Введение к работе
Актуальность темы.
В диссертации рассматриваются два типа геометрических структур в полных односвязных пространствах постоянной кривизны (евклидовом, гиперболическом или сферическом). Это - разбиения пространств на многогранники и точечные (г, Я)-системы, или, как иначе их называют, множества Делоне. В силу важности приложений нас прежде всего будут интересовать разбиения с достаточно богатой симметрией: правильные и мультиправильные (кристаллографические) множества точек и разбиения пространства. Эта область геометрии имеет древнюю историю. Проекция правильного многогранника из его центра на вписанную сферу является особым случаем правильного разбиения двумерной сферы. Список из пяти правильных многогранников представляет собой решение первой классификационной задачи в теории правильных разбиений.
Мощный толчок развитию теории правильных разбиений и смежных вопросов дала высказанная в первой половине XIX столетия гипотеза о правильности внутреннего строения кристаллов. В работах О. Браве, Г. Фробениуса, К. Жордана, Е.С. Федорова, Г.Ф Вороного, А. Шенфлиса, Г. Минковского и других была развита теория правильных разбиений пространства, конечных групп движений и кристаллографических групп. Федоров и Шенфлис нашли все кристаллографические группы движений трехмерного евклидова пространства. Вороной разработал метод непрерывных параметров изучения параллелоэдров Дирихле-Вороного, в частности, построил алгоритм для нахождения типов параллелоэдров Дирихле-Вороного. Г.Минковский создал новое направление в математике - геометрию чисел, которая имеет многочисленные приложения в теории кристаллических решеток.
Актуальность исследований в теории правильных разбиений и точечных систем стала несомненной после открытия явления дифракции
рентгеновских лучей на кристаллах (М. Лауэ, 1912). Это открытие окончательно подтвердило, что внутреннее строение кристаллов имеет периодическую структуру.
Большой вклад в изучение правильных разбиений и (г, Д)-множеств (преимущественно в евклидовом пространстве) был сделан Б.Н. Делоне, Б.А. Венковым, А.Д. Александровым, С.С. Рышковым, B.C. Макаровым (в основном в пространстве Лобачевского), Е.П. Барановским, М.И. Штогриным, Р.В. Галиулиным и др.
Б.Н. Делоне создал элементарный "метод пустого шара" который оказался полезным для изучения (г, Я)-множеств и связанных с ними разбиений Вороного и Делоне. В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники, этод метод породил целое направление в вычислительной геометрии (триангуляции Делоне). Тысячи работ посвящены изучению триангуляции и множеств Делоне и их многочисленным приложениям в математике, физике, химии, картографии, компьютерной графике и т.д..
В 1961 г. Делоне получил оценку сверху для числа (d — 1)-мерных граней у выпуклого d-мерного стереоэдра - многогранника правильного разбиения. Отсюда была выведена конечность числа комбинаторно неэквивалентных типов нормальных правильных разбиений пространства на выпуклые многогранники. Опираясь на этот результат, а также на метод пустого шара, Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова построили общую теорию правильных разбиений Дирихле-Вороного евклидова пространства. Значительный прогресс в проблеме классификации правильных разбиений Дирихле-Вороного пространства для данной кристаллографической группы был достигнут за счет создания методов, соответствующих конкретным кристаллографическим группам. Чтобы найти все типы разбиений трехмерного пространства на стереоэдры Вороного для второй триклинной группы Штогрин создал метод мулътирешет-ки. Для исследования строения параллелоэдров Рышков и Барановский
создали метод С-типов, с помощью которого они нашли все 5-мерные параллелоэдры Дирихле-Вороного общего типа. Область возможного применения этих методов шире, однако их реализация упирается в трудности вычислительного характера.
Мощный вычислительный метод в теории разбиений пространства был разработан А.Дрессом и его учениками. Он позволяет эффективно находить комбинаторные типы m-эдральных нормальных разбиений трехмерного пространства на многогранники, при условии, что число граней многограников, а также число многогранников, сходящихся в вершинах и ребрах, ограничены некоторой константой. Однако этот метод не дает способа определять, какие из этих комбинаторных типов реализуются как кристаллографические разбиения пространства на выпуклые многогранники.
