Содержание к диссертации
Введение
1 Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты 28
1.1 Введение 28
1.2 Препятствия к реализации гладкой функции в виде функции высоты при вложении или погружении поверхности 33
1.3 Критерий реализуемости функции с конечным числом критических точек на поверхности в виде функции высоты (доказательство теоремы 1.1.2) 34
1.4 Критерий реализуемости функции в виде функции высоты для погружений ориентируемой поверхности (доказательство теоремы 1 .3.1)
1.4.1 Необходимость 37
1.4.2 Достаточность
1.5 Реализуемость функции в виде функции высоты для погружений поверхности в неориентируемом случае (доказательство теоремы 1.3.2) 42
1.6 Изотопность функций Морса на сфере и проективной плоскости. Приведение функций к каноническому виду 44
1.7 Топология пространства всех погружений с данной функцией высоты. Регулярная гомотопность гладких погружений сферы в трехмерном пространстве 53
1.7.1 Построение выворачивания сферы наизнанку 56 з
1.7.2 Связные компоненты пространства всех погружений с данной функцией
1.8 Некоторые обобщения 64
2 Топологическая классификация функций Морса и их возмущений на поверхностях. Инварианты изотопности функций Морса 66
2.2 Основные типы эквивалентности функций Морса 72
2.3 Топологическая классификация функций Морса 74
2.3.1 Топологическая послойная классификация и критерий топологической сопряженности функций Морса 78
2.4 Послойная классификация Фоменко функций Морса. Атомы и молекулы Фо
2.4.1 Критерии эквивалентности и сопряженности функций Морса 83
2.5 Топологическая послойная классификация возмущенных функций Морса 85
2.5.1 Топологическая классификация и критерий топологической сопряженности возмущенных функций Морса 92
2.5.2 Стратификации Максвелла в пространстве J функций Морса: разбиения на классы топологической (послойной) эквивалентности
2.6 Теорема Матвеева об изотопности функций Морса с закрепленными точками локальных экстремумов. Обобщение на случай нумерованных и оснащенных
2.7 Инварианты изотопности на пространстве Эгйх функций Морса с фиксированными критическими точками. Комплексы функций Морса 1 2.7.1 Введение 105
2.7.2 Изотопический инвариант на пространстве Э:йх и ї-инвариант на группе диффеоморфизмов S) 107
2.7.3 Допустимые диффеоморфизмы и с .аЬ8-инвариант на группе 3 107
2.7.4 Почти-эквивалентность функций Морса 111
2.7.5 Комплексы К, К функций Морса, связь с пермутоэдрами. Связь образующих ГруППЫ И\(К) И ГруПП Щ/J f и f /(f ) 112
3 Топология связных компонент F пространств функций Морса на поверхностях 117
3.1.1 Обобщенные пространства функций Морса 124
3.1.2 Схема доказательства основных результатов 126
3.2 Теорема Кудрявцевой-Пермякова о гомотопической эквивалентности JF F1 F1 пространств функций Морса и оснащенных функций Морса 128
3.2.1 Точная формулировка результата и мотивировка 129
3.2.2 Введение С-топологии на пространствах 5, J11"111, S , /і, F и Fnum 133
3.2.3 Гомотопическая эквивалентность JF F1 135
3.2.4 Равномерная і ±-зквивариантная лемма Морса 143
3.2.5 Равномерная лемма Морса для оснащенных функций Морса 147
3.3 Комплекс К оснащенных функций Морса при х(М) 0. Связь с пермутоэдрами 148
3.3.1 Точные формулировки основных результатов 149
3.3.2 Построение стандартных косых цилиндрических ручек D?l и отображений инцидентности X[/]top,b]top 154
3.3.3 Построение комплекса К оснащенных функций Морса 170
3.3.4 Построение гладкого стратифицированного многообразия М. 174
3.3.5 Топология косых цилиндрических ручек комплекса К, существование комплекса К и проекции К — К 175
3.3.6 Гомологии комплекса К оснащенных функций Морса 180
3.4 Пространство модулей АЛ та F1/ 0 оснащенных функций Морса, гомотопическая эквивалентность F1 ffl х АЛ при х(М) 0 183
