Введение к работе
Актуальность темы.
Теория шейпов - сравнительно молодая теория в гомотопической топологии, открытая польским топологом К. Борсуком '. Она действует там, где обычные гомотопические методы становятся мало пригодными, а именно в тех случаях, когда локальное (топологическое) строение изучаемых объектов плохое. Если же это не так, например, в случае абсолютных окрестностных ретрактов, теория шейпов совпадает с гомотопической теорией и ничего нового не дает.
Однако в настоящее время в самых различных областях математики все чаще и чаще приходится встречаться с объектами, обладающими плохой локальной структурой.
Для произвольных топологических пространств методы спектральной топологии позволили Мардешичу с Сегалом распространить первоначальную теорию шейпов Борсука на класс всех топологических пространств. Здесь, конечно, ключевую роль сыграло понятие ассоциированного спектра, введенное Моритой . При таком подходе все основные понятия теории шейпов, естественно, определяются с помощью ассоциированных обратных спектров.
Существенный вклад в развитие теории шейпов внесен результатами Ю.М. Смирнова 3 и его учеников С.А. Богатого 4'5, Ю.Т. Лисицы б, П.С. Геворкяна7 и др.
Борсук К., Теория Шейпов. М. Мир, 1976 -192 с.
MoritaK., On shapes of topological spaces, Fund. Math., 86 (1975), 251-259.
Смирнов Ю.М., Теория шейпов. Итоги науки и техники, (алг., топ., геометр.), М.: ВИНИТИ, 1981,19,181-207.
Богатый С.А., О теореме Вьеториса для шейпов и одной задаче Ю.М. Смир-нова. Докл. АН СССР, 1973,211,№4, 764-767.
Богатый С.А., Аппроксимационные и фундаментальные ретракты. Мат. сб., 1974, 93, №1,90-102.
Теория шейпов имеет дело с глобальными топологическими свойствами пространств. Она тесно связана с теорией ретрактов, в частности с теорией так называемых ANR -пространств.
Шейповые инварианты определяются как свойства объектов или морфизмов шейповой категории, сохраняющихся при изоморфизмах (эквивалентностях) рассматриваемой категории.
Важным шейповым инвариантом является свойство подвижности топологических пространств. Для метризуемых компактов оно было введено и изучено Борсуком ', для бикомпактов - Мардешичем и Сегалом 8. На более общие случаи было перенесено С.А. Богатым9, А.П. Шостаком 10.
Класс подвижных пространств существенно шире класса CW -комплексов. Это понятие, в частности, замечательно тем, что многие классические результаты алгебраической топологии, которые верны для CW -комплексов, в теории шейпов обобщаются для подвижных пространств. Так обстоит дело с теоремой Уайтхеда в теории шейпов, которая утверждает, что шейповый морфизм F:X^Y подвижных конечномерных метризуемых континуумов будет шейповой эквивалентностью, если все гомоморфизмы F,:Kn(X)-+7c„(Y) и-мерных шейповых групп являются изоморфизмами
(Мощинская и, Кисслинг 12). Причем, свойство подвижности в этой формулировке - существенно (Козловский и Сегал 13).
Лисица Ю.Т., Классификационная теорема Хаусдорфа и теория шейпов. Сиб. мат. ж., 1977, 18, №1,143-160.
Геворкян П..С, Теория К-шейпов, Известия НАН Армении. Математика, 2001, 36, №2,79-84.
Mardesic S., Segal J., Movable compacta and ANR-systems, Bull. Acad. Polon. Sci., 18:11(1970),649-654.
Богатый C.A., Об n-подвижности в смысле Борсука. Bull. Acad. Pol. sci. math., Aston., etphys., 1974, №8, 821-825.
Шостак А. П., Шейпы в классах компактности: ретракты, экстензоры, подвижность. Уч. зап. Латв. Ун-та, 1975,236, № 1, 108-128.
Другая важная теорема - теорема Гуревича об изоморфизме в теории шейпов - опять же доказана для подвижных метрических континуумов (Куперберг 14). Перечень таких фактов можно продолжить. Все они говорят об особой роли подвижности в теории шейпов.
Важными шейповыми инвариантами являются также сильная подвижность и устойчивость топологических пространств. Все эти шейповые инварианты были определены и изучены в случае метризуемьгх компактов с помощью окрестностей данного компакта в гилбертовом кубе, а в случае произвольных топологических пространств - с помощью ассоциированных с данным пространством обратных спектров.
После того как Мардешичем |5 была построена абстрактная теория шейпов с помощью кома-категорий, возникла необходимость определения и изучения шейповых инвариантов с помощью семейств всех морфизмов из данного объекта категории К в объекты некоторой плотной подкатегории L.