Новый шаг в теории правильных разбиений и точечных систем был сделан 25 лет назад. По так называемой локальной теореме (Делоне, Галиулин, Долбилин и Штогрин) правильность дискретной системы выводится из попарной конгруэнтности ее локальных фрагментов некоторого радиуса вокруг каждой точки системы, а в случае разбиений -из попарной конгруэнтности корон некоторого радиуса вокруг каждого многогранника. В частности, локальная теорема подтверждает ин-туитиное представление о локальных причинах правильного строения кристаллов1: "Если атомы в веществе движутся не слишком активно, они сцепляются и располагаются в конфигурации с наименьшей энергией. Если атомы где-то разместились так, что их расположения отвечают самой низкой энергии, то в другом месте атомы создадут такое же расположение. Поэтому в твердом веществе расположение атомов повторяется ... снова и снова и, конечно, во всех трех измерениях."
Однако в открытых четверть века назад мозаиках Пенроуза, как и
1Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике , "Мир", Москва (1966) том 7, с. 5.
в кристалле, каждый сколь угодно большой конечный фрагмент разбиения повторяется бесконечное число раз. Тем не менее мозаики Пен-роуза не периодические, так что 'дальний порядок' и периодичность -не синонимы. В этом контексте локальная теорема приобретает особый интерес потому, что она дает четкий ответ на то, при каких локальных условиях разбиение (или множество точек) является правильным и, следовательно, по теореме Шенфлиса-Бибербаха периодическим.
В связи с этим является важной следующая задача: описать автономно от разбиения те локальные условия, которые нужно наложить на некоторую конечную совокупность многогранников (корону), которые бы гарантировали продолжение короны до правильного разбиения.
Решению этой задачи посвящена глава II. Доказываемая в ней теорема о продолжении непосредственно связана с проблемой существования разбиения пространства на многогранники, конгруэнтные данному. В этой проблеме, одной из центральных в теории разбиений, можно выделить три задачи.
-
Дан многогранник Р, описать условия, при которых он допускает какое-либо разбиение пространства, то есть условия, при которых существует разбиение пространства на многогранники, конгруэнтные данному.
-
Описать условия на многогранник, при которых он допускает нормальное правильное разбиение пространства.
-
При каких условиях многогранник является фундаментальной областью некоторой дискретной группы движений?
Наиболее общая задача (А) не решена.
Нами полностью решена задача (В) (об этом ниже).
Более частная задача (С) имеет богатую историю, восходящую к исследованиям Пуанкаре по теории фуксовых групп (дискретных групп собственных движений плоскости Лобачевского). Во многих работах исследовались разные классы многогранников на предмет того, явля-
ются ли они фундаментальными областями дискретных групп движений. Наиболее важными частными случаями решения этой задачи есть многогранники Коксетера, которые являются фундаментальными областями для дискретных групп, порожденных отражениями, а также теорема Венкова о фундаментальных областях для дискретных групп параллельных переносов в евклидовом пространстве. Венков доказал, что евклидов многогранник, для которого выполняются три условия: (1) он имеет центр симметрии; (2) все (d— 1)-мерные грани также имеют центры симметрии; (3) проекция вдоль каждой (d — 2)-мерной грани на 2-мерную дополнительную плоскость является либо параллелограммом, либо центрально-симметричным шестиугольником; является па-раллелоэдром. Общая теория фундаментальных многогранников для дискретных групп развивалась во многих работах (А.Д.Александров, Г.Абельс, Б.Маскит и др.). Теорема о фундаментальных многогранниках в общем виде вместе с идеей доказательства приведена в обзорной работе Э.Б.Винберга и О.В.Шварцмана Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны, Соврем, пробл. матем. Фундаментальные направления, 29, Геометрия 2, (1988).
Вернемся к задаче (В) о существовании правильного разбиения с данным многогранником независимо от того, является он фундаментальной областью для какой-либо подгруппы полной группы этого разбиения или нет.
Теорема о продолжении утверждает, что многогранник разбивает пространство правильным образом тогда и только тогда, когда его можно окружить короной, состоящей из многогранников, конгруэнтных данному, удовлетворяющей некоторым двум условиям. Теорема о продолжении сводит задачу перечисления всех возможных правильных разбиений пространства, допускаемых данным многогранником, к перечислению всех возможных таких корон. Радиус корон, удовлетворяющих условиям теоремы о продолжении, а также их количество мо-
жет быть ограничено в зависимости от данного многогранника. Задача проверки существования корон, рассматриваемых в теореме о продолжении, вообще говоря, сложная, но для некоторых многогранников, в частности, для коксетеровских многогранников и параллелоэдров, решается очень просто.