3.4.1 Формулировка основных результатов 184
3.4.2 Комбинаторное построение многообразия АЛ согласно 3.3.2—3.3.4 187
3.4.3 Гомеоморфизм между универсальным пространством модулей F1/ 0 оснащенных функций Морса и многообразием АЛ 189
3.4.4 -эквивариантный гомеоморфизм р% :Wl ffl х АЛ 199
3.5 Специальные оснащенные функции Морса. Гомотопические эквивалентности F1 F0, АЛ К при х(М) 0 202
3.5.1 Ключевые понятия и формулировка основного результата 203
3.5.2 Гомотопическая эквивалентность І4 : F - F1 204
3.5.3 -эквивариантный гомеоморфизм F « 1 х К и деформационные ретракции К С К С АЛ 208
3.6 Примеры комплексов К оснащенных функций Морса, исследование гомотопи ческой эквивалентности К К при х(М) 0 210
3.6.1 Примеры: топология и стратификация Максвелла пространств функций Морса 9ri;2,i(T2), Эг"2(5 2) и Э 2) на торе и сфере 210
3.6.2 Несжимаемость ручек комплекса К. Исследование гомотопической эквивалентности К К комплексов функций Морса 214
3.7 Топология пространств J гладких функций с заданными типами локальных особенностей на поверхностях 218
3.7.1 Основной результат в случае замкнутой поверхности М 218
3.7.2 Построение классифицирующих многообразий и отображений 219
3.7.3 Сведение к случаю функций Морса 220
3.7.4 Связь с мероморфными функциями и конфигурационными пространствами221
3.7.5 Случай поверхности М с краем 222
3.7.6 Примеры: топология и стратификация Максвелла пространств З +і д функций Морса на сфере при q = 0,1, 2 223
3.7.7 Выводы: топология и стратификация Максвелла пространств функций Морса на поверхностях 225
4 Продолжимые частичные инварианты С0—сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях 228
4.1.1 Мотивировка: непрерывные траекторные инварианты интегрируемых 3 мерных несжимаемых течений и интегрируемых гамильтоновых систем
на 3-мерных изоэнергетических многообразиях 231
4.1.2 Основные типы эквивалентности гамильтоновых систем 241
4.1.3 Сг-топологии в пространстве гамильтоновых систем, г 5. Возмущенные системы 243
4.1.4 Инварианты гамильтоновых систем. Гладкие функционалы на простран
4.1.5 Постановка вопросов об устойчиво несопряженных системах на атоме,
о продолжимости инвариантов на множество возмущенных систем 246
4.2 Открытость пространства невырожденных гамильтоновых систем в пространстве всех гамильтоновых систем на поверхности 251
4.2.1 Метки Болсинова-Фоменко (П-инвариант) на ребрах молекулы Фоменко. Полнота П-инварианта для простого морсовского гамильтониана 252
4.2.2 Асимптотическое поведение функции периода вблизи морсовских критических точек гамильтониана 254
4.2.3 Грубые метки Болсинова-Фоменко (грубые Л- и m-инварианты) систем на седловом атоме. Кресты и ленточки 259
4.2.4 (Л, те, с)-аппроксимация функции периода возмущенной системы. Доказательство теоремы 4.2.2 264
4.2.5 Поведение П-меток на “старых” и “новых” ребрах молекулы Фоменко при малом возмущении невырожденной системы 271
4.3 Инварианты Болсинова-Фоменко С-сопряженности невырожденных гамиль тоновых систем на поверхностях 272
4.3.1 Метки Болсинова-Фоменко (Л- и гад -инварианты С-сопряженности) систем на седловом атоме 273
4.3.2 Полный инвариант Болсинова-Фоменко С-сопряженности невырожденных систем на поверхности 280
4.3.3 Критерий того, что функция от m-инварианта является инвариантом С-сопряженности, для некоторых атомов малой валентности 282
4.4 Полный относительно-продолжимый инвариант для тривиальных или про стых возмущений систем с плоскими атомами 290
4.4.1 Тривиальные возмущения (непрерывные инварианты сопряженности на страте Максвелла) 291
4.4.2 Простые возмущения гамильтоновой системы на плоском седловом атоме 292
4.4.3 Выводы о продолжимых инвариантах и устойчивой С-несопряжен-ности систем на атоме 297
