Введение к работе
Актуальность теми. Начало развития теории почти контактных структур относится к концу 50-тых годов нашего столетия. В 1959 году появление работы Дж.Грея D3 дало толчок для интенсивного исследования контактных и почти контактных структур на многообразии. Еще ранее Чжень [2J обнаружил, что контактное многообразие допускает Q -структуру со структурной группой 1/(п)У-^}. В I960 году Сасаки [33 заметил, что многообразие допускающее (у -структуру со структурной группой Т1Ы*{е] внутренним образом несет тройку [ ф , к , ^\ тензоров, обладающих свойствами
Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики на многообразии t/ , он построил риманову метрику
дополняющую структуру (ф , к , V f до почти контактной метрической структуры.
Важнейшим примером почти контактных метрических структур, з значительной мере определяющим их роль в дифференциальной геометрии, слуяит структура, индуцируемая на ориентируемой гиперповерхности f/ многообразия /И , снабженного почти зршітовой
структурой { J , 4','7/.
В частности, на любой ориентируемой гиперповерхности л/ овеществления комплексного пространства <С*" , снабженного канонической ПЛОСКОЙ ПОЧТИ ЭРМИТОВОЙ СТРУКТУРОЙ 1Ь , '}'%J,
индуцируется почти контактная метрическая структура. Наиболее
интересными свойствами эта структура обладает, если в качества
гиперповерхности Л^ из СК рассматривать гиперсферу S
Хорошо известно, что на такой гиперсфере индуцируется сасакиева структура постоянной ф -голоморфной секционной кривизны (j- 3). Это, по-видимому, исторически первый конкретный пример почти контактной метрической структуры [з].
Изучением почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий занимались известные геометры: Голдберг С, Блэр, Танно, Сасаки и другие.
Голдберг'.С. в ^рассматривал вполне геодезические гиперповерхности келерова многообразия. Им найдено необходимое и достаточное условие того, чтобы ориентируемая гиперповерхность келерова пространства была бы косимплектической. Им же доказа-
- 4 -но , что косиыплекгическая гиперповерхность пространства (. ""с плоской келеровой метрикой локально плоская, а также , что ориентируемая гиперповерхность , келерова многообразия, являющаяся вполне геодезической, - косишлектическое многообразие.
Изучением почти контактных структур, индуцированных на гиперповерхностях комплексных и почти комплексных пространств, занимались Яно, Исихара, Таширо и др. Таширо в И5Д доказал, что многообразие Грея и Сасаки могут быть реализованы в виде определенных вполне геодезических или вполне омбилических гиперповерхностей в эрмитовом и келеровом многообразиях соответственно.
Данная работа посвящена изучению почти контактных метрических структур, индуцированных на гиперповерхностях квазикелерова многообразия. Такой выбор предмета исследования объясняется тем, что , с одной стороны, класс квазикелеровых многообразий является одним из наиболее важных обобщений класса келеровых многообразий, и его изучению посвящено значительное число публикаций ( А. Грей, Хервелла, Ванхеке C6.7.8J), и,с другой стороны, о специфике геометрии гиперповерхностей квазикелеровых многообразий в настоящее время известно очень мало.
Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля, структурные уравнения записываются в специализированном репере, т.е. на пространствах присоединенных Qi -структур.
Пели диссертационного исследования:
-
Вывод структурных уравнений гиперповерхностей почти эрмитова многообразия, на котором индуцируется почти контактная метрическая структура, на пространстве присоединенной 6т -структуры.
-
Выяснение условий, при которых на гиперповерхностях тех или иных классов почти эрмитовых многообразий эрмитова, квазикелерова , приближенно келерова индуцируется квазисасакиева структура и нахождение явного вида второй квадратичной формы погружения гиперповерхности.
-
Выяснение условий, при которых на гиперповерхностях квазикелерова и приближенно келерова многообразиях индуцируется слабо косимплектическая структура.
-
Изучение специфики геометрии квазисасакиевых гиперповерхностей комплексных пространственных форм.
Новизна результатов. Основные результаты полученные в диссертации, являются новыми. Выделим важнейшие из них:
-
Получены структурные уравнения гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий, на которых индуцируется почти контактная метрическая структура, на пространстве присоединенной Gr -структуры.
-
Найдены необходимые и достаточные условия, при которых на гиперповерхности квазикелерова многообразия индуцируется слабо косимплектическая структура и квазисасакиева структура.
-
Получена вторая группа структурных уравнений квазисасакиевой структуры, индуцированной на гиперповерхности приближенно келеро-ва многообразия.
-
Изучены гиперповерхности класса "R-i приближенно келерова многообразия, на которых индуцируется квазисасакиева структура.
-
Изучены гиперповерхности комплексных пространственных форм, на которых индуцируется квазисасакиева структура; получена полная классификация - -квазномбилических гиперповерхностей комплексных пространственных форм.
Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в лей результата могут быть использованы при дальнейшем изучении почти контактных метрических структур, индуцированных на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий, а также при чтении спецкурсов в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по сходной тематике.
Апробация работы.Основные результаты докладывались и обсуждались на заседаниях Семинара кафедры геометрии ШГУ, геометрических семинарах в Смоленском пединституте и Тверском государственном университете.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в четырех публикациях. Их список приведен в конце реферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Она изложена на 105 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 45 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.
