Топологии раздельной непрерывности Гриншпон Яков Самуилович

Финальная компактность и линделефовость

Напомним, что финально компактными называются такие пространства, из каждого открытого покрытия которых можно извлечь счетное подпокрытие. Финальная компактность так же, как и свойства типа компактности, сохраняется при ослаблении топологии, поэтому любое финально компактное множество в пространстве X g Y будет финально компактным и в пространстве X 8 У, а любое финально компактное множество в X Y — финально компактно и в X х Y. Более того, аналогично свойствам типа компактности, финальная компактность сохраняется при переходе к замкнутым подпространствам и при умножении на счетное пространство. Для характеризации финальной компактности пространств вида EXY И ЕХ У более удобными оказались не понятия локальной крестовости и сильной локальной крестовости, а свойства, аналогичные условию 5) теоремы 1.2.3 и условию 4) теоремы 1.2.8. Теорема 1.3.1. Пусть X uY — топологические пространства иЕ С XxY. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) EXY — финально компактное пространство; 2) EXXY — финально компактное пространство и существует счетный набор точек {(с„,(2„); п Є N} С Е такой, что Be [J cross(c„,dn); 3) EXXY представимо в виде счетного объединения пространств, гомеоморфных финально компактным подпространствам пространств X uY. Доказательство. Предположим, что EXY — финально компактное пространство, но счетного набора точек, кресты которых покрывают Е, не существует.

Построим по трансфинитной индукции набор точек (ca,da) Є Е, где а ш\ и щ — это первый несчетный ординал. Точку (ci,di) выберем произвольно во множестве Е, а точки (са, da) будем выбирать во множестве Е\ (J cross(c/g, dp). Каждое сечение множества {(ca,da); а CJI} состоит не более чем из одной точки, а значит, оно замкнуто и дискретно в пространстве EXY- Противоречие. Доказательство импликаций 2)=Ф»3) и 3)= 1) аналогично доказательству импли каций 5)= 6) и 6)= 1) теоремы 1.2.3. D Следствие 1.3.2. Пусть X uY — топологические пространства. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) XY — финально компактное пространство; 2) одно из пространств X или Y является счетным, а второе — финально компактным. Доказательство. Доказательство легко вытекает из пункта 2) теоремы 1.3.1 и свойств финально компактных пространств. Следствие 1.3.3. Пусть X — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) X X — финально компактное пространство; 2) пространство X является счетным. Регулярные финально компактные пространства называют линделефовыми пространствами. Поэтому в случае пространства EXY следует ставить вопрос о его линделефовости. Будет ли верна в этом случае теорема, аналогичная теореме 1.3.1, автору неизвестно. Доказан только более слабый результат, аналогичный следствию 1.3.2. Определение 1.3.4. Пусть X иУ — топологические пространства. Отображение / : X - У называется F-уплотнением, если / — непрерывное отображение с конечными прообразами точек. Говорят, что пространство X F-уплотняется в пространство F, если существует F-уплотнение / : X - У. Лемма 1.3.5.

Пусть пространство X х У наследственно нормально, М — замкнутое подмножество в X, f : М — У — F-уплотнение. Тогда множество D = {(m,/(m)); т Є М} дискретно в ХУ. Доказательство. Возьмем произвольную точку то Є М. Так как отображение / имеет конечные прообразы точек, то существует окрестность U точки т0 такая, что {т Є М; f(m) = f(m0)}riU = 0. МножестваD\{(m0, f(m0))} иЕ = ({m0}xF)U(Z7x {/(m0)})\{(mo, /(mo))} замкнуты в нормальном пространстве X хУ\{(т0, /(то))}. Следовательно, существует непрерывная функция h : X х У \ {(m0,/(mo))} - [0; 1] такая, что h(D\{(mo,/(mo))}) = {1} и h(E) = {0}. Продолжим h на X хУ, положив h(mo, /(mo)) = 0. Тогда h, очевидно, раздельно непрерывно и, значит, непрерывно относительно топологии пространства X У. При этом, h(mo, f(m0)) = 0 и h(D \ Предложение 1.3.6. Пусть топологическое пространство X содержит несчетное замкнутое подпространство, которое F-уплотняется в пространство У и пространство X х У является наследственно нормальным. Тогда пространство ХУ не является линделефовым. Доказательство. Пусть М — замкнутое несчетное подмножество в X и / : М — У — F-уплотнение. Тогда по лемме 1.3.5 график уплотнения {(m,/(т)); т Є М} представляет собой несчетное замкнутое дискретное ъ X У множество. Теорема 1.3.7. Пусть X и У — топологические пространства такие, что X F-уплотняется в У и пространство X х У является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) XY — финально компактное пространство; 2) XY — линделефово пространство; 3) X — счетное uY — линделефово пространства. Доказательство. Импликации 1)= 2) и 3)= 1) очевидны. Докажем, что из 2) сле дует 3). Пусть X Y — линделефово. Тогда пространства X и Y, как замкнутые подпространства пространства X Y, также линделефовы, а по предложению 1.3.6 пространство X счетно. Следствие 1.3.8. Пусть X — топологическое пространство такое, что пространство X х X является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) X (g X — линделефово пространство; 2) X 8 X — линделефово пространство; 3) X — счетное пространство. Доказательство. Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 1.3.7 и из того факта, что при счетном X пространство X X паракомпактно, а значит, и вполне регулярно ([17], 7.1).