Очевидно, что фундаментальный многогранник для дискретной группы разбивает пространство правильным образом. Обратное, вообще говоря, неверно. Имеются правильные разбиения, которые не фундаментальны. Правильным, но не фундаментальным разбиением на сфере S2 является проекция правильного икосаэдра из его центра на вписанную сферу. Это разбиение не фундаментально потому, что всякая подгруппа группы икосаэдра, транзитивно действующая на его гранях, содержит нетривиальный стабилизатор грани. Заметим также, что это единственное разбиение на сфере, которое можно составить из правильного треугольника, являющегося проекцией грани икосаэдра на сферу. Поэтому данный сферический треугольник не является фундаментальной областью ни для какой дискретной группы, действующей на сфере.
Вопрос существуют ли в евклидовом пространстве многогранники, которые не являются фундаментальными областями группы движений, но с помощью которых можно -заполнить пространство правильным образом, чрезвычайно близок ко второму вопросу, поставленному Гильбертом в XVIII проблеме: существуют ли, кроме того, такие многогранники, которые не являются фундаментальными областями группы движений и с помощью которых все оке можно заполнить все пространство без пробелов соответствующим укладыванием конгруэнтных экземпляров этих многогранников.
В 1927 г. К. Рейнхард нашел 3-мерный евклидов многогранник, допускающий разбиение пространства, но не являющийся фундаментальной областью ни для какой дискретной группы. Поставим другой, очень близкий к вопросу Гильберта, вопрос: существует ли многогранник, до-
пускающий разбиение пространства, но ни одно из этих разбиений не является мультиправильным (кристаллографическим).
Сравнительно недавно был обнаружен трехмерный евклидов выпуклый многогранник (бипризма Шмитта-Конвея-Данцера), который не допускает ни одного мультиправильного и даже периодического разбиения пространства конгруэнтными ему экземплярами (с точностью до движения I рода). В то же время бипризма вместе со.своей зеркальной копией допускает правильное разбиение пространства. При помощи несложной модификации бипризмы можно получить невыпуклый многогранник, который также разбивает пространство, но любое разбиение пространства на многогранники, конгруэнтные данному, является некристаллографическим.
Рассмотрим акристаллографический многогранник,, то есть такой многогранник, который допускает разбиение пространства, но каждое такое разбиение не кристаллографическое. Как следует из доказанной в главе V диссертации теоремы о несчетности семейств, не содержащих кристаллографических разбиений, множество всех попарно различных разбиений пространства, допускаемых акристаллографический многогранником, должно быть несчетным.
Дано конечное множество (так называемое протомножество) V типов многогранников (возможно некоторым образом декорированных), а также 'локальное правило', определяющее порядок примыкания многогранников друг к другу. Множество всех разбиений пространства на многогранники, конгруэнтные многогранникам из протомножества, подчиняющихся заданному локальному правилу образуют семейство. Семейство разбиений евклидова пространства называется апериодическим, если в нем нет ни одного разбиения с трансляционной симметрией. Понятие апериодического семейства появилось в 1960-е г.г. в работах Вэнга (H.Wang) и Бергера (R.Berger) о неразрешимости "проблемы разбиений" .
Семейство мозаик Р.Пенроуза (1974) является апериодическим семейством разбиений на плоскости из многоугольников двух видов. Существует ли евклидов многоугольник, который допускает лишь непериодические разбиения - неизвестно.
В главе V доказывается теорема о том, что любое непустое семейство, не содержащее кристаллографических разбиений, содержит несчетное число разбиений. Ранее этот факт был известен лишь для апериодических семейств разбиений, которые получались методом проекций и сечений Дебрюйна или в результате процесса инфляции-дефляции.
В связи с открытием в природе непериодических структур, обладающих 'дальним порядком', появились новые подходы к изучению таких структур. Одним из новых инструментов изучения дискретных множеств X в d-мерном евклидовом пространстве является перечисляющая функция Nx(p), которая, по определению, равна числу попарно неконгруэнтных окрестностей радиуса р, встречающихся в X. Во многих работах (М.Бааке, Д.Лагариас, Р.Муди, П.Плэзантс и др.) изучается зависимость между характером множества X и поведением его перечисляющей функции Nx{p)- В частности, одна из гипотез (П.Плэзантс), относящихся к перечисляющей функции, утверждает, что для каждого целого п, 1 < п < d, существует такая константа cn(d,r,R), что если для (г,і?)-множества X функция Nx{p) < cn{d,r,R)pn для всех р > ро, то множество X обладает по крайней мере (d — п + 1)-мерной трансляционной группой симметрии.