4.5 Два типа относительно-продолжимых инвариантов С0- и С -сопряженности систем на седловом атоме 297
4.5.1 Относительно-продолжимый Л-инвариант С-сопряженности систем на сложном атоме для сложных возмущений 298
4.5.2 Относительно-продолжимый m-инвариант С -сопряженности систем на бициклическом атоме для бициклических возмущений 299
5 Дифференцируемые инварианты 3-мерных несжимаемых течений 316
5.2 Дифференцируемые инварианты сопряженности симплектоморфизмов круга 319
5.2.1 Инварианты сопряженности на группе 3іш 319
5.2.2 Дифференцируемые функции на группе Зш 322
Заключение 331
Список литературы
- Критерий реализуемости функции в виде функции высоты для погружений ориентируемой поверхности (доказательство теоремы 1
- Топологическая послойная классификация и критерий топологической сопряженности функций Морса
- Теорема Кудрявцевой-Пермякова о гомотопической эквивалентности JF F1 F1 пространств функций Морса и оснащенных функций Морса
- Специальные оснащенные функции Морса. Гомотопические эквивалентности F1 F0, АЛ К при х(М)
Критерий реализуемости функции в виде функции высоты для погружений ориентируемой поверхности (доказательство теоремы 1
Две гладкие вещественные функции на гладком многообразии М называют топологически эквивалентными [45], если их можно получить друг из друга преобразованиями многообразия М и вещественной прямой К, изотопными тождественным. Две гладкие вещественные функции на М называют эквивалентными [45], если их можно получить друг из друга преобразованиями многообразия М и вещественной прямой К.
Обозначим через ЭгРгдгГ(М) пространство функций Морса на замкнутой поверхности М, имеющих р критических точек локальных минимумов, q седловых критических точек и г точек локальных максимумов. Две функции Морса на многообразии М назовем изотопными, если их можно продеформировать друг в друга, т.е. соединить изотопией или непрерывным путем, в пространстве функций Морса, снабженном С-топологией. Ясно, что изотопные функции Морса на М должны принадлежать одному и тому же пространству ЗгРдгГ(М).
Кроме (топологической) эквивалентности естественно возникают похожие отношения эквивалентности — (топологическая) сопряженность и (топологическая) послойная эквива-ленность (см. определение 2.2.4 (A, C)). Послойную эквивалентность функций Морса на поверхностях изучал А.Т. Фоменко в связи с изучением траекторной эквивалентности га-мильтоновых систем с 1 степенью свободы, лиувиллевой (совместно с Х. Цишангом) и траекторной (совместно с А.В. Болсиновым) эквивалентностей гамильтоновых систем с 2 степенями свободы. А.Т. Фоменко [33, 32, 34, 9, 10, 8], [53, theorem 2.16] описал полный инвариант послойной эквивалентности в пространстве 3РдуГ(М) функций Морса на поверхностях в терминах комбинаторных объектов — “атомов” и “молекул” (предложение 2.4.6). Более точно: в работах А.Т. Фоменко [33, 32] была получена классификация особенностей боттовских интегралов на изоэнергетических поверхностях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Позже достаточно удобное и формальное описание этой классификации было дано в работе А.В. Болсинова, СВ. Матвеева, А.Т. Фоменко [8], где были введены понятия атомов и молекул.
В. И. Арнольд исследовал в связи с изучением 16-й проблемы Гильберта (о взаимном расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, или алгебраических поверхностей) количество классов эквивалентности типичных (следствие 2.4.12) функций Морса на прямой [2] и на поверхности [3, 44, 45, 4]. В частности, В.И. Арнольд [45] изучил асимптотику количества классов эквивалентности (= топологической эквивалентности) типичных функций Морса в пространствах ЭгР)Р+т._2,г(5 2) функций Морса на сфере, в зависимости от количества q = р + г — 2 седел, при q — оо.