Достаточное условие свойств типа нормальности

Под свойствами типа нормальности мы будем понимать собственно нормальность и такие ее непосредственные усиления, как коллективная нормальность и наследственная нормальность. Исследования достаточных условий для всех этих свойств в случае вполне регулярной топологии раздельной непрерывности осуществляется практически одинаковыми методами. Поэтому в данном параграфе для многих результатов будут приведены полные доказательства только для одного из свойств типа нормальности, а для остальных свойств будут указаны только необходимые модификации в рассуждениях относительно изложенного доказательства. Определение 2.2.1. Топологию т на декартовом произведении X х Y топологических пространств X и У назовем согласованной, если для любого открытого в Y множества U множество X х U открыто в г, и для любой точки х Є X множество {х} х Y замкнуто и гомеоморфно Y относительно естественной проекции 7г: {х} х Y -» Y. Легко проверить, что условиям согласованности удовлетворяют как стандартная топология произведения X х Y, так и топологии раздельной непрерывности X 8 Y иХУ. Лемма 2.2.2. Пусть X uY — топологические пространства/ г — согласованная топология на X xY и в пространстве X существует точка со такая, что индуцированная на множество X \ {со} х Y топология г нормальна. Пусть любые два замкнутых множества А С (Х\ {со}) х Y и В с {со} х Y можно отделить окрестностями в г. Тогда топология г нормальна и на всем множестве X х Y. Доказательство. Пусть множества А и В замкнуты в т. Докажем сначала, что множества А и В можно отделить окрестностями в некоторых частных случаях расположения множеств А и В. Случай I. Пусть В С (Х\ {со}) х У. Применяя условие леммы, найдем открытое в г множество U такое, что А П ({со} х Y) С U С U С (X х Y) \ В. Множества А \ U и В замкнуты в нормальном пространстве (X \ {со}) х Y, поэтому существует открытое множество V такое, что A\U С V С V С (X xY)\B. Получили, что А с UU V С UUV = UUV С (X х Y) \В. Случай II. Пусть В С {со} х Y. Так как пространство У нормально, то найдется открытое в У множество U такое, что А$ С U С U CY\ В$. По условию существует открытое в г множество V такое, что А \ (X х U) С V С V С (X х У) \ В.

Получили, что А С (X х U) U V С (X х U) U V = (X х U) UV С (X х У) \ В. Докажем теперь утверждение леммы в общем случае. Применяя случай II, найдем открытое в т множество U такое, что В П ({со} х У) С U С U С (X х У) \ А, а, применяя случай I, можно найти открытое в г множество V такое, что В \ U С V С V с (X х У) \ А. Получили, что В С UU V С ЇЇШ = UUV С (X х У) \ А. Для того, чтобы доказать аналогичное утверждение в случае наследственной нормальности, напомним, что множества Аи В топологического пространства X называются отделенными, если АПВ = 0и АО В = 0 ([7], 2.1). Лемма 2.2.3. Пусть X uY — топологические пространства, т — согласованная топология на X х У и в пространстве X существует точка оо такая, что индуцированная на множество X \ {со} х Y топология г наследственно нормальна. Пусть для всякого подпространства Е С X х У любые два замкнутых в Е множества А С (X \ {оо}) xY и В с {оо} х Y можно отделить окрестностями в индуцированной на Е топологии т. Тогда топология т наследственна нормальна и на всем множестве X х Y. Доказательство. Доказательство аналогично доказательству леммы 2.2.2. Необхо димо лишь заметить, что в случае II сечения А$ и В 00 отделены в наследственно нормальном пространстве У, и поэтому множество U можно считать открытым во Рассмотрим теперь случай коллективной нормальности и докажем в этом случае лемму, аналогичную леммам 2.2.2 и 2.2.3. Лемма 2.2.4. Пусть X uY — топологические пространства, т — согласованная топология на X х У и в пространстве X существует точка оо такая, что индуцированная на множество X \ {оо} х У топология т коллективно нормальна. Пусть любые два замкнутых в т множества А С (X \ {оо}) х У и В С {оо} х У можно отделить окрестностями в г. Тогда топология т коллективно нормальна и на всем множестве X х У. Доказательство. Пусть {Fs}se5 -" дискретное семейство замкнутых множеств в произведении пространств X и У. Коллективная нормальность пространства

