Введение к работе
, Теорема об индексе эллиптического оператора, доказанная М. Атьей іс И. Зингером в начале 60-х годов, нашла за последние 25 лет многочисленные приложения, явилась сердцевиной иптепснвно развивающейся на протяжении всего этого времепи области математики. Среди применений иожпо выделить общую формулу Лефшеца, формулы для различных характеристических классов, используемые в дифференциальной топологии, а также ряд результатов собственно в теории эллиптических задач, в дифференциальной геометрии и теоретической физике.
Такой плодотворностью применения теоремы об индексе объясняется то, что в 1971 г. Зингер1 выдвинул программу дальнейшего развития ее. В частности, ставилась задача распространения теории на факторы фон Неймана.
D работе А. С. Мищенко3 и А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко3 была по-лучепа индексная формула даже для более широкого класса банаховых алгебр — С*-алгебр. Формула успешно применялась для исследования эллинтических операторов с операторнозначньшн символами4 и символами со случайными коэффициентами8, для доказательства гипотезы С. П. Новикова о высших сигнатурах в ряде частных случаев, а также для исследования проблемы высших А-родовв ,т. Этот подход применялся А. С. Мищенко и Ю. П. Соловьевым еще в целом ряде задач8
1 Зингер И. М. Направленна развития индекса и эллиптических операторов // Математика (Сб. переводов) - 1974. - Т. 18, N 1. - С. 62-61.
3Мищенко А. С. Банаховы алгебры, псевдодифференциальные операторы и их приложения к К-теории // Успехи иатеи. наук. - 1079. - Т. 34, вып. в. - С. 67-79.
3Мяшенко А. С, Фомепко А. Т.. Индекс эллиптических операторов над С*-алгебраии // Изв. АН СССР. Сер. Матеи. - 1979. - Т.43, N 4. - С. 831-859.
4Бикташев Р. А., Мищеако А. С. О спектрах эллиптических неограниченных операторов пад С-алгебрами // Вестп. Моск. Уи-та. Сер. 1. Мат. Мех. - 1980. -Вып. 3 - С. 56-58.
"Мищенко А. С, Шарапов Ф. Независимость спектра эллиптического оператора со случайными хоэффидиентами // Вестп. Моск. Ун-та, Сер. 1. Мат. Мех. - 1983. - Вып. 6. - С. 51-56.
вМищепко А. С. Перестройки пеодпосвязаых многообразий // Приложение к кп.: Браудер В. Перестройки одпосвязных многообразии. - М.:11аука, 1981. - С. 177-207.
TJloeeDberg J. C-algc-braa, positive scalar curvature, and the Novikov conjecture // Publ. Math. IHES - 1983. - V. 58. - P. 197-212.
8Мищеако А. С, Соловьев IO. П. Классифицирующее пространство эрмитовой
Параллсльпо Г. Г. Каспаров развивал другой подход, основанный на идеях Лтьи об аналитическом построении if-гомологии. Такие К-гомологии были определены в работе10 . Дальнейшая разработка этого направления привела Г. Г. Касларова к созданию операторного К-бифунктора11. Результаты н методы этих работ также нашли дальнейшее развитие12 и широкое применение15 ,и
В последние годы появился еще один важный инструмент геометрии и топологии, использующий некоммутативные ассоциативные алгебры
— некоммутативная дифференциальная геометрия и теория гомологии
алгебр с внутренними симметриями, в частности, циклические гомоло
гии и когомологии15 ,1в ,1Т ,18 . Методы, основанные на взаимод :йс- вни
этой теории и теории эллиптических операторов над С*-алгебраі.ш ока
зались особенно эффективными. Так, например, в18 доказана гипотеза
С. П. Новикова для гиперболических групп. Пожалуй, особенно в связи
К^гсории // Труды семввара по вект. и тевз. анализу - 1979. - Вып. 18. - С. 140-168
'Соловьев Ю. П. Днсхретные подгруппы, хомплехсы Брюа-Титса и гомотопическая инварваптность высших сигнатур // Успеха ивтем. наук - 1976. - Т. 31, Вып. 1-С. 261-282
10Каспаров Г. Г. Топологические инварианты эллиптических операторов. \.К-гомологнн // Изв. АН СССР. Сер. Метем. - 1976. - Т. 39, N 4. - С. 790-836
1' Каспаров Г. Г. Операторный К -функтор я расшвреннк С*-алгебр // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1980. - Т. 44, N 3. - С. 761-636