Е.В. Кулинич [95] (см. также [53, theorem 2.6]) вычислил количество классов эквивалентности типичных функций Морса на замкнутой ориентируемой поверхности рода д 6, имеющих ровно одну точку локального минимума и ровно одну точку локального максимума. но и ориентировано, и одной двумерной клеткой с точностью до сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов поверхности. С помощью этого комбинаторного результата они получили важный топологический результат — вычислили эйлерову характеристику x(Gg) “комплекса ленточных графов” Gs при s 2 — 2д, а значит, ввиду [124], и х(Л д), где ЛЛд — пространство модулей комплексных алгебраических кривых рода д с s 3 — Зд пронумерованными проколами (подробнее см. раздел III ниже). Заметим, что число ед{д) совпадает с количеством классов послойной эквивалентности (= эквивалентности) правильных (определение 2.4.3 (E)) функций Морса / на замкнутой поверхности М рода д, принадлежащих пространству 3r lqr(M) (см. определение 2.2.2 (В)), т.е. имеющих ровно одну точку локального минимума и q седловых точек, причем одна седловая точка оснащена (определение 2.2.2 (В)). Отсюда в следствии 3.3.6 (C) мы получим еще одно топологическое применение формулы Харера-Загье — формулу Х(1К) = (—l)q leg(q), где К = К1(?)Т. = Ж/ (! / }) — компактный косой цилиндрически-полиэдральный комплекс оснащенных функций Морса такой, что пространство 3r lqr(M) гомотопически эквивалентно ЖР3 х К или (S1)2 х К или К (в зависимости от д = 0,1 или 2), и К = К1;(?)Т. является накрытием полиэдра К.
Полный инвариант изотопности в пространстве гладких функций без критических точек на открытой поверхности (с краем) описан Ю.М. Бурманом [13, 60] в терминах числа вращения.
В 1997 г. А. Т. Фоменко поставил вопрос о линейной связности пространств ЭГР}Я}Г(М). Положительный ответ был получен автором (см. теорему 1.6.2 или [129, теорема 4]) для М = S2 и ЖР2, а в общем случае С. В. Матвеевым [129, теоремы 8 и 8 ] и Х. Цишангом [38] в 1998 г. (а также В.В. Шарко [40] (1998) и СИ. Максименко [96] (2005)). Более того, СВ. Матвеев [129, теоремы 8 и 8 ] доказал линейную связность пространства 9rP)(?)T.(M)extr С Э РЛуГ{М) с фиксироваными критическими точками локальных экстремумов на поверхности М (см. теорему 2.1.1, или теоремы 2.6.1 и 2.6.2).
Группы гомологий и гомотопий пространств функций с умеренными особенностями (с допущением не-морсовских особенностей) на окружности изучал В.И. Арнольд [1].
С использованием параметрического / .-принципа В.А. Васильев (см. работу [14] и ссылки в ней) изучил кольца когомологий пространств Кга-значных функций с умеренными особенностями на любом гладком многообразии (т.е. функций, не имеющих “слишком сложных” критических точек, где морсовская особенность и особенность типа рождение-уничтожение пары критических точек считаются не слишком сложными). Однако 1-параметрический h-принцип невыполнен для пространств функций Морса на некоторых компактных многообразиях размерности большей 5, как показано в работах [64, 81].
Топология отдельно взятого класса топологической сопряженности (т.е. страта Максвелла) из пространства функций Морса на замкнутой поверхности М изучалась в работах СИ. Максименко [97] в случае поверхности М ф S2,T2. В частности, СИ. Максименко [97] доказал стягиваемость связных компонент стабилизатора любой функции Морса на замкнутой поверхности при действии группы диффеоморфизмов поверхности, а также доказал асферичность любой орбиты этого действия и изучил некоторые свойства ее фундаментальной группы.
