Введение к работе
Актуальность темы. Важное место среди всех систем дифференциальных уравнений занимают системы специального вида, называемые галилттовыли. Многие задачи механики и физики принадлежат этому специальному классу. Гамильтонова система представляет собой гладкое векторное поле, v=sgrad Н, заданное на симплектиче-ском многообразии я, где Н - гладкая функция на М (гамильтониан). Векторное поле v=agrad Я определяется как объект, двойственный дифференциалу сШ при отождествлении касательного и кокасательно-го расслоений многообразия If при помощи симплектической структуры со. Интегральные траектории поля v являются, по определению, решениями гамильтоновой системы.''.
Скобкой Пуассона двух функций ft, /г на ї называется функция |д ,f\ = w(sgrad /t .sgrad fz). Гладкая функция / называется
интегралол гамильтоновой системы и, если она коммутирует с И, т.е. |/,ff|=0. Система v=sgrad И на скмплектическом многообразии М2" называется иямегрируелой по Лиувіиию, если существует п функционально независимых интегралов /t = Н, /2,..., /n, находящихся в инволюции (т."е. коммутирующих друг с другом относительно скобки Пуассона). Неособая компактная совместная поверхность уровня интегралов /t является, согласно известной теореме Лиу-вилля, гс-мерным тором ЧГ, называемым торол Лиубилля. Каждый тор Лиувилля заполнен условно-периодическими траекториями системы v. Большинство гамильтоновых систем, как абстрактных, так и
возникающих в различных задачах механики и физики, не являются интегрируемыми. Тем не менее, исследование интегрируемых случаев имеет особую важность для приложений, поскольку такие системы допускают более или менее полное .качественное описание траекторий. Кроме того, согласно известной теореме Колмогорова-Арноль-да-Мозера (см., например, [1]), при достаточно малом гамильтоно-вом возмущении системы большинство нерезонансных инвариантных торов не разрушится, а лишь немного деформируется. Этот важный факт позволяет методами теории возмущений получать информацию о неинтегрируемых системах, близких к интегрируемым/
Диссертация посвящена топологическому исследованию широкого класса интегрируемых гамильтоновых систем, заданных на четырехмерных симшгектических многообразиях. Интегрируемость по.Лиувил-лю гамильтоновой системы v=sgrad Н означает в данном случае существование одного дополнительного интеграла /, функционально независимого с гамильтонианом Я. Ограничивая функцию / на неосо-Оую изоэнергетическую поверхность 0э=/я=7гТ, получаем функцию
fb:t -» к, неособые поверхности уровня которой есть торы Лиувил-ля. Важной задачей является изучение поведения системы в окрестности критических поверхностей уровня функции /h.
Развивая идеи симплектической топологии, заложенные в рабо-
[1] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Соврем, проблемы математики: Фундам. направления. 1985. Т.З. С.5-303.
тах С.Смейла, В.В.Козлова и некоторых других авторов, Л.Т.Фоменко в работах С2-5] разработал новую теорию "типа Морса", описывающую перестройки торов Лиувилля в окрестности критического слоя, и обнаружил новый топологический инвариант, характеризующий интегрируемую гамильтонову систему с точностью до грубой топологической эквивалентности. В работе 16] А.Т.Фоменко и Х.Ци-шанг оснастили инвариант [3] некоторыми числовыми метками, построив меченый топологический инвариант, позволяющий классифицировать интегрируемые гамильтоновы системы уже с точностью до более тонкой топологической эквивалентности. В работе [7] А.В.Бол-синов, С.В.Матвеев и А.Т.Фоменко подвели итог серии исследований топологических свойств интегрируемых гамильтоновых систем, предъявив топологическую классификацию всех систем с двумя степенями свободы.
121 Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых систем и препятствия к-интегрируемости// Изв. АН СССР. Серия матем. 1986. Т.50. С.1276-1307.
[31 Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю// Функц. анализ и его приложения. 1988. Т.22. Jf4. С.38-51.
[4] Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем// УМН. 1989. Т.44. J61. С. 145-173.
[5] Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Мзтоды и приложения * // Изд-во Моск. ун-та, 1988.
В связи с этим возникла задача: выяснить, какое место в этой классифшации принадлежит конкретным интегрируемым системам, вычислив для них инвариант Фоменко-Цишанга (меченую молекулу, по терминологии работы [73). В настоящей работе эта задача решена для трех алгебраических аналогов цепочки Тода и геодезических потоков на сфере S2 с дополнительным квадратичным или линейным по импульсам интегралом (последний результат был получен при участии Нгуен Тьен Зунга).
Цель работы. Вычислить инварианты Фоменко-Цишанга для различных случаев интегрируемости и в соответствии с этим классифицировать исследуемые системы.
Методы исследования. При доказательстве основных теорем использовались различные методы дифференциальной геометрии, теории Морса и теории интегрируемых гамильтоновых систем.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.
1. Вычислены топологические инварианты трех алгебраических аналогов цепочки Тода и доказана топологическая эквивалентность
[63 Фоменко А.Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем// Изв. АН СССР. Серия матем. 1988. Т.52. J62. С.378-407.
[73 Болсинов А.В., Матвеев СВ., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности// УМН. 1990. Т.45. .№2. С.49-77.
этих систем.
2. Классифицированы (с точностью до топологической эквива
лентности) интегрігруемие геодезические потоки на двумерной сфе
ре с дополнительным квадратичным или линейным по импульсам.ин
тегралом.
3. Вычислена сложность всех исследуемых систем.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет
теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в области симплектической геометрии, гамильтоновой механики и, прекде всего, в области топологической теории интегрируемых гамильтоновых систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на конференции молодых ученых МГУ (1991 г.), на международном рабочем совещании "Вещественная алгебраическая геометрия, симплектическая геометрия и гамильтоновы системы" (С.-Петербург, 1992 г.), на научном семинаре "Современные геометрические мето-да" кафедры дифференциальной геометрии и приложений, а также на семинарах кафедры теоретической механики и кафедры функционального анализа механико-математического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и
двух глав, включающих в себя 11 параграфов. В тексте диссертации
приведено 30 рисунков, поясняющих или наглядно иллюстрирующих
некоторые результаты. Список литературы содержит 42 наименования,
Общий 'объем диссертации - 106 сіраниц. ,
