Содержание к диссертации
Введение
1 Отслеживание для систем с аксиомой А
1.1 Базовые понятия и определения 14
1.2 Условие С-трансверсалвности для систем с аксиомой А 16
1.3 Основной результат 17
1.4 Локальная конструкция 18
1.5 Доказательство основного результата 32
2 Функции Ляпунова, свойство отслеживания и топологическая устойчивость 42
2.1 Ляпуновские функции и отслеживание 42
2.2 Топологическая устойчивость 48
2.3 Отслеживание в окрестности негиперболической неподвижной точки
2.3.1 Одномерный случай 53
2.3.2 Случай размерности два: изолированная неподвижная точка 55
2.3.3 Случай размерности два: неизолированная неподвижная точка 59
3 Отслеживание в случае кубического касания и в окрестности сепаратрисы 64
3.1 Отслеживание в окрестности сепаратрисы 64
3.1.1 Предположения о системе 65
3.1.2 Основной результат 67
3.2 Отслеживание в случае кубического касания 78
3.2.1 Основные определения 79
3.2.2 Формулировка основного результата 79
3.2.3 Вспомогательные леммы 80
3.2.4 Доказательство основного результата 83
Заключение 94
Список литературы
- Условие С-трансверсалвности для систем с аксиомой А
- Доказательство основного результата
- Отслеживание в окрестности негиперболической неподвижной точки
- Отслеживание в случае кубического касания
Введение к работе
Актуальность темы.
Одной из интенсивно изучаемых в последнее время задач теории диффеоморфизмов гладких многообразий является задача об отслеживании их приближенных траекторий.
Известно, что для диффеоморфизма / замкнутого многообразия М следующие три утверждения эквивалентны:
-
/ удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;
-
/ структурно устойчив;
-
/ обладает липшицевым свойством отслеживания.
Часто диффеоморфизмы, удовлетворяющие одному из условий (1) или (2) (а, следовательно, и всем остальным), называют "системами с гиперболическим поведением". Кроме того, далее в тексте слово "система" будет для нас синонимом термина "диффеоморфизм гладкого многообразия".
В связи с эквивалентностью пунктов (1) и (3) представляется естественным исследовать условия наличия свойств отслеживания для систем, удовлетворяющих аксиоме А. Так, выполнение аксиомы А означает, что неблуждающее множество исследуемой системы достаточно "хорошо устроено" с точки зрения глобальной качественной теории (оно гиперболично, и в нем плотны периодические точки). Изучая такие системы в теории отслеживания, естественно предположить, что условия наличия свойства отслеживания могут быть выражены в терминах, описывающих взаимное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий неблуждающих траекторий. Например, если эти многообразия трансверсальны в стандартном дифференциально-топологическом смысле (т.е. если выполнено строгое условие трансверсальности), то, как уже было сказано, система структурно устойчива и обладает липшицевым свойством отслеживания. В случае, если фазовое пространство системы / (т.е. многообразие М) двумерно, то, как было установлено математиком Казухиро Сакаем (Kazuhiro Sakai), необходимое и достаточное условия наличия свойства отслеживания формулируется в терминах пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий (а именно, устойчивые и неустойчивые многообразия должны пересекаться С -трансверсально). Поэтому представляют интерес следующие два вопроса: можно ли сформулировать необходимое и достаточное условие свойства отслеживания и, в более частном случае, условия гельдерова свойства отслеживания (соответствующее определение приведено ниже) для систем с аксиомой А в терминах пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий
для произвольных размерностей (подчеркнем еще раз, что для двумерных систем и для стандартного свойства отслеживания условие состоит в С-трансверсальности устойчивых и неустойчивых многообразий)? И возможен ли какой-нибудь аналог отслеживания при не С -трансверсальном пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий?
Отметим также, что, по большей части, стандартные подходы к исследованию динамических систем позволяют доказать наличие свойств отслеживания гладких систем с гиперболическим поведением траекторий. В связи с этим представляется актуальным исследовать вопрос наличия свойства отслеживания у негладких систем (гомеомофризмов метрических пространств).
