Введение к работе
І.
Актуальность темы. Теория контактных и почти контактных структур на многообразиях активно развивается геометрами почти полвека, начиная с работ С. Чженя [27], Дж Грея [16,17], В Бутби и X Вана [11] Интерес к контактной геометрии обусловлен богатством ее внутреннего содержания и приложениями в современной математической физике Кроме того, почти контактные структуры являются нечетномерными аналогами почти эрмитовых структур, а эрмитова геометрия традиционно является предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии. Например, почти контактные структуры естественным образом возникают на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий [10] Обзор картины исследований контактных и почти контактных многообразий с точки зрения дифференциально-геометрических структур представлен в работах [1], [3], [7] и [8]
Контактной структурой, или контактной формой на нечетномерном многообразии Jl/n+1 называется 1-форма г/, такая, что в каждой точке многообразия TjAdrjA лсіт]ї0,т е ранг rj совпадает с размерностью М1"*1 В
п раз
1953 году С.Чжень [12] показал, что дифференцируемое нечетномерное многообразие с фиксированной контактной формой ц допускает G-структуру со структурной группой {е}хЫ(п) Дж. Грей [18] назвал такие многообразия почти контактными. Далее Сасаки [24] было показано, что почти контактное многообразие внутренним образом несет структурную тройку тензоров {tj, , Ф), где ц - ковектор, - вектор, Ф - тензор типа (1,1) Докзано, что
произвольную риманову метрику h на таком многообразии можно достроить до метрики, согласованной с этой тройкой в том смысле, что
где Хи Y- гладкие векторные поля на многообразии Эта метрика дополняет структуру {rj, , Ф) до почти контактной метрической структуры [3]
Постоянно растущее в исследованиях число классов почти контактных метрических структур поставило перед геометрами задачу их классификации Эта задача разными путями была решена в совместной статье Д Чи-ньи, X, Марреро [15] и в работе В Ф. Кириченко [3] Было установлено число таких классов (211=2048) и получен удобный аналитический критерий принадлежности структуры соответствующему классу [3]
Особый интерес в контактной геометрии представляют квази-сасакиевы структуры, которые обобщают классы сасакиевых и косиМплекти-ческих структур Изучение квази-сасакиевых структур началось с фундаментальной основополагающей работы Д. Блэра [9] Далее значительные результаты в этой области получили Ш Канемаки [21], Г Янамото [25], В Ф Кириченко и А Р Рустанов [2] и др.
В последнее время внимание исследователей привлекает изучение конформных отображений и (локального) строения многообразий, допускающих конформные преобразования специальных типов. Отметим, что это направление исследований актуально не только в геометрии, но и в теории функций, теории потенциала, при решении краевых задач для уравнений математической физики Конформные отображения широко применяются в картографии (стереографическая проекция и проекция Меркатора)
Интерес к конформной эрмитовой геометрии усилился после выхода работ И Вайсмана [67], С Иануса и М Васинеску [19], [20] И Вайсман показал, что многообразие Хопфа имеет локально конформно-келерову структуру, но не является келеровым С. Ианус и М Васинеску обнаружили, что конформно плоское локально конформно келерово многообразие с параллельной в римановой связности формой Ли может служить моделью для теории супергравитации Калуцы-Клейна
Из сказанного выше становится ясной причина заинтересованности геометров и областью конформных преобразований почти контактных метрических структур. Много работ по этой тематике вышло у Д Чиньи и X Марреро [13], [14] и др, где рассматривались локально конформно косим-плектические многообразия в различных аспектах Сравнительно недавно внимание геометров привлекла геометрия локально конформно почти косим-плектических структур, в исследованиях которых с различных точек зрения отметим работы 3 Ольжака [23], К Мацумото и др [22], Д В Юна и др [26]
Изучение нормальных почти контактных метрических структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, было начаю в работах В А Левковца Автор выделил подклассы нормальных почти контактных метрических многообразий, названные /«-многообразиями и локально конформно квази-сасакиевыми (короче, IcQS-) многообразиями, соответственно [6] В совместной работе с В Ф Кириченко [4] было доказано, что эти классы совпадают, если контактная форма Ли замкнута и коллинеарна контактной форме в римановой связности В А Левковцом получено описание локально симметрических IcQS-uao-гообразий [5], и в соавторстве - /с^-многообразий постоянной кривизны [4]
Настоящее исследование обобщает и продолжает работу В А Левковца. Здесь изучаются вопросы конформной геометрии почти контактных метрических структур, допускающих в окрестности каждой точки конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру Заметим, что исходная структура является априори произвольной почти контактной метрической структурой
Объект исследования: почти контактные метрические структуры, локально конформные квази-сасакиевым структурам Далее будем называть их локально конформно квази-сасакиевыми (короче, LCQS-) структурами
Цель диссертационной работы: исследование свойств локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях
Основные задачи: определены в соответствии с целью диссертационного исследования.