У позволяет нам найти открытые в У непересекающиеся множества Us такие, что FJ00 С U„. Заметим, что при этом множества X х U, открыты в произведении пространств X и У. Тогда по условию получаем, что множества A = (J (Fs \ (X х U,)) и В = »Є5 U (Fs (І ({00} x Y)) можно отделить окрестностями, и значит, в силу коллективной нормальности произведения пространств X \ {оо} и Y, получаем, что F, \ (X х Us) С V} и F4n({co} xY) С У/ для некоторых непересекающихся открытых в произведении пространств X и Y множеств F/ и Vs2. Аналогично, существуют непересекающиеся открытые множества W} и Wf такие, что Fs\{V}UVs2) С W,1 и Fs\ (X х Us) С W2. Легко проверить, что множества ((И 1 U V/ U V?) Г)(Х х U„)) U (W? Г) V,1) являются непересекающимися окрестностями множеств Fs. Из лемм 2.2.2, 2.2.3 и 2.2.4 видно, что если топология на множестве X \ {со} х Y обладает свойством типа нормальности, то для проверки выполнения этого свойства на пространстве X х Y определяющим является поведение множеств Лс(Х\{со})х У и В С {oo} х Y. Следующая лемма показывает, как отделить такие множества А и В в пространстве X Y. Лемма 2.2.5. Пусть Y — паракомпакт, А и В — замкнутые в XY мноокества, причем во вполне регулярном пространстве X существует точка оо такая, что А С (X \ {оо}) xY и В С {оо} х Y. Тогда мноокества А и В можно отделить окрестностями в пространстве X Y. Доказательство. В силу регулярности пространства X Y, для каждой точки у Є fit00 существует открытое в X Y множество Uу такое, что (оо, у) Є Uy С Uy С (X х Y)\А. Так как В гомеоморфно замкнутому подпространству В$ паракомпакта Y, то в открытое покрытие {Uy П B}yBt x пространства В можно вписать локально конечное открытое покрытие {{со} х Vt}teT- Для каждого индекса t Є Т зафиксируем точку y(t) такую, что {оо} xVtC Uy(t), и обозначим Wt = (X х Vt) П Uy(t). Семейство {Wi}«6T локально конечно в X Y, следовательно, В С \jWt С \J Wt = \J Wt С _ teT teT teT [jUy{t)c(XxY)\A. D ter Отметим, что, даже в случае наследственной паракомпактности пространства У, утверждение леммы 2.2.5 оказывается неверным для произвольного подпространства Е С X 0 Y. Действительно, в третьей главе будет показано, что множества А =

Диагональ на квадрате отрезка ординалов

Определение 3.2.1. Пусть X — некоторое множество. Отображение diag : X - X х X, задаваемое по правилу diag(#) = (х,х), назовем диагональным, а множество diag(.A) = {(х,х); х А}, где Ас X, назовем диагональным образом множества А. Известно ([16], 4.2), что пространство diag(X) С X X всегда дискретно. Для вполне регулярной топологии раздельной непрерывности аналогичный результат доказан только в том случае, когда пространство X х X наследственно нормально ([17], 6.3). Опишем фундаментальные системы окрестностей для точек из диагонального образа diag(X) с X X, когда X = [0; А) — инициальный интервал ординалов. Так как топологии раздельной непрерывности наследуются открытыми сомножителями ([17], 6.5), то пространство [0;/х] [0;ц] является подпространством пространства [0; А) [0; А) при /л А, и поэтому достаточно рассматривать окрестности для точек вида diag(A) в пространстве [0; A] g [0; А]. Теорема 3.2.2. Фундаментальная система окрестностей точки diag(A) в пространстве diag([0; А]) С [0; А] [0; А] состоит: 1) из множества {diag(A)}, если сі А и ; 2) из множеств вида diag({AQ; а Є F} U {А}), где F — замкнутое неограниченное в [0; cf А) мноокество, конфинальность всех изолированных точек которого меньше u i, если cf А ш. Доказательство. 1) Если ординал А изолирован, то точка diag(A), очевидно, также изолирована, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда cf А = си. Зафиксируем возрастающую последовательность изолированных ординалов {А„}„ а„ сходящуюся к А и удовлетворяющую условию Ао = 0, и зададим функцию / : [0; А] [0; А] - [0; 1] по правилам: находится из условия а Є [А„; An+i); с) в остальных точках функция / равна единице.

