Содержание к диссертации
Стр.
/Введение 4
Глава I. Конечность числа неравенств, задающих
области приведения 14
I. Задача приведения 14
2. Приведение положительных квадратичных
форм по Коркину-Золотарёву 18
3. Неравенства приведения,возможность их
выбора в конечном числе, области приве
дения 20
Глава П. Области и алгоритмы приведения для форм
от 2-х и 3-х переменных 25
I. Область приведения Jt^ и алгоритм ^-д,. 25 2. Область приведения Ж>3 и алгоритм Ot3 . 30
Глава Ш. Общие вопросы строения и вывода областей
и алгоритмов приведения по Коркину-Золо
тарёву 42
I. Преобразование Ы 42
2. Некоторые свойства разложений по Лан-
гранжу положительных квадратичных форм 45
3. Общая схема строения систем М^.
Некоторые свойства неравенств из
систем Н^ при п. * О 48
— з -
4. Алгоритми^ при п 8: общая схема и
доказательство конечности 55
Глава ІУ. Построение областей Л и Jus . 60
1. Область приведения Зъ. и алгоритми. . . 60
2. Область приведения Жт 69
Глава 7. Системы м п, при П, = 6,7,8 ........ 78
I. Построение системы М s 78
2. Система М7 80
3. Построение системы Ms 85
Заключительные замечания 90
Литература 92
Приложение 97
Введение к работе
Большинство проблем геометрии положительных квадратичных форм исследуется и решается такими путями, которые требуют выбора некоторого способа целочисленного унимодулярного приведения. Настоящая диссертация посвящена одному из таких способов -приведению по Коркину-Золотарёву. Для положительных квадратичных форм от трёх переменных это приведение было предложено в 1869 году в магистерской диссертации Е.И. Золотарёва [i] , а для квадратичных форм от произвольного числа /^ переменных - в совместной работе А.И. Коркина и Е.И. Золотарёва Г2], опубликованной в 1873 году.
До работ С1,2] задача приведения положительных квадратичных форм рассматривалась 1&уссом [5 J , Лагранжем [4J, Зеє бе-ром [б], Эрмитом [6aJ . В работах [4 J , [5] , [6j вопрос о приведении был решён, т.е. были разработаны некоторые определённые способы приведения, для форм 2-х и 3-х переменных. В работе [6л-] был предложен способ приведения, пригодный для положительных квадратичных форы произвольного числа переменных.
Приведение по Коркину-Золотарёву было использовано его авторами [2,3] для отыскания особых классов положительных квадратичных форм, представителей которых они назвали предельными формами. В работах [2,3] Коркин и Золотарёв нашли ряд важных соотношений между коэффициентами приведённых форм, вывели предельные формы от л- ^5 переменных и, как следствие последнего, получили для л- 5 значения постоянной Эрмита ^ .
Изложение в работах Г2,з] велось ещё чисто арифметически. В дольне шлем, когда теория положительных квадратичных форм нашла приложение в геометрии решёток, методы Коркина и Золота- рёва, развитые в работах Г2,з], сделались, и продолжают оставаться, одними из основополагающих в проблеме решётчатых упаковок равных шаров в пространствах Е (см. обзоры [7,8.1^.
На языке решёток предельным формам от п* переменных соответствуют Уи - мерные решётки, на которых достигаются локальные максимумы плотности решётчатых упаковок равных шаров в пространстве Е , а по постоянной Эрмита выводится значение абсолютного максимума такого рода плотности. Таким образом, в работах [2,3J дано решение задачи о наиболее плотных решётчатых упаковках при #-. 5.
Впоследствии методы работ [2,3] были приложены и развиты для более высоких размерностей Блихфельдтом, который нашёл э] значения постоянной Эрмита при А- = 6,7,8 и тем самым решил задачу о наиболее плотных решётчатых упаковках в пространствах , , Е «К работе [9J тесно примыкает недавняя статья Н.М. Ветчинкина [ioj, где доказана единственность классов положительных квадратичных форм от /*- переменных, на которых достигаются значения fa, /^= 6,7,8. Таков краткий перечень наиболее значительных результатов и работ, фундаментально опирающихся на приведение по Коркину-Золотарёву.
За время развития теории положительных квадратичных форм, сначала в арифметическом изложении, а затем как геометрии положительных квадратичных форл, были предложены и для некоторых, сравнительно небольших значений It в большей или меньшей степени детально разработаны многие способы приведения: приведение Эрмита, Минковского, Вороного, Зеллинга-Шарва (см. обзоры Сеі,8], статьи [і2,із]). В 1940 г. Б.А. Венков [14] (см. также [із]) открыл общий метод для построения при- ведений одного специального вида.
К настоящему времени одним из наиболее далеко продвинутых, как по величине значений fb , так и по детальности разработки, является приведение по Минковскому; области и алгоритмы этого приведения, не требующие перебора точек решётки, найдены при Bcex/t7 (Минковский [15-18], С.С. Рышков [l9j[, П.П. Там-мела [20,2l]\, некоторые из областей приведения исследованы очень подробно (Варне и Кон [22J, Рышков и Кон [23], Рышков, Кон и З.Д. Ломакина [24]J. Б последние годы довольно много работ посвящено предложенному Г.Ф. Вороным [25] приведению по совершенным формам (Рышков [2б] , Стаей [27] , Ломакина [28,29]; см. также обзор [8JJ, найдены область и алгоритмы приведения по Зеллингу-Шарву приЛ=5 (е.П. Барановский [30]J, для vl~ Ъ рассмотрены некоторые из приведений Венкова (Рышков [13]).
