Введение к работе
Актуальность темы. Данная работа посвящена изучению интересного подкласса почти контактных метрических структур, которые, в свою очередь, являются одними из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Активное развитие теории почти контактных структур началось с работ С.Чженя [1], Дж.Грея [2], [3], В.Бутби и Х.Вана [4] в 50-х годах прошлого века.
В 1953 году С.Чжень показал, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой {е} х U(n). Многообразие, допускающее такую структуру, Дж.Грей назвал почти контактным многообразием. С.Сасаки [5] отметил, что такая G-структура порождает тройку (?7,, Ф), где г] — ковектор, — вектор, Ф — тензор типа (1;1). Эта тройка обладает свойствами: г)() = 1, Ф2 = —id + г\ . Доказано, что произвольную риманову метрику h на таком многообразии можно достроить до метрики, согласованной с этой тройкой в том смысле, что: (ФХ, ФУ) = (X, Y) — rj(X)rj(Y), где X и Y — гладкие векторные поля на многообразии. Эта метрика дополняет структуру (ту,^,Ф) до почти контактной метрической (короче, АС-) структуры [6].
Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура S = (?7,^,Ф,д), называется почти контактным метрическим (АС-) многообразием.
Важнейшим примером почти контактных метрических структур, в значительной мере определяющим их роль в дифференциальной геометрии, служит структура, индуцируемая на гиперповерхности N многообразия М, снабженного почти эрмитовой структурой (J,g). В частности, такая структура индуцируется на нечетномерной сфере S2n~l, рассматриваемой как гиперповерхность в овеществлении пространства Сп.
В последнее время внимание исследователей в области контактной гео-
метрии привлекает изучение конформных отображений и (локального) строения многообразий, допускающих конформные преобразования специальных типов. Конформные отображения и конформные структуры нашли свое применение не только в геометрии, но и в теории функций, теории потенциала, при решении краевых задач для уравнений математической физики.
Объектом исследования данной работы являются локально конформно почти косимплектические (короче IcACs-) многообразия и их нормальный подкласс.
Изучение локально конформно почти косимплектических многообразий началось с работ И.Вайсмана, им были получены необходимые и достаточные условия того, что почти контактное метрическое многообразие является IcACs-
Далее изучением /сДС^-многообразий занимались З.Олчек и Р.Роска [7], Д.Чинея и Дж.С.Марреро [8], К.Мацумото и И.Михай [9] и другие.
В своих работах [7], [10] З.Олчек и Р.Роска изучают свойства кривизны, рассматривают некоторые аналитические характеристики IcACs-многообразий. Нормальные /сДС^-многообразия называются ими /-Кен-моцу многообразиями. Описывается локальная структура таких многообразий и дается геометрическая интерпретация их структурных особенностей.
Д.Чинея и Дж.С.Марреро в своей работе [8] изучают конформные преобразования почти косимплектических многообразий. Ими получены некоторые характеристики для локально конформно почти косимплектических и локально конформно косимплектических многообразий. Доказано, что если М является /сДС^-многообразием, то на листах голо-номного распределения ц = 0 индуцируется локально конформно почти
келерова структура. В частности, Д.Чинея и Дж.С.Марреро в данной работе [8] конструируют пример /сДС^-многообразия на М = R2n х S1, где R2n — арифметическое пространство, 5*1 — окружность.
В последнее время изучением /сДС^-многообразий и их подмногообразий, удовлетворяющих различным дополнительным условиям, также занимаются Д.В.Юн, К.С. Чо и С.Г.Хан [11], М.Т.Калапсо и Ф.Дефевер [12] и другие.
Цель диссертационной работы состоит в изучении геометрии локально конформно почти косимплектических многообразий и их нормального подкласса.
Основные задачи диссертационного исследования:
Получить полную группу структурных уравнений локально конформно почти косимплектических многообразий и на ее основе изучить строение компонент тензора Гимана-Кристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры.
Применить полученные результаты к более подробному изучению нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий.
Получить условия постоянства кривизны нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий.
Изучить нормальные локально конформно почти косимплектиче-ские многообразия постоянной Ф голоморфной секционной (далее <&HS-) кривизны.
Исследовать геометрический смысл обращения в нуль основных конформных инвариантов нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий.
Исследовать нормальные локально конформно почти косимплекти-
ческие многообразия являющиеся С(Л)-многообразиями.
Методы исследования. Результаты диссертационного исследования получены систематическим использованием тензорного исчисления в сочетании с методом присоединенных G-структур. Суть данного метода заключается в том, что исследование геометрии самого многообразия М с фиксированной на нем геометрической структурой, сводится к исследованию пространства расслоения реперов над многообразием М, или подрасслоений этого расслоения, известных под названием G-структур.
Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения локально конформно почти косимплектических структур. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов в высших учебных заведениях.
Апробация работы. Результаты исследования докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры геометрии МП-ГУ; на международных конференциях " Геометрия в Астрахани - 2008", (Астрахань, 2008), "Международные Колмогоровские чтения-VII", (Ярославль, 2009), "Геометрия в Одессе - 2009", (Одесса, 2009), "Лаптевские чтения - 2009", (Тверь, 2009).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 публикациях, их список приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 47 наименований. Общий объем рукописи — 94 страницы.