Топологическая послойная классификация и критерий топологической сопряженности функций Морса
Рассмотрим (связную) замкнутую двумерную поверхность М = М2, и обозначим через 3Pyq(M) совокупность всех функций Морса на этой поверхности, имеющих фиксированное число р локальных минимумов и фиксированное число q локальных максимумов. Ясно, что
Линии уровня функции высоты К% для погружения тора в R3 изотопные функции Морса принадлежат одному и тому же пространству (М). Заметим, что число г седловых точек функции из пространства 3Pyq(M) определяется поверхностью М и числами р, q однозначно, по формуле эйлеровой характеристики р + q — г = х(М). Нетрудно проверить также, что при любых фиксированных р, q 1 пространство 3rPtq(M) не пусто. Оказывается, что пространство ЭГР (М) линейно связно, т.е. любые две функции иэ этого пространства изотопны. Доказательство этого известного факта мы приведем в параграфе 2.6. В дальнейшем, говоря о связности, мы всегда имеем в виду линейную связность. Обозначим через ""(М) пространство функций Морса на поверхности М со следующими свойствами: 1) они имеют р локальных минимумов и q локальных максимумов, 2) фиксирован порядок критических точек на каждом из трех множеств критических точек одного типа: минимумов, максимумов и седел.
Такие функции можно назвать нумерованными функциями Морса. В частности, каждой функции из 3ГР}Я(М), где р, q 1, отвечает ровно p\q\(p + q — х)! функций из ""(М), где X = х(М) = 2 — 2д или 2 — ц — эйлерова характеристика поверхности М = Мд или М . Таким образом, пространство ""(М) является p\q\(p-\- q — х)!-листным накрытием над пространством 3Pyq(M). Отметим, что $Pyq(M) можно рассматривать как однородное пространство 3rpmIn(M)/(Sp х Sq х Sp+q-x) по действию групп перестановок критических точек каждого типа. При этом, любая изотопия ft, 0 t 1, функций Морса, лежащих в пространстве 3rPtq(M), однозначно определяет изотопию в накрывающем пространстве ""(М), такую, что при непрерывном изменении расположения критических точек на поверхности сохраняется их отношение порядка. При доказательстве предложения 1.7.2 о регулярной гомотопности любых двух погружений сферы в К3 (см. параграф 1.7) нам понадобится следующее утверждение.
Теорема 1.6.2. Если поверхность М является либо двумерной сферой S2, либо проективной плоскостью ЖР2, то накрывающее пространство Эг а{М) линейно связно при любых фиксированных значениях р и q.
Замечание 1.6.3. Выберем некоторое подмножество С в множестве всех критических точек нумерованной функции Морса. Рассмотрим подпространство ""(М; С) в пространстве состоящее из всех функций Морса с р минимумами и q максимумами на поверхности М, для которых все критические точки из набора С предполагаются фиксированными точками на поверхности, а на множествах остальных критических точек каждого типа предполагаются фиксированными отношения порядка. Заметим, что из связности подпространства ""(М; С) следует связность пространства ""(М). В случае сферы нетрудно доказать следующее утверждение.
В случае двумерной сферы пространство Э " 2; С), С 3, нумерованных функций Морса с фиксированным расположением не более чем трех критических точек, линейно связно при любых значениях р и q.
Мы выведем теоремы 1.6.2 и 1.6.4 из следующего основного утверждения о пространстве ""(М) для произвольной замкнутой поверхности М (то есть произвольного рода).
Предложение 1.6.5. Пусть М — любая замкнутая двумерная поверхность (ориентируемая или неориентируемая). Тогда однородное пространство (М)/S (M) линейно связно. Другими словами, для любых двух функций Морса fo и f из пространства ""(М) существует гладкий путь ft, 0 t 1, в пространстве всех функций Морса, и существует диффеоморфизм ф Є S (M) поверхности на себя (сохраняющий ориентацию в ориентируемом случае), такие, что fi = f ф.
Доказательство теоремы 1.6.4. Согласно предложению 1.6.5, для любых двух нумерованных функций Морса /о,/ Є Э " 2) существует путь ft Є У""111 2), 0 t 1, и автоморфизм ф Є S (S2), такие, что /г = /ф. Как уже отмечалось, путем замены автоморфизма ф на другой автоморфизм из пространства r3(S2) можно считать, что изотопия ft, 0 t 1, оставляет на месте все критические точки. При этом автоморфизм ф по определению оставляет на месте все точки набора С.