Цель работы
Целью работы является изучение некоторых связей между свойством отслеживания приближенных траекторий гомеоморфизмов метрических пространств (или, в частном случае, диффеоморфизмов гладких многообразий) и различными объектами, характеризующими динамику этих гомеоморфизмов (диффеоморфизмов), например, типами пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий, наличием специальных аналогов функций Ляпунова и пр.
Методы исследований
Основными методами, используемыми в диссертации, являются методы теории гладких диффеоморфизмов. Кроме того, используются методы теории отслеживания псевдотраекторий в окрестности гиперболического множества, а также метод вспомогательных функций Ляпунова для доказательства наличия отслеживания, разработанный X. Левовичем и его учениками и модифицированный в работах СЮ. Пилюгина и диссертанта.
Основные результаты работы
Основные результаты работы заключаются в следующем.
-
Показано, что естественное многомерное обобщение понятия С -трансверсальности, введенного Казухиро Сакаем, не является необходимым для наличия свойства отслеживания у диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А.
-
Приведены достаточные условия наличия свойства отслеживания у гомеоморфизмов компактного метрического пространства. Полученные
методы могут быть применены и к случаю негиперболических диффеоморфизмов.
-
Показано, что значение показателя Гельдера гельдерова свойства отслеживания диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, зависит не только от характера пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий, но и от класса гладкости данного диффеоморфизма.
-
Для диффеоморфизмов поверхностей, удовлетворяющих аксиоме А, но не удовлетворяющих условию С-трансверсальности, показано, что, несмотря на отсутствие у них свойства отслеживания, диффеоморфизм может обладать свойством отслеживания с плавающей точностью.
Таким образом, в данной работе исследована связь между наличием свойства отслеживания и различными свойствами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (имеющими геометрическую или топологическую природу).
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты проясняют связь между наличием свойства отслеживания у систем и различными объектами, характеризующими динамику этих систем.
Аппробация работы
Результаты диссертационной работы были доложены на следующих семинарах:
-
Семинар по динамическим системам в лаб. им. П. Л. Чебышева — Санкт-Петербург, Россия, 2013, 2014, 2015;
-
Петербургский топологический семинар им. В. А. Рохлина — Санкт-Петербург, Россия, 2015;
а также были включены в доклад автора на конференциии
3. International Student Conference "Science and Progress" — Санкт-
Петербург, Россия, 2014.
Публикации
По материалам диссертации опубликованы работы [1-5]. Из них статьи [1-4] опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, ссылки на которые приведены в конце автореферата.
Работы [1-3] написаны в соавторстве с научным руководителем. В этих работах СЮ. Пилюгину принадлежат постановки задач; доказательства основных результатов этих работ проведены соискателем лично.
Структура и объем диссертации
Условие С-трансверсалвности для систем с аксиомой А
В данной главе исследуется связь между свойством отслеживания и типами пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий дискретных динамических систем размерности 3, удовлетворяющих аксиоме А.
Отправной точкой для данного исследования послужила работа [6], где рассматривается тот же вопрос для двумерных систем. В ней было введено свойство С-трансверсальности пересечения двух кривых на плоскости (или, более общо, на двумерном многообразии) и основным результатом было утверждение, что для двумерных динамических систем, удовлетворяющих аксиоме А, свойство отслеживания эквивалентно С-трансверсальности пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий (см. также [7]).
Отметим также работу [10], в которой сформулировано общее определение С-трансверсальности и доказано, что для случая кривых на двумерном многообразии оно совпадает с определением, предложенным в [6].
В данной главе мы показываем, что сформулированное нами определение ( -трансверсальности не является необходимым для свойства отслеживания: мы построим пример трехмерной системы с аксиомой А, обладающей свойством отслеживания, у которой пересекаются одномерное устойчивое и одномерное неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек.
В этом разделе мы напомним определение С-трансверсальности двух непрерывных отображений топологических пространств в многообразие, предложенное в работе [10], и определим условие С-трансверсальности для диффеоморфизма гладкого многообразия, удовлетворяющего аксиоме А.