Б отличие от всех других перечисленных выше способов приведения, в случае приведения по Коркину-Золотарёву вопрос отыскания областей приведения, исключая почти тривиальный случай /t= 2, насколько нам известно, ни в каких публикациях не рассматривался. (Возможно, причиной этого была нелинейность задающих области приведения по Коркину-Золотарёву неравенств, которая позволяла предполагать трудность привлечения этих областей к решению задач геометрии положительных квадратичных форм. В других исследованных способах приведения их области приведения в пространстве коэффициентов форм задаются только линейными неравенствами). другим недостатком теории приведения по Коркину-Золотарёву было то, что известный алгоритм этого приведения (см., например [їїJ) базировался на переборах точек решётки, соответ- ствующей приводимой положительной квадратичной форяе.
С.С. Рышков поставил перед автором настоящей диссертации задачу об отыскании областей приведения по Коркину-Золотарёву при л>3 и о построении такого алгоритма приведения в эти области, который был бы в той же мере удобен для пользования, как, например, алгоритм приведения по Минковскому при /г-7. Позднее аналогичные вопросы были сформулированы в книге Кас-селса [3IJ. Полученные при решении этой задачи результаты и легли в основу предлагаемой диссертации.
Известный алгоритм приведения по Коркину-Золотарёву, ес ли его высказать на геометрическом языке приведённых реперов решётки (см. [iljj, заключается в следующем. В решётке Ц. , соответствующей приводимой форме /(ас*,..., oct^ ) j в качест ве первого вектора t приведённого репера выбирается один из минимальных векторов решётки // . Затем решётка /J проецирует ся на(*"- 1) - мерное линейное подпространство, ортогональное вектору f ив полученной проецированием решётке /п вн- бирается один из её минимальных Еекторов *, . Среди векторов решётки Q , проекцией которых является вектор - ел , в качестве второго вектора е^ приведённого репе- ра берётся самый короткий, причём образующий с вектором е* неострый угол. «Ддлее решётка /J проецируется на (и*- 2) - мерное линейное подпространство, ортогональное векторам єіи в^ , в проекции If решётки // на это подпространство выбирается один из минимальных векторов е5 , и среди векторов решётки // , проекцией которых являются векторы 3 , в качестве третьего вектора 3 приведённого репера берётся тот из самых коротких, который образует с вектором е± неострый угол. Аналогичным способом выбираются и ос- - 8 -тальные векторы fi\,...,ен> приведённого репера. Аналитическое описание этого алгоритма можно найти в [8]. Неудобство алго- — - (н-t) ритма заключается в том, что для отыскания векторов ^ , . , -* &Л.-І приходится выбирать некоторые конечные множества целых точек (Xi,..., ж*- ), і - *, J,j..., *-i t заведомо содержащие минимальные Еекторы, а затем посредством перебора точек в каждом из таких множеств находить представления минимума соответствующей формы.
При аналитическом выполнении алгоритма приведения по Коркину-Золотарёву наиболее удобно рассматривать квадратичные формы записанными в виде разложений по Лагранжу {(х<,..., х^)^ ZJcfrc - ZoCcJ xj)b (0.2j
Представление положительной квадратичной формы в виде (0.2,) принято и в настоящей диссертации, и поэтому области приведения «%^выбираются в пространстве коэффициентов /&,...у у^, сС,*,,...;
Установлено, что при любом данном натуральном а>Хсущест-вует конечная зависящая от /t- система М^, неравенств, наложенных на коэффициенты /<,..., Л*у */*, , <*-ъ *^ разложения (0.2J, которая представляет собой совокупность необходимых и достаточных условий того, что положительная квадратичная форма (ОЛ), записанная в виде разложения по Лагранжу(0.2), приведена по Коркину-Золотарёву. Эти неравенства двух видов -линейные неравенства о< 4iti„ * , - і - ^ '>* -І > ' - ''-' *-'- Со.з) наложенные на "внутренние" коэффициенты ^'разложения ф.2), и неравенства вида ( система М **) ^ fa* Ф,-, t<**j - z?4 г// -t$4*f*A 'f'., с е {j /с є *,-",*-* /, где строка (gc, ..., /г,>уо ) пробегает при данном /*- некоторое конечное зависящее лишь от я* множество наборов целых значений. Следовательно, граница области «%>^образована конечный числом (ЛҐ- <)- мерных плоскостей и поверхностей 3-его порядка.
Основные результаты диссертации:
Для всех размерностей *- - 8 системы неравенств М ^ получены в явном виде. Для каждого из tv 5 доказано, что полученная система М ^ минимальна - среди её неравенств нет ни одного, которое было бы следствием остальных неравнств этой системы и линейных неравенств.
Построены алгоритмы приведения в области Ж^ (/t-^8) основанные на использовании систем г\ц, и не требующие перебора точек решётки.
Отметим, что те методы, посредством которых получены перечисленные результаты могут быть использованы и в более высоких размерностях.
Кратко изложим содержание диссертации по главам: Глава I "Конечность числа неравенств, задающих области приведения" является вводной. Первые два параграфа этой главы содержат достаточно широко известные сведения о задаче приведения в геометрии положительных квадратичных форм и, в частности, о приведении по Коркину-Золотарёву. Далее в 3, в теореме I.I устанавливается, что при любом данном натуральном /z-^2 существует конечная, зависящая от п* система Л"^ неравенств, образующих совокупность необходимых и достаточных условий того, что положительная квадратичная форма тСх<,...; Хи,)^ записанная в виде её разложения по лагранжу, приведена по Коркину-Золотарёву.
Отметим, что при предложенном ниже в диссертации конкретном построении системы М hs среди её неравенств могут оказаться и необязательные, являющиеся следствиями неравенств списка ^0.3J и других неравенств этой системы, то есть получается хотя и конечная, но не минимальная система.
