метрика на поверхности, а /3(х, у) — лагранжев угол, определяемый равенством

е¹* = dz\ A dz2 A dzsia),

zi,Z2,zs — координаты в С³, ж, у — координаты на1, а — репер образованный векторами г, p>h, т^т.

\г_х | \Ту\

Целью диссертации является изучение обыкновенных коммутирующих операторов ранга два, алгебро-геометрических двумерных операторов Шрёдингера и двумерного оператора Шрёдингера, который связан с некоторым семейством гамильтоново минимальных лагранжевых поверхностей в СР².

Основные результаты диссертации.

1. Доказано что для любой фиксированной спектральной кривой вида w¹ = z³ + C2Z² + c\z + со с произвольными коффициентами с$ существуют коммутирующие несамосопряженные операторы Кричевера-Новикова порядков 4 и 6 с полиномиальными коэффициентами произвольной степени.

2. Найдена связь между собственными функциями одномерных операторов Шрёдингера с полиномиальными потенциалами 3 и 4 степени и собственными функциями обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторов ранга два (функциями Бейкера-Ахиезера ранга два).

3. Построены примеры конечнозонных на одном уровне энергии двумерных операторов Шрёдингера, коэффициенты которых выражены через р-функции Вейерштрасса, при этом спектральные кривые операторов имеют род больший 1.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при дальнейших исследованиях коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, а также при изучении двумерных операторов Шёдингера, связанных с гамильтоново минимальными лагранжевыми поверхностями в СР².

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика И. А. Тайманова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2016); семинаре лаборатории геометрической теории управления под руководством д.ф.-м.н., профессора А. А. Аграчева (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013); семинаре «Семинар отдела анализа и геометрии» под руководством академика Ю.Г. Решетняка (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2016).

Результаты диссертации были представлены на Международной конференции «Современная математика: проблемы и приложения» (Казахстан, Кызылорда, 2013); Международной молодежной конференции «Геометрия и управление» (Москва, 2014); Международной конференции «Геометрическая теория управления и анализ на мет-

рических структурах» (Байкал, 2014); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске — 2015» (Новосибирск, 2015); Международной конференции «Метрические структуры и управляемые системы» (Новосибирск, 2015); Конференции «Динамика в Сибири» (Новосибирск, 2016); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске — 2016» (Новосибирск, 2016).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти печатных и электронных изданиях [- [9*], три из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК - [3*], шесть — в тезисах докладов и материалах конференций [- [9*]. Результаты работ , получены в неразделимом соавторстве с А.Е. Мироновым и А.Б. Жегловым, а результаты работ , [ получены в неразделимом соавторстве с А.Е. Мироновым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы насчитывает 52 наименования. Общий объем диссертации составляет 72 страниц.