Пусть (М, dist) — гладкое замкнутое связное многообразие с римановой метрикой dist, а А — топологическое пространство.
На пространстве всех непрерывных отображений из А в многообразие М (которое мы будем обозначать через С(А,М)), введем С-равномерную метрику, заданную по правилу: для/ь/2єС(ДМ)
Определение 19. Пусть вновь А,В — топологические пространства, hi: А — М, h2: В — М — непрерывные отображения, и пусть точки а Є A, Ъ Є В таковы, что hi (а) = h2(b). Будем говорить, что в паре точек (а,Ь) отображения hi и / С0-трансверсалъны, если для любых открытых множеств U(a) С A, U(b) С В, таких что а Є U(a), b Є U{b), найдется такое 5 0, что пересечение hi(U(a)) П fa,2(/(6)) 5-существенно.
Наконец, дадим определение С-трансверсальности двух отображений. Определение 20. Пусть А,В — топологические пространства, a hi: А — М, Л,2: В — М — непрерывные отображения. Будем говорить, что hi и h2 С0-трансверсалъны, если для любых точек а Є A, b Є В, таких что hi(a) = / 2(6), отображения hi и h2 С трансверсалъны в паре точек (а,Ь). Ясно, что данное нами определение С-трансверсальности двух отображений не зависит от римановой метрики на многообразии М. В частном случае, когда А, В С М, нам будет удобно ввести еще одно определение.
Определение 21. Пусть А, В С М, АГ\В ф 0. Мы будем говорить, что в точке р Є АГ\В А пересекается с В С0 -трансверсалъно, если отображения вложения і А - А — М, ІА{Х) = х, и %в - В — М, і віх) = х, С0-трансверсалъны в паре точек (р,р).
Отметим также, что из теоремы о трансверсальности (см. [17]) и возможности аппроксимации непрерывных отображений гладкими (также см. [17]) вытекает следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть А, В — гладкие связные многообразия, /: А — М, д: В — М — непрерывные отображения. Если найдется такая пара точек (а,Ь), а Є A, b Є В, что отображения fug С0-трансверсалъны в (а,Ь), то dim(A) + dim( ) dim(M). 1.2 Условие С-трансверсальности для систем с аксиомой А. В далвнейшем мы будем предпологатв, что М — замкнутое связное гладкое риманово многообразие, /: М — М — диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А. Через П(/) будем обозначатв неблуждающее множество /. По теореме 1 об устойчивом многообразии найдется такое а 0, что через каждую точку р Є П(/) проходят устойчивое W {p) и неустойчивое W{p) многообразия размера а, т.е. Wa(p) = ехрр(graph flfp), где ехрр — экспоненциалвное отображение в точке р Є М, др: Е {а) — Е(а) — С1-гладкое отображение, константа Липшица Lip(gp) 1, др(0) = 0, Dgp(0) = 0, a graph др = {(v,gp(v)) \ v Є Ер (а)}, и аналогичнвіе утверждения вернві для W (p). В далвнейшем это число а фиксировано.
Приведенная ниже иллюстрация (рисунок 1) показывает общий вид пересечения одномерных многообразий: неустойчивое многообразие точки р\ наматывается на устойчивое многообразие точки р2 подобно спирали, делая бесконечное число витков при приближении к точке пересечения.
Отметим также, что наиболее интересным случаем поведения псевдотраектории является тот, в котором псевдотраектория близко подходит к точке пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий. В этом случае отследить ее удается именно из-за эффекта спиралевидного пересечения многообразий.
