Введение к работе
. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Замкнутые невыпуклыв поверхности с биективным сферическим отображением попали в поле зрения геометров еще в IS37 году, когда А. Д. Александров показал, что при решении, задачи Кристоффеля даие в аналитическом случав монет возникнуть нерегулярная замкнутая гиперповерхность, имеющая особенности Tina ребер возврата (см. W).
Позднее А. Л. Ворнер, А. А. Дудкин и В. Г. Шармин в серии работ [2-4J определили класс Б гиперповерхностей с биективным сферическим отображением, имзщкх особые компоненты, и исследовали топологическое строение поверхностей этого класса. В частности, для двумерных поверхностей этого класса, имеющих ребрами возврата только регулярные замкнутые кривые (класс В>), было установлено, что связные области неположительной гауссовой кривизны на таких поверхностях всегда двусвязнн.
Тема диссертации относится к крупному и актуальному разделу геометрии "в целом" - теории нерегулярных поверхностей с биективным сферическим отображением, и входит в план научной работа кафедры геометрии РГПУ им. А. И. Герцена по проблеме "Глобальная геоме.трия погруженных многообразий и пограничные вопросы дифференциальных уравнений",' номер государственной рогистравди 7S006576 от 9.03.1979 года. Тема диссертации примыкает к исследованиям геометров Московского, Харьковского и Новосибирского университетов, ФТИНГа АН Украины.
Целью диссертации является рассмотрение для поверхностей описанных выше классов традиционных задач геометрии "в целом":
задачи Кристоффеля о воотановлении поверхности по сферическому отображению и'сумме главных радиусов кривизны;
задачи Шнковского о восстановлении поверхности по сферическому отображению и гауссовой кривизне;
задачи о бесконечно малых изгибаниях.
Кроме этого, в Дополнении к диссертации две последние задачи рассматривавтся для поверхностей знакопеременной гауссовой кривизны, связанных с исследуемыми поверхностями полярным соответствием.
4 МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. При доказательстве существования и единственности решения задачи Кристоффэля для замкнутых невыпуклых гиперповерхностей используется метод перехода к параллельным выпуклым сзалоидвм.
При решении проблемы Минковского и задачи о Сесконечно малых изгибаниях исподы"чются методы дифференциальной топологии, в чыстности исследуются поля асимптотических направлений на изучаемых поверхностях и связанных с ними специальных поверхностях.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Большинство результатов, полученных в работе - новые, в диссертации впервые рассмотрены и решены задачи геометрии "в целом" для нового класса поверхностей. Кроме того, некоторые, уже известные теоремы доказываются новыми методами.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по геометрии в РГПУ им. А. И. Герцена в 1987 - 1992 гг., докладывались на Герценовоких чтениях в 1990 г., на Всесоюзном совещании молодых геометров, посвященном 80 - летаю со дня рождений Н. в. Ефимова в г. Новороссийске в 1990 г., на Международной конференции по геометрии, посвященной 200 - летию со дня рождения Н. И. Лобачевского в О,- Петербурге в 1992 г., на семинаре по геометрии "в целом" под руководством профессора Э. Г. Позняка и доцента И. X. Сабитова в МТУ им. М. В. Ломоносова в 1992 г.. ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С5-83 .
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав и Дополнения, разделенных на десять параграфов, и библиографии из 19 названий. Диссертация содержит 69 станиц, имеется б иллюстраций.
