Введение к работе
Актуальность теиы. Лифференциальные уравнения в частных производных играют важную роль в современном естествознании, причем сейчас уже можно считать общепризнанной ту идеологию, которая призывает при исследовании системы (нелинейных) дифференциальных уравнений ( далее "система д.у.", "д.у." или "уравнение") искать не только ее точные решения, но и те или иные характеристики рассматриваемого д.у., которые позволяют получать полезную для приложений информацию оО объекте, описываемом данным уравнением. Одной из важнейших характеристик д.у. является наличие у него локальных симметрии, которые широко используются при исследовании конкретного уравнения 1)_3). Однако развитие геометрической теории дифференциальных уравнений показало ограниченность локальной точки зрения и привело к появлении новых средств исследования д.у., таких как, например, псевдопогенциалы и структуры продолжения Уолквисга - Эстабрука, преобразования
1). Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений/ /М.: Наука, 1978.
Z). Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике//М.:Наука, 1983.
3). Виноградов A.M., Лячагин Ь.в., Красильщик и.о. Введение в геометрию нелинейных дифференциал!них уравнений// М.: Наука, 198В.
/ -///У
Беклунда и др.4),5). После выхода работ А.Ы.Виноградова и И.С.Красильщика б),7) стало ясно, что эти ноше конструкции являются фрагментами теории накрытии и нелокальных симметрии 6)-7). Нелокальные симметрии при исследовании уравнений могут быть использованы так хе, как и локальные, и потому задача нахождения нелокальных симметрии для заданного уравнения представляет интерес.
Содержательную информацию о геометрических, инвариантах дифференциального уравнения несет также С-спектрвльная последовательность {Е^,ч(ую),й^'4} бесконечно продолженного уравнения У003), введенная А.М.Виноградовым а). Так, например, группы Ъ'*{УК) отождествляются с группами к-мерных
4). Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравне--
ниям//М.:Мир, 1989. 5). АОловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной зада-
чи//М.:Мир, 1987. 6). Krasllschchlk I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal symmetries and the theory ol covering//Acta Appl. Math. - 1984. V.2, no.1, P.79-96. 7). KrasllschchlK. I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal trends In the geometry of clliierentlal equation: symmetries, conservation laws and Backlund transformatlon/v'Acta Appl. Math. - 1989. 7.15.- P.161-209. 8). Виноградов A.M. Одна спектральная последовательность, связанная с дифференциальным уравнением, и алгебро-геометрические основания лагранжевой теории поля со свя-ЗЯМИ//ДАН СССР.- 1978. Т.238, * 5.- с.1028-1031.
горизонтальных когомологий де Рама 3', среда которых группа ИР"1 (}>„). где и - число независимых переменных, - группа законов сохранения 9). Группа е] ,n-1 q^) для регулярных уравнений 9) может быть отождествлена с kerl, где звездочка обозначает операцию формального сопряжения оператора. Как известно, kerl* содержит все производящие функции законов сохранения, причем дифференциал d,n~1 сопоставляет закону сохранения его производящую функцию, а условие d] *п~1 (<|>)=0 выделяет те функции фєкегі^, которые являются производящими функциями законов сохранения 9>. Элементы группы Е*"'11-1 (Ую) при р^2 могут трактоваться как законы сохранения для семейств решений д.у. 10).
Приведенное описание групп Е*"*11"1 (3^,) показывает, что знание их может оказаться полезным при исследовании дифференциального уравнения.
Цель работы - исследование уравнений, опре делящих нелокальные симметрии, построение новых серий нелокальных симметрии для уравнений, имеющих оператор рекурсии А), развитие методов вычисления групп ер,п~1(Ую), р>1 С-спектраль-ной последовательности дифференциального уравнения.
Научная новизна. В диссертации доказано существование серий нелокальных симметрии ряда уравнений, имеющих опера-
9). Vinogradov A.M. C-Spectral Sequence, Lagrangian Formalism and Conservation Laws//J. of Math. Anal, and Appl.-1984. V.100, no.1.- P.1-129.
10).Tsujisalta T. Formal geometry of systems of differential equatlon/ZSugaku Expositions AMF,- 1989. V.2.
Л///У
ТОр рекурсии; ПреДЛОКеН МеТОД ВНЧИМеНИЯ ГРУППЫ i^,n~1 (^.>да)
для эволюционных уравнении, проведено вычисление группы Ь^,n"1 (J'oo) лля некоторых эволюционных уравнений-с одной пространственной переменной, б том числе для уравнения Бюр-герса, уравнений КдФ, МКдФ, ШдФ; получена теоремы тривиальности групп е^,п"1 (Ую), р>2 для некоторого класса уравнений, имеющих бесконечное число симметрии.
Приложения. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при исследовании уравнений математической физики.
Апробация. Результата диссертации докладывались и обг-суждались на заседании кафедры высшей геометрии и топологии Ml'У им. М.В.Ломоносова, ка научных семинарах кафедри высшей геометрии и топологии под руководством А.М.Ьиногргдова, на международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям ( Чехословакия, г.Ьрно, ІУ8У г.), а также на научном семинаре кафедры геометрии Тартуского университета.
Публикации, '.'снсвные результаты диссертации опубліковані» е работах и l-MJ, приведенных в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения и
двух глав, объем - 77 страниц, в списке литературы 23
ч наименования.