Получить полную группу структурных уравнений ІС^-структур и на их основе изучить строение компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны.
Получить новые тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля На их основе выделить и изучить наиболее интересные классы локально конформно квази-сасакиевых структур, охарактеризовав строение выделенных классов в терминах структурных тензоров и контактной формы Ли
Получить условия вполне интегрируемости контактного распределения ІС^Я-структур
Изучить строение контактной формы Ли и ее связь с контактной формой на многообразиях с LCQS структурой
Построить и изучить внутренним образом определенную (отличную от римановой) связность на многообразиях с LCQS структурой.
Изучить строение некоторых типов распределений іС0"?-структур и получить контактный аналог теоремы Икуты для исследуемых структур
Установить, как свойства квази-сасакиевых структур изменяются при нетривиальных конформных преобразованиях LCQS-cvpyKryp
Научная новизна. Основные результаты данной работы являются новыми и решают поставленные основные задачи
На пространстве присоединенной G-структуры получена полная группа структурных уравнений ІСфЯ-структур и изучено строение компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны
Рассмотрены классы кривизны CR% и Сйз локально конформно квази-сасакиевых струкгур В терминах контактной формы Ли и тензора Риччи найдены условия, при выполнении которых изучаемые структуры будут принадлежать этим классам
Получено условие вполне интегрируемости контактного распределения ХС^-структур
Доказано, что контактная форма Ли локально конформно квази-сасакиевых структур определена внутренним образом Найдено явное выражение контактной формы Ли в терминах структурных тензоров
Введено понятие первой канонической связности почти контактных метрических структур Изучен геометрический смысл обращения в нуль элементов спектра тензора кручения этой связности в случае /,Сб5-структур
Введено понятие келерова распределения Я Legs'-многообразия и найдены условия, при которых интегральные многообразия любого* распределения ЭсЛ Сб5-многообртазия являются вполне вещественными подмногообразиями Этот результат является контактным аналогом известной теоремы Икуты.
Установлено, что квази-сасакиевы структуры не переводятся в ква-зи-сасакиевы структуры нетривиальным локально конформным преобразованием
Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых почти контактная метрическая структура является нормальной LCQS-структурой
Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых нормальная ХС^З-структура является регулярной
Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых нормальная регулярная ХС^-структура является структурой Кенмо-
Методы исследования. Результаты диссертационной работы получены систематическим использованием метода присоединенных G-структур, метода инвариантного исчисления Кошуля и аппарата классического тензорного анализа Заметим, что для LCQS-структур ключевым характеристическим свойством является наличие введенной нами глобально определенной 1-формы - контактной формы Ли
Теоретическое и прикладное значение. Данная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и в направлении ее естественных контактов с математической физикой, при чтении спецкурсов, для написания дипломных и курсовых работ.
Апробация. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на научно-исеяедовательском семинаре по дифференциальной геометрии математического факультета МПГУ (руководитель семинара - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко), на международной конференции «Колмогоровские чтения - III» (г Ярославль, май 2005г), на международной конференции «Геометрия в Одессе-2006» (г Одесса, май 2006 г)
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 5 публикациях. Их список приведен в конце автореферата
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы, включающего 69 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, объем основного текста - 105 страниц
