Введение к работе
Актуальность темы. Гильбертовы С*-модули являются естественным обобщением гильбертовых пространств, возникающем при замене поля скаляров С на С*-алгебру. Для коммутативных С*-алгебр такое обобщение было впервые описано в работе И. Капланского (1)) однако общая теория гильбертовых С*-модулей возникла лишь 20 лет спустя в работах У. Пэшке (2) и М. Риффеля (3).
Следует отметить, что в настоящее время область применения теории гильбертовых модулей очень широка. Например, гильбертовы модули оказались очень удобным инструментом в теории операторных алгебр, позволяя изучать С*-алгебры, изучая гильбертовы модули над ними. Кроме того, гильбертовы модули служат аппаратом в целом ряде тополого-геометрических приложений, а именно, в теории индекса эллиптических операторов, в /f-теории и в іІГЯ"-теории Г. Г. Каспаро-ва (4 5 6) и в общих вопросах некоммутативной геометрии (7).
Что касается собтвенно теории гильбертовых С*-модулей, то здесь осбый интерес для приложений представляют структурные результаты о геометрии гильбертовых модулей и об операторах в них. Первая глава настоящей диссертации посвящена исследованию одной из задач такого типа, на обсуждении которой мы хотим остановиться более подробно.
В работах Г. Г. Каспарова (8) и X. Лина (9) было дано описание всех
1 Kaplansky I. Modules over operator algebras. Amer. J. Math., 75 (1953), 839-858.
2 Paschke W. L. Inner product modules over 5*-algebras. Trans. Amer. Math. Soc, 182 (1973),
443-468.
3 RieffelM. A. Induced representations of C*-algebras. Adv.in Math., 13 (1974), 176-257.
4 Каспаров Г. Г. Операторный К-функтор и расширения С*-алгебр. Изв. АН СССР. Сер.
матем., 44 (1980), N 3, 571-636.
5 Мищенко А. С, Фоменко А. Т. Индекс эллиптических операторов над С*-алгебрами.
Изв. АН СССР. Сер. Матем., 43 (1979), 831-859.
6 Троицкий Е. В. Экзивариантный индекс С*-эллиптических операторов. Язе. АН СССР.
Сер. матем., 50 (1986), N 4, 849-865.
7 Connes A. Non-commutative differential geometry. РиЫ Math. J.H.E.S. 62 (1985), 41-144.
8 Kasparov G. G. Hilbert C*-modules: Theorems of Stinespring and Vbiculescu, J. Operator
Theory, 4 (1980), 133-150.
9 Lin H. Bounded module maps and pure completely positive maps. J. Operator Theory, 26
основных операторных пространств, с которыми приходится иметь дело в теории гильбертовых модулей, в терминах теории мультипликаторов (см. (10 п) ) С*-алгебр. В настоящей диссертации развивается принципиально другой (категорный) подход к теории мультипликаторов, что позволяет нам, в частности, получить совершенно элементарное доказательство структурных теорем Каспарова-Лина. Основная идея нашего подхода к теории мультипликаторов состоит в том, чтобы расширить запас допустимых представлений, для каждого из которых можно определить некоторую алгебру (мультипликаторов), a priori зависящую от представления. Далее мы доказываем теорему, что все алгебры мультипликаторов (пространства квазимультипликаторов), построенные ;по разным допустимым представлениям, изоморфны. Кроме того, мы показываем, что классическое определение мультипликаторов является частным случаем нашего, если в качестве допустимого представления выбрать универсальное. Теперь для доказательства структурных теорем Каспарова-Лина, при данном фиксированном гильбертовом модуле , остается только выбрать подходящее допустимое представление, связанное с этим модулем, и рассмотреть соответствующую этому представлению алгебру мультипликаторов (пространство квазимультипликаторов) , в терминах которых формулировки теорем становятся очевидными.
Далее, в серии работ Е. В. Троицкого ( 6 12) были определены числа Лефшеца (первого типа) для любого унитарного эндоморфизма W*-эллиптического комплекса, при дополнительном предположении, что этот эндоморфизм является элементом представления некоторой компактной группы. При этом, если через А обозначить W'-алгебру, над которой рассматривается эллиптический комплекс, то числа Лефшеца
(1991), 121-138.
10 Акетапп С, Pedersen (7., Tomiyama J. Multipliers of C'-aJgebras. J, Fund. Anal., 13 (1973),
277-301.
11 Frank M. Geometrical aspects of Hilbert C*-modules. Positivity, 3 (1999), 215-243.
12 Troitsky E. V. Orthogonal complements and endomorphisms of Hilbert modules and C*-elliptic
complexes, in: Novikov Conjectures, Index Theorems and Rigidity, v. 2 {London Math. Soc. Lect.
Notes Series v. 227), 1995. 309-331.
будут принимать значения в группе Kq(A) С.
Для того, чтобы определить (обобщенные) числа Лефшеца уже для произвольных унитарных эндоморфизмов ЛУ*-эллиптических комплексов мы вводим в рассмотрение некоторую группу Nq(A) большую, чем Kq{A) С. Определяется эта группа следующим образом. Для произвольной алгебры фон Неймана А на множестве нормальных элементов индуктивного предела Моа(А) = \\тМп(А) можно ввести некоторое отношение эквивалентности, которое для проекторов будет совпадать с обычной стабильной эквивалентностью. Причем множество классов эквивалентности Л/"(Л) элементов из М^А) относительно операции прямой "суммы является абелевой полугруппой. Тогда группа NQ(A) определяется как симметризация абелева моноида Af(A). Говоря нестрого, группы No(A) можно рассматривать как К-теорию, но только построенную не по множеству проекторов, как обычно, а по множеству нормальных элементов индуктивного предела М^А).
