Содержание к диссертации
§1. Введение Глава I". Построение вполне интегрируемых геодезических
потоков на сфере 3Кт 20
§2. Уравнение Эйлера 20
§3. Построение (Я к - 3) -параметрического семейства вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере S"1-1 2в
§4. Построение (2.У1-Н )-параметрического семейства вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере 2 "Л 32
§5. Построение геодезических потоков в терминах гамильтоновой редукции 3?
Глава ІГ. Исследование независимости интегралов некоторых уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли 4 О
§6. Интегрируемые уравнения Эйлера на полупростых алгебрах Ли 40
§7. Вполне интегрируемость уравнений Эйлера Л ГХ ) Уаіхь (X ) 3 на сингулярных
полупростых орбитах 4 §8. Исследование независимости интегралов уравнения
Х = СХ у г (X) 3 1 сингулярных операторов РЛ ф 5 6
§9. Исследование независимости интегралов уравнения X =. Х , Ч а€ф (ЮЗ на максимальной компакт - з Глава Ш Интегрируемые системы с некоммутирущими интегралами 74
§10. Полная интегрируемость гамильтоновых систем в случае, когда не все интегралы попарно коммутируют
§11. Вполне интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых 4 систем, полностью интегрируемых с редуктивной алгеброй Ли интегралов S3
§12. Достаточные условия компактности алгебры Ли интегралов гамильтоновой системы 88
§13. Построение вполне интегрируемых геодезических потоков на симметрических пространствах 9
§14. Полная интегрируемость с некоммутирующими интегралами некоторых уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли ЪЦ
Глава IV Построение полностью интегрируемых систем на нередуктивных алгебрах Ли 3$
§15. Размножение интегрируемых аналогов уравнений
Эйлера при помощи ассоциативной алгебры с двойственностью Пуанкаре дЗ
§16. Вполне интегрируемость некоторых гамильтоновых системна Е(к ) 4#3
Литература -/•/
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена построению новых примеров вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Идеи, на которых основаны предложенные в диссертации конструкции интегрируемых систем, появились и интенсивно развивались в течение последних пятнадцати лет. Перечислим основные идеи. Во-первых, необходимо отметить введенное В.И.Арнольдом DO представление геодезических потоков на группах Ли в терминах уравнения Эйлера, общий факт гамильтоновости и связь уравнений Эйлера с редукцией по группе симметрии, а также сам метод редукции гамильтоновых систем, в современном варианте принадлежащий Дж.Марсдену и А.Вейнстейну [/42] . Во- вторых, отметим способ получения интегралов в инволюции на орбитах путем сдвига инвариантов алгебры Ли на ковектор общего положения. Этот прием впервые был использован С.В.Манаковым 2 3"] для получения коммутирующих интегралов уравнения Эйлера И -мерного твердого тела, а в более общем случае использовался А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко П25] . В работе С.В.Манакова [ 23j , тесно связанной с предшествующими работами по интегрированию нелинейных уравнений методом обратной задачи рассеяния, уравнение Эйлера рассматривается как частный случай матричных аналогов стационарных уравнений Кортевега - де Фриза (уравнений Новикова, см. статью Б.А.Дубровина, В.Б.Матвеева и С.П.Новикова [4 9] ). Важную роль как в стационарных, так и в нестационарных задачах играет гамильтонов формализм. В связи с этим, напомним, что уравнение Кортевега - де Фриза было впервые рассмотрено как бесконечномерная вполне интегрируемая гамильтонова система в работе В.Е.Захарова и Л.Д.Фад-деева МЦ . Зависимость между гамильтоновым формализмом стационарных и нестационарных задач установлена О.И.Богоявленским и С.П.Новиковым C4$?J.
Существует глубокая связь между теорией интегрируемых систем и теорией групп и алгебр Ли. Эта связь проявляется, в частности, в том, что многие интегрируемые системы допускают представление Лакса. Перечислим некоторые системы, для которых такое представление было найдено. Так для цепочки Тоды представление Лакса нашли Н.Флашка Р 9], С.В.Манаков [5 1 , а для обобщенных цепочек Тоды - О.И.Богоявленский [50j(см. также [5"J), для систем одномерных частиц, обобщающих системы Ф.Калоджеро и Б.Сазерленда, представление Лакса нашли Дж.Мозер С5"2Л, М.А.Ольшанецкий и A.M.Переломов E43J. А.М.Переломов нашел также представление Лакса для уравнений гидродинамики rt-мерного твердого тела в случае Клебша [54J, а для систем типа С.Ковалевской построил L-M пары, дающие нетривиальные интегралы C5 5"J. В работе С.П.Новикова [2.2 впервые был введен дополнительный спектральный параметр, что позволило линеаризовать лаксовы уравнения на якобиане соответствующей спектральной кривой. Общие схемы построения интегрируемых систем на орбитах в алгебрах Ли были предложены А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко C2 5J , М.Адлером 5"€ } , Б.Костантом КЗ.].