12 Kasparov G. G. Equivariant K-theory and the Novikov conjecture // Invent. Math.
- 1988. - V. 91. - P. 147-201
13 Каспаров Г. Г. Индекс инвариантных эллиптических операторов, К -теория и
представления групп Ли // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 268, N 3. - С. 533-537
** Каспаров Г. Г. Группы Лоренпа: if-теории унитарных представления н скре-гдевных произведений II Докл. АН СССР. - 1984. - Т. 276, N 3. - С. 541-545
1ВЦыгав Б. Л. Гомологи матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хох-пгальда // Успехи ыатеы. наук - 1983. - Т. 38, Вып. 2 - С. 217-218
laConnes A. Non?commutative differential geometry // РиЫ. Math. IHES - 1985. -N 62. - P. 41-144
1TLoday J.-L., QuiUen D. Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices II Comment. Math. Helvetic!- 1984. - V. 59, H 4. - P. Б6Б-691
18Красаускас P. Л., Лашш С. В., Соловьев Ю. П. Диэдральные гомологии н когомологии. Основные понятии в конструкции // Матем. сборник -1987. - Т. 133, N 1. - С. 25-48
10Connes A., Moecovici Н. Cyclic homology, the Norikor conjecture and hyperbolic group» И Topology - 1990. - V. 29, N 3. -P. 346-388
с , этот путь является наиболее перспективным.
В работах Телемаца31 ,и была развита теория обобщенного оператора Хирцебруха на кусочпо линейных и даже липшецевых многообразиях, которая в33 тоже включается в рамки подхода, использующего операторные алгебры. Полученное аналитическое доказательство24 известной теоремы С. П. Новикова, к сожалению, все же использует серьезные топологические результаты.
Сложнейшим вопросом является исследование операторов на некомпактных многообразиях. Поддающейся исследованию оказалась ситуация, когда многообразия являются слоями слоения на компактном многообразии55 ,зв. Здесь опять с необходимостью возникли (7*-алгебры, а результаты пашли широкое применение.
Цель работы. Целью настоящей работы является, прежде всего, построение теории индекса С*-эллиитическпх операторов и получение формулы, которая учитывала бы как свойства симметрии задачи, так и элементы конечного порядка в К-труппах, а также развитие необходимой для этого эквивариантной Л"-теории С*-расслоений и теории операторов в цепях обобщеппых Соболевских пространств, получение описания К"-групп указанпых расслоений в терминах представляющих пространств, для чего необходимо доказательство теорем типа Кюйпе-ра, доказательство теоремы об изоморфизме Тома, развитие аксиоматической теории эквивариантного 7*-индекса, применение этой теории вместе со смежными результатами к исследованию неподвижных точек эллиптических комплексов, пекоммутативной дифферешшальпой гео-
MSkandalus G. Une notion de nuctearite en K~tborie // if-theory - 1988.- V. 1. -P. 649-573
"Teleman N. Combinatorial Hodge theory and signature operator // Invent. Math. - 1980. - V. 61. - P. 227-249
32Tcleman N. The index of signature operators on Lipschitz manifolds// Publ. Math HIES - 1063. - V. 58. - P. 39-78
33Teleman N. The index theorem for topological manifolds // Acta Math. - 1084. V. 153, N 1-2. - P. 117-151
J4Sullivan D., Teleman N. An analitic proof of Novikov'e theorem on rational Pontry-jagin claases // Publ. Math. IHES - 1983. - V. 68. - P. 79-82
20Cormes A., Skandalis G. The longitudinal index theorem for foliations // Publ. RIMS Kyoto Univ. - 1984. - V. 20. - P. 1139-1183
"Moore C. C, Schochet C. Global analyeis on foliated spaces (MSRI Pub)., N 9), Berlio — N. Y.: Springer, 1988
метрип, теории эллиптических семейств, изучению геометрии еппнор-яых многообразий и проблсие гомотопической нпвариантпостп высших сигнатур.
Общая методика работы. Разработанные в диссертации методы можпо классифицировать как методы эквивариантнон теории С*-ин-декса, теории гильбертовых модулей н операторной К'-теорпи. Работу отличает использование синтетических методов, сочетающих технику дифференциальной геометрии и топологии, алгебраической топологии, функционального анализа, теории представлений и теории д -ф^ грен-ниальных операторов.
Научная новизна. Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.
1. Установлен ряд общих свойств эквиварнантной /f-теории, по
строенной по расслоениям со слоем, являющимся проективным моду
лем над С*-алгеброй А с единицей (эти ./{"-группы обозначаются через
Х8(.,А)).
2. Получено описание соответствующих Ад-груш в терминах ком
плексов расслоений указанного вида.
3. Установлена связь между комплексной ifo-теорисй и теорией
Кд(.,Л) в виде естественного градуированного изоморфизма
К<а(Х;С) в K'{pt; А) в Q - ЩХ; А) Q,
индуцированного тензорным произведением, в случае конечномерного X/G.
-
Определены эквивариантные А-фредгольмсвы операторы в гильбертовых А-модулях h{P), где Р — проективный А-модуль конечного типа, с индексом, принимающим значения в K(j(pt;A) = Ка(А), и доказаны их основные свойства.
-
Для эллиптического эквивариантного С*-символа определен топологический индекс (при помощи 3), принимающий значения в Ка Q. Доказана фредгольмовость соответствующего псевдодифференциальпо-го оператора в смысле 4, дающая аналитический индекс.
-
Доказана теорема об индексе: совпадение аналитического и топологического индекса как элементов Ка{А) Q.
-
Получена обобщенная формула типа Атьи-Лефшеца.