Теорема Кудрявцевой-Пермякова о гомотопической эквивалентности JF F1 F1 пространств функций Морса и оснащенных функций Морса
Для каждой функции / eJ обозначим через С/;о, С/д, С/;2 множества ее критических точек локальных минимумов, седловых критиче ских точек и точек локальных максимумов соответственно, и через С/;л С С/;л, А = 0,1,2, множества отмеченных критических точек. Обозначим С/ := С/;о U С/д U С/;2 (множество всех критических точек) и С/ := С/;о U С/д U С/;2 (множество отмеченных критических то чек функции /). В множестве отмеченных (а потому занумерованных) критических точек обозначим через С 0, С 1, С 2 подмножество, состоящее из первых p ,q ,r точек соответ ственно. Фиксируем “базисную” функцию / Є Эг. Пусть F := Sv,q,r;:p,q ; p ,q ,r (M, 8+М, 8 М) — пространство функций Морса / Є J на поверхности (М, д+М, д М), таких что С5-л = Q% л для любого Л = 0,1, 2. Пространство J мы наделим С-топологией, см. 3.2.2, и назовем его обобщенным пространством функций Морса на поверхности (М,д+М,д М). Обозначим через F1 С J подпространство в F, состоящее из таких функций Морса / Є , что все локальные минимумы равны f(d M) = - 1, а все локальные максимумы равны f(d+M) = 1. (E) Обозначим через Згпит (соотв. J"1 11") пространство, полученное из пространства J (соотв. 3rl) введением нумерации у всех непронумерованных критических точек функций Морса / 6 J (соотв. / Є 3rl). Наделим его С-топологией как в 3.2.9. Имеем (р - p)\(q q)\(r- )!-листные накрытия Jnum
В точности как для обычных функций Морса, определяется оснащение (определение 3.2.2) обобщенной функции Морса / Є ЗГ, а также пространства F = pAtr;p,q,r;p ,q ,r (М, д+М, д М) и F1 С F оснащенных обобщенных функций Морса. Напомним определение групп диффеоморфизмов 3 , 2) и 2 из обозначения 2.2.3.
Обозначение 3.1.4 (ср. обозначение 2.2.3). (A) Обозначим через С А множество Q% х закрепленных критических точек индекса Л (совпадающее для разных функций / Є J, см. определение 3.1.3 (D)), Л = 0,1,2, положим С := Со U Ci U Сг С int М. Обозначим через 2 = Diff(M, д+М, д М, Со, Сі, Сг) группу всех (не обязательно сохраняющих ориентацию и компоненты края) диффеоморфизмов поверхности М, переводящих каждое множество д+М, д М, Сл в себя, 0 Л 2. Если М ориентируема, обозначим через 2с2± подгруппу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов. Пусть 2 = Diff (М, С) С 2 — подгруппа, состоящая из всех диффеоморфизмов h Є 2 , изотопных ісім в классе гомеоморфизмов пары (М, С). Пространства 2 С 2 С 2 наделим С-топологией, см. 3.2.2(б). Другими словами, 2 совпадает (как множество, но не как топологическое пространство) с пересечением 2± и компоненты связности ісім в пространстве гомеоморфизмов пары (М, С), снабженном С-топологией.
Обозначим через М замкнутую поверхность, полученную из поверхности М стягиванием в точку каждой граничной окружности. Обозначим через ,2 С 2 группу (называемую группой Торелли), состоящую из всех диффеоморфизмов h Є 2, переводящих в себя каждую компоненту края М, и таких что индуцированный гомеоморфизм h: М — М индуцирует тождественный автоморфизм группы гомологий Н\(М). Имеем 2 С 2Г.
Всюду далее в данной главе мы предполагаем, что поверхность М ориентирована. Случай неориентируемой поверхности М рассмотрен в замечании 3.2.7 ниже.
Из результатов [69, 70] К.Дж. Эрля и Дж. Иллса (мл.) следует, что имеется гомотопическая эквивалентность точка, если х(М) р + q + г (см., например, [122, 69]). В частности, 2 линейно связно и, следовательно, совпадает с компонентой связности ІСІМ в 2 .
Импликация “- =” в (3.3) следует из [69, 70], а импликация “= .” следует из того, что в случае С х(М) + 2 существует диффеоморфизм h Є 3? (скручивание Дэна [67] вокруг разбивающей окружности), негомотопный ІСІМ в пространстве гомеоморфизмов пары (М, С), см. [51, лемма 2.1(1)] или [28]. В частности, 2 = 2 тогда и только тогда, когдар -\-q -\-r -\-d -\-d+ З и род поверхности М равен нулю.