Доказательство мы разобьем на две части. Вначале мы построим локальный диффеоморфизм (т.е. зададим систему на открытом подмножестве в IR3), затем докажем, что построенная система обладает сформулированным нами свойством отслеживания, и продемонстрируем, как можно вложить построенное нами отображение в диффеоморфизм трехмерного многообразия S1 х S2, где под S1 мы имеем в виду сферу размерности і. 1.4 Локальная конструкция
Опишем неформально общий вид этого отображения. При каждом фиксированном ж Є (—1,9) отображение (y,z) i- . hi(x,y,z) является обратимым линейным изоморфизмом пространства К2, причем при ж, близких к точке 0, оно является сжатием, а при ж, близких к 8, растяжением. При фиксированных (y,z) Є Ш2 и при значениях ж, пробегающих (3,5), образ h\(x,y,z) является спиралью с центром в точке (y,z). Зададим отображение hi следующей формулой: hi(x,y,z) = (\y,\z) для х Є [-1,1],
Поскольку функция д\{х) строго монотонна, д 1 существует и принадлежит классу С, a h\(x,y,z) при фиксированном ж является невырожденным аффинным отображением по координатам (y,z), / является диффеоморфизмом на свой образ.
Отметим также, что / имеет ровно две неподвижные точки Ті = (0,0,0) и Т2 = (8,0,1), каждая из которых кроме того, является гиперболической (в окрестности этих точек / линейно). Пусть построенное нами отображение / реализуется как запись некоторого диффео-мофризма в локальных координатах. Тогда имеет смысл говорить об устойчивых и неустойчивых многообразиях точек 7\ и Т2. Нетрудно видеть, что Wu{Ti) одномерно, и это многообразие в окрестности точки Т\ есть отрезок из утверждения 2 следует, что если некоторый диффеоморфизм в подходящей системе координат будет задаваться отображением /, то он не будет удовлетворять условию С-трансверсальности.
Мы покажем далее, что найдется трехмерный диффеоморфизм, совпадающий с / в некоторой области в соответствующих локальных координатах, обладающий свойством гельде-рова отслеживания с показателем Гельдера \.
Это явление контрастирует с результатами [6], где показано, что для двумерных систем с аксиомой А свойство отслеживания эквивалентно С-трансверсальности.
В этом разделе мы продолжим рассмотрение построенного нами отображения, в частности, в оставшейся части этого раздела, мы докажем следующее утверждение, являющее локальной версией теоремы 5.
Доказательство основного результата
В данном разделе мы применяем метод функций Ляпунова для доказательства свойств отслеживания. В подразделе 2.3.1 мы отдельно рассмотрим случай одномерной системы. Особенное внимание будет уделено зависимости є от 6 из определения 5. В подразделе 2.3.2 мы немного уточним метод функций Ляпунова для случая гомеоморфизма двумерной плоскости и сформулируем новые достаточные условия свойства отслеживания. Также мы рассмотрим в деталях модельный пример диффеоморфизма fix,у) = {х- x2n+l + Х(х,у),у + y2m+l + Y(x,y)), (2.3.1) где п,т — натуральные числа, a X,Y — гладкие функции, обнуляющиеся в начале координат вместе с их производными.
Наконец, подраздел 2.3.3 посвящен исследованию свойства отслеживания в окрестности неизолированной неподвижной точки. Мы рассмотрим простейший (но не тривиальный) пример диффеоморфизма
Для данного диффеоморфизма начало координат является неизолированной неподвижной точкой (любая точка (0,у) является неподвижной). Конечная, такая система не обладает классическим свойством отслеживания. Поэтому в данном случае мы вводим новое понятие свойства отслеживания, в котором мы контролируем размер пошаговой ошибки псевдотраектории.
Для начала рассмотрим вопрос наличия свойства отслеживания в окрестности негиперболической неподвижной точки в одномерном случае.
Пусть / — гомеоморфизм окрестности U точки О G 1 на свой образ, причем точка О является неподвижной.
Мы подробно рассмотрим случай, когда / является негиперболическим растягивающим отображением (случай сжимающего отображения рассматривается аналогично).
Условия, которые мы наложим на /, в некотором смысле являются частным случаем условий в двумерном случае, который мы рассмотрим позже.
Условие 1. Существуют такие числа а,А 0, что если \х\ А и 0 v а, то выполнены неравенства f(x + v)- f(x) v, f(x -v)- f(x) -v. (2.3.3) Обозначим через B{r,X) замкнутую r-окрестность множества Icl.