Прежде всего, следует отметить, что Kq(A) является подгруппой группы No(A). Кроме того, существует тесная связь между JV-группами и операторной Jf-теорией. А именно, каждый элемент из Nq(A) может быть представлен как аддитивная #о(-А)-значная мера с компактным носителем, определенная на семействе всех борелевских подмножеств комплексной плоскости. В настоящей диссертации дается функциональное описание iV-групп указанного вида, а также устанавливается свойство функториальности для JVo над категорией алгебр фон Неймана.
Кроме того, нами получен аналог спектральной теоремы для операторной if-теории. Допуская некоторую вольность в формулировке, можно сказать, что в этой теореме утверждается следующее. На множестве Nq(A) можно ввести топологию (аналог равномерной топологии) такую, что любой элемент д Є Na(A) является пределом в этой топологии последовательности дп Є К$(А) С своих интегральных сумм. Причем элементы дп строятся по спектральному разложению произвольного представителя класса эквивалентности д.
Далее, на абелевой полугруппе А/"(А) можно естественным образом
задать действие комплексных чисел. При этом все аксиомы векторного пространства окажутся выполненными, за исключением аддитивности действия по скалярам. Рассмотрим теперь произвольные абелевы по-лугрупы с указанным действием комплексных чисел. Для таких полугрупп можно обычным образом ввести понятие нормы (назовем полученные полугруппы нормированными).
В настоящей работе исследуются основные свойства нормированных полугрупп и их симметризации, строится "хорошая" структура нормированной полугруппы на М(А), в том смысле, что согласно общим результатам возможно продолжение нормы на симметризацию Nq(A). Причем заметим, что каждая нормированная группа является метрическим пространством, где расстояние между элементами задается как норма разности этих элементов. Таким образом, на группах No(A) всегда существует структура метрического пространства (которая определяется с помощью нормы).
Кроме того, в настоящей работе получено решение ряда задач, связанных с применением iV-групп в некоммутативной дифференциальной геометрии.
Среди результатов такого типа, прежде всего, следует назвать построение обобщенного характера Чженя, который действует из групп Nq{A) в банаховы циклические гомологии четной градуировки и ограничение которого на Kq(A) совпадает в некотором естественном смысле с классическим характером Чженя.
Кроме того, мы определяем обобщенные \У*-числа Лефшеца (со значениями в iV-группах) для любых унитарных эндоморфизмов эллиптических комплексов и исследуем их связь с '\У*-числами Лефшеца первого и второго типов, введенных в работах (6 12)и (13).
Цель работы. Развить категорный подход к теории кваэимуль-типликаторов С*-алгебр, который позволит расширить возможности данной теории. Построить функтор Nq на категории алгебр фон
13 Троицкий Е. В., Франк М. Числа Лефшеца и геометрия операторов в \У*-модулях. Функцией, анализ и его прил., 30 (1996), N 4, 45-57.
Неймана как некоторое "пополнение" операторной if-теории. Определить числа Лефшеца для произвольных унитарных эндоморфизмов \У*-эллиптических комплексов, которые в случае действия компактной группы на данном комплексе будут переходить в уже известные \У*-числа Лефшеца первого и второго типов. Построить обобщенный характер Чженя из /V-rpytm в банаховы циклические гомологии (четной градуировки).
Методы исследования. Используются методы теории операторных алгебр, К- теории, некоммутативной дифференциальной геометрии.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми и состоят в следующем.
-
Получено новое (категорное) описание пространств квазимультипликаторов. В качестве применения такого рода подхода получено простое доказательство структурных теорем Каспарова-Лина.
-
Построен функтор Nq на категории алгебр фон Неймана как некоторый (более естественный в \У*-случае) аналог /^-теории. Изучена его связь с операторной ^"-теорией. Подробно исследованы свойства iV-групп \У*-алгебр.
-
Определены обобщенные (в некотором естественном смысле) числа Лефшеца для произвольных унитарных эндоморфизмов W*-эллиптических комплексов.
-
Построен обобщенный характер Чженя из ./V-групп в банаховы циклические гомологии (четной градуировки).
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами в области алгебраической топологии и теории операторных алгебр, в частности, теории индекса эллиптических операторов, /("-теории и некоммутативной дифференциальной геометрии.
Апробация работы. Содержащиеся в диссертации результаты до-
кладывались на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 1998), на международной конференции "Dirac operators, index theorems and numerical invariants of manifolds" (Greifswald, 1999), на международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В.А. Рохлина (С.-Петербург, 1999), на III Международном математическом конгрессе (Barcelona, 2000), на топологической конференции "Александровские чтения" (Москва, 1999), а также на семинаре механико-математического факультета МГУ "Алгебры в анализе" под руководством проф. А. Я. Хелемского. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре "Некоммутативная геометрия, топология и анализ" кафедры высшей геометрии и топологии под руководством проф. И. К. Бабенко, проф. А. С. Мищенко, проф. Ю. П. Соловьева, проф. Е. В. Троицкого, д.ф.-м.н. В. М. Мануйлова, к.ф.-м.н. А. А. Ирматова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, включающих в себя 14 параграфов. Текст диссертации изложен на 88 страницах. Список литературы содержит 36 наименований.
