Введение к работе
Актуальность темы. Изучение касательных расслоений дифференцируемых многообразий является одним из наиболее быстро развивающихся направтоний современной геометрии. Теория расслоений находит важные применения в геометрии, теории дифференциальных уравнений, анализе, теории групп. Методы расслоенных пространств интересуют механиков и физиков. Актуальность работы в этом направлении диктуется как самой логикой развития дифференциальной геометрии, так и многочисленными приложениями теории расслоенных пространств.
Исторически теория рлсслоенных пространств возникла в связи с изучением геометрии многообразий. Вначале появились работы по касательным расслоениям первого порядка. Изучение дифференциальной геометрии касательного расслоения T|VV римановых, а также произвольных дифференцируемых многообразий начало интенсивно развиваться с конпа 50-х годов, после выхода работы Ш.Сасаки С 1,2.], где он определил в ТМ^ ри-манову метрику Я , названную впоследствии его именем, рассмотрел ряд вопросов, связанных с изометрией в ТИа , ввел понятия вертикального и полного лифтов векторных, ко-векторных полей с базисного многообразия М^ в его касатель-
-
Sasaki Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Rimannian manifolds.1.//Tohoku Math.J.-1958.-10.-Л 3.-P. 338-354.
-
Sasaki Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Rimannian manifolds.2.//Tohoku Math.J.-1962.-14.-H 2.-P. 146-155.
ное расслоение. Общая теория продолжения аффинных связнос-тей, векторных и тензорных полей с дифференцируемого многообразия Мп. в его касательное расслоение Т №^ получила дальнейшее развитие в работах К.Яно, Ш.Кобаяси, А.Леджера 0,^,. Была построена и изучена метрика полного лифта ? С=Ю, линейная связность Г5"] в касательном расслоении, полный, вертикальный СИ и горизонтальный лифты векторных и тензорных полей с базисного многообразия в касательное расслоение. В С6] рассматривается диагональный лифт тензорного поля любого типа с многообразия с линейной связностЫа в его касательное расслоение. В настоящее время геометрия касательного расслоения изучается в различных направлениях [з].
С конца 60-х годов появляются первые работы по касательным расслоениям второго порядка С Is18,10,9, llj и высших
-
Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространств над алгебрами.-В кн. Итоги науки и техники.-ВИНИТИ: проблемы геометрии.-1981.-т. 12.-С. 61-95.
-
Yano К.,Kobayachi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles.2.Infinitesimal automorphisms.//J.Math-Soc. Japan.-1966.-18.-N 3.-P. 236-246.
-
Yano K.,Ledger A. Linear connections on tangent bundles.//J. London Math.Soc.-1964.-V.39.-И 3.-P. 495-500.
-
Udriste C. Diagonal lifts from a manifold to tangent bundle.-Rend.mat.-1976.-9.-H 4.-P. 539-550.
-
Yano K..Kobayachi S. Prolongations of-tensor fields and connections to tangent bundles.1.General theory.//J. Math.Soc.Japan.-1966.-18.-N 2.-P. 194-210.
порядков С 14, iS" , їв J , и тогда как касательные расслоения первого порядка изучены более-менее подробно, то исследования касательных расслоений второго и высших порядков еще только начинаются.
Настоящая диссертация по своей теме относится к теории касательных расслоений 2-го порядка пространств аффинной связности №„ .
и*
Цель работы состоит в том, чтобы: 1) установить, взаимосвязь между геометрическими объектами, возникающими в касательном расслоении 2-г^ порядка Т г ГД t , сумме Уитни TMaT"Mft двух экземпляров касательного расслоения (а при ц=2 и в расслоении реперов (Mj) ). 2). С привлечением полученных результатов изучить вопрос о связях между движениями в Мп ив (мг) , а также изучить упорядоченные пары
-
Капустина Т.В. Геометрия касательного расслоения второго порядка риманова пространства.-Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.-1980.-126 с.
-
Переломова Н.Н.,Широков А.П. Касательное расслоение 2-го порядка проективной прямой и его приложения к геометрии Лобачевского./Казан. ун-т.-Казань.-1988.-21 с.-Деп. в ВИНИТИ 12.04.88.-№ 2746-В88,
-
Tong Van Duo. Sur la geometrie dlfferentielle du fibre tangent d'ordre 2.-Rend.Сire.mat. Palermo.-1986.-35.-II 1.-P. 118-134.
11. Tong Van Duo. Tenseur covariant oanonique sur le fibre
cotangent d'ordre 2.-Bull.Soi.math.-1986.-110.-H 3.-
векторных поіей на римаковом пространстве Ми с точки зрения Т г /И р_.
Работа выполнялась в соответствии с планом НИР Казанского университета в рамках темы "Геометрия обобщенных пространств и пространств со структурами, определяемыми алгебрами", имеющей государственный регистрационный J* 0186.0123456.
Научная новизна. Получены в неголономном поле реперов
ЄА (.см. параграф 2) основные формулы для геометрических объектов, возникающих в расслоениях Тг М^ . ТМц. TM„, ,
ЕС/Мі) Найдены необходимые и достаточные условия совпа-дения связностей полного лифта V^ в ТМки ^е/ в
ТМ^ Ф Т Mfj, . Установлены взаимосвязи между другими найденными выше тензорными полями в Т Л/|л, ТМлФТМи_ (а при п,-2 и в (/Иі))' Выделен класс расслоений реперов «ffll/li)
12. Движения в пространствах аффинной связности.-Ученые
зашюки.-Казань: Казан, ун-т.-1965.-206 с.
-
Catz Ghislaina. Sur le fibre tangent d'ordre deux.-These doct.Univ.sci. et med.-Grenoble.-1973.-64 p. .
-
Gancarsewioz J.,Mahi S. Geodesiques dans le fibre tangent d'ordre superieur.-Cah.math.Univ. d'Oran.-1986.-
. И 1.-P. 27-52.
-
Djaa KTustapha,Gancarzewicz Jaoek. f-structures sur le fibre tangent d'ordre r.-Cah.math.Univ. d'Oran.-1986.-N 1.-P. 3-26.
-
Gancarzev/ioz J. ,Mahi S. ,Rahmani H. Horizontal lift of tensor fields of type (1,1) from a manifold to tangent bundle of higher order.-Rend.Circ.mat.Palermo.-1987.-
со связностями
Теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использозанн при изучении геометрии касательных расслоений как римановых, так и произвольных многообразий, для изучения упорядоченных пар конгруэнции прямых в аффинном пространстве. Вместе с тем, как известно, дифференциально-геометрические конструкции и результаты теории расслоений находят широкие приложения в механике и теоретической физике.
Методы исследования. Используются методы тензорного анализа, аппарат дифференцирования Ли и поднятия геометрических объектов с базы в касательное расслоение. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научно-исследовательского семи-
p6],suppl. $ н.-Р. 43-59.
-8.-
нара при кафедре геометрии Казанского университета /руководитель профессор А.П.Широков/, на итоговой научной конференции Казанского университета, на семинаре при.кафедре геометрии и алгебры Калининградского университета /руководитель профессор В.С.Малаховский /.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях, приведенных в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 133 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, содержащих 15 параграфов, заключения и списка литературы из 62 наименований отечественной и зарубежной литературы. Нумерация параграфов сквозная.