Теорема 9. При выполнении условия 1 отображение / обладает конечным свойством отслеживания на множестве В = В(А,{0}). Доказательство. Пусть є 0. Мы также предполагаем, что є а. Из условия 1 следует, что если х Є В, то выполнено включение B(e,f(x)) С Intf(B(e,x)). Из компактности множества В и непрерывности функции / следует, что найдется такое d 0, что
Последнее соотношение вместе с аналогичным для /(] — є) — f(pk) означают, что выполнен аналог включения (2.3.4) для всех рк.
Повторяя доказательство теоремы 9, мы получаем, что отображение / обладает конечным свойством отслеживания на множестве В(А,0). Отметим, что условие (2.3.7) выполнено, например, для функции Х{х) = х2п+2. Наши методы также позволяют показать, что если Х{х) = 0, то функция / обладает конечным свойством отслеживания на всей вещественной прямой Мис той же зависимостью d от є, что и в соотношении (2.3.9). с неподвижной точкой в начале координат, сжимающий в направлении переменной х и растягивающий в направлении переменной у (растяжение и сжатие не предполагаются гиперболическими).
Для этих двух функций выполнены условия (С1)-(С4) из раздела 2.1. Сформулируем общее условие для наличия конечного свойства отслеживания гомеоморфизма плоскости / на произвольном компактном подмножестве К сШ2. Условие 2. Для любых А0 0 найдутся такие числа 8, А О, что 8 А А0, и если р Є К, то выполнено условие (С5) из раздела 2.1 с q = f(p), и выполнены неравенство
Теорема 10. Если К — компактное подмножество плоскости и выполнено условие 2, то / обладает конечным свойством отслеживания на множестве К. Доказательство. Для начала покажем, что из условия 2 следует выполнение условия W(8,A,p,f(p)) из раздела 2.1 для любого р є К. Поскольку Т(8, р) = {г \гх -рх\ 8,гу =ру}, из соотношения (2.3.10) сго = 0и (2.3.11) следует выполнение (С6). Аналогично, из соотношения (2.3.11) следует выполнение (С7). Принимая во внимание соотношение (2.3.12), получаем, что f(Q(8,p)) П P(8,f(p)) = 0. (2.3.13) Неравенство (2.3.10) для г = 8, 0 \w\ 8 вместе с (2.3.13) влечет, что образ границы множества Р(8,р) под действием гомеоморфизма / не пересекает множество R(8,f(p)). Положим S = {(g(p) + a,h(p) + Ь) \а\ 8, \Ь\ 8}. Ясно, что R(8,f(p)) С S. Из соотношений (2.3.10), (2.3.11) и (2.3.12) следует, что f(dP(8,p))C\ S = 0. Поскольку множество f(P(8,p)) связно, выполнено соотношение f(P(8,p)) nS = 0, и справедливость (С7) доказана. Наконец, условие (С9) следует из соотношения (2.3.12). Таким образом, мы показали, что из выполнения соотношений (2.3.10)-(2.3.13), следует выполнение условия W(8,A,p,f(p)) для любого р Є К.
Наконец, поскольку К компактно, а отображения /, W, V непрерывны, то из вида условий (С5)-(С9) следует, что найдется такое d 0, зависящее только от 8 и А, что если р є К и \l f(p)\ d, то выполнено условие W(8,A,p,q). Отсюда, принимая во внимание лемму 8, получаем, что / обладает конечным свойством отслеживания на К. Что и требовалось. П.
Отслеживание в окрестности негиперболической неподвижной точки
Пусть /: М — М — диффеоморфизм класса С1 замкнутого многообразия М. Известно, что липшицево свойство отслеживания (см. определение 6 или определение 26 ниже) диффеоморфизма / эквивалентно тому, что / удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности устойчивых и неустойчивых многообразий (доказательства содержатся в [5], теорема 2.2.7, и в работе [2]). Одним из естественных вопросов, возникающих в связи с этим результатом, является следующий: обладает ли / свойством отслеживания (и если да, то каким) при ослаблении условий трансверсальности и аксиомы А!