Отметим, что в 3.4 нам понадобятся оба свойства (3.2) и (3.3) группы 2.
Напомним основные типы эквивалентности функций Морса (определение 2.2.4) и применим их к обобщенному пространству J функций Морса.
Определение 3.1.5 (уточнение определения 2.2.4). (А) Две функции Морса f,g Є J назовем эквивалентными, если найдутся такие диффеоморфизмы h\ Є 2 и Л,2 Є Diff+(R), что / = ]%2 д h\ (и hi сохраняет нумерацию всех отмеченных критических точек), и обозначаем / д. Класс эквивалентности функции / обозначим через [/].
Две функции Морса fиg назовем топологически эквивалентными, если они эквивалентны и hi Є 2 (т.е. hi изотопен тождественному), и обозначаем / top д. Множество всех функций из 3ГІ, топологически эквивалентных функции /, обозначим через [/]top. Классификации функций Морса из J с точностью до эквивалентности и топологической эквивалентности легко получаются из следствия 2.4.11 и теоремы 2.3.4 соответственно.
Обозначение 3.1.6 (уточнение обозначения 2.3.1 (Б)). Для любой функции Морса / 6 J рассмотрим граф G/ в поверхности int(M), полученный из графа /_1(С/д) выкидыванием всех связных компонент, не содержащих седловых критических точек (см. определение 3.1.3 (A)). Этот граф имеет q вершин (являющихся седловыми точками у Є С/д), степени всех вершин равны 4, а значит в графе 2q ребер. Если поверхность М ориентирована, то на ребрах графа G/ имеется естественная ориентация такая, что в любой (внутренней) точке ребра репер, составленный из положительно ориентированного касательного вектора к ребру и вектора grad / (по отношению к какой-нибудь фиксированной римановой метрике), задает положительную ориентацию поверхности. Аналогично вводится ориентация на любой связной компоненте линии уровня /_1(а) функции / (необязательно содержащей критические точки), а Є К. Обозначим через s(f) := /(С/д) количество седловых критических значений функции /.
Специальные оснащенные функции Морса. Гомотопические эквивалентности F1 F0, АЛ К при х(М)
В этом разделе излагается результат работ [132, 143], который является ключевым в доказательстве теоремы 3.2.5 (Б) и используется при построении [143, 9] гомотопической эквивалентности р2 . 3ті х \і — F1. Мы приводим формулировку и основные конструкции доказательства этого результата, так как они используются в доказательстве лемм 2.5.5 и 3.7.2 и утверждения 4.2.12.
В этом параграфе мы предполагаем, что число р + q + г критических точек функций Морса положительно, а поверхность М не обязательно ориентируема. Мы используем обозначение 2.3.1 (А).
Пусть Згпит = 3 и(М,д+М,д М) — пространство функций Морса с пронумерованными критическими точками, снабженное С-топологией (см. определение 2.2.2(Б)). Пусть РТМ — проективизованное касательное расслоение поверхности М. Обозначим через 3 т С gmum х (рт1 )Р+Г подпространство, состоящее из пар (/,), где / Є J11" — функция Морса, — любой набор одномерных подпространств С TweM касательных пространств TweM в критических точках w# Є С/;о U С/;2 локальных минимумов и максимумов функции /. Снабдим пространство 3rnum х (РТМ)р+Г топологией прямого произведения, а подпространство grnum — индуцированной топологией. Обозначим через ц пространство римановых метрик на поверхности М, снабженное С-топологией.
Пусть D — стандартный единичный круг в плоскости К2. На круге D рассмотрим естественное (левое) действие группы {іісід} := {ісід,—id } С 5 0(2). Пусть Emb+(l),M) С C(D, М) — пространство сохраняющих ориентацию гладких вложений DМ, снабженное С-топологией. На пространстве С (D, М) рассмотрим естественное (правое) действие группы {±idg }, (ф,Іі) і— (ф о h), ф Є C(D,M), h Є {±idg }. Рассмотрим индуцированное (правое) действие группы {±idg } на пространстве Emb+(D, М). Пусть Emb+(l), M)/{±idg)} — пространство орбит этого действия, снабженное фактортопологией.
