Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена геометрии обыкновенного дифференциального уравнения пятого порядка
которое в дальнейшем будем обозначать символом (-Jr ).
каса-
Пусть Г/х. - двумерное гладкое многообразие.Каждая глад-. кая кривая в точке имеет элемент касания некоторого порядка О , определяемый в локальных координатах >* , I/ в М ^ величинами У* , Ц , U ,..., U ' . Множество всех гладких кас тельных элементов для всевозможных кривых в ГІ ь образует расслоенное многообразие 3 (»»г/ Мj, с естест-
гладкое
венными проекциями
Секущая поверхность о :
Sr (Mj^ sf(K)
представляет собой инвариантный и глобальный способ задания на «Ч^ обыкновенного дифференциального уравнения порядка D . С точки зрения современной геометрии расслоенных пространств, изучение этого сечения и является предметом геометрии обыкновенного дифференциального уравнения порядка D .
По-видимому, первой существенной работой, касающейся геометрии дифференциальных уравнений, следует считать статью Э.Картана, опубликованную в 1924 году. В этой статье Картан связывает с уравнением U ~г(*^*У » У / та1< называемую нормальную проективную связность. В 1941 году Э.Картан изучает геометрию уравнения У s Г l^'j?'//' J/ ) «рассматривая пространство интегральных кривых этого уравнения как некоторое пространство псевдоевклидовой связности. Работы Дюбурдье (1936) и Чженя (1937) также посвящены обыкновенным дифференциальным уравнениям первого, второго и третьего порядков.
Появление фундаментальных работ Г.Ф.Лаптева (1952) и А.М.Васильева (1951) позволило ставить и решать более сложные задачи, связанные с геометрией дифференциальных уравнений.
В 1962 году на первой Всесоюзной геометрической конференции в докладе Г.Ф.Лаптева была дана общая постановка задачи геометрии дифференциальных уравнений и продемонстрирован пример.
Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений (не выше третьего порядка) изучались В.И.Близникасоч и З.Ю.Лу-пейкисом. Имеется цикл работ, содержащих обитую дифференциально-геометрическую теорию некоторых видов систем дифференциальных уравнений в ч&стнюс производных, выполненных A.M.Васильевым и его учениками.
Непосредственное применение в теории дифференциальных уравнений имеют дифференциально-геометрические построения Л.Е.Евтушика и Р.В.Восилюса, в которых решаются гораздо более широкие задачи.
Общая теория геометрии дифференциального уравнения порядка Р изучалась Н.В.Степановым, построившим связность общего типа, инвариантно присоединяемую к такому уравнению.
Однако,что характерно именно для Р= ^ , из связности общего типа,присоединяемой к уравнению,возможно выделение инвариантным методом как частного случая связности, фундаментальная группа которой представлена проективными преобразованиями плоскости, - проективной связности.
Названный случай никем не рассматривался, и потому все
вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности такого исследования.
Целью работы является:
I.Построение общей связности,присоединённой к уравнению f*).
2.Выделение из общей связности инвариантным методом как частного случая проективной связности.
3.Изучение названного частного случая.
4.Получение в явном (координатном) виде класса обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка, допускающих инвариантное присоединение к себе пространства проективной связности.
Метод исследования. Исследование в работе проводится методом внешних дифференциальных форм Э.Картана и инвариантным методом Г.Ф.Лаптева, обобщённым на бесконечные группы А.Ы.Васильевым. Применяются также некоторые результаты из общей теории геометрии обыкновенного дифференциального уравнения порядка Р Н.В.Степанова. Все рассмотрения носят локальный характер.
Научная новизна. Проективная связность,присоединённая к уравнению ( -Jf ), ранее в геометрии не изучалась ,а потому все полученные результаты являются новыми.
Приложение. Работа носит теоретический характер.Результаты её могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрии дифференциальных уравнений.Кроме этого,они могут найти применение в качестве материала для специальных курсов в вузах, где ведётся работа по близкой тематике.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях геометрических семинаров "Классическая дифференциальная геометрия" и "Геометрия в целом" в МГУ им.М.В.Ломоносова,геометрического семинара в Смоленском лед-институте и на Международной конференции 1Э92 года "Н.И.Лобачевский и современная геометрия" в Казани.
Публикации. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Опубликованные научные работы по теме выполнены без соавторов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [_ і J - [_JJ , список которых приведен в конце автореферата.
В предлагаемой работе автором получен ряд результатов, среди которых отметим следугщие:
I.Построена связность общего типа, присоединённая к
уравнении ( 9f ).
2.Из общей связности инвариантны.! методом выделен случай проективной связности.
3.Показано,что образующими элементами построенного пространства проективной связности является кривые второго порядка.
4.Проведена инвариантная классификация полученных структур. Доказана теорема об инвариантах.
5.Получен в явном (координатном) виде класс обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка, допускающих инвариантное присоединение к себе пространства проективной связности, и некоторые другие более специальные классы уравнений.
Структура и объём диссертации. Работа состоит иэ введения, трёх глав, разбитых на.13 параграфов, и списка литературы, содержащего 35 наименований. Общий объём диссертации - 80 страниц машинописного текста.