В данном разделе исследуется вопрос о наличии свойства гельдерова отслеживания у системы, удовлетворяющий аксиоме А, но не удовлетворяющей условию строгой трансверсальности.
Отметим работу [24], в которой также рассматривается вопрос гельдерова отслеживания. В ней доказывается, что если для некоторых 9,ш 1/2, любая d-псевдотраектория длины 1/с1ш диффеоморфизма / класса гладкости С2 может быть (/-отслежена точной, то диффеоморфизм / структурно устойчив.
Одной из отправных точек для данного исследования послужила статья [6]. В ней доказано, что в случае, когда М есть поверхность (т.е. замкнутое двумерное многообразие) и диффеоморфизм / удовлетворяет аксиоме А, следующие два утверждения эквивалентны:
Тем не менее, как было показано в предыдущем разделе (и в работе автора [12]), даже в случае совпадения устойчивых и неустойчивых многообразий двух гиперболических неподвижных точек диффеоморфизма / поверхности М, / обладает так называемым свойством отслеживания с плавающей точностью степени выше единицы.
В данном же разделе мы исследуем вопрос о гельдеровом свойстве отслеживания в случае кубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий -диффеоморфизма / поверхности М (где к Є N). Естественной гипотезой в таком случае является следующая: / обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера . Для модельного примера диффеоморфизма / мы показываем, что это так, если класс гладкости / хотя бы С2. Также мы строим пример диффеоморфизма / класса гладкости С1, обладающего гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера и не обладающего гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера 7 \ 79
Пусть М — метрическое пространство с метрикой dist, /: М — М — непрерывное отображение. В данном разделе через / мы будем обозначать подмножество Z, являющееся одним из следующих интервалов: (—оо, а] П Z, [а,оо) П Z или [а,Ь] П Z, где а,Ь Є Z, а 6. В нашем случае М = К2, f: М — М — диффеоморфизм. В К2 мы фиксируем метрику dist((x,y),(x ,y )) = тах{ж - х \, \у - у \}. Нам также будет удобно переформулировать определение гельдерова свойства отслеживания отображения / следующим образом.
Определение 26. Отображение f обладает гелъдеровым свойством отслеживания с показателем Гелъдера 7 Є (0,1], если найдутся такие константы L,d0 0, что для любой дл -псевдотраектории отображения / с d Є (0,() найдется точка р Є М, Ld-отслеживающая псевдотраекторию .
Соотношение (d4) как раз и означает кубическое касание неустойчивого многообразия Wu{r\) и устойчивого Ws(r2), поскольку, как следует из явного вида отображения /, выполнены включения
Мы докажем следующее утверждение. Ws(n) Рисунок 3.1: Иллюстрация условий (dl)-(c!4). Теорема 14. (1) Если / обладет гелъдеровым свойством отслеживания в V\ U О U V2 с показателем Гелъдера j, то 7 f Диффеоморфизм / обладает гелъдеровым свойством отслеживания в V\ U О U V2 с показателем Гелъдера \. Если / принадлежит классу гладкости С2, то / обладает гелъдеровым свойством отслеживания в V\ U О U VJ с показателем Гелъдера . ( Найдется диффеоморфизм класса гладкости С1, удовлетворяющий условиям (dl) (d4); no пе обладающий гелъдеровым свойством отслеживания с показателем Гелъдера 7 і
Следующая тривиальная лемма является частным случаем более общей классической леммы об отслеживании (см. [5], теорема 1.2.2). Лемма 11. Пусть F: Е2 — Е2 — С1-диффеоморфизм, задающийся в окрестности
В следующей лемме мы опишем множество C(d,q,F) точек, итерации которых остаются в достаточно малой d-окрестности соответствующей итерации фиксированной точки q. Лемма 12. Рассмотрим диффеоморфизм F: Е2 — Е2; задающийся в 5-окрестности точки (х0,уо), Вё(х0,у0), по формуле F(x,y) = (а(х - х0) + х0,/3(у - Уо) + Уо), где а Є (0,1), j3 Є (1,оо). Пусть v = 7 а точка q єШ2 удовлетворяет соотношению dist(q,(x0,yo)) -, и пусть N є N — наименьшее натуральное число, такое, что выполнено включение
Действительно, так как dist(q,(xo,yo)) и, то \qx — хо\ гл и неравенство (3.2.3) следует из сжатия вдоль оси Ох с константой а Є (0,1) к точке XQ И В силу выбора N. Нетрудно показать по индукции, что для любой точки q= (qx-\-Ax,qy-\-Ay) є C_(d,q,F)U C(d,q,F) U C+(d,q,F) выполнено F\q) Є Bs(xo,yo) (3.2.4) для і = 0,..., N. Покажем, например, справедливость (3.2.4) для точки q є C+(d,q). Так, пусть для і є N, і iV, выполнены включения покажем тогда, что и Fl(q) є В$(х0,у0). Это включение следует из следующей цепочки неравенств
Здесь мы учли соотношения а Є (0,1), /З 1, і Є (0, og ), (3.2.2) и явный вид отображения F в окрестности В$(х0,уо). Покажем справедливость включения C_(d,q,F) С C(d,q,F). Пусть = (д,ж + Аж,ду + Ау) є C-(d,q,F). Тогда, принимая во внимание (3.2.2) и (3.2.4), мы можем оценить dist(F\q),F\q)) =тж(аг\Ах\,/Зг\Ау) max (d, У-У\\ max ( d,d max ( a, d ] a, что и требовалось. Осталось показать включение C(d,q) С C+(d,q). Предположим противное: нашлась такая точка q= (qx + Ax,qy + Ау) Є C(d,q), что q . C+(d,q), т.е. выполнено неравенство
Мы опустим докательство пункта 2, поскольку в нем по существу повторяются рассуждения, приведенные при доказательстве пункта 3. Так же, как и пункт 3, пункт 2 сводится к доказательству соотношения (3.2.16). Необходимо только рассмотреть вместо d3-псевдотраектории і4-псевдотраекторию; вместо случаев (Y1) и (Y2) рассмотреть следующие две альтернативы:
Покажем, что для любого 7 Є (f Д] / не обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера 7- Действительно, предположим противное, т.е. существуют константы L,d0 0 из определения 3. Мы построим GF псевдотраекторию (с d Є (0,do)), которая не может быть Ы-отслежена точной.
Мы покажем, что такой диффеоморфизм / не обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателями Гельдера 7 Є (\,1\ Предположим противное. Тогда найдутся такие константы L,do 0 и е 0, что для любого d Є (0,do) любая і4_є-псевдотраектория может быть Ы-отслежена точной. Мы построим псевдотраекторию, для которой это не так. Ясно, что для достаточно большой константы М 0 и достаточно малого d Є (0,do) выполнено неравенство
Отслеживание в случае кубического касания
Простые вычисления показывают, что если / 2т, а 0, к четно, / нечетно, и к + / 2т + 1, то условие (2.3.17) выполнено в малой окрестности начала координат. Можно получить аналогичные условие в случае, если Х(х,у) также является мономом. Наши методы позволяют нам оценить зависимость d от є для конечного свойства отслеживания в рассматриваемом случае.
Например, если Х(х,у) = а\ХкіуІ1 и Y(x,y) = а,2Хк2уІ2 с к\ 2п + 1 и /2 2m + 1, то, повторяя рассуждения, приведенные выше, мы получаем, что найдется такая окрестность начала координат К и такое малое число с 0, что если 5 0 и {рк} — конечная последовательность точек в К с где р = тах(2гг + 1,2т + 1), то выполнены условия W(5,25,pk,Pk+i)- Что означает, что / обладает в К конечным свойством отслеживания с зависимостью d от є в виде d = сєр.
Случай размерности два: неизолированная неподвижная точка В этом подразделе мы рассмотрим диффеоморфизм Для данного диффеоморфизма начало координат является неизолированной неподвижной точкой (любая точка (0,у) является неподвижной). Ясно, что / не обладает свойством отслеживания.