Теорема 3.2.14 (о “равномерных” ±-эквивариантных локальных координатах в лемме Морса [132]). Пусть р + q + г 0 и поверхность М ориентирована. Существуют две непрерывные положительные функции о) о: х / " и набор р -\- q-\- г непрерывных отображений Фе/. J"11" х /і — Emb (D, М)/{±ісІд}, (f,ds ) і—)- {±idf)}, u Є С/,і, Ф : Э " х /і — Emb+(D, М)/{±ісІд}, (f, ,ds ) і—)- 0 {±іс1д}, u Є С/;о U С/,2 р+g+r, такие, что для любой тройки (/, , c?s2) Є JJx/i и любого набора представителей фе Є Фe(f,ds2) С Emb (D,M) (соответственно фе Є Ф (/, ,,ds2) С Emb (D,M)) смежных классов, 1 p + g + r, имеют место следующие утверждения:
(A) образы фе(Г)) вложений фе/. D М, 1 p + g + r, попарно не пересекаются и отстоят друг от друга и от дМ на расстоянии r0(f,ds2) (в смысле метрики ds2), а потому содержатся в int М и попарно не пересекаются;
(Б) фе(0,0) = we(f) и f о фе(, а,,,,,f",,,) = ±м2 ± г 2 + f(we(f)) для любой пары (е (fds2l (fds2)) D, l p-\-q-\-r, причем каждой седловой критической точке we(f) отвечает пара знаков (+,—), а каждой критической точке we(f) локального минимума (максимума) — пара знаков (+,+) (соответственно (—,—)), причем d (o;o)( ) Є g;
(B) (і ±-инвариантность функций є0, TQ, і ±-эквивариантность отображений Ф1;..., Фр+g+r) для любого диффеоморфизма h Є f поверхности М выполнено eo(f oh, h (ds2)) = Єо(Л ds2), ro(/ h,h (ds2)) = r0(f,ds2), а смежный класс Фе(/ о h,h (ds2)) (соответственно Фе(/ h,dh l( ),h (ds2))) равен либо Ьг1 o {±id }, если h сохраняет ориентацию, либо к 1офо Jojiidj)}, если h меняет ориентацию, 1 p-\-q-\-r, где Jo- D — D — отражение в круге относительно первой координатной оси;
(Г) для любой функции Морса g Є Згпит, полученной из f перенумерацией критических точек, набор смежных классов Фе(д,дв2) (соответственно Фе(д, , ds2)), 1 p+q+r, получается перенумерацией из набора смежных классов Фе(/, ds2) (соответственно Ф (Л С) ds2)), 1 p-\-q-
Таким образом, в каждой замкнутой координатной окрестности Ue := фе(В) с координатами u,v (см. выше) выполнено утверждение классической леммы Морса [104]:
Доказательство. Пусть / Є 3rnum — функция Морса и ds2 Є /І — риманова метрика на поверхности М. Определим q вещественных чисел: пусть Lj = Lj(f,ds2) 0 — нижняя грань длин замкнутых нестягиваемых кривых в метрике ds2 на проколотой поверхности М\ (С/;о U С/;2) с началом и концом в седловой критической точке yj = yj(f) Є С/д, 1 J 5. Положим і/ = H(ds2) := max{0, max X} 0, где X: M — Ж — гауссова кривизна в метрике ds2. Положим где p(X, У) — длина кратчайшего пути между подмножествами X, Y С М в метрике (is2. Определим число Гд = r0(f,ds2) 0 формулой (3.11).
В касательной плоскости TWM каждой критической точки w = Wi(f) (1 p-\-q-\-r) рассмотрим открытый круг VI С TWcM радиуса г!п в смысле метрики is2L„„. На замыкании этого круга определено экспоненциальное отображение т.е. отображение, переводящее каждый вектор круга в конец геодезической, выпущенной из We с начальным вектором скорости, равным исходному вектору. Это отображение является регулярным погружением, так как —j= — радиус инъективности М, см. [52, 11.8, теорема 11]. Образы fi f(Vf) этих погружений отстоят друг от друга и от дМ на расстоянии г 0, а потому содержатся в int М и попарно не пересекаются.