Первые результаты в этом направлении были получены Мардешичем 15, Дыдаком 16, Козловским и Сегалом ,7 и другими авторами. В частности, Мардешичу 15 удалось получить критерий плотности подкатегории L в категории К с помощью кома-категорий. Свойство подвижности в этом контексте были изучены в работах Козловского и Сегала17 и П. С. Геворкяна 18. Равномерной подвижности посвящены работы Мощинской 21, И. Поп '9, П. С. Геворкяна и И. Поп 20.
Moszinska М., Concerning the Whitened theorem for movable compacta. Fund. Math. Vol. 92. №1. pp. 43-55,1976.
Keesling J., On movability and local connectivity. Lect. Notes Math. № 375. p. 158-167, 1974.
Kozlowski G., Segal J., Local behavior and the Vietoris and Whitehead theorems in shape theory. Fund. Math. - 1978. v. 99. - №3. - p. 213-225.
Kuperberg K., An isomorphism theorem of the Hurewicz-type in Borsuk's theory of shape. Fund. Math. Vol. 77, № 1, pp 21-32,1972.
Данная диссертация посвящена изучению свойств подвижности, сильной подвижности и устойчивости топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в CW комплексы. Полученные результаты в основном имеют категорный характер. Они позволили ввести новые понятия в теории категорий и функторов - такие, как относительная подвижность и сильная подвижность категорий.
Цель работы
Целью работы является изучение некоторых шейповых инвариантов, таких, как подвижность, сильная подвижность и устойчивость, с помощью семейства всех гомотопических классов непрерывных отображений из данного топологического пространства (всех морфизмов из данного объекта некоторой категории) в абсолютные окрестностные ретракты (в объекты плотной подкатегории), в частности, получение критериев указанных инвариантов на языке кома-категорий, а также доказательство необходимых и достаточных условий сильной подвижности и устойчивости паракомпактных пространств.
Mardesic S., Segal J., Shape theory-The inverse system approach, North-Holland, Amsterdam, 1982.
Dydak J., Movability and the shape of decomposition spaces. Bull. Acad. Pol. Sci. math. Astron. et phys., 1975, 23, № 5,561-564.
Kozlowski G., Segal J., Movability and shape-connectivity. Fund. Math., 1976, 93, № 2, 145-154.
Gevorgyan P. S., Movable categories, Glassnik Mat., 38 (58) (2003), 177-183.
Pop I., A Categorical notion of movability, Anal. Sci. University AL. I. CUZA, v.XLIX, (2003),327-341.
Gevorgyan P. S., I. Pop, Uniformly movable categories and uniform movability of topological spaces, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 55 (2007), 229-242.
Научная новизна
В диссертации изучение шейповых инвариантов проводится с помощью семейства всех непрерывных отображений из данного пространства в CW-комплексы, не прибегая при этом к традиционным шейповым конструкциям.
Получен критерий подвижности топологических пространств с помощью кома-категорий и стирающих функторов (теорема 2.1),
Доказано необходимое и достаточное условие сильной подвижности топологических пространств с помощью семейств всех гомотопических классов непрерывных отображений из данных пространств в CW -комплексы (теорема 2.2).
Введено понятие сильно подвижной категории и доказана теорема о сильной подвижности топологического пространства (теорема 2.7).
Получен критерий устойчивости топологического пространства (теорема 2.10).
Получена также категорная характеристика этого понятия (теорема 2.11).
Доказаны необходимые и достаточные условия сильной подвижности и устойчивости паракомпактного пространства (теоремы 2.9 и 2.12).
Получен критерий равномерной подвижности в произвольной категории (теорема 3.1).
Доказана теорема о равномерной подвижности топологического пространства (теорема 3.2).
Основные методы исследования
В работе используются методы гомотопической топологии, теории
шейпов и спектральной топологии, а также методы теории категорий и
функторов._.
21 Moszinska ML, Uniformly movable compact spaces and their algebraic properties. Fund. Math. 1972, 77, №2, 125-144
Апробация результатов
Результаты диссертации докладывались:
на научно-исследовательском семинаре по общей топологии кафедры общей топологии и геометрии МГУ в 2008-2009 гг.
на третьей международной конференции посвященной 85-летию Л. Д. Кудрявцева РУДН (Москва 25-28 марта 2008г.).
на семинаре кафедры математического анализа Московского городского педагогического университета, 2009 г.
Практическая и теоретическая значимость
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при. чтении специальных курсов по теории шейпов и спектральной топологии по теории категории и ее приложений.