В диссертации эта гипотеза доказывается для п = 1. Тем самым показано, что если функция Nx{p) меньше, чем Ci(d,г, Е)р, то X является кристаллом, а функция Nx(p) равна некоторой константе т для всех р> р0. Для п > 1 задача остается нерешенной.
Цель работы.
Создание локальных и глобальных методов исследования периодических и апериодических разбиений и точечных систем в пространствах
постоянной кривизны с целью решения актульных проблем, стоящих в этой области.
Разыскание условий, при которых для данного выпуклого многогранника существует правильное разбиение пространства на многогранники, конгруэнтные данному.
Создание метода перечисления всех правильных разбиений пространства на многогранники, конгруэнтные данному.
Исследование свойств апериодических семейств с конечным протом-ножеством и локальным правилом.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации новы и принадлежат автору.
Доказана принципиальная теорема о продолжении.
Доказана локальная теорема для мультиправильных разбиений пространства постоянной кривизны.
Установлен критерий кристалла (мультиправильной системы точек ) в терминах перечисляющей функции.
Доказан глобальный критерий мультиправильной системы точек.
Доказана теорема о несчетности апериодического семейства разбиений пространства с конечным протомножеством и заданным локальным правилом.
МЕТОДЫ. В работе применяются методы дискретной геометрии, топологии, теории дискретных групп, в частности: метод Александрова в теории разбиений односвязных пространств на многогранники;
метод Делоне (метод пустого шара) в теории дискретных точечных систем;
локальный метод в теории правильных систем (Делоне, Галиулин, Дол-билин, Штогрин); Создан метод перечисления всех нормальных правильных разбиений
для данного многогранника.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит те-оретичекий характер. Методы и результаты работы могут быть применены при дальнейших исследованиях кристаллографических и акрис-таллографических разбиений и точечных систем. Методы и результаты работы могут быть использованы геометрами-специалистами по теории разбиений пространства, а также кристаллографами при изучении кристаллических и квазикристаллических структур. Теорема о продолжении может оказаться практически полезной в актуальной и сложной проблеме предсказания новых неорганических структур.
Результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов по геометрии и геометрической кристаллографии в МГУ и некоторых других университетах.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на федоровской научной сессии в Горном ин-те, Ленинград, 1975; на IX всесоюзной конференции в Кишиневе, 1987; Международном Математическом конгрессе в Варшаве, 1983; семинарах отдела геометрии и топологии МИАН; семинаре академика Д.В. Аносова в МГУ; семинарах профессора С.С. Рышкова в МГУ; семинаре профессора СВ. Конятина в МГУ;
международных конференциях в Будапеште, 1989, 1994, 1996, 1999; международных конференциях в Обервольфахе, 1991, 1998, 2000; международной конференции в Токио, 2000;
математических коллоквиумах университетов Штуттгарта, 1989, и Дортмунда, 1993;
на семинарах профессора Л. Фейеш Тота в Математическом институте Венгерской Академии наук, Будапешт, 1977, 1984. 1986; семинарах профессора А. Дресса в университете Билефельда, 1989,1991, 1995,1996;
семинаре профессора Г. Коксетера в университете Торонто, 1995; семинаре профессора Г. Эдельсбруннера в университете Урбана, США, 1995;
семинаре Геометрического Центра (университет штата Миннесота), США, 1995;
семинаре профессоров Д. Ларманаи П. МакМюлленав Лондонском университетском Колледже, 1999;
семинаре по комбинаторике профессоров Д. Томассена и Т. Гавера в Кэмбриджском университете, 1999,
семинаре профессора Д. Уэлша в Оксфордском университете, 1999; конференции Геометрического института, Нортхэмптон, Массачусетс, США, 1993;
в Институте перспективных исследований НАТО "Математика дальнего порядка", проходившем в Филдсовском институте математических исследований, Канада, 1995.
Объем и структура диссертации. Общий объем диссертации составляет 143 страницы. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на 21 параграф, списка литературы из 96 наименований, 26 рисунков.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации своевременно опубликованы в 7 работах, перечисленных в конце автореферата.
