Введение к работе
Актуальность темы исследования. Геометрия распределений и отображений областей евклидова пространства Е1 интенсивно изучается с различных точек зрения.
Первой работой по теории распределений следует считать, вероятно, статью А.Фосса , посвященную исследованию свойств двумерного распределения Д в трехмерном евклидовом пространстве. В настоящее врегля геометрия распределений в однородных и обобщенных пространствах; изучается довольно-таки широко с различных точек зрения.. Это объясняется, прежде всего, близостью теории распределений ж теории поверхностей однородных пространств, многочисленными связями этой теории с различными разделами геометрии, а также возможностью применения геометрии распределений в физике .
Теория локальных диффеоморфизмов областей евклидова 1Ъ -пространства составляет важный раздел современной математики, развивающийся в рамках геометрии, дифференциальной топологии и мат ематического. анализа. Дифференциально-геометрический аспект этой теории связан с наличием' на. подмногообразии дополнительной структуры...:
В исследовании геометрии отображений многомерных евклидовых пространств большую роль сыграли работы В.Т.Базылева. Весьма плодотворной-оказалась его идея о конструктивном графике отображения3' и неоднократно использованном его учениками.
За последнее время в рамках указанной проблематика возрос интерес- к одновременному изучению распреде-' лений и дифференцируемых отображений..Однако крут публикаций по указанной тематике еще достаточно узок. Здесь
I}Toss А. ЛЛ. ,W., 8. i^mo.iSrs-sM
О) ' ,'
Бюшгенс С.С. Геометрия стационарного потока идеальной несжимаемой яидкости//Известия академии наук СССР: Серия математическая/12,1948.-с.481-512. ^Базылев В.Т. К геометрии дифференцируемых, отображений евклидовых пространств//Вопросы дифференциальной гео-метртпУч. .зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В.И.Ленина/ МТПИ им. В.И.Іенина.-М.,І970,-І,Ш74.-С.4І-5І.
следует отметить работы Т.А.Дулалаевой (например '), которая рассматривала пару гиперраепредедений в ^-мерном проективном пространстве. А.также работы М.Н.Марюкова .(см,., например ') о паре р -распределений. (2 рї Л-І) в евклидовом и -пространстве.
Таким образом, одновременное изучение геометрии распределений, и отображений может, составить предмет диссертационной работы, а вышесказанное подтверждает ее актуальность.
Цель, диссертационной работы состоит в исследовании локальных диффеоморфизмов + :Е-*Е , а также, в изучении, геометрии, ассоциированных с ними пар гиперраспределений я евклидовом пространстве .
Конкретные задачи исследования состояли в следующем: .1) разработать структурный аппарат.векторного ;доля, задающего диффеоморфизм f , и пары ( А" , Д ) ассоциированных гиперраспределений;
2) выделить важнейщие специальные типы распределений
&и~ , Д*" и-дать их характеристики.; .
3) охарактеризовать некоторые специальные типы отображений
* , получить, их.свойства.'
Научная новизна заключается в постановке и разрешении перечисленных выше задач, а также в методических.приемах проводимого исследования. Впервые раскрыта геометрическая сущность векторов конформного и геодезического отображения: Еекторц являются.в, соответственносходящимся; и параллельным векторными полями.
Круг .общих методов исследования включает методіпод-вижного редера. и внешних дифференциальных' форм Э.Картана. Все рассмотрения носят локальный характер, а встречащиеся
4'Дулалаева Т.А. К геометрии пары гиперраспределений в
проективном пространства.Ри //Дифференциальная геометрия
многообразий фигур/Калининград, ун-т.-Калининград, 1981.-
с.23-26.
5'Марюков М.Н. О геометрии пары р -распределений в
евклидовом п, -пространстве//Геометрия погруженных много-
образийДШШ им.В.И.Ленина.-М., 1985.-е.-56-60.
функции предполагаются достаточно гладкими.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по геометрии распределений и геометрии точечных соответствий между областями евклидова пространства, а также при чтении спецкурсов по дифференциальной геометрии в вузах, где ведутся исследования по близкой тематике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно, обсуждались на заседаниях семинаров по дифференциальной геометрии при МШИ им. В.И.Ленина под руководством проф. В.Т.Базылева (1988г.), проф. В.Ф.Кириченко (1994г,.), а также на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре алгебра ТГПИ им.Л.Н.Толстого под руководством проф. В.Н.Безверхнего (І992-І994ГГ.).