Тогда для любого а А получаем, что / (0) = (min{An; А„ a}; A] U [0;max{A„; А„ а}), где fa(P) = f{ ,P) — f(P,&)- Следовательно, функция / раздельно непрерывна, и /-1(0)ndiag([0; A]) = diag(A), что доказывает изолированность точки diag(A) в пространстве diag([0; А]) с топологией, наследуемой из пространства [0;А][0;А]. 2) Пусть cf А a i и U — произвольная окрестность точки diag(A) в пространстве [0; А] [0; А]. Зафиксируем неограниченную в [0; А) трансфинитную возрастающую последовательность {Aa}a cf д такую, что соответствие аиАа непрерывно (а значит, и замкнуто), и если ординал а изолирован, то ординал AQ также изолирован. Тогда существует непрерывная функция / : [0; А] [0; А] - [0; 1]такая, что /(diag(A)) = 0 и / (([0; А] [0; А]) \ U) = {1}. Учитывая, что функция / раздельно непрерывна, можно найти ординал cf А, для которого /({А} х [А ;А]) = {0}. Положим а() = , и для каждого изолированного ординала /3 = 7 + 1 Є (; cf А) обозначим через а(/?) изолированный ординал, для которого ah,) а(@) cf А и /([Аа(д);А] х {AQ(7)}) = {0}, а для каждого предельного ординала (З Є (;cf А) положим а(/3) = sup{a(7); 7 &} Тогда при любом /3 j выполняется равенство /([AQ(/3); А] х {AQ(7)}) = {0}, и следовательно, в силу раздельной непрерывности функции /, получаем, что если /3 — предельный ординал, то f([XQ y,X] х {А(а/3)}) = {0}. Таким образом, мы получили замкнутое неограниченное множество F = {а((3); /3 cf А}, удовлетворяющее условию diag({AQ; а Є F} U {А}) С U, причем все изолированные в F точки являются изолированными ординалами. Для окончания доказательства, необходимо показать, что множества diag({Aa; а Є F} U {А}) открыты в diag([0;A]) С [0;A] [0;A] для любого замкнутого неограниченного в [0;cfA) множества F, все изолированные точки которого не конфинальны ш\. Обозначим через F — множество предельных точек множества F, а через F — множество изолированных точек множества F . Очевид но, что если а Є F , то cf а = ш, и поэтому можно зафиксировать непересекающиеся возрастающие последовательности изолированных ординалов {п{ х)}п и, сходящиеся к а, при этом fo(a) = sup{a ; а а и а Є F } +1 и 0(min{a; ct Є F }) = 0.

Зададим функцию / : [0; А] [0; А] -» [0; 1] по правилу: a) если 7 {Aa; а Є F }, то /((A{n+l(e); А] х {7}) = {0} и /({7} х (A{n+x(e); А]) = {0}, где п и а находятся из условия у Є [Afn(e)j Af„+i(o)); b) если 7 Є {Aa; а Є F }, то /([7; A] x {7}) = {0} и /({7} x [7; A]) = {0}; c) в остальных случаях функция / равна единице. Докажем, что функция / раздельно непрерывна. Легко видеть, что функция / симметрична, поэтому для произвольного 7 А можно обозначить через /7 : [0; А] -» [0;1] функцию, действующую по правилу /7(а) = /(7)«) = /( »7)- Тогда если 7 І {AQ; а Є F }, то /-»(0) = (min{A{n(Q); Afn(Q) 7}; A]U[0;max{Af„(Q); A?n{Q) 7}), а если 7 Є {Aa; a Є F }, то /7"1(0) = [0;A]. Следовательно, при любом 7 множество /7"1(0) открыто-замкнуто, что означает непрерывность функции / относительно топологии раздельной непрерывности. Таким образом, множество /-1(0) П diag([0; A]) = diag({AQ; а Є F } U {А}) от крыто. По пункту 1) множество diag({Aa; а Є F \ F }) состоит из изолированных в пространстве [0; А] 8 [0; А] точек. Следовательно, множество diag({Aa; a F} U {A}) открыто