Тем не менее, мы покажем, что / обладает аналогом свойства отслеживания если рассматривать только псевдотраектории {рк} с (рк)х ф 0 и позволять "ошибкам" зависеть от (рк)х- Пошаговые ошибки должны уменьшаться при приближении точек псе-дотраектории к оси OY. Данный подход был предложен Сергеем Тихомировым в случае нетрансверсальной гомоклинической точки.
Мы ограничимся рассмотрением диффеоморфизма /, заданного формулой (2.3.18), для простоты изложения (однако, даже в этом конкретном случае рассуждения нетривиальны). Отметим также, что наши методы применены и к более общей ситуации.
Теорема 11. Найдутся такие окрестность К начала координат и число с 0, что для любого є 0 и любой псевдотраектории р = {pfc}fcL0 С X П К0, удовлетворяющей соотношению (2.3.20) с d = се, найдется точка г Є Ш2, є-отслеживающая псевдотраекторию р.
Доказательство. Как и выше, в доказательстве мы используем подход, основанный на функциях ляпуновского типа. Однако теперь одна из функций будет модифицирована. Положим УШ = \РУ-Ъ\, ( )=1 1 ) Ясно, что данные функции неотрицательны и непрерывны на К0 х К0 и обнуляются на диагонали, т.е. V(p,p) = 0, W(p,p) = 0 для р є К0. Условия (С1)-(С4), очевидно, выполнены (мы можем положить До (є) = є/2 в условии (С1)). Положим где константу N мы выберем позднее, а в качестве константы d из условия (2.3.20) возьмем d = с8. Положим вначале с = 1. В ходе доказательства мы будем несколько раз уменьшать константу с и несколько раз выбирать достаточно малую окрестность начала координат К.
Наша главная цель — проверить выполнение условие W(8,A,pk,Pk+i) для последовательных точек рк,Рк+г псевдотраектории р с подходящими 8 и А. После этого мы применим лемму 8.
Введем обозначения рк = (х,у), Рк+\ = (% ,у ). Мы утверждаем, что найдется такое число N 0, что если К достаточно малая окрестность начала координат, pk,Pk+i Є К, к 8 1, то условие (С5) выполнено с А = N8.
Точка (х + v,y + w) принадлежит P(8,pk) тогда и только тогда, когда г #ж(1 — \х\) и \w\ 8. Аналогичные неравенства задают множество P(8,pk+\).
Поэтому, чтобы показать справедливость (С5), нам достаточно найти такое N 0, что если \v\ 8\х\(1 — \х\) и \w\ 8, то выполнены неравенства Докаж;ем существование N 0, для которого выполнено третье неравенство из указанных выше (оставшиеся неравенства рассматриваются аналогично). Мы можем предполагать, что откуда следует, что \х \ \х\ и \2х — х\ 8\х\/2. Кроме того, выполнены неравенства М 8\х \(1- \х \) 8\х \ 8\х\,
В последнем неравенстве мы учли, что если окрестность К достаточно мала, то \х\ 1/2. Объединяя эти неравенства, мы видим, что если N = 3, то N8\x\(l - \х\) 38\х\/2 \2х - х\ + \v\, что и требуется. В последующем мы положим А = N6, где число N фиксировано выше. Проверим теперь условия (С6) и (С7). Не умаляя общности, мы будем предполагать, что х 0 (случай х 0 рассматривается аналогично).
Уменьшая, если нужно, окрестность К (так что значения \х\ и \у\ можно считать достаточно малыми), из неравенства \и\ с8х2 получаем, что для малых 8 выполнены неравенства т.е. f(T(A,pk)) не пересекает "верхнюю" компоненту множества Q(8,pk+i)- Рассуждая аналогично, получаем, что f(T(A,pk)) не пересекает "нижнюю" компоненту Q(8,pk+i)- Отсюда следует условие (С7), и, принимая во внимание включение (2.3.22), получаем, что выполнено условие (С6).