Некоторые системы, такие как системы Калоджеро-Сазерленда (см. \Ч0?5Ъ[), незамкнутые цепочки Тоды-Богоявленского 0S4] были рассмотрены М.А.Ольшанецкий и A.M.Переломовым, Д.Кажданом, Б.Костантом и С.Стернбергом с точки зрения гамильтоновой редукции простых исходных систем. Изложение и развитие
- 6 схемы Адлера-Костанта на основе метода гамильтоновой редукции и применение этой схемы к градуированным алгебрам Ли дано А.Г.Рейманом и М.А.Семеновым-Тян-Шанским С4 4] . Этиже авторы распросранили схему Адлера-Костанта на уравнения нулевой кривизны \ji 5", 6 5 2 . Недавно М.А.Семенов-Тян-Шанский Е Ч указал на связь схемы Адлера-Костанта с задачей Римана, классической % -матрицей и уравнением Янга-Бакстера.
Отметим также работы О.И.Богоявленского [iO G7 & Ч- j по новым примерам интегрируемых уравнений Эйлера. Вопросам, связанным с существованием дополнительных интегралов движения, и доказательству неинтегрируемости гамильтоновых систем посвящены работы: С.И.Пидкуйко и А.М.Степина [5"#] , В.В.Козлова и Д.А.Онищика [5"3J , В.Н.Колокольцова [GO] » С.Л.Зиглина [Gil •
Перейдем теперь к краткому изложению основных результатов диссертации. Первая глава посвящена построению двух семейств вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере J3 " .
В третьей главе мы докажем вполне интегрируемость некоторых геодезических потоков с гамильтонианами вида /-/- "квМ для каждого симметрического пространства УЕ компактной полупростой группы Ли OV . Другие гамильтоновы системы (капля жидкости, тяжелый ротор) с гамильтонианами вида Н 4L° М рассмотрели Б.Гийемин и С.Стернберг 3J . При изучении гамильтоновых систем с гамильтонианами вида н° М полезно рассмотреть соответствующее уравнение Эйлера
Вторая глава диссертации посвящена решению некоторых алгебраических проблем, связанных с подсчетом числа независимых интегралов уравнений Эйлера на орбитах в полупростых алгебрах Ли в сингулярных случаях. Пусть о •••, Э/j
- набор полиномиальных функций на полупростой алгебре Ли Q- , инвариантных относительно присоединенной группы. Такие функции называются инвариантами алгебры Ли Q . Далее считается, что функции 0 ,,,.. j 0 являются независимыми однородными образующими алгебры всех инвариантов алгебры Ли г
Для любого элемента ОС € CJ- функциональный коэффициет в полиноме ъСХ Х)- У;(Х+ ко ) ПРИ X обозначается.
Для любой орбиты U набор функций, полученных в результате ограничения функций J. на орбиту 0 обозначается J л (л j . Теорема, принадлежащая А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко, утверждает полноту коммутативного набора 3, 0 j для элемента Л и орбиты О общего положения в Q . Вскоре после опубликования доказа-тельства полноты набора uf /0}для орбит общего положения, было опубликовано доказательство полноты набора { of I п т для сингулярных орбит 4?"] • Однако, как заметил А.С.Мищенко (см. C29J) в работе Дао Чонг Тхи f/ З ПРИ доказательстве полноты допущены некоторые неточности. Теорема 4 утверждает полноту набора { ол Q J для любой сингулярной полупростой орбиты. Мы даем подробное доказательство теоремы 4, основанное на независимости дифференциалов oCJ fX) в точке X , которая является главным нильпотентным элементом в комплексной оболочке алгебры Ли Q- . Доказательство полноты набора of І0 j для сингулярных полупростых орбит одновременно и независимо от автора (см. J/J3] ) получил И.В.Микитюк [€] .
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н., профессору А.Т.Фоменко за внимание к работе и поддержку.