8. Доказана теорема о стягиваемости для двух общих линейных
групп гильбертова модуля (з(А): состоящей из операторов, допуска
ющих сопряжеппый (новое доказательство) н не обязательно допуска
ющих.
-
Для К"(Х; А) получено описание представляющих пространств как прямого произведения пространства А-фредгольмовых операторов в гильбертовом модуле Cp-q+3 /з(А) (где СРЛ — комплексная алгебра Клиффорда, ap-g = n), А-самосопряженпых, антикоммутирующих с образующими ej,... ,ер,і,.. . ,є,+і и лежащих в компоненте связности ,+з, и пространства Kn(pt; А) (с дискретной топологией).
-
Доказана теорема об изоморфизме Тома в Яд(.; А)-теории и опре-делеп топологический индекс со значениями в Ка(А).
-
Развит аксиоматический подход к определению С*-индекса.
-
Развита теория С*-соболевских цепей и операторов в ппх.
-
Доказана точная С*-ипдекспая формула: совпадение аналитического и топологического индексов как элементов КЯ{А).
-
Определены С*-числа Лефшеца двух типов а установлена связь между ними при помощи характера Чженя в алгебраической ^Г-теории.
-
Доказано, что если высшая сигнатура задается элементом ко-гоиологий Вп, равпым характеру Чжспя такого расслоения , которое тривиально вне 1-остова, то эта сигнатура является ориентированным гомотопическим инвариантом.
-
Решена задача учета кручения в проблеме обнуления высших А-родов.
. Упомянем, что п.13 дает ответ на вопрос, поставленный в ', п.Ю — взт (в важнейшем частном случае), п.16 — в т.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Конструкции, результаты и методы настоящей работы могут найти применение в дифференциальной геометрии и топологии, /Г-теории С*-алгебр, теории эллиптических задач, некоммутативной дифференциальной геометрии. Среди конкретных направлений с сегодняшней точки зрения можно указать следующие.
1. Исследование специальных эллиптических задач, удовлетворяющих определенным условиям симметрии (ср. 4'5)
"Karoubi М. Algebres de Clifford et Я-tbeorie // Ana. Sclent. Ecole Norm. Super. Ser. 4 - 1968 - V. 1, N 2. - P. 161-270
-
Развитие теории Атьи-Лефшеца (ср.3,8 ).
-
Исследование высших G-спгнатур (ср.39 ).
-
Решение задачи Ши Вэйшу об эквиварпантпом семействе эллиптических операторов50 (а также3' ), для этого нужно развить нашу теорию с нетривиальным действием группы на алгебре.
-
Дальнейшее исследование связи кривизны и А-родов спинориых многообразий. Для более топких исследований, как следует из32 (см. также" ,34') необходим вещественный аналог пашей теории. Первые шаги сделаны в 33.
-
Исследование операторов на слоениях со свойствами симьприи.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ: под руководством профессора А.С.Мищенко и профессора Ю.И.Соловьева, под руководством члена-корреспондепта РАН А.Т.Фоменко, под руководством доктора физико-математических наук А.Я.Хелемского, на Ломоносовских чтениях в МГУ, на совместных заседаниях общемосковского топологического семднара им. П.С.Александрова и Московского математического общества. Они докладывались на Воронежской математической школе, Международной топологической конференция (Баку, 1987), Международной конференции по алгебраической тополо-- гик (Познань, 1989) и на Европейском математическом конгрессе (Париж, 1992).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Все ра-
38Бреннер А. В., Йубия М. А. Теорема Атьи-Ботта-Лефтеца для многообразий с краем // Функцион. анализ и его при лож. - 1981. - Т. 16, N 4. - С. 67-68
29Rosenberg J., Weinberger S. Higher C-indices and applications // Ann. scient. Ec, Norm. Sup. 4 eerie - 1988. - t. 21. - P. 479-495
30Shih W. Fiber cobordism and the index of a family of elliptic operators // Bull. Amer. Math. Soc. - 1966. - V. T2, N 6. - P. 984-991
а1Аты M. Ф., Зингер И. M. Индекс эллиптических операторов. IV. // Успехи матем. наук - 1972. - Т. 27, Вып. 4. - С. 161-178
эзНИсЫп N. Harmonic spinors // Adv. in Math. - 1974. - V. 14. - P. 1-55
33Rosenberg і. C*-algebras, positive scalar curvature, and tbe Novikov conjecture, II
II in: Proc. U.S. - Japan Seminar on Geometric Methods in Operator Algebras, Kyoto,
1983, H. H. Araki and E. G. EfTroe, ede. - P. 341-374
3*Rosenberg J. C*-algebras, positive scalar curvature, and the Novikov conjecture -
III /I Topology - 1986. V. 26, N 3. - P. 319-336
боты вьлюлпспы без соавторов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых в общей сложпости па 27 параграфов, а также из списка цитированной литературы. Нумерация утверждений — тройная: помер тлави, помер параграфа и помер утверждения, формул — двойная: номер главы и номер формулы. Общий объем диссертации 232 страницы. Библиография содержит 94 наименования.