Свойства типа нормальности

Рассмотрим произведение инициальных интервалов ординалов, наделенное топологиями раздельной непрерывности, т.е. пространства вида [0; А) [0; (і) и [0; А) [0; /х), где А и ц — некоторые ординалы. Теорема 3.3.1. Пусть cf Л ш и /х А. Тогда пространство [0; А) [0;/л) не является нормальным. Доказательство. Предположим, что [0; А) [0; ц) нормально и рассмотрим замкну тые множества A = diag([0; А)) и В = [0; А) х {А} и открытое множество U, удовлетво ряющее условию А С U С U С ([0; А) [0; у))\В. Пусть а0 — произвольный ординал, меньший А. Для каждого натурального п обозначим an+i = min{a; {«„} х [а; А] С ([0; А) [0; [Ї))\Щ. Ординалы ап удовлетворяют условиям: (an+i, ап) фи,ап an+i и ап А. Обозначим аи = sup{a„; п и}. Тогда при любом натуральном п выполня ется неравенство an+i аш А, и значит, (aw,an) ф. U. Следовательно, (0 ,0 ) U. Противоречие. Заметим, что из теоремы 3.3.1 вытекает, что пространства [0; Wi][0;a;i) и [0; из\\ [0; uii), где ш\ — первый несчетный ординал, не являются нормальными. Оказывается, что для ординала щ можно доказать и более сильный результат. Теорема 3.3.2. Пусть cf А = Ш\ и ц и\. Тогда пространство [0;А) 8 [0;/г) не является нормальным. Доказательство. По замечанию 3.1.2 существует непрерывная возрастающая транс финитная последовательность {Aa}a a, с изолированными прообразами изолиро ванных ординалов. По лемме 3.1.6 существуют непересекающиеся стационарные в [0;wi) множества , и S\. Так множества So и Si не содержат несчетных ордина лов, то из следствия 3.2.5 вытекает, что множества FQ = diag({Aa; а Є So}) и JPI = diag({Aa; а є Si}) замкнуты в пространстве [0;А) 8 [0;/z). Рассмотрим про извольные открытые в [0; А) 8 [0; /л) множества Go D F0 и Gi D Fi и обозначим = max{0,i} и г)ЦЗ) = тах{%(),%()} где 0, fi и щЦЗ), Г]2(Р) - ординалы из предложения 3.2.6 для множеств Go и Gi соответственно. Тогда для любого /3 Таким образом, теорема 3.3.2, в частности, утверждает, что пространство [0;a i) g [0;wi) = [0;o i) [0;wi) ([17], 7.2) не является нормальным.

Более того, в отличие от теоремы 3.3.1, которая остается верной при замене топологии раздельной непрерывности на стандартную топологию произведения, теорема 3.3.2 дает примеры разреженных пространств, различающих свойство нормальности для стандартной топологии произведения и для топологии раздельной непрерывности. Действительно, еще в 1959 году Корсон в статье [9] доказал, что Е-произведение сепарабельных метрических пространств нормально. Зададим отображение / : [0;wx) х [0;wi) - Е(М; щ-2) С М"1 2 по правилу (/(а,0)){ = 1, если f а или Ш\ ш\ + /3 и (/(а, Р)) = 0 в остальных случаях. Легко проверить, что отображение / является гомеоморфным вложением на замкнутое подпространство в Е-произведении действительных прямых, и следовательно, пространство [0;wi) х [0;o/i) нормально. Более детальное исследование пространства [0;wx) х [0; wi) было проведено в работе [14]. В частности, доказано, что если А С [0;ш{) я В С [0;wi), то пространство А х В является нормальным тогда и только тогда, хотя бы один из множителей А или В нестационарен либо множество А Г) В стационарно. В случае же вполне регулярной топологии раздельной непрерывности оказывается, что нужно учитывать только одно из двух условий этой теоремы, а именно, нестационарность хотя бы одного из множителей А или В. Теорема 3.3.3. Пусть А С [0;wi) и В С [0;wi). Тогда пространство А В является нормальным тогда и только тогда, хотя бы одно из множеств А или В нестационарно. Доказательство. Необходимость доказывается совершенно так же, как ненормальность произведения [0; Л) 8 [0; у) в теореме 3.3.2.

Доказательство достаточности. Для определенности будем считать, что множество А нестационарно. Тогда существует замкнутое неограниченное в [0;о/і) множество L = {Aa}a wi такое, что L П А = 0. Считая последовательность {Ха}а оп возрастающей и непрерывной зафиксируем для каждого а Є А ординал j(a) — sup{/3 wi; \р а}. Тогда любой ординал а А принадлежит